BAB III PENAKSIR DERET FOURIER. Dalam statistika, penaksir adalah sebuah statistik (fungsi dari data sampel

Transkripsi

1 BAB III PENAKSIR DERET FOURIER 3. Peaksi Dalam saisika, peaksi adalah sebuah saisik (fugsi dai daa sampel obsevasi) yag diguaka uuk meaksi paamee populasi yag idak dikeahui (esimad) aau fugsi yag memeaka model sampel ehadap himpua aksia sampel. Peaksia adalah hasil aplikasi dai fugsi ehadap sampel khusus dai daa. Bayak peaksi yag bebeda yag dapa diguaka uuk seiap paamee yag dibeika. Bebeapa kieia diguaka uuk memilih diaaa peaksi, walaupu dalam kebayaka kasus kieia esebu idak dapa diguaka dega mudah uuk memilih sau peaksi ehadap peaksi laiya. 3. Peaksi Dee Fouie Misalka dibeika pasag pegamaa (, ),(, ),...,(, ) umum hubuga egesiya dapa dimodelka sebagai beiku: y y y secaa y f + ε,,, (3.) dega ε adalah adom eo yag idak bekoelasi dega mea 0 da vaias σ da f adalah fugsi egesi yag idak dikeahui da fugsi yag aka diaksi. 6

2 7 Misalka diasumsika bahwa f L [ a b] yag meupaka uag Hilbe sehigga f dapa diyaaka sebagai kombiasi liea ak behigga dai fugsi, basis { x }. Misalka { } meupaka sisem ooomal legkap pada L [ a b ], da uuk f L [ a b], yag didefiisika oleh β f,, dega β pada pesamaa β f, disebu sebagai koefisie-koefisie Fouie yag memeuhi ideias Paseval yaiu: maka f ( ) dapa diyaaka sebagai: β f (3.) f β x (3.3) sehigga model pada pesamaa (3.) meadi: y β x + ε,,, (3.4) sehigga, daa megikui model liea dega ak higga bayakya koefisie egesi yag idak dikeahui. Kaea β < da β meuu ol, maka edapa bilaga bula sedemikia sehigga fugsi f dapa didekai dega: f β x (3.5) oleh kaea iu, model pada pesamaa (3.4) meadi: y β x + ε,,, (3.6)

3 8 model ii miip sepei model liea, sehigga cukup bealasa uuk mecoba megguaka ekik ifeesial pada model liea dalam hal ii. Misalka diasumsika,,..., adalah iik-iik yag beaak sama pada [, ] a b, maka aka diaksi koefisie-koefisie Fouie yag idak dikeahui yag memiimumka Mea Squae Eo dega elebih dahulu meeuka ilai yag opimal. Pemiliha dai aka mempegauhi sebeapa mulus aau kasa peaksi esebu. Biasaya ilai opimal ebesa aka meghasilka peaksipeaksi yag medekai kepada iepolasi(, y ) daipada ilai ekecil sehigga peaksi esebu aka cedeug kasa. Didefiisika maiks secaa spesifik diasumsika { },,..., x x (3.7),,..., [ a, b ] [ 0,] (3.8) da kaea secaa keseluuha beada pada uag [ 0, ], maka,,, (3.9) Uuk meaksi ilai f haus dieuka model liea yag memua beuk fugsi sius da cosius. Kaea fugsi ekspoesial dapa diyaaka dalam beuk sius da cosius, maka sisem ooomal legkap dai L [ 0,] didefiisika sebagai fugsi : i x e π, 0, ±, (3.0)

4 9 Dega megguaka meode Leas Squae, aka dipeoleh dega uggal peaksi uuk β yaiu: y β x + ε ε y β x ε y x β ( ε ) ε ( ε ) ( y x β ) ( y x β ) (( y ) β x )( y x β ) β β + β β y y y x x y x x β β + β β y y y x x y x x + y y β x y β x y β x x β β β β y y x y + x x (3.) kaea pisip dai meode Leas Squae adalah memiimumka umlah kuada, maka: ε 0 β ε β 0 x y + x x β 0 x y + x x β x y + x x β

5 30 x x β x y β x x x y Dimaa y meupaka veko obsevasi da (3.) x meyaaka aspose kompleks kouga dai x. Sehigga peaksi dee Fouie uuk f ( ) adalah : dega { } x x. (3.3) f β x ( ) Dugaa peaksi dee Fouie uuk y dapa diulis dega oasi maiks, yaiu π Eleme dai maiks x { e i } x f x (3.4) πi( ) πi( + ) πi e e L e πi( ) πi( + ) π i e e L e M M M M πi( ) πi( + ) πi e e e L β dega ukua ( ) + adalah : da x π ( ) π ( ) π ( ) i i i e e L e π i( + ) π i( + ) π i( + ) e e L e M M M M πi π i πi e e L e Dega megguaka defiisi baisa ooomal, maka dapa dieuka eleme-eleme dai (3.)

6 3 x x π π ( ) π i i i e e L e πi( + ) πi( + ) πi( + ) e e L e M M M M πi πi πi e e L e π ( ) π ( + ) π e e L e π i( ) π i( + ) e e L e M M M M π i( ) π i( + ) e e L e i i i π i π i 0 L L M M M M 0 0 L 0 L L M M M M 0 0 L ( x x ) I (3.5) x y π ( ) π ( ) π ( ) i i i e e L e y πi( + ) πi( + ) π i( + ) e e e y L M M M M M π i πi πi e e L e y π ( ) π ( ) π ( ) i i i e y + e y + L+ e y π ( ) π ( ) π ( ) e y + e y + L+ e y i + i + i + e y + e y + L+ e y πi π i πi M i y e π (3.6) Dega demikia eleme-eleme dai (3.) meadi : β i y e π (3.7)

7 3 sehigga dipeoleh peaksi dee Fouie uuk f ( ) yaiu: πi f β e (3.8) i i π π y e e (3.9) Dai pesamaa (3.8) da (3.9), maka peaksi dee Fouie pada pesamaa (3.8) dapa diuliska kembali sebagai beiku: β e (3.0) π i ( ) f dega,,, da i Fugsi f ( ) aka mempuyai kompoe iil da imaie secaa beuu-uu, dimaa keduaya adalah fugsi beilai iil. Kompleks kouga dai β didefiisika oleh β ( ), dega: a β + β ( ) b i β + β ( ) ilai-ilai dai a da b dieuka dega megguaka pesamaa ix cos + si da e cos( x) i si ( x) ix e x i x pesamaa (3.8) dapa diyaaka dalam beuk fugsi sius da cosius yaiu: + a β β ( ) πi π i y e + y e

8 33 πi πi y e + y e ( cos π + si π ) + ( cos( π ) si ( π )) y i y i ( y cos π + y i si π ) + ( y cos( π ) y i si ( π )) y cos( π ) + i si ( π ) + cos ( π ) isi ( π ) y cos( π ) y ( ) (3.) cos π ( ) b i β + β ( ) i y e y e π i πi πi πi i y ( e e ) i y cos ( π ) isi ( π ) cos( π ) i si ( π ) i y i si ( π ) y si ( π )

9 34 y ( ) (3.) si π ( ) sehigga beuk peaksi uuk f ( ) adalah : ( ) πi f β e ( ) πi πi( ) β e + β e πi πi( ) β 0 + β e + β ( ) e ( cos isi ) ( ) cos( ) i si ( ) 0 β + β π + π + β π π ( ) ( ) β 0 + β + β ( ) cos π + i β β si π β 0 + a cos( π ) + b si ( π ) β 0 + a cos( π ( ) ) + b si ( π ( ) ) (3.3) sehigga peaksi dee Fouie uuk f ( ) adalah : f ( ) β 0 + a cos( π ( ) ) + b si ( π ( ) ) (3.4) dimaa : a β + β ( ) cos π ( ) y

10 35 b i β + β ( ) si π ( ) y 3.3 Pemiliha Paamee Peghalus ( ) Pemiliha paamee peghalus saga peig dalam medapaka peaksi kuva egesi opaameik. Besaya ilai paamee peghalus ( ) yag diguaka aka mempegauhi kemulusa kuva yag dihasilka. Dalam sub bab ii aka dibahas bagaimaa caa medapaka paamee peghalus ( ) yag opimal. Meode yag aka diguaka adalah meode GCV. Paamee peghalus yag opimal dipeoleh dega memiimumka GCV ( ), dimaa GCV ( ) diumuska sepei pada pesamaa (.44). sehigga beuk peaksi dee Fouie yag elah dipeoleh pada pesamaa (3.0) dapa diulis sebagai : ( ) f H y (3.5) maiks H ( ) dapa dipeoleh dega caa mesubsiusi pesamaa (3.4) ke dalam pesamaa (.38). Sehigga aka dipeoleh: ( ) H y x β ( ) H y x x x x y ( ) H y y x x x x y y ( ) ( ) ( ) H y y y y x x x x y y y y ( ) H x x x x

11 36 x I x x x (3.6) H ( ) dapa diulis dalam beuk maiks yaiu : H ( ) πi( ) π i( + ) πi πi( ) πi( ) πi( ) e e L e e e L e i i π i π π + i i i( e π + π + π + ) e e L e e L e M M M M M M M M πi( ) πi( + ) πi πi πi πi e e e L e e L e Dega megguaka defiisi baisa ooomal, maka eleme-eleme dai maiks H ( ) adalah: H ( ) + + L L + M M M M ( + ) ( + ) L ( + ) L ( + ) ( + ) ( + ) L M M M M ( + ) ( + ) ( + ) L (3.7) Dai pesamaa (3.7) dipeoleh ace H ( ) Sehigga kieia GCV meadi: GCV ( ) ( ( )) y f x { ( ( I ) ( H ))} +.

12 37 ( ( )) y f { ( ( + ) )} ( ( )) y f x { ( + ) } (3.8) Dalam hal ii paamee peghalus ( ) opimal dipeoleh dega memiimumka ilai GCV aau dega memilih dega ilai GCV yag miimum. 3.4 Algoima 3.4. Meeuka Nilai Paamee Peghalus yag Opimal Dega Kieia GCV. Lagkah-lagkah yag dilakuka uuk meeuka lai paamee peghalus yag opimal dega meggguaka kieia GCV adalah :. Medefiisika vaiabel espo y da vaiabel pediko. Meeuka fugsi f ( ) yag aka diguaka 3. Meghiug ilai paamee peghalus dega kieia GCV GCV ( ) ( ( )) y f x I ( H ) (3.9) 4.Seelah ilai paamee peghalus dipeoleh, masukka ilai paamee peghalus awal da ilai paamee peghalus akhi

13 38 5. Bedasaka lagkah di aas dipilih ilai GCV miimum. Nilai yag besesuaia dega ilai GCV miimum adalah ilai yag opimal 3.4. Meeuka Nilai Taksia Dega Megguaka Peaksi Dee Fouie. Lagkah-lagkah yag dilakuka uuk meeuka ilai aksia dega megguaka peaksi dee Fouie adalah :. Medefiisika vaiabel espo y da vaiabel pediko. Memasukka ilai yag opimal dega kieia GCV 3. Meghiug ilai f ( ) β 0 + a cos( π ( ) ) + b si ( π ( ) ) 4. Ulagi lagkah ke-3 uuk semua ilai