DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DALAM PROSES STOKASTIK. Abstract

Transkripsi

1 Disribusi oisso Sugio DISRIBUSI OISSON DAN DISRIBUSI EKSONENSIAL DALAM ROSES SOKASIK Sugio, Moch Abdul Mukid Saf gajar rogram Sudi Saisika FMIA UNDI Absrac I h quuig sysm, h procsss usually com from a oisso procss. I his sysm should b obaid a arrival disribuio ad a srvic disribuio. his papr sudis abou h form of h umbr of arrival disribuio, h umbr of srvic disribuio, h irarrival disribuio ad h srvic im disribuio. Fuhrmor i alks abou h rlaio of hm o a oisso disribuio ad a xpoial disribuio. Kywords: oisso rocss, oisso Disribuio, Ekspoial Disribuio. dahulua Scara umum pmodla yag brkmbag saa ii bisa dikagorika dalam dua pross yaiu pross oisso da pross drmiisik. ada pross sokasik bayak foma di alam yag bisa dibawa k arah pross oisso. ross aria mrupaka cooh yaa pross oisso yag bayak rjadi pada prbagai fasilias playaa saa ii. ross aria mrupaka suau pross yag brhubuga dga kdaaga plagga pada suau fasilias playaa, muggu dalam baris aria jika blum dapa dilayai, dilayai, kmudia sorag plagga bgiu dilayai haya aka miggalka saraa playaa rsbu slah slsai playaa [7]. Buk disribusi kdaaga ada dua yaiu disribusi jumlah kdaaga da disribusi waku aar kdaaga. Sdagka buk disribusi playaa juga ada dua yaiu disribusi jumlah playaa da disribusi waku playaa [3]. ada pross kdaaga waku aar kdaaga mrupaka disribusi idik da idpd. ross kdaaga juga mrupaka pross rwal. Bbrapa disribusi waku aar kdaaga bisa brdisribusi ksposial, rlag, gral, drmiisik aau oisso [4]. Uuk mmprolh disribusi waku aar kdaaga bbrapa kasus aria yag rjadi saa ii, spri paggila lpo, koksi srvr ir, da lalulias kdaraa dijala ol pada arus mudik da arus balik lbara sra kdaaga plagga dikaor pos pada mjlag ahu baru da lbara idak mudah didapaka. Hal ii rjadi kara waku aar kdaagaya yag saga kcil, skali shigga suli uuk mdapaka daa waku aar kdaagaya, aau dalam irval waku kcil, misalka sau mi jumlah kdaagaya saga bsar. Uuk kasus aria spri ii modl disribusi yag bisa didapaka adalah disribusi jumlah kdaaga. Dmikia juga uuk mdapaka daa waku playaa, kara rlalu kcil waku playaa aar plagga, yag diprolh adalah daa jumlah playaa. Shigga disribusi waku playaa idak diprolh, sdagka yag diprolh adalah disribusi jumlah playaa. Dalam ulisa ii aka diulas pross dimaa jumlah kjadia slama sau irval waku yag dibrika adalah brdisribusi oisso. Slai iu juga mmbicaraka krkaia aara disribusi jumlah kjadia yag brdisribusi oisso baik iu uuk kdaaga maupu playaa dga disribusi waku aar kdaaga maupu waku playaa. 3

2 Mdia Saisika, Vol. 4, No., Dsmbr : 3-. Kosp Dasar. Disribusi Kdaaga Disribusi kdaaga para plagga biasaya diprhiugka olh waku aar kdaaga, yaiu waku aara kdaaga dua plagga yag brurua pada suau fasilias playaa. Disribusi kdaaga ii dapa brgaug pada jumlah plagga yag brada dalam sism aaupu idak brgaug pada kadaa sism rsbu. Disribusi ii dapa drmiisik dikahui scara pasi, aau brupa suau variabl acak yag disribusi pluagya diaggap lah dikahui. Bila disribusi kdaaga idak disbu scara khusus, maka diaggap bahwa plagga iba sau pr sau. Asumsiya adalah kdaaga plagga mgikui suau pross dga disribusi pluag ru. Disribusi pluag yag srig diguaka adalah disribusi oisso kara kdaaga brsifa bbas da idak rpgaruh olh kdaaga sblum aaupu ssudahya. Asumsi dari disribusi pluag oisso ii adalah kdaaga plagga sifaya acak da mmpuyai raa-raa kdaaga sbsar lamda [5]. ross oisso adalah pross couig yag mmpuyai baasa ru, yaiu diaaraya mgikui disribusi oisso dga raa-raa dimaa suau kosaa, shigga pada disribusi oisso harga raa-raaya brgaug pada aau mrupaka fugsi [3]. Bbrapa asumsi uuk pross oisso : i. luag rjadi sau kdaaga aara waku da adalah sama dga o. Dapa diulis {rjadi kdaaga aara da }= o, dga λ adalah suau kosaa yag idpd dari N, dga N mrupaka pross couig, adalah lm pambah waku, da o dioasika sbagai bayakya kdaaga yag bisa diabaika jika dibadigka o dga, dga o, dioasika: lim o ii. {lbih dari sau kdaaga aara da Δ } adalah saga kcil aau bisa dikaaka diabaika = o. iii. Jumlah kdaaga pada irval yag brurua adalah ap da idpd, yag brari bahwa pross mmpuyai pambaha bbas, yaiu jumlah kjadia yag mucul pada siap irval waku idak rgaug pada irval wakuya. Disribusi kdaaga rbagi mjadi dua, yaiu: kdaaga scara idividu sigl arrivals, da kdaaga scara brklompok bulk arrivals [5].. Disribusi Waku layaa Buk playaa diuka olh waku playaa, yaiu waku yag dibuuhka uuk mlayai plagga pada fasilias playaa. Bsara ii brgaug pada jumlah plagga yag lah brada di dalam fasilias playaa aaupu idak brgaug pada kadaa rsbu. layaa dapa dilakuka dga sau aau lbih fasilias playaa yag masig-masig dapa mmpuyai sau aau lbih salura aau mpa playaa yag disbu dga srvr. Apabila rdapa lbih dari sau fasilias playaa maka plagga dapa mrima playaa mlalui suau urua ru aau fas ru. ada suau fasilias playaa, plagga aka masuk dalam suau mpa playaa da mrima playaa scara uas dari playa srvr. Bila idak disbuka scara khusus, pada buk playaa ii, maka diaggap bahwa sau playa dapa mlayai scara uas sau plagga. Buk playaa dapa kosa dari waku k waku. Raa-raa playaa dapa dibri simbol yag mrupaka jumlah plagga 4

3 Disribusi oisso Sugio yag dapa dilayai dalam saua waku. Sdagka raa-raa waku yag diprguaka uuk mlayai siap plagga dibri simbol /µ ui saua. Disribusi waku playaa rbagi mjadi dua kompo pig, yaiu: layaa scara idividual sigl srvic, da playaa scara klompok bulk srvic [5]..3. Disribusi oisso Disribusi ii prama kali diprkalka olh Siméo-Dis oisso da dirbika brsama ori pluagya, pada ahu 838 dalam karyaya Rchrchs sur la probabilié ds jugms maièr crimill maièr civil liia luag Hukum Masalah idaa da rdaa. Karyaya mmfokuska pubah acak N yag mghiug aara lai jumlah kjadia diskr kadag juga disbu "kdaaga" yag rjadi slama irval waku ru []. Apabila ilai harapa kjadia pada suau irval adalah, maka pluag rjadi prisiwa sbayak x kali adalah x f x; x! dga x adalah bilaga bula o gaiv da adalah bilaga riil posiif..4. Disribusi Eksposial Variabl radom koiu X brdisribusi ksposial dga paramr, jika mmpuyai fugsi disribusi dalam buk [] : x, x f x ;, x yag laiya dga mrupaka paramr skala. Sdagka fugsi disribusi kumulaifya adalah: -x F X ; -, x.5. Fugsi oh da ross Couig f h Fugsi f dikaaka fugsi oh jika: lim h h ross sokasik N, disbu sbagai pross couig jika N mrupaka jumlah oal prisiwa yag lah rjadi sampai k waku. ross couig N harus mmuhi sifa [6] : i. N ii N adalah bilaga bula. iii Jika s maka Ns N. iv Uuk s, N N s sama dga jumlah prisiwa yag lah rjadi dalam irval s,]. 5

4 Mdia Saisika, Vol. 4, No., Dsmbr : 3-3. mbahasa Aka dibahas scara oriis pross oisso yag mrupaka pross brdisribusi oisso pada kdaaga plagga da disribusi waku aar kdaagaya. mbahasa aka disajika pada orma-orma briku. orma : Uuk suau pross oisso, jumlah kdaaga yag rjadi pada irval waku adalah variabl radom yag mgikui suau disribusi oisso dga paramr λ da pluag dari kdaaga adalah :!. Buki : Misal adalah pluag dari kdaaga dalam irval waku, di maa =,,, 3,. luag rjadi kdaaga dapa diyaaka dga mgmbagka prsamaa difrsial. Uuk > : + = { kdaaga pada saa da idak ada kdaaga pada } + {- kdaaga pada saa da sau kdaaga pada } + {- kdaaga pada saa da dua kdaaga pada }+ + { kdaaga dalam da kdaaga pada }. Dga mgguaka asumsi i, ii, da iii, maka prsamaa mjadi: o o o... o o ] + - [ o ] + = [-λ - o Kara, maka pada saa = diprolh: + = [-λ - o ] + o 3 dga o myaaka suku-suku {-j kdaaga pada saa da j kdaaga pada saa ; < j < }. rsamaa da 3 diulis kmbali dga mggabugka smua buk yag mmua o, shigga didapa: + - = - o + o + - = + o 4 da + - = o, >. 5 rsamaa 4 da 5 dibagi dga da diambil limi, shigga diprolh: o lim = lim o = 6

5 Disribusi oisso Sugio 7 o lim lim o, > aau dapa diulis: d d 6 da d d, > 7 Dari prsamaa 6, uuk = diprolh: d d d d l = -λ = -λ Dari prsamaa 7, uuk = diprolh: d d d d d d d d d d d Uuk = diprolh: d d d d d d d d

6 Mdia Saisika, Vol. 4, No., Dsmbr : 3- d d d.! Uuk = 3 diprolh: d3 3 d d3 3 d d3 3 d d 3 3 d d 3 3 d 3 3 d ! Shigga dapa diambil suau rumus umum, yaiu: 8! Jadi, rbuki bahwa pluag dari kdaaga yag rjadi pada irval waku adalah, dga jumlah kdaaga yag rjadi pada irval waku adalah! variabl radom yag mgikui suau disribusi oisso dga paramr orma : Jika jumlah kdaaga mgikui disribusi oisso maka suau variabl radom waku aar kdaaga mgikui disribusi ksposial. Buki : f = fugsi dsias pluag dari irval waku aar pmucula kjadia yag brurua,. F = fugsi disribusi kumulaif dari Jika suau variabl radom waku aar dua kdaaga brurua dimisalka, maka { > }= {idak ada kdaaga dalam waku } = f d 8

7 Disribusi oisso Sugio aau mgguaka F sbagai fugsi disribusi kumulaif dari diprolh: F 9 maka fugsi dsiasya adalah df f d yag mrupaka fugsi dsias dari disribusi ksposial. Dga paramr λ maka fugsi pmbagki momya diprolh raa-raa, yaiu: x f d; koiu x M x E x f ; diskri M x x d x x d x x ' M x x " da M x 3 x E diprolh dari: ' E M " E M 3 Shigga Var E E da E Jadi, waku aar kdaaga yag brurua mgikui disribusi ksposial dga raa-raa. Jika waku aar kdaaga maka jumlah kjadia dalam sau priod waku ru pasilah brdisribusi oisso dga raa-raa kdaaga adalah λ. 4. Ksimpula Dari pmbahasa diprolh solusi uuk disribusi jumlah kdaaga pada pross aria yaiu brdisribusi oisso. Krkaia jumlah kdaaga waku aar kdaaga adalah sbagai briku: a. Uuk suau pross oisso, jumlah kdaaga yag rjadi pada irval waku adalah variabl radom yag mgikui suau disribusi oisso dga paramr λ da pluag dari kdaaga adalah :! b. Jika jumlah kdaaga mgikui disribusi oisso maka suau variabl radom waku aar kdaaga mgikui disribusi ksposial. 9

8 Mdia Saisika, Vol. 4, No., Dsmbr : 3- DAFAR USAKA. Amiudi, risip-risip Ris Oprasi, Erlagga, Jakara, 5.. Bai, L. J. ad Eglhard, M., Iroducio o robabiliy Ad Mahmaical Saisics, Duxbury rss, Uid Sas of Amirica, Gross, D ad Haris, C. M., Fudamal of Quuig hory : hird diio. Joh Willy & Sos, Ic., Nw York, Kulkari, V.G., Modlig, Aalysis, Dsig, ad Corol of Sochasic Sysms, Sprigr- Vrlag, Nw York, Kakiay,. J., Dasar ori Aria Uuk Khidupa Nyaa, Yogyakara : Adi, Ross, S.M., Sochasic rocsss, Joh Wily & Sos, Ic., Caada, aha, H. A., Ris Oprasi : Jilid, Biarupa Aksara, Jakara, 4.