Beberapa Definisi Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian) . Definisi L.2 (Kejadian lepas )

Transkripsi

1 33 LAMPIRAN

2 34

3 35 Beberapa Defiisi Ruag Cooh Kejadia da Peluag Suau percobaa yag dapa diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya idak dapa diprediksi dega epa eapi kia bisa megeahui semua kemugkia hasil yag mucul disebu percobaa acak. Defiisi L.1 (Ruag cooh da kejadia) Himpua semua hasil yag mugki dari suau percobaa acak disebu ruag cooh, da dioasika dega. Himpua bagia dari ruag cooh disebu kejadia. (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L. (Kejadia lepas ) Kejadia A da B disebu salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog ( ). (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L.3 (Meda- ) Meda- adalah himpua yag aggoaya merupaka himpua bagia dari yag memeuhi syara-syara beriku : (1) () Jika A maka A c. (3) Jika A 1, A,, maka. Meda- erkecil yag megadug semua selag berbeuk ( disebu meda Borel, da aggoaya disebu himpua Borel. (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L.4 (Ukura peluag) Ukura peluag P pada ruag ukura ( ) adalah fugsi P : yag memeuhi : (1) () Jika A 1,A, adalah himpua aggoa yag salig lepas yaiu uuk seiap i, j dega maka :. Tripel ( ) disebu dega ruag peluag. (Grimme ad Sirzaker 001)

4 36 Defiisi L.5 (Kejadia salig bebas) Kejadia A da B dikaaka salig bebas jika :. Secara umum, himpua kejadia { } dikaaka salig bebas, jika : uuk seiap himpua bagia J dari I. (Grimme ad Sirzaker 001) Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi L.6 (Peubah acak) Peubah acak adalah suau fugsi dega sifa bahwa { } uuk seiap. (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L.7 (Fugsi sebara) Fugsi sebara dari suau peubah acak X adalah yag didefiisika oleh (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L.8 (Peubah acak diskre) Peubah acak X disebu diskre jika himpua semua kemugkia ilai {x 1, x, } dari peubah acak ersebu merupaka himpua ercacah. (Grimme ad Sirzaker 001) Suau himpua bilaga C disebu ercacah jika C erdiri aas bilaga berhigga aau aggoa C dapa dikorespodesika 1-1 dega bilaga bula posiif. Defiisi L.9 (Fugsi massa peluag) Fugsi massa peluag dari peubah acak diskre X adalah fugsi yag diberika oleh : p(x) = P (X = x). (Grimme ad Sirzaker 001) Defiisi L.10 (Peubah acak Poisso) Suau peubah acak X disebu peubah acak Poisso dega parameer jika fugsi kerapaa peluagya diberika oleh :, uuk k= 0, 1,, (Ghahramai 005)

5 37 Nilai Harapa, Mome da Ragam Defiisi L.11 (Nilai harapa, mome da ragam) Misalka X adalah peubah acak diskre dega fugsi kerapaa peluag p(x). Nilai harapa dari X, dioasika dega E(X), adalah E(X)= Momem ke-k dega k merupaka bilaga bula posiif, dari suau peubah acak X adalah Misalka mome ke-1 dari x adalah E(X) =. Maka mome pusa ke-k aau dari peubah acak X adalah Nilai harapa dari peubah acak X merupaka mome perama dari X. Ragam (variace) dari X, dioasika dega Var (X) aau adalah ilai harapa dari kuadra perbedaa aara peubah acak X dega ilai harapaya yaiu : p(x). Ragam merupaka mome ke- dari peubah acak X. Kekovergea (Hogg e al. 005) Defiisi L.1 (Kekovergea barisa bilaga yaa) Barisa ( ) dikaaka mempuyai limi L da kia uliska aau L jika apabila seiap erdapa bilaga M sedemikia rupa sehigga jika > M maka ada, kia kaaka barisa ersebu koverge. Jika idak, kia kaaka barisa ersebu diverge. (Sewar 1999) Terdapa beberapa cara uuk megierpreasika peryaaa kekovergea barisa peubah acak. Defiisi L.13 (Kekovergea dalam peluag) Misalka X, X 1, X, adalah peubah acak dalam ruag peluag ( ). Kia kaaka bahwa barisa peubah acak X koverge dalam peluag ke X, dioasika. (Grimme ad Sirzaker 001)

6 38 Defiisi L.14 (Koverge dalam raaa ke r) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikaaka koverge dalam raaa ke-r ke peubah acak X, dega r 1, diulis r X X uuk, jika r X uuk semua r da X X 0 uuk. (Grimme da Sirzaker, 199) Defiisi L.15 (Koverge hampir pasi) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikaaka koverge hampir pasi ke peubah acak X, diulis as X X, uuk, jika uuk seiap ε > 0, lim X X 1. Dega kaa lai koverge hampir pasi adalah koverge dega peluag sau. (Grimme da Sirzaker, 199) Defiisi L.16 (Koverge dalam sebara) Misalka X 1,X, X adalah peubah acak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah acak X dikaaka koverge dalam sebara ke peubah acak X, diulis d X X, jika P(X x) P(X x) uuk, uuk semua iik x dimaa fugsi sebara F X (x) adalah koiu. (Grimme da Sirzaker, 199) Peduga da Sifa-sifaya Defiisi L.17 (Saisik) Saisik merupaka suau fugsi dari sau aau lebih peubah acak yag idak ergaug pada sau aau beberapa parameer yag idak dikeahui. (Hogg e al. 005)

7 39 Defiisi L.18 (Peduga) Misalka X 1,X, X adalah cooh acak. Suau saisik U(X 1, X,,X )yag diguaka uuk meduga fugsi parameer g( ), dikaaka sebagai peduga (esimaor) bagi g( ), dilambagka dega ( ) Bilamaa ilai X 1 =x 1, X =x, X =x, maka ilai U(X 1, X,,X ) disebu sebagai dugaa (esimae) bagi g( ) (Hogg e al. 005) Defiisi L.19 (Peduga ak bias) (1) Suau peduga yag ilai harapaya sama dega parameer, yaiu = disebu peduga ak bias bagi parameer. Jika sebalikya, peduga di aas disebu berbias. () Jika = maka )disebu peduga ak bias asimoik (Hogg e al. 005) Defiisi L.0 (Peduga kosise) Suau peduga yag koverge dalam peluag ke parameer, disebu peduga kosise bagi (Hogg e al. 005) Defiisi L.1 (MSE suau peduga) Mea Square Error (MSE) dari suau peduga U bagi parameer didefiisika sebagai beriku : MSE(U)= E(U g( )) = (Bias (U)) + Var (U), dega Bias(U) = EU - Defiisi L. (Fugsi eriegralka lokal) (Hogg e al. 005) Fugsi iesias adalah eriegralka lokal, jika uuk sembarag himpua Borel erbaas B diperoleh

8 40 Defiisi L.3 (Tiik Lebesgue) Tiik s dikaaka iik Lebesgue dari fugsi jika. (Dudley 1989) Defiisi L.4 (O(.) da o(.)) Symbol big-oh da lile-o ii merupaka cara membadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suau limi L. (1) Noasi u(x) = O(v(x)), x L meyaaka bahwa erbaas uuk x L. () Noasi u(x) = o(v(x)), x L meyaaka bahwa uuk x L. (Serflig 1980) Dega megguaka defiisi di aas kia peroleh hal beriku (1) Suau barisa bilaga yaa disebu erbaas da diulis uuk semua bilaga asli. () Suau barisa b yag koverge ke 0, uuk dapa diulis b = o(1). (Purcel da Varberg 1998) Lema ekis Lema L.1 Jika X adalah peubah acak maka uuk sembarag kosaa a da b berlaku (Ghahramai 005) Buki Dari Defiisi 11 kia bisa meuliska bahwa

9 41 = Jadi lema L.1 erbuki. Lema L. (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misalka g memiliki ilai urua ke- yag erhigga pada suau iik x, maka uuk. Lema L.3 (Keaksamaa Markov) Jika adalah peubah acak, maka uuk seiap > 0, (Serflig 1980) (Ghahramai 005) Buki: Misalka A adalah himpua ilai yag mugki dari peubah acak X da, maka Sehigga Jadi Lema 3 erbuki.

10 4 Lema L.4 (Keaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega ilai harapa μ da ragam erbaas σ maka ( X ) uuk seiap 0. (Ghahramai, 005). Buki : Karea X 0, dega keaksamaa Markov ( X ) ( X ). Oleh karea X adalah eqivale X, maka Lema L.4 erbuki. Lema L.5 (Dere-p) Dere 1 p 1 (disebu juga dere-p) koverge jika p > 1, da diverge jika p 1. Buki : liha Seawar, Lema L.6 (Teorema Limi Pusa (CLT)) Misalka X1, X,... adalah barisa peubah acak yag i.i.d (idepede ad ideically disribued) dega ilai harapa da ragam. Maka disribusi dari Z X1 X... X jika, aau dega kaa lai d Normal 0,1, X1 X... X lim Z x lim x x 1 e y dy. (Ghahramai 005) Buki: Uuk membukika Teorema Limi Pusa diperluka Teorema Kekoiua Levy, sebagai beriku :

11 43 Lema 7 (Teorema Kekoiua Levy) Misalka X1, X,... adalah barisa peubah acak dega masig-masig fugsi disribusi F1, F,... da fugsi pembagki mome M X, M, X Misalka adalah peubah acak dega fugsi disribusi F da fugsi pembagki mome MX. Jika semua ilai, MX koverge ke MX, maka iik-iik dari F yag koiu, F koverge ke F. Buki Teorema Limi Pusa: Misalka Y X, maka Y 0 da Z X1 X... X, Var Y uuk 1 koverge ke disribusi Z., aka dibukika Jika Y1, Y,... berdisribusi ideik maka YY 1,,... mempuyai pembagki mome yag sama, yaiu M. Dari kebebasa peubah acak Y1, Y,..., Y diperoleh Y1 Y... Y M Z exp M Y1 Y... Y MY M... 1 Y M Y M. (L.1) Dari Teorema Kekoiua Levy, cukup dibukika bahwa MZ koverge ke exp yag merupaka fugsi pembagki mome dari Z. Ekuivale dega meujukka bahwa

12 44 lim l MZ (L.) Misalka h maka h sehigga dari persamaa (L.1) dihasilka l M h l M Z l M h l M h, maka h h l M h lim l MZ lim. 0 h h (L.3) l M h Karea M 0 1 da lim h 0 h ilai idak eap, maka uuk meeuka ilaiya dapa diguaka aura L Hopial dua kali, sehigga diperoleh l M h M ' h M h M ' h lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 hm h M " h M " 0 lim, h 0 M h hm ' h M 0 Dega M "0 da i 0, Y maka dari (L.3) diperoleh bahwa lim l MZ. yaiu persamaa (L.). Jadi Teorema erbuki.