Pengantar Fisika Statistik

Transkripsi

1 Pgatar Fiika Statitik utuk Mahaiwa (Dilgkapi cotoh oal) Dr.Eg. Mikrauddi Abdullah, M.Si. Program Studi Fiika- FMIPA Ititut Tkologi Badug 7

2 Utuk itriku Ati, da aak-aakku ia, Fatha, da Ardi

3 Kata Pgatar Buku ii diuu utuk mmbatu mahaiwa mmahami fiika tatitik lbih mudah. Uraia dibrika rici mugki, tahap dmi tahap, higga mahaiwa dapat mgikutiya dga mudah. Mata kuliah Fiika Statitik ampai karag maih madi momok bagi bagaia bar mahaiwa. Ktidaktrdiaa buku yag mlaka matri cara rici tampakya madi alah atu pybab tradiya bottl ck ktrlambata klulua mahaiwa akibat gagal dalam mylaika mata kuliah trbut. Buku ii haya mmbaha daar-daar Fiika Statitik utuk mmbrika bkal yag mmadai bagi mahaiwa utuk mmamahi fiika tatitik laut. Maih bayak kkuraga yag mucul di aa-ii. Olh kara kritik da ara yag mmbagu dari pmbaca agat diharapka utuk mympuraka ii buku ii. Puli agat brtrima kaih kpada rka-rka ama do di Program Studi Fiika-FMIPA ITB ata dukuga yag agat mmbatu puli mylaika buku ii. Trima kaih kpada para mahaiwa doktor di Program Studi Fiika (Imam Taufiq, Fourir Dzar Elabbar Latif, da Etvau K. Hulila) yag tlah mmbatu mgumpulka oal-oal yag agat brgua utuk mlgkapi ii buku ii. Trima kaih pula kpada para mahaiwa bimbiga puli yag bayak mmbatu dalam bayak hal. Badug Juli 7 Mikrauddi Abdullah i

4 Daftar Ii Bab Pdahulua Bab Statitik Mawll-Boltzma 4. Kofigurai pyuua itm klaik 4. Kofigurai dga probabilita makimum. Harga rata-rata 6.4 Barka pluag kofigurai makimum agat bar 9 Bab Ruag Faa. Dfiii ruag faa. Elm volum ruag faa. Ergi kitik 4.4 ytm dalam ruag faa 5.5 Mghitug umlah kadaa 7.6 Mtuka.7 Volum lm ruag faa diyataka dalam momtum da lau Bab 4 Mtuka Paramtr Sttitik 4. Mtuka paramtr β 4. Bagaimaa krgatuga β pada uhu? 7 4. Mtuka β dari rgi rata-rata Mtuka paramtr α 4 Bab 5 Statitik Bo-Eiti Sifat daar boo 46 ii

5 5. Kofigurai boo Kofigurai makimum Paramtr α utuk foto da foo 55 Bab 6 Statitik Frmi-Dirac 56 Bab 7 Rapat Kadaa Sitm Kuatum Ktidakpatia Hibrg Koordiat paial atu dimi Koordiat paial dua dimi Koordiat paial tiga dimi 7 Bab 8 Bbrapa Bara Ga Lau dga pluag makimum Lau rata-rata Lau root ma quar Ditribui partikl dalam bara lai 8 Bab 9 Aplikai Statitik Mawll-Boltzma Plbara pctrum akibat fk Dopplr Atom magtic dalam mda magt 9 9. Dipol litrik Mom magtic dga tiga arah oritai Mom magtic dga arah oritai mbarag Vibrai kii dalam krital 9.7 Hoppig Pramaa difui Eiti 9.9 Priip kipartii rgi 4 iii

6 Bab Aplikai Statitik Bo-Eiti 9. Radiai bda hitam 9. Kapaita kalor krital 5 Bab Aplikai Ditribui Frmi Dirac 8. Fugi ditribui Frmi-Dirac pada uhu K 8. Ditribui Frmi-Dirac pada uhu T > K 4. Itgral yag mgadug fugi Frmi-Dirac 4.4 Ergi rata-rata lctro 48.5 Kapita kalor logam 5.6 Emii trmioik 54 Bab Trmodiamika Ga 59. Etropi 59. Fugi partii Boltzma 6. Ugkapa rgi dalam fugi partii 6.4 Ergi bba Hlmholtz 64.5 Kapaita kalor 65.6 Prhituga fugi partii klaik 65.7 Etropi ga miklaik 67.8 Fugi partii total 68.9 Fugi partii ga miklaik 7. Trafomai dari pumlaha k itgral 7. Suptibilita paramagtic kuatum 74. Molkul diatomic 79 Bab Embl Kaoik 9 iv

7 . Embl 9. Ji mbl 9. Probabilita 95.4 Sifat-ifat trmodiamika 95.5 Ergi bba Hlmhotlz 96.6 Ugkapa lai utuk tropy 99.7 Fugi partii total.8 Prapa mbl kaoik utuk ga tidak idal 4.9 Pramaa kadaa. Fluktuai rgi Bab 4 Soal da Latiha Statitik Mawll-Boltzma 6 Bab 5 Soal da Latiha Statitik Bo-Eiti 7 Bab 6 Soal da Latiha Statitik Frmi-Dirac 66 Bab 7 Soal da Latiha Etropi 9 Bab 8 Soal da Latiha Ga Riil Bab 9 Soal da Latiha Sitm dga Itraki Lmah 4 Bab Soal da Latiha Embl Kaoik 76 v

8 Bab Pdahulua Proala yag rig mucul pada kuliah fiika tatitik di prgurua tiggi adalah ktidaktrdiaa buku rfri bahaa Idoia yag mmadai. Buku trbita luar gri yag biaa diguaka bagai rfri umumya tidak mmbaha topik cara dtail. Hal ii rig myulitka mahaiwa mmahami mata kuliah trbut. Brathu-tahu kuliah ii diaarka olh do pada mahaiwa-mahaiwa fiika, proala yag ama lalu mucul. Bahka mata kuliah trbut madi alah ato bottl ck yag mmprlambat klulua mahaiwa. Cara pmahama fiika tatitik brbda dga mata kuliah fiika lai prti glombag, trmodiamik, da mkaika. Dalam fiika tatitik kita aka baragkat dari proala abtrak yag barya mrupaka baha kaia orag matmatika prti prmutai da kombiai. Fiika tatitik dapat dipadag bagai proala tatitik matmatik yag dibrika yarat bata fii, higga proala matmatika muri madi mmiliki itrprtai fii. Diprluka abtraki yag cukup tiggi utuk mmahami proala trbut. Da tidak mua mahaiwa bia mlakukaya. Sbarya ktika kita brhadapa dga kumpula partikl-partikl ga, partikl atomik atau ub atomik laiya, kita tidak bia mghidari dari tatitik. Sbab, umlah partikl yag kita kai agat bar, yaitu ordya lbih dari partikl. Tiap partikl mmiliki am variabl utuk mdkripika dga lgkap kadaa grakya, yaitu tiga koordiat ruag da tiga kompo momtum. Sagat tidak mugki mlaka diamika partikl trbut atu pr atu dga umlah partikl yag luar biaa bayak, mkipu mgguaka mua komputr yag ada di duia aat ii. Pdkata yag dibrika olh fiika tatitik adalah mlihat ifat rata-rata dari partikl-parikl trbut tapa kita haru mlihat partikl cara idividual. Kara bragkat dari prola tatitik matmati, mahaiwa rig mgalami kulita mmulai mmahami fiika tatitik. Buku-buku yag trdia karag kurag mmbrika plaa yag mdtil higga tidak mmbrika batua yag cukup brarti kpada para mahaiwa utuk mmahami kop-kop trbut. Dari tahu k tahu mahaiwa ttap mgalami kulita mmahami mata kuliah ii, kara cara aalii yag brbda dga mata kuliah fiika laiya.

9 Tuua pulia buku ii adalah mmbrika plaa yag lbih rici kpada mahaiwa ttag purua pramaa-pramaa fiika tatitik brta bbrapa aplikaiya. Rumu-rumu dituruka cara lgkap dga plaa yag rici pula dga harapa mahaiwa dapat mmahami lbih la. Sampai aat ii kita kulita mmuka rfri yag mmbrika plaa yag lbih rici ttag purua pramaa-prmaa trbut. Mahaiwa trpaka haru mlakuka uaha yag luar biaa utuk mmahami kop-kop trbut da tidak arag bayak yag apati. Kara matri buku ii haya diprutukka bagi kuliah atu mtr, maka haya daar-daar tatitik yag dapat madi modal awal bagi mahaiwa utuk mmplaari fiika tatitik laut yag dibrika. Topik utama yag dibaha mliputi putua fugi ditribui Mawll-Boltzma, Bo-iti, da Frmi Dirac. Cotoh aplikai drhaa k tiga macam tatitik trbut uga dibrika. Kop ruag faa da krapata kada dalam ruag faa klaik rta ruag faa kuatum uga dibrika, kara kduaya diguaka utuk mghitug bara-bara trmodiamika. Agar mahaiwa mmiliki pmahama awal ttag mbl, maka alah atu i mbl dibaha di ii, yaitu mbl kaoik. Pada lagkah purua ditribui Mawll-Boltzma, Bo-Eiti, da Frmi-Dirac, modal tatitik yag dibutuhka haya prmutai. Olh kara itu topik yag mmbaha paag lbar ttag prmutai da kombiai prti yag diumpai di kulaih-kuliah tatitik yag brifat matmati tidak dibrika di ii. Hal ii dimakudka utuk mguragi bba mahaiwa higga mrka bia lbih trfoku kpada aplikai fii dari tatitik trbut. Sblum mauk k purua brbagai fugi ditribui mai kita dfiiika bbrapa itilah yag diguaka dalam buku ii. Prtama kita mdfiika itm. Trmiologi itm yag diguaka pada buku ii mgacu kpada partikl-partikl. Cotohya, ika kita mmbaha ttag ga maka itm adalah atom atau molkul ga. Utuk ga mootoik, itm adalah atom ga da utuk ga diatomik maka atau yag mgadug atom lbih bayak maka itm adalah molkul ga. Jika kita mmbaha ttag lktro dalam logam maka itm adalah lktro-lktro trbut. Jika kita baha ttag radiai bda hitam maka itm adalah foto. Jika kita baha gtara kii maka itm adalah foo.

10 Itilah kdua yag aka kita guaka adalah ambli. Ambli adalah kumpulah itm-itm. Jumlah itm dalam ambli agat bayak. Ordya kitar ama dga ord bilaga Avogadro. Jumlah itm yag agat bar ii mmugkika prdiki tatitik utuk ifat ambli madi agat akurat. Igat, tatitik maki tliti ika ampl yag dilibatka maki bayak.

11 Bab Statitik Mawll-Boltzma Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Mawll-Boltzma utuk ambli yag mgadug itm (partikl) klaik. Cotoh partikl klaik adalah atom atau molkul-molkul ga. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Mawll-Boltzma dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Mawll-Boltzma mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi.. Kofigurai Pyuua Sitm Klaik Kita aka bragkat dari aumi bahwa rgi yag dimiliki itm-itm dalam ambli diaggap trdiri ata tigkat-tigkat rgi. Tigkat-tigkat rgi trbut brada dalam rtaga dari ol ampai tak brhigga. Gambar. adalah ilutrai tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli. Utuk itm klaik, prti atom ga, prbdaa rgi dua tigkat brdkata ε mdkati ol, atau i ε i. Prbdaa rgi yag mdkati ol mmiliki maka bahwa tigkat rgi itm klaik brifat kotiu. Sitm mmpati alah atu dari kadaa rgi di ata. Dalam itm klaik uga tidak ada bataa umlah itm yag dapat mmpati atu kadaa rgi. Satu kadaa rgi dapat aa koog, atau ditmpati olh atu itm, olh dua itm, da truya. Bahka mua itm brada pada atu kadaa rgi pu tidak dilarag. 4

12 ε ε - ε - ε r ε r ε r- ε 4 ε ε ε Gambar. Tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli Agar ifat fii dari ambli dapat dittuka maka kita haru mgtahui bagaimaa pyuua itm pada tigkat-tigkat rgi yag ada rta probabilita kmucula maig-maig cara pyuua trbut. Pmahama ii prlu kara ilai trukur dari bara yag dimiliki ambli ama dga prata-rataa bara trbut trhadap mua kmugkia pyuua itm pada tigkat-tigkat rgi yag ada. Cara mghitug brbagai kmugkia pyuua itm rta probabilita kmuculaya madi mudah bila tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli dibagi ata bbrapa klompok, prti diilutraika pada Gbr.. Tiap klompok mmiliki agkaua rgi yag cukup kcil. Klompok prtama mmiliki agkaua rgi Klompok kdua mmiliki agkaua rgi Klompok ktika mmiliki agkaua rgi... Klompok k- mmiliki agkaua rgi : ampai dε : dε ampai dε : dε ampai dε : (-)dε ampai dε 5

13 ... Klompok k- mmiliki agkaua rgi : ( )dε ampai d ε Ergi E M Klompok-M Ergi E Klompok- Ergi E Klompok- Ergi E Klompok- Gambar. Klompok-klompok rgi dalam ambli Satu klompok rgi mgadug umlah kadaa rgi. Jumlah kadaa rgi pada klompok yag brbda bia ama da bia brbda. Mialka umlah kadaa rgi pada tiap-tiap klompok trbut bagai brikut: Jumlah kadaa pada klompok prtama : g Jumlah kadaa pada klompok kdua : g Jumlah kadaa pada klompok ktiga : g... 6

14 Jumlah kadaa pada klompok k-... Jumlah kadaa pada klompok k- : g : g Ergi kadaa yag brbda dalam atu klompok umumya brbda. Ttapi kara prbdaa rgi kadaa yag brbda dalam atu klompok agat kcil (mdkati ol) maka kita dapat mgaumi bahwa rgi dalam atu klompok diwakili olh atu ilai rgi aa. Ergi trbut diaggap bagai rgi rata-rata kadaa dalam klompok yag bragkuta. Jadi, Ergi rata-rata klompok prtama : E Ergi rata-rata klompok kdua : E Ergi rata-rata klompok ktiga : E... Ergi rata-rata klompok k- : E... Ergi rata-rata klompok k-m : E M Mialka pada kofigurai trttu tiap-tiap klompok rgi tlah ditmpati olh umlah itm bagai brikut: Jumlah itm pada klompok rgi prtama : Jumlah itm pada klompok rgi kdua : Jumlah itm pada klompok rgi ktiga : 7

15 ... Jumlah itm pada klompok rgi k-... Jumlah itm pada klompok rgi k-m : : M Jumlah total itm dalam ambli adalah. Kara itm trbut trditribui pada mua klompok rgi maka trpuhi M (.) Ergi total ambli mmuhi U M E (.) Utuk mtuka ilai dari bara-bara yag dimiliki ambli kita haru mtuka brapa probabilita muculya maig-maig kofigurai dalam ambli. Tiap pyuua itm dalam ambli mmpuyai pluag kmucula yag pri ama. Dga dmikia, probabilita kmucula buah kofigurai badig dga umlah pyuua itm yag dapat dilakuka utuk mmbagu kofigurai trbut. Dga dmikia, mcari probabilita kmucula kofigurai dga kodii Ada itm pada klompok rgi Ada itm pada klompok rgi Ada itm pada klompok rgi. 8

16 .. Ada itm pada klompok rgi... Ada M itm pada klompok rgi M kival dga mcari brapa cara pyuua: itm pada g kadaa rgi di klompok rgi itm pada g kadaa rgi di klompok rgi itm pada g kadaa rgi di klompok rgi... itm pada g kadaa rgi di klompok rgi... M itm pada g M kadaa rgi di klompok rgi M Slautya kita aka mtuka umlah cara pyuua ytm-itm yag trbar pada tigkat-tigkat rgi di ata. Utuk makud trbut, mari kita mulai dga mgaggap mua kadaa rgi koog (tidak di tmpati itm) da di luar ada umlah itm yag aka diii pada kadaa-kadaa trbut. Di ii ada dua tahap pro yag tradi, yaitu: pro I adalah mmbawa buah itm dari luar k dalam ambli da pro II adalah myuu itm pada kmpompok-klompok rgi yag ada di dalam ambli. 9

17 Pro I: Mmbawa Buah Sitm k Dalam Ambli Mari kita hitug umlah cara yag dapat ditmpuh pada tiap pro prtama yaitu mmbawa buah itm dari luar k dalam ambli. Pro ii tidak brgatug pada kofigurai ambli. Yag trptig adalah bagaimaa mmbawa mauk buah itm k dalam ambli. Utuk mtuka umlah cara trbut, prhatika tahap-tahap brikut ii. i) Ambil atu itm dari daftar buah itm yag brada di luar ambli. Kita bba mmilih atu itm ii dari buah itm yag ada trbut. Jadi umlah cara pmiliha itm yag prtama kali dibawa mauk k dalam ambli adalah cara. ii) Stlah itm prtama dimaukka k dalam ambli maka tria - itm dalam daftar di luar. Ktika mmbawa mauk itm kduak dalam ambli kita dapat mmilih alah atu dari - buah itm dalam daftar. Jumlah cara pmiliha itm ii adalah - cara. iii) Bgitu truya. iv) Akhirya, ktika itm k- aka dimaukka k dalam ambli haya ada atu itm yag tria di luar. Tidak ada piliha-piliha yag mugki higga umlah cara mmaukka itm k- k dalam ambli adalah haya cara. v) Dga dmikia, umlah total cara mmbawa mauk buah itm k dalam ambli adalah ( ) ( )...! - Gambar. Cara mmbawa itm di luar mauk k dalam ambli

18 Pro II: Pyuua Sitm di Dalam Klompok-Klompok Ergi Slautya kita tiau pro kdua. Tahapa yag ditmpuh bagai brikut. i) Tiau klompok yag mgadug kadaa da ditmpati olh itm. Sbagai ilutrai lihat Gbr.. g g g - g Gambar. Mruka cara myuu itm pada g kadaa Ambil partikl prtama. Kita dapat mmpatka partikl ii tah di kadaa k-, kadaa k-, kadaa k-, da truya higga kadaa k- mmpatka partikl prtama pada klompok- yag mmiliki. Jadi umlah cara kadaa adalah cara. Stlah partikl- ditmpatka, kita ambil partikl. Partikl ii pu dapat ditmpatka di kadaa k-, kadaa k-, kadaa k-, da truya higga kadaa k-. Dga dmikia, umlah cara mmpatka partikl kdua uga g cara. Hal yag g ama uga brlaku bagi partikl k-, partikl k-4, da truya, higga partikl k-. Akhirya, umlah cara mmpatka partikl pada g buah kadaa adalah g g g g ( buah prkalia) g g g... g Sumlah g cara di ata cara impliit mgadug maka bahwa uruta pmiliha partikl yag brbda mghailka pyuua yag brbda pula. Padahal

19 tidak dmikia. Uruta pmiliha yag brbda dari umlah partikl yag ada tidak brpgaruh pada pyuua aalka umlah partikl pada tiap bagku ttap umlahya. Uruta pmiliha umlah partikl mghailka! macam cara pyuua. Dga dmikia, umlah riil cara pyuua partikl pada g buah kadaa haruya adalah g! Plaa yag ama uga brlaku bagi buah partikl yag diuu pada g kadaa. Jumlah cara pyuua partikl trbut adalah g! Scara umum umlah cara mmpatka partikl di dalam klompok rgi yag mgadug g kadaa adalah g! Akhirya umlah cara mditribuika cara brama-ama itm pada klompok dga kadaa, itm pada klompok dga g kadaa,.., itm pada kadaa adalah g g g M M g g g M...!!!! M g! Dga dmikia, umlah total cara mmpatka buah itm k dalam kofigurai

20 yag mgadug itm pada klompok dga kadaa, itm pada g klompok dga g kadaa,.., itm pada klopmok dga g kadaa adalah W g! (.) M! Kita tiau ambli yag triolai dari ligkuga. Tidak ada prtukara partikl maupu rgi atara ambli da ligkuga. Dga dmikia, umlah itm da rgi total U yag dimiliki ambli kota. Akibatya, M δ δ (.4) M δ U E δ (.5). Kofigurai Dga Probabilita Makimum Skarag kita mcari kofigurai yag mmiliki probabilita kmucula palig bar. Kita mgaggap bahwa kofigurai yag dibtuk olh itm-itm dalam ambli yag mghailka bara makrokopik adalah kofigurai dga probabilita makimum trbut. Cara yag dilakuka adalah mcari kumpula dmikia higga W makimum. Ttapi kara W mrupaka prkalia umlah faktor maka aka lbih mudah ika kita mmakimalka makimum maka W pu makimum. Kita prolh lw. Kara ika lw l W l! l M! g g g l! l! g...! M M M! g g g l! l l... l!! M M M!

21 M g! l! l { } M g! l l! l { M g! l l! l } } (.6) Kara baik maupu mrupaka bilaga-bilaga yag agat bar maka utuk mmprmudah prhituga kita dapat mgguaka pdkata Stirlig bagai brikut! l l l l higga kita dapatka btuk approkimai { M g W l l l l (.7) Dga dmikia, difrial dari madi lw { } M g W l l l l δ δ δ δ { } M g g l l l l δ δ δ δ δ M g l l δ δ δ δ { } M g l l δ δ 4

22 { } M g δ l l M g δ l (.8) Kara kita haru mrapka yarat bata kkkala rgi da umlah partikl, maka olui utuk dicari dga mrapka prgali Lagrag bagai brikut l U W βδ αδ δ (.9) Subtitui pramaa (.4), (.5), da (.8) k dalam pramaa (.9) diprolh l M M M E g δ β δ α δ yag dapat didrhaaka madi l M E g δ β α (.) Kara kodii ii brlaku utuk ilai brapapu maka haru trpuhi l E g β α E g α β l ( ) E g α β p yag mghailka ugkapa utuk bagai 5

23 ( α βe g p ) (.) Jadi kofigurai yag mmiliki pluag kmucula palig bar adalah yag mmiliki umlah itm pada tiap klompok rgi yag mmuhi pramaa (.). Gambar.4 adalah ilutrai yag mgambraka umlah partikl yag mmpati brbagai klompok rgi. ( M,g M,E M ) M g M p(αβe M ) (,g,e ) (,g,e ) g p(αβe ) g p(αβe ) (,g,e ) g p(αβe ) Gambar.4 Jumlah partikl yag mmpati tiap klompok rgi. Harga Rata-Rata Bayak kali kofugurai yag diprbolhka ktika mmpatka itm k dalam M klompok rgi. Cotoh kofugarai trbut adalah mua itm mmpati klompok rgi prtama dagka mua klompok rgi laiya koog, atau mua klompok ditmpati olh itm dalam umlah yag ama bayak, da bagaiya. Tiap kofigurai mmiliki pluag kmucula yag brbda-bda. Pluag kmucula trbar tradi pada kofigurai yag mgadug ytm pada tiap klompok rgi 6

24 yag mmuhi pramaa (.). Mialka X adalah alah atu ifat buah ambli. ilai X yag kita ukur mrupaka prata-rataa ilai X pada mua kofigurai yag mugki. Mialka ilai X brta pluag kmucula kofigurai dilukika pada Tabl.. Tabl. ilai X brta probabilita kmuculaya Kofigurai k-i ilai X Probabilita kmucula X(kofig-) P(kofig-) X(kofig-) P(kofig-) t X(kofig-t) P(kofig-t) R X(kofig-R) P(kofig-R) Prlu diprhatika di ii bahwa umlah kofigurai yag mugki tidak ama dga umlah itm atau umlah klompok rgi dalam ambli. ilai rata-rata X mmuhi hubuga X X ( kofig ) P( kofig ) X ( kofig ) P( kofig )... X ( kofig R) P( kofig R) P( kofig ) P( kofig )... P( kofig R) R X ( kofig t) P( kofig t) t R t P( kofig t) (.) Prhituga ilai X di ata agat ulit. amu apabila kita dapat muukka bahwa alah atu kofigurai yag mugki, yaitu kofigurai dga probabilita makimum, 7

25 mmiliki ilai yag auh lbih bar daripada probabilita kofigurai-kofigurai laiya, maka prhituga madi agat drhaa. Mialka P ( kofig t) P mak da trpuhi yarat-yarat brikut ii: P ( kofig ) << P ( kofig ) <<... P ( kofig R) << P mak P mak P mak maka X ( kofig ) P( kofig ) X ( kofig ) P( kofig )... X ( kofig R) P( kofig R) X ( kofig mak) P mak da P( kofig ) P( kofig )... P( kofig R) P mak Dga dmikia X X ( kofig mak) Pmak X ( kofig mak) (.) P mak Apa implikai pramaa (.)? Implikaiya agat bar, yaitu ilai rata-rata ifat ambli ama dga ilai ifat trbut pada kofigurai dga probabilita trbar. Krumita prata-ataa trhadap mua kofigurai yag mugki mucul tlah dirduki cara dratik haya dga mghitug ilai pada kofigurai makimum. Ii adalah hail yag luar biaa. 8

26 .4 Barka pluag kofigurai makimum agat bar Yag madi prtayaa kita adalah barkah probabilita dga kofigurai makimum mmiliki ilai yag agat bar daripada kofigurai laiya. Jika ya, brarti kita dapat mgguaka pramaa (.) bahwa ilai rata-rata ifat ambli ama dga ilai pada kofigurai makimum. amu ika tidak maka pydrhaaa yag kita impika tidak trwuud. Pada bagia ii kita aka prlihatka bahwa probabilita kofigurai makimum bbar-bar mmilkiki ilai yag auh lbih bar daripada kofigurai laiya. Mari kita uraika lw dga drt Taylor di kitar lwmak lw M M d lw lw lwmak δ δδq... (.4) d, q q, mak, makq, mak Kara W haya fugi variabl aa maka lw q δ, q d lw d (.5) Dga δ, q adalah dlta Krockr. Dga dmikia kita dapatka btuk aprokimai utuk lw lw M M d lw lwmak δ δ, d, q, mak q d lw d, mak q, mak δ δ q... M M d lw d lw lwmak δ... δ (.6) d d, mak, mak Pada titik makimum trpuhi 9

27 M d lw d, mak δ (.7) higga lw l M Wmak d lw d, mak δ... (.8) Dga mgguaka pramaa (.7) kita aka dapatka d lw d M ( l g l ) d lw d d q M d l g dq d l d q d M M d q δ, q q atau d lw d lw (.9) d d d Dga dmikia prmaaa (.8) dapat dituli madi lw lwmak δ M... W l W mak M δ... (.) Jika kita aumika bahwa utuk mua ilai pyimpaga umlah itm pada tiap klompok rgi trhadap umlah itm dalam kofigurai makimum ama maka

28 δ ξ higga diprolh W l W l mak W W mak M ξ ξ M... ξ Atau W Wmak p( ξ / ) (.) Sbagai ilutrai, mialka raio dviai umlah ytm pada tiap-tiap klompok rgi trhadap umlah pada kofigurai makimum adalah ξ -. Ii adalah raio pyimpaga yag agat kcil. Jumlah itm dalam uatu ambli ord dga bilaga Avogadro, atau. Dga ilai ii maka W W mak p ( / ) p( 5) Jadi dga raio dviai ξ - kali kofigurai makimum, probabilita pluag kofigurai trbut hampir ol. Hal ii mmbuktika bahwa ilai ifat ambli pada kofigurai makimum ama dga ilai rata-rata ifat ambli.

29 Bab Ruag Faa Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag ruag faa, yaitu ruag yag mgadug koordiat poii da momtum. Kadaa grak buah bda barya lbih lgkap diyataka dalam koordiar ruag faa kara koordiat trbut klagu mmbrika iformai ttag poii da momtum partikl kaligu. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami apa itu ruag faa, bagaimaa mcari volum ruag faa, da mtuka krapata kadaa dalam ruag faa. Mahaiwa uga mahir dalam mlakuka traformai krapata kadaa dari variabl momtum k variabl rgi. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu ii. Tidak ada pgtahua pdahulua yag lbih khuu utuk mmahami ii bab. Dfiii Ruag Faa Sblum mauk lbih auh utuk mcari bara-bara fii uatu ambli, mari kita dikuika atu i ruag yag diamaka ruag faa. Ruag faa adalah ruag yag dibtuk olh ruag paial da ruag momtum atau ruah paial da ruag kcpata. Kita prlu mmahami ruag faa kara barya kadaa ytm tatitik yag tlah da aka kita baha adalah kadaa ytm trbut dalam ruag faa. Mialka kita mmiliki buah partikl. Poii partikl dapat ditragka dga lgkap olh tiga koordiat ruag, yaitu, y, da z. Ttapi poii aa tidak lgkap mdkripika diamika partikl. Kita uga mmrluka iformai ttag kcpata partikl trbut. Kcpata partikl dapat didfiiika dga lgkap olh tiga koordiat kcpata, yaitu v, v, da v. Dga dmikia, diamika buah partikl y z dapat dilaka cara lgkap olh am buah koordiat, yaitu tiga koordiat ruag:,

30 y, da z, rta tiga koordiat kcpata: v, v, da v. Kita dapat mggabugka y z am koordiat trbut dalam atu ugkapa, yaitu, y, z, v, v, v ). ( y z Kara momtum mrupaka prkalia maa da kcpata, yaitu r v p m maka altratif lai utuk mdkripika diamika partikl cara lgkap adalah mmbrika tiga koordiat paial da tiga koordiat momtum. Dalam dkripi ii, diamika partikl dapat dilaka dga lgkap ika tiga koordiat paial da tiga koordiat momtum dapat dittuka. Kam koordiat trbut digabug dalam atu ugkapa, y, z, p, p, p ). ( y z z p z y p y p Gambar. Ilutrai koordiat ruag faa. Ruag yag dirptaika olh koordiat poii aa dibut ruag paial. Ruag yag diugkapka olh koordiat momtum aa dibut ruag momtum. Ruag yag dirprtaika olh gabuga koordiat ruag da da momtum dibut ruag faa.. Elm volum ruag faa Jika ruag faa dibagu olh ruag paial tiga dimi da ruag momtum tiga dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: dv ddydy

31 Elm volum ruag momtum adalah: dv p dpdp ydp Elm volum ruag faa madi: dγ dv dv ddydzdp dp p z y dp z Jika ruag faa dibagu olh ruag paial dua dimi da ruag momtum dua dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: ds ddy Elm volum ruag momtum adalah: ds dp p dp y Elm volum ruag faa madi: dγ ds ds ddydp dp p y Jika ruag faa dibagu olh ruag paial atu dimi da ruag momtum atu dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: dx d Elm volum ruag momtum adalah: dp dp p Elm volum ruag faa adalah: dγ dx dp ddp p Prhatika bahwa yag dimakud lm volum pada plaa di ata bia brmaka umum. Utuk kau tiga dimi, yag dimakud lm volum adalah lm volum yag umumya kita kal. Utuk kau dua dimi, yag dimakud lm volum adalah lm lua, dagka utuk kau atu dimi, yag dimakud lm volum adalah lm paag. dalam ruag faa yag dibatai olh kordiat-. Ergi Kitik Tiau lm kcil volum koordiat brikut ii: Atara ampai d Atara y ampai y dy Atara z ampai z dz Atara ampai p dp p Atara p y ampai p dp y y 4

32 Atara pz ampai p dp z z Volum ruag faa lm trbut adalah d Γ ddydzdp dp y dp z (.) Di dalam lm volum trbut, kompo momtum partikl adalah p, p y, da p z. Dga dmikia, rgi kitik partikl yag brada dalam lm volu m trbut adalah ( v v ) ([ mv ] [ mv ] [ mv ] ) E mv m v y z y ( p p p ) m y z (.) m z.4 Sitm Dalam Ruag Faa Di ata kita baha haya atu itm dalam ruag faa. Bagaimaa ika trdapat itm? Tiap itm aka mmiliki 6 koordiat faa yag bba yag trdiri dari koordiat ruag da koordiat momtum. Koordiat itm prtama, ) (, y, z p, p y, pz Koordiat ytm kdua (, y, z, p, p, p y z... da truya. Jika ytm prtama brada pada lm volum yag dibatai olh kordiatkoordiat brikut ii Atara ampai d Atara y ampai y dy Atara ampai z dz z ) 5

33 Atara p ampai p dp Atara p y ampai p y dpy Atara p z ampai p z dp z maka volum lm ruag faa yag madi lokai itm trbut adalah dγ ddydzdpdp ydpz Dga cara yag ama maka aka kita prolh lm volum ruag faa yag ditmpati itm kdua adalah dγ ddydzdpdp ydpz da truya. Dari hail ii maka kita dapatka lm total ruag faa yag ditmpati olh buah itm adalah d Γ d dy dz dp dp dp d dy dz dp dp dp... d i i i d dy dz dp i i dp y iy dp z iz y z dy dz dp dp y dp z i dγ i (.) Di dalam lm ruag fa trbut, rgi maig-maig itm adalah ( p p p ) E y m z ( p p p ) E y m... z 6

34 ( p p p ) E y m z Dga dmikia rgi total ytm yag mmpati ruag faa dalam prama (.) adalah E E E... E E i i i m ( p p p ) i iy iz (.4).5 Mghitug Jumlah Kadaa Pada purua fugi ditribui kita udah mmbagi rgi ata klompokklompok rgi dari kmlompok k- higga klompok k- M. Tiau buah itm dga rgi E ( p p p ) / m. Pulia rgi di a ta dapat dibalik bagai brikut y z p p y pz ( me ) (.5) Badigka pramaa (.5) dga pramaa utuk bola brikut ii X Y Z R (.6) Pramaa (.5) da (.6) pri ama. Pada pramaa (.5), yag brpra bagai ari-ari adalah me. Ii brarti, dalam koordiat momtum, ilai-ilai p, p y, da p yag mmbrika E yag kota adalah yag brada pada prmukaa bola z dga ari-ari me. Satu kulit bola mwakili atu ilai rgi. Maki bar ari-ari bola maka maki bar rgi yag dimiliki itm yag brada pada kulit bola momtum trbut. 7

35 p z me p y p Gambar. Bola pada ruag momtum. Jari-ari bola adalah me Jika kita bagi rgi ambli ata klompok-klompok rgi maka tiap klompok aka diwakili olh kulit bola dga ktbala t rttu. Mari kita ambil lm volum pada kulit bola dga ari-ari me da ktbala d ( me ). Lua kulit bola trbut adalah ( me ) πme S p 4π 8 (.7) Tbal kulit bola adalah d m ( me ) m d( E ) m E / de E / de (.8) Dga dmikia, volum kolit bola adalah dv p S pd ( me ) 8

36 m / / ( m) 8π me E de π E / de (.9) p z d( me ) me p y p Gambar. Elm volum dalam ruag momtum brupa kulit bola Volum ruag faa yag ditmpati olh itm momtum rta dalam lm volum paial dv ddydz adalah yag brada pada kulit bola dγ ddydz π / ( m) / E de (.) Volum ruag faa yag ditmpati olh itm pada mua ruag paial, ttapi ttap brada dalam kulit bola momtum diprolh dga mgitgralka pramaa (.) pada lm ruag paial. Hailya adalah Γ p πv ddydz π / ( m) / E de / ( m) / E de (.) 9

37 dga V ddydz ambli itu diri. adalah volum total ruag paial yag tidak lai mrupaka volum Kita blum mgtahui brapa krapata kadaa dalam ruag faa. Utuk mtara kita mgaggao krapata kadaa trbut adalah B. Jumlah kadaa dalam lm ruag faa Γ ama dga volum ruag faa dikali krapataya, yaitu p B Γ p ( ) / de πvb m E / (.) Jika klompok-klompok rgi yag kita bagu di dalam ambli diwakili olh kulit bola maka kita dapat myamaka g dalam pramaa (.) dga pramaa (.). Akhirya, kita dapatka ugkapa utuk g bagai B Γ p pada / / ( m) E de g πvb (.).6 Mtuka Stlah mgtahui btuk g dalam fugi kotiu yaitu yag trtuag dalam pramaa (.), lautya kita aka mtuka dalam btuk kotiu uga. Dalam btuk dikrit, hubuga atara da g adalah g α β E (.) Pada pramaa di ata, adalah umlah itm di dalam ambli. Skarag kita mdfiika karapat itm, yaitu umlah itm pr atua rgi. Utuk krapata ytm kita gubaka ymbol (E). Dga dmikia, umlah itm dalam kulit bola y ag dibatai olh rgi E da E de adalah E) de. Dga mggati dga da krapata kadaa dalam btuk kotiu bagai brikut ( E) de da g dg a pramaa (.) kita dapatka hubuga atara umlah itm (

38 ( E) de πvb ( m) / α β E / α βe ( m) / E de E / πvb de (.4).7 Volum Elm Ruag Faa Diyataka Dalam Momtum da Lau Pramaa (.) myataka lm volum ruag faa diyataka dalam variabl rgi. Kita uga dapat myataka lm volum trbut dalam variabl momtum atau lau. Kita mulai dari hubuga E p / m higga E / / p (.5) m de pdp (.6) m Subtitui pramaa (.5) da (.6) k dalam lm ruag faa diyataka dalam momtum bagai brikut. pramaa (.) diprolh ugkapa Γ π V p m / m ( m) / p pdp 4πVp dp (.5) Mgigat hubuga atara momtum da lau p mv maka dp mdv. Kokuiya, kita dapat muli lm ruag faa dalam koordiat poii bagai brikut, Γp 4πV ( mv ) (mdv) 4πVm v dv (.6)

39 g Dga mgguaka pramaa (.6) B Γ 4πBVm v dv da krapata kadaa madi p maka kita dapatka ( v) dv g 4πBVm v (4πBVm α βe dv α ) v α β ( mv mv / kt / ) dv (.7) Hail yag kita prolh di ata aka rig kita umpai pada bab-bab brikutya, khuuya aat mlakuka traformai dari pumlaha dikrit k itgral kotiu.

40 Bab 4 Mtuka Paramtr Statitik Ii Bab Ii Bab ii brii ptua paramtr α da β yag trdapat dalam fugi ditribui Mawll-Boltzma. Paramtr-paramtr trbut tlah diprkalka utuk mampug kkkala rgi da umlah partikl yag dimiliki ambli. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa mtuka paramtr α da β dalam fugi ditribui Mawll-Boltzma da alaa-alaa yag diguaka dalam pro ptua paramtr-paramtr trbut. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Pmahama ttag ii Bab da Bab agat ptig utuk mgikuti plaa dalam bab ii. Juga pmahama ttag kop tropi yag diplaari di trmodiamika rta daar priip kipartii rgi yag diplaari pada ga idal uga agat mmbatu dalam mmahami ii bab ii. 4. Mtuka Paramtr β Ktika mcari kofigurai dga probabilita trbar, kita mmprkalka dua pgali Lagrag, yaitu α da β utuk mgakomodai yarat bata bahwa umlah itm da rgi ambli haru kota. Prtayaa brikutya adalah adakah maka fii paramtr-paramtr trbut? Iilah yag kita baha karag. Sudah kita tuukka bahwa umlah itm yag mmpati klompok rgi dga rgi rata-rata E da mgadug kadaa bayak g mmuhi pramaa α βe (.) yaitu g. Scara fii kita myakii bahwa tidak mugki ada itm yag mmiliki rgi tak brhigga. Olh kara itu ika E maka harulah. Ii haya mugki trpuhi ika paramtr β brilai gatif. Lalu, brgatug pada bara apakah β?

41 , T, T, T E, T Gambar 4. Dua buah ambli triolai digabug tlah mmbuka maig-maig atu iiya. Pada bata dua ambli diiika prtukara rgi ttapi tidak diiika prtukara partikl Stlah mgtahui bahwa ilai paramtr β haru gatif mari kita mcari btuk kpri dari paramtr trbut. Utuk mmprmudah mari kita tiau dua ambli triolai da brada pada uhu yag ama T. Kamaa uhu brmaka k dua ambli brada dalam ktimbaga trmal. Ambli prtama mmiliki itm da ambli kdua mgadug itm. Kmudia alah atu ii maig-maig ambli dilpa da dua ambli dikotakka pada ii yag dilpa trbut. Stlah dikotakka dua ambli madi buah ambli baru yag ttap triolai dari ligkuga. Mialka pada prmuka kotak dua ambli dipaag didig dmikia rupa higga tidak ada prtukara itm atara dua ambli amu prtukara rgi diprbolhka. Akibatya, blum da udah dua ambli diatuka, umlah partikl di ambli kiri maupu ambli kaa tidak brubah. Ttapi rgi yag dimiliki maig-maig ambli awal bia brubah (lihat Gbr. 4.). 4

42 Kara ambli gabuga triolai dari ligkuga maka prtukara rgi atar dua ambli awal tidak mgubah rgi total ambli gabuga. Dga pryarata di ata kita dapatka bbrapa kotrai brikut ii kota (4.) kota (4.) U U U E kota (4.) E Apabila kita yataka dalam btuk difrial, pramaa (4.) ampai (4.) brbtuk δ δ (4.4) δ δ (4.5) δ U E δ Eδ (4.6) Sblum k dua ambli digabug maka umlah pyuua itm pada kadaa-kadaa rgi di maig-maig ambli mmuhi W! g! (4.7) W! g! (4.8) Ktika dua ambli digabug maka probabilita pyuua itm-itm pada ambli gabuga trbut mrupaka prkalia probabilita pyuua pada maigmaig ambli awal, yaitu W W W 5

43 atau bila diugkapka dalam otai logaritma madi l l l W W W (4.9) Kita aka mcari kofigurai dga probabilita makium dga mmprhatika tiga kotrai pada pramaa (4.4) ampai (4.6). Ii myaratka pgala tiga pgali Lagrag α, α, da β. Syarat makimum mmuhi pramaa l U W βδ δ α δ α δ (4.) Dga mgguaka pramaa (4.9) maka l l l W W W δ δ δ W W l l δ δ (4.) Subtitui pramaa (4.4), (4.5), (4.6), da (4.) k dalam pramaa (4.) diprolh l l E E W W δ δ β δ α δ α δ δ yag dapat didrhaaka madi l l E W E W δ β α δ β α (4.) Agar pramaa (4.) lalu trpuhi utuk variai δ da δ brapa pu maka uku dalam kurug pada haru ol, atau 6

44 lw lw α βe (4.) α βe (4.4) Prama (4.) da (4.4) mgadug β yag ama. Ii mgiyaratka bahwa ika β mrupaka fugi paramtr trmodiamika maka paramtr yag mtuka β harulah yag tidak brubah blum da udah dua ambli digabug. Paramtr trbut haya uhu. Sblum da udah dua ambli digabug uhuya ama. Jadi kita impulka bahwa β haya mrupaka fugi uhu, atau β β (T ) (4.5) 4. Bagaimaa Kbrgatuga β Pada Suhu? Stlah kita mgtahui bahwa β mrupaka fugi uhu maka lagkah lautya adalah mtuka kbrgatuga β trhadap uhu. Utuk makud mari kita lihat ambli pada Gbr. 4. brikut ii. Di dalam ambli kita ltakka buah pmaa yag dapat muplai kalor k dalam ambli. dq Gambar 4. Kalor diuplai k dalam ambli 7

45 Ergi dalam yag dimiliki ambli adalah U. Jika k dalam ambli dibrika tambaha kalor dq maka kalor aka mgubah rgi dalam ambli da mlakuka kra pada ambli trbut. Hubuga atara prubaha rgi dalam, kalor yag dibrika da kra yag dilakuka mmuhi hukum II trmodiamika, yaitu du dq dw. Dga mgguaka dfiii dw pdv maka du dq pdv (4.6) Kara ada kmugkia volum ambli brubah ktika myrap kalor maka tigkat rgi dalam ambli uga mugki brubah. Akibatya, rgi rata-rata itm dalam atu klompok rgi, yaitu E, uga mugki brubah higga cara umum trpuhi δ E. Dga dmikia. Mgigat U E maka cara umum dalam btuk difrial dari U adalah δ U δe (4.7) Eδ Bagaimaa hubuga prama (4.6) da (4.7)? Maih igat plaara fiika modr aat mmbaha partikl kuatum yag trpragkap dalam kotak (umur potial)? Di itu dibaha bahwa tigkat rgi partikl dalam kotak brgatug pada ukura kotak. Maki bar ukura kotak maka tigkat-tigkat rgi maki rapat da madi kotiu ktika ukura kotak muu tak brhigga. Klakua rupa uga dapat ditrapka di ii. Ktika dalam ambli diuplai kalor, prubaha tigkat rgi dalam ambli mata-mata dibabka prubaha ukura paial ambli. Jadi, prubaha tigkat rgi dalam ambli, yaitu δ E mrupaka kotribui dari prubaha ukura ambli. Dga dmikia, korlai atara pramaa (4.6) da (4.7) madi bagai brikut: Suku prtama pada pramaa (4.7) mrupaka kotribui dari pmbria kalor 8

46 Suku kdua dalam pramaa (4.7) mrupaka kotribui dari prubaha volum ambli. Dga dmikia kita dapat mgambil kimpula brikut ii Eδ δq (4.8) δ E pdv (4.9) Jika kita mgaggap bahwa didig ambli agat tgar higga tidak tradi prubaha volum pada aat pyrapa kalor δ Q maka δ U δq (4.) Dga dmikia, yarat kofigurai dga probabilita makimum madi δ l W αδ βδq (4.) Utuk ambli yag triolai, umlah itm tidak brubah higga δ. Akibat dari pmbataa trbut maka pramaa (4.) madi δ l W βδq atau δ l W βδq (4.) Igat lw mrupaka buah fugi higga δ lw mrupaka difrial ati, yaitu mrupaka liih dua ilai brdkata. Ttapi δ Q buka mrupaka difrial ati. δ Q tidak dapat diyataka bagai liih dua ilai dari uatu fugi. Dga dmikia tampak bahwa rua kiri da kaa prmaaa (4.) tidak koit. Agar koit maka rua kaa pu haru mrupaka difrial ati. Dalam plaara trmodiamika, udah dibaha bahwa δ Q bia diubah madi difrial ati ika dibagi dga uhu. Jadi, walaupu δ Q buka difrial ati ttapi δ Q / T mrupaka 9

47 difrial ati. Di trmodiamika dibaha bahwa δ Q / T mrupaka buah bara trmodiamika yag brama tropi. Dga dmikia, agar rua kaa pramaa (4.) madi difrial ati maka harulah β / T. Da kara kita muukka bahwa β brharga gatif, maka btuk umum β bagai fugi uhu maadi β (4.) kt dga k buah kotata. ati aka kita buktika bahwa k tidak lai daripada kotata Boltzma. 4. Mtuka β dari Ergi Rata-Rata Cara lai mtuka paramtr β adalah mgguaka kop rgi rata-rata yag dituruka mgguaka tori kitik ga idal. Satu atom atau molkul ga yag haya mlakuka grak tralai dalam tiga arah koordiat ruag mmiliki rgi kitik rata-rata E kt (4.4) dga T uhu mutlak da k kotata Boltzma. Kita bia mdapatka rgi ratarata trbut dga mgguaka kop krapata kadaa yag tlah kita plaari pada bab trdahulu. Mari kita lakuka di ii. Dalam Bab kita udah muruka umlah partikl yag brada dalam agkaua rgi atara E ampai E de adalah ( E) de πvb ( m) / α βe / E de Ergi rata-rata partikl dapat diyataka dalam btuk 4

48 E E( E) de ( E) de E / ( ) / α βe π VB m E de πvb( m) πvb βe βe E E / / ( m) de de / α βe E / de πvb / α ( ) / α m βe βe E E / / de de (4.5) Mari kita laika itgral pada pada pramaa (4.5) dga mlihat pmbilag trlbih dahulu. Utuk mylaika itgral trbut kita mialka β E de d (4.6a) / E y (4.6b) Dga mlakuka itgral pada dua ii pramaa (4.6) diprolh β βe da dga mlakuka difrial pada pramaa (4.6b) diprolh dy E / de Slauta kita mgguaka atura ratai utuk itgral yd y dy. Dga atura ii maka kita dapat muli bagia pmbilag pramaa (4.5) bagai 4

49 βe E / de β βe E / β βe E / de β β / β β / β E / βe de (4.7) Kara β gatif maka β da muu ol lbih cpat daripada mmbarya / higga prkalia β /. Dga ifat ii maka uku prtama di ii kaa pramaa (4.7) yaitu yag brada di dalam kurug iku ilaiya ol da itgral pmbilag di pramaa (4.5) madi / βe / βe E de β E de (4.8) Subtitui pramaa (4.8) k dalam pramaa (4.5) didapatka rgi rata-rata ytm madi E βe βe E E / / de de β βe βe E E / / de de β Kara rgi rata-rata ii haru ama dga kt / maka / β kt / higga diprolh ugkapa utuk β β kt 4

50 yag pri ama dga pramaa (4.). Hail ii pu mmbuktika bahwa k barbar mrupaka kotata Boltzma kara braal dari ugkapa rgi rata-rata ytm. 4.4 Mtuka Paramtr α Stlah mgtaui ugkapa utuk g, kita iap mtuka paramtr pgali Lagrag α. Kita mulai dari hubuga g α β E. Slautya kita lakuka pumlaha utuk mua yag mugki α βe g α g βe Pumlaha di rua kiri adalah umlah total itm. Jadi α g βe (4.9) gati g Mari kita fokuka pada uku pumlaha di rua kaa pramaa (4.9). Kita dga btuk kotiu yag dibrika olh pramaa (.). Pumlaha lautya digati dga itgral pada mua agkaiau rgi yag mugki, yaitu daru E ampai E. Btuk itgral yag dimakud adalah α / βe / π VB E de ( m) ( ) / α m βe π VB E / de (4.) Utuk mylaika itgral (4.) mari kita mdfiiika β E y higga y E, (4.a) β 4

51 da de dy, (4.b) β E / / y β β / y / (4.c) Dga mubtitui pramaa (4.a) ampai (4.c) maka uku itgral di rua kaa pramaa (4.) madi βe E / / y / de y β dy β / y β y / dy / Γ β di maa Γ() adalah fugi gamma. Dapat dibuktika cara aalitik (walaupu agak paag) da uga udah ditablka bahwa ( / ) π / Γ higga / β / π E E de (4.) β Akhirya, ubtitui pramaa (4.) k dalam (4.) diprolh / / α π π VB ( m ) (4.) β Kara kita udah mmbuktika β / kt maka πvb / ( m) α ( kt ) / π 44

52 VB α ( πmkt ) / higga paramtr α α VB ( πmkt ) / atau α l (4.4) / VB( πmkt ) Higga aat ii kita udah lgkap mtuka paramtr-paramtr fugi ditribui klaik yag mula mrupaka pgali Lagrag yag diprkalka utuk mmprhitugka umlah partikl kota da rgi total kota. 45

53 Bab 5 Statitik Bo-Eiti Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Bo-Eiti utuk ambli boo, yaitu partikl kuatum dga pi mrupaka klipata bulat dari boo adalah foto, foo, da atom hlium. h / π. Cotoh partikl Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Bo-Eiti dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Bo-Eit mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag tidak dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi. Pmahama ttag purua ditribui Mawll- Boltzma uga mrupaka modal brharga utuk mmahami purua ditribui Bo- Eiti cara lbih mudah. 5. Sifat Daar Boo Pyuua partikl yag kita baha pada bab blumya brlaku utuk partikl dapat dibdaka. Partikl macam ii ikal dga partikl klaik. Cotoh partikl klaik adalah atom da molkul ga. Dapat dibdaka di ii buka brarti kita dapat mlihat dga mata tlaag bahwa ika ada dua partikl maka kita dapat mmbdaka maa partikl A da maa partikl B. Dga mata tlaag atau bahka dga mikrokop pu kita tidak dapat mmbdaka atu partikl dga partikl laiya. Dapat dibdaka di ii haya dari udut padag tori (kop). Jika ada dua patikl yag mmiliki rgi brbda diprtukarka maka kita mgagap aka mdapatka pyuua yag baru. 46

54 Kalau kita mlagkah k partikl ub atomik prti proto da lktro maka ifat dapat dibdaka hilag. Prtukara dua partikl yag mmpati tigkat rgi brbda tidak mghailka i pyuua baru. Dikataka partikl-partikl ii tidak trbdaka. Sifat partikl ub atomik yag tidak dapat dibdaka dapat dipahami dari kop glombag partikl. Paag glombag d Brogli partikl-partikl trbut mmuhi λ h / mv dga m maa partikl da v lau partikl. Kara m utuk partikl ub atomik agat kcil maka paag glombag λ cukup bar. Paag glombag yag bar mybabka fugi glombag dua partikl yag brdkata tumpag tidih (brimpita). Kalau dua fugi glombag tumpag tidih maka kita tidak dapat lagi mmbdaka dua partikl yag mmiliki fugi-fugi glombag trbut. Kodii balikya diumpai pada partikl klaik prti molkul-molkul ga. Maa partikl agat bar higga λ agat kcil. Akibatya tidak tradi tumpag tidih fugi glombag partikl-partikl trbut, higga cara priip partiklpartikl trbut dapat dibdaka. Aka kita lihat ati bahwa pada uhu yag agat tiggi partikl ub atomik brprilaku prti partikl klaik. Pada uhu yag agat tiggi kcpata partikl agat bar higga paag glombagya agat kcil. Akibatya, tumpag tidih glombag partikl-partikl madi hilag da partikl madi trbdaka. Sitm kuatum yag aka kita baha ada dua macam yaitu boo da frmio. Boo adalah itm yag mmiliki pi klipata bulat dari h / π. Sitm ii tidak mmuhi priip klui Pauli higga atu tigkat rgi dapat ditmpati olh partikl dalam umlah brapa pu. Sbalikya, frmio mmiliki pi yag mrupaka kalipata gail dari / ( h / π ). Sitm ii mmuhi priip klui Pauli. Tidak ada dua partikl atau lbih yag mmiliki kadaa yag ama. 5. Kofigurai Boo Mari kita mulai dga muuruka tatitik utuk boo. Statitik ii diamaka tatitik Bo-Eiti. Agar dapat mtuka fugi ditribui Bo-Eiti, kita trlbih dahulu haru mtuka kofigurai dga probabilita palig bar. Kofigurai ii mmiliki probabilita yag auh lbih bar daripada kofigurai- 47

55 kofigurai laiya higga ahmpir luruh waktu itm boo mmbtuk kofigurai trbut. Sifat rata-rata ambli dapat diaggap ama dga ifat pada kofigurai makimum trbut. Kita ttap mmbagi tigkat rgi itm-itm dalam ambli ata M klompok bagai brikut: Klompok- mmiliki umlah kadaa Klompok- mmiliki umlah kadaa... Klompok- mmiliki umlah kadaa da rgi rata-rata g E da rgi rata-rata g E g da rgi rata-rata E... Klompok-M mmiliki umlah kadaa g M da rgi rata-rata EM Kita aka mtuka brapa cara pyuua yag dapat dilakuka ika: Ada itm di klompok- Ada itm di klompok- Ada Ada M itm di klompok- itm di klompok-m 48

56 Mari kita tiau klompok- di maa trdapat kadaa da itm. Mari g kita aalogika atu kadaa bagai buah kuri da atu itm diaalogika bagai buah bda yag aka diltakka di kuri trbut. Satu kuri dapat aa koog atau mampug bda dalam umlah brapa aa. Utuk mghitug umlah pyuua bda, kita dapat mlakukaya bagai brikut. Lihat Gbr. 5.. Pyuua- Pyuua- Pyuua- Gambar 5. Pyuua bda da kuri aalog dga pyuua boo dalam tigkat-tigkat rgi. Utuk mrprtaika itm boo, bagia palig bawah haru lalu kuri. Dari Gbr 5., apa pu cara pyuua yag kita lakuka, yag brada di uug bawah lalu kuri kara bda haru diagga olh kuri (itm haru mmpati tigkat 49

57 rgi). Olh kara itu, ika umlah total kuri adalah g maka umlah total kuri yag dapat diprtukarka haya g kara alah atu kuri haru ttap di uug bawah. Brama dga partikl bayak, maka umlah total bda yag dapat diprtukarka dga ttap mmuhi ifat boo adalah ( g ) g. Akibatya, umlah cara pyuua yag dapat dilakuka adalah g )!. ( Kara itm boo tidak dapat dibdaka atu dga laiya, maka prtukara ama partikl da ama kuri tidak mghailka pyuua yag brbda. Jumlah pyuua bayak g )! cara impliit mmprhitugka umlah prtukara ( atar partikl da atar kuri. Jumlah prtukara atar partikl adalah! da umlah prtukara atar kuri adalah g!. utuk boo di dalam g kadaa hayalah Olh kara itu, umlah pyuua yag brbda ( g )! (5.)!! g Hal yag ama brlaku utuk klompok- yag mgadug g kadaa dga populai itm. Jumlah cara pyuua yag brbda ytm-it, k dalam kadaa-kadaa trbut adalah ( g )! ( 5.)!! g Trakhir higga kmpok rgi k-m, umlah cara pyua yag brbda utuk i tm dalam g M kadaa adalah M ( g M! g M M M )!! (5.) 5

58 Akhirya, umlah total cara pyuua yag brbda cara bramaa itm di dalam g kadaa, itm di dalam g,., M itm dalam g M kadaa adalah ( g )! ( g! g!! g )! ( g...!! g M M M M )!! M! g! ( g )! (5.4) Kita haru uga mmprhitugka umlah cara mmbawa itm dari luar utuk diditribuika k dalam tigkat-tigkat rgi di ata. Jumlah cara pgambila ytm adalah! cara. Kara itm tidak dapat dibdaka maka umlah trbut haru dibagi dg a!, higga umlah total cara mmbawa itm k dalam tigkat-tigkat rgi di dalam ambli adalah!/!. adalah Akhirya, kita dapatka umlah pyuua itm-itm dalam ambli boo W M! g! ( g )! (5.5) 5. Kofigurai Makimum Slautya kita aka mtuka kofigurai dga pluag kmucula palig bar. Ambil logaritma rua kiri da kaa pramaa (5.5) l W l M M l! g!! g! ( g )! ( g )! M ( g ) l l! l! l g! (5.6) Kmudia kita guaka pdkata Stirlig utuk mlakuka pydrhaaa bagai brikut 5

59 l( g )! ( g )l( g ) ( g ) l g! g l g l! l g Dga pdkata trbut maka pramaa (5.6) madi l W M [ ( g )l( g ) ( g ] ) g l g g l (5.7) Jumlah total itm rta rgi total ambli mmuhi M da U M E. Utuk ambli yag triolai higga tidak ada prtukara itm maupu rgi atara ambli da ligkuga. Jumlah itm maupu rgi ambli kotat. Pmbataa ii dapat diyataka dalam btuk difrial brikut ii M δ δ (5.8) M δu E δ (5.9) Kofigurai dga probabilita makimum diprolh dga mmakimumka l W. Dga mmprhatika kotrai pada pramaa (5.8) da (5.9) maka kofigurai dga probabilita makimum mmuhi δ l W αδ βδu (5.) Slautya dga mgambil difrial pramaa (5.7) kita prolh 5

60 [ M g g g W ) ( ) )l( ( l δ δ δ ] g g g δ δ δ δ l l (5.) Mari kita hitug uku pr uku yag trkadug dalam pramaa (5.). i) g g g g δ δ ) )l( ( ) )l( ( [ ] g g g g δ δ ) l( ) ( ) ( ) l( g g δ δ δ ) ( ) ( ii) l l g g g g δ δ iii) [ ] δ δ δ δ l l l l iv) Pramaa (5.) lautya madi [ ] [ ] M g W l ) l( l δ δ δ δ δ [ ] M g l ) l( δ M g l δ (5.) ara da maka K >> g >> g g higga pramaa (5.) dapat didrhaaka lbih laut madi M g W l l δ δ (5.) 5

61 Subtitui pramaa (5.8), (5.9), da (5.) k dalam prama (5.) diprolh l M M M E g δ β δ α δ atau l M E g δ β α (5.4) amaa di ata haru brlaku utuk mua variai K δ. Ii diami ika bagia di dalam kurug lalu ol, yaitu l E g β α atau ( ) E g α β p ( ) E g β α p ( ) [ ] p E g β α Da akhirya didapatka ugkpa utuk umlah populai pada tiap-tiap tigkat rgi bagai brikut ( ) p E g β α (5.5) 54

62 Tryata utuk ambli boo, paramtr β uga brbtuk β / kt. Dga dmikia, btuk lgkap fugi ditribui Bo-Eiti utuk ambli boo adalah p g ( α E / kt ) (5.6) 5.4 Paramtr α Utuk Photo da Phoo Kita prhatika utuk paramtr α pada pramaa (5.6). Ada atu kkhuua utuk ambli foto (kuatiai glombag lktromagtik) da foo (kutiai gtra atom dalam krital) da ii brimplikai pada ilai padamtr α. Dalam uatu kotak, foto bia dirap atau diciptaka olh atom-atom yag brada pada didig kotak. Akibatya, umlah foto dalam atu ambli tidak haru ttap. Jumlah foto bia brtambah, ika atom-atom di didig mmacarka foto da bia brkurag ika atomatom di didig myrap foto. Utuk itm macam ii pmbataa bahwa umlah total itm dalam ambli kota barya tidak brlaku. Pada purua fugi ditribui Bo-Eiti kita tlah mgaumika bahwa umlah itm dalam ambli lalu ttap, yaitu δ. Kotrai ii dimaukka dalam pramaa dga mmprkalka faktor pgali Lagrag α. Olh kara itu, agar kotrai ii tidak dibrlakuka utuk ambli dga umlah itm tidak ttap, prti foto atau foo maka ilai α haru diambil ol. Dga ilai ii maka fugi ditribui utuk itm macam ii madi g (5.7) p ( E / kt ) Fugi ditrubui yag diugkapka olh pramaa (5.7) aka kita pakai cara lagug ktika mmbaha ifat tatitik foto da foo (gtara kii). Aplikai-aplikai trbut aka kita baha dalam Bab. 55

63 Bab 6 Statitik Frmi-Dirac Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Frmi-Dirac utuk ambli frmio, yaitu partikl kuatum dga pi mrupaka klipata gail dari h / 4π. Partikl ii mmiliki atu ifat kha, yaitu mmuhi priip klui Pauli. Bradarka priip ii maka tidak ada frmio yag bolh mmiliki kumpula bilaga kuatum yag ama. Satu kadaa rgi haya bolh ditmpati makimum olh dua frmio dga yarat arah pi haru brlawaa. Cotoh partikl frmio adalah lktro, proto, da poitro. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Frmi-Dirac dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Frmi-Dirac mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag tidak dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi. Pmahama ttag purua ditribui Mawll- Boltzma rta Bo-Eiti uga mrupaka modal brharga utuk mmahami purua ditribui Frmi-Dirac cara lbih mudah. 6. Kofigurai Frmio Kita udah muruka fugi ditribui utuk itm kuatum boo yag mmpuyai ifat bahwa bilaga kuatum pi mrupaka klipata bulat dari h / π. Pada bagia ii kita aka muruka fugi ditribui utuk itm kuatum frmio dga bilaga kuatum pi mrupaka klipata gail dari h / 4π. Salah atu ifat yag dimiliki frmio adalah trpuhiya priip klui Pauli. Tidak bolh lbih dari 56

64 atu frmio mmiliki kadaa kuatum yag ama. Satu kadaa haya bolh koog atau haya ditmpati olh atu frmio. Kokui dari priip kklui Pauli adalah umlah frmio haru lbih dikit atau ama dga umlah kadaa. Ii brbda dga itm klaik atau boo di maa tidak ada pmbataa umlah partikl yag mmpati kadaa trttu. Brapa pu umlah kadaa yag trdia, maka kadaa trbut dapat mampug partikl klaik maupu boo yag umlahya brapa pu. Utuk muruka fugi ditribui Frmi-Dirac kita pu aka mmulai dga mmbagi kadaa-kadaa ata klompok-klopok bagai brikut: Klopok- mgadug Klopok- mgadug Klopok- mgadug... kadaa dga rgi rata-rata g E kadaa dga rgi rata-rata g E g kadaa dga rgi rata-rata E Klopok-M mgadug... g M kadaa dga rgi rata-rata EM Jumlah itm yag mmpati maig-maig kadaa mialka itm mmpati kadaa- itm mmpati kadaa-... itm mmpati kadaa

65 M itm mmpati kadaa-m Kara atu kadaa makimum mampug atu itm maka haru trpuhi g, g,, g,, M g M. Slautya kita aka mtuka brapa cara myuu itm pada kadaa, itm pada g kadaa,, itm pada g kadaa. Tiau klompok-. Di ii ada kadaa da mampug itm. Kmbali kita g mgaalogika kadaa bagai kuri da itm bagai bda yag aka ditmpatka pada kuri-kuri trbut, prti diilutraika pada Gbr. 6.. M g M Pyuua- Pyuua- Pyuua- Gambar 6. Cotoh pyuua frmio aalog dga pyuua kuri. Sbagia kuri ditmpli bda (kadaa yag diii frmio) da bagia kuri koog (kadaa yag tidak ditmpati frmio). 58

66 Utuk mtuka umlah cara mmpatka bda pada kuri-kuri trbut, kita tmplka bda pada kuri-kuri tbut. Pada atu kuri haya bolh ditmplka atu bda. Pmpla ii mami bahwa tidak bolh lbih dari atu bda brada pada atu kuri. Akibatya kita dapatka: Ada buah kuri yag ditmpli bda Ada g buah kuri yag koog. Kmudia kita mlakuka prmutai mua kuri yag ada baik yag koog maupu yag ditmpli bda. Kara bda udah mmpl pada kuri maka prmutai tidak mmugkika muculya atu kuri yag mampug lbih dari atu bda. Jumlah kuri yag diprmutai adalah g kuri higga mghailka umlah prmutai bayak g! cara. Ttapi, kara ( g ) buah kuri koog tidak trbdaka da buah kuri yag ditmpli bda uga tidak dapat dibdaka maka umah prmutai g buah kuri haru dibagi dga prmutai ( g ) buah kuri koog da buah kuri yag ditmpli bda utuk mdapatka pyuua yag brbda. Jadi, uml ah pyuua yag brbda hayalah ( g g! )!! (6.) Dga cara yag ama kita daptka umlah cara pyuua itm pada g kadaa adalah ( g g! )!! (6.) Bgitu truya. Akhirya, umlah total cara pyuua cara brama-ama itm pada kadaa, itm pada g kadaa,, itm pada g kadaa adalah g M M 59