Estimasi Parameter. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul 1 Esimasi Parameer Dr. Suawanir Darwis P PENDAHULUAN roses sokasik S,,, S adalah koleksi peubah acak S dengan menyaakan indeks waku,. Kumpulan semua nilai S yang mungkin, dinamakan sae space. Suau proses sokasik dinamakan proses Markov aau ranai Markov (Markov chain) jika proses ersebu memenuhi sifa Markov (Markov propery). Sifa Markov menyaakan bahwa prediksi sisem saa 1 hanya dienukan oleh sae proses pada saa. P S i, dan peluang Suau ranai Markov dienukan oleh disribusi awal, ransisi aau, pij p i j. Peluang ransisi ij p merupakan parameer proses Markov. Jika parameer suau proses idak dikeahui, parameer ersebu harus diesimasi berdasarkan daa empirik. Meode kuadra erkecil (leas squares) merupakan salah sau meode unuk mengaasi masalah esimasi parameer. Dalam modul ini akan dibahas penerapan meode kuadra erkecil dalam esimasi parameer peluang ransisi suau ranai Markov. Pembahasan dibaasi pada kasus ranai Markov wo-sae (wo-sae Markov chain). Dalam sampling sekuensial, primary sampling uni (psu) dilakukan beruruan dan informasi dari psu digunakan unuk memodifikasi desain sampling. Misalkan suau daerah D diparisi dalam N N grid dan masingmasing iik bernilai 1 aau 1. Sampling pada daerah D idak mungkin dilakukan karena kombinasi parisi sebanyak N N. Suau meode berdasarkan ranai Markov dikembangkan unuk mengaasi sampling pada suau grid spaial (plane sampling). Seelah mempelajari modul ini, secara umum diharapkan Anda dapa memodelkan suau fenomena sokasik melalui pendekaan ranai Markov.

2 1. Meode Sekuensial Secara khusus Anda diharapkan dapa: 1. Memahami dan memberikan conoh realisasi (melalui simulasi) ranai Markov. p aau p i, j dan mariks peluang ransisi. Menghiung peluang ransisi ij (marik sokasik) P. 3. Membua graf berarah suau ranai Markov. 4. Memahami represenasi vekor suau ranai Markov. 5. Menuliskan ranai Markov dalam benuk model linear. 6. Menaksir parameer peluang ransisi melalui meode kuadra erkecil. 7. Menaksir peluang ransisi suau ranai Markov melalui abel koningensi O. 8. Menenukan disribusi sasioner.

3 SAS44/MODUL P roses sokasik Kegiaan Belajar 1 Esimasi Peluang ransisi Ranai Markov S S,, dengan S,,,, dan barisan peubah acak (correlaed random variables) dengan sae space diskri. 1,,. Proses merupakan ranai Markov (Markov chain) Andaikan jika proses memenuhi sifa Markov. pij 1, i P S m 1 j S m i P S 1 j S i pij, m,1,, j Conoh 1.1 Peluang ransisi p ij. Dua koak A dan B berisi m bola. Pada saa S, m S bola. Pada menyaakan banyaknya bola di koak A. Koak B berisi 1, diambil sau bola dari m bola secara acak dan dipindahkan ke koak lain. enukan peluang ransisi pij PS 1 j S i. Misalkan pada saa, koak A berisi i bola, S i, dan pada saa 1 koak A berisi j bola, S 1 j. Pada saa 1, S 1 j i 1 (bola erambil dari koak A) aau S 1 j i 1 (bola erambil dari koak B). Karena proses pengambilan dilakukan secara acak, maka i m, j i 1 (bola erambil dari koak A) m i pij, j i 1 (bola erambil dari koak B) m, lainnya Conoh 1. wo-sae Markov chain. Misal elepon pada saa, S menyaakan sae suau pesawa S jika sedang S jika pesawa elepon bebas dan 1 digunakan; sae space,1. Andaikan dalam suau selang waku,

4 1.4 Meode Sekuensial peluang erjadi sambungan adalah p. Jika pesawa elepon sedang akif, perminaan sambungan berikunya akan diolak. Jika pesawa sedang akif, peluang pesawa elepon bebas pada selang berikunya adalah q. Deskripsi di aas memberikan mariks ransisi 1 p P q p 1 q Conoh 1.3 Random Walk. Misal S menyaakan posisi suau bola sepanjang iik diskri,1,, N. Pada 1 bola berpindah sau langkah, ke kanan dengan peluang p dan ke kiri dengan peluang 1 p. Jika bola berada di boundary, N, bola bergerak ke arah dalam dengan peluang 1. Peluang ransisi diberikan oleh, p pn N p i, i 1 (bola berpindah sau langkah ke kanan) p i, i 1 1 p, i 1,, N 1 (bola berpindah sau langkah ke kiri) p,1, 1 1 (bola bergerak ke arah dalam) Conoh 1.4 Curah hujan (rainfall). Misal S menyaakan keadaan cuaca (hujan aau S adalah idak hujan) pada hari. Sae space dari ranai Markov,, 1, = {Hujan, idak hujan). Daa pengamaan selama.437 hari memberikan mariks frekuensi ransisi beriku: Keadaan cuaca idak hujan Hujan Jumlah 1 idak hujan Hujan Jumlah.437

5 SAS44/MODUL aksiran peluang ransisi Conoh 1.5 Proses Bernoulli. Misal S1, S, barisan peubah acak Bernoulli dengan PS 1 p dan PS 1 p q. Koleksi peubah acak S 1 dinamakan proses Bernoulli. 1. uliskan deskripsi proses. Konsruksi suau barisan proses Bernoulli Jawab. 1. Sae space, 1, index wakuse 1,,. Sampel barisan proses Bernoulli diperoleh melalui lanunan maa uang dengan hasil H = head, = ail. Jika H = 1 dan =, diperoleh suau realisasi barisan Bernoulli. Maa uang S H H H H H H Mariks Ρ pij dinamakan mariks peluang ransisi (mariks ransisi aau mariks sokasik). Mariks P memenuhi syara normalisasi P1=1, 1 1,1,, 1. Mariks ransisi ranai Markov direpresenasikan melalui graf dengan verex menyaakan sae dan direced edge i, j menyaakan peluang ransisi dari sae i ke sae j. Conoh 1.6 1,, 3, dan mariks ransisi Sae space

6 1.6 Meode Sekuensial P Gambar 1.1. Graf Berarah unuk Mariks ransisi P Simulasi ranai Markov. Misal 1,, 3 dan P S 1 a, P S b, dan PS 3 c, a b c 1. Generae suau ranai Markov S dengan disribusi awal PS i 1 3, 1 3, 1 3. Proses simulasi dilakukan sebagai beriku: Generae bilangan acak uniform p U, 1. Jika pa, S 1, jika a p a b, S, jika a b p a b c, S 3. Misal dikeahui bilangan acak u1.49, u.156, u.146, u.951, u.644 dan mariks ransisi, P

7 SAS44/MODUL Proses simulasi dilakukan sebagai beriku: P S i 1 3, 1 3, 1 3, diperoleh a b c 1 3. karena u1, 49, maka S. p j 1, 7 1, 1 1, diperoleh a 1, b 7 1, c 1 1. Karena u,156 a, maka proses 1. Dengan disribusi awal. Proses berada pada sae. Karena berpindah dari sae ke sae 1; S Proses berada pada sae 1. Karena p a b c 1 j 4 1, 5 1, 1 1, dan u3.146 a, maka proses berada pada sae 1; S 1. Jika proses ierasi dilanjukan, diperoleh barisan realisasi ranai Markov: S, S 1, S 1, S 3, S 3, S, aau disingka :, 1, 1, 3, 3,, u a, b, c u a a u a b a b u ab c S.49 1/3, 1/3, 1/3 Ya /1, Ya 1 7/1, 1/ /1, 5/1, 1/1 Ya /1, Ya 3 5/1, 1/ /1, 4/1, /1 Ya /1, 4/1, /1 Ya Conoh 1.7. Simulasi ranai Markov. Dikeahui suau ranai Markov dengan sae 1,,3, disribusi awal PS i 1 3, 1 3, 1 3 dan mariks ransisi.

8 1.8 Meode Sekuensial 1 P Simulasi suau ranai Markov jika sampling dari disribusi uniform U, 1 memberikan barisan bilangan: Simulasi dilakukan melalui abel beriku abel 1.1. u a, b, c u a a u a b a b u ab c S.59 1/3, 1/3, 1/3 Ya Ya Ya Ya Ya Ya Ya Ya Ya 1 Diperoleh realisasi proses berupa barisan bilangan:, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1. erliha proses erperangkap di sae 1. Misalkan S ranai Markov dengan sae space 1,,, N dan mariks perluang ransisi p11 p1 p1 N p1 p pn P pij, pij 1, i j pn1 pn p NN

9 SAS44/MODUL Suau ranai Markov direpresenasikan melalui : dan model linear 1,,,,, jika S 1,1,,,, jika S,,,,1, jika S N Pξ ;, 1, E 1 1 Conoh 1.8 Represenasi ranai Markov S dengan vekor biner S suau ranai Markov dengan sae space 1, S, S 1, S memiliki represenasi, 1 Conoh , 1, 1 1 S Represenasi ranai Markov. Misal sae space 1,, 3. represenasi, Conoh 1.1. Misal. Realisasi proses suau ranai Markov dengan Realisasi proses S 3, S1 1, S memiliki , 1, S Represenasi ranai Markov. Misal sae space 1,, 3. represenasi, suau ranai Markov dengan Realisasi proses S, S1, S 1 memiliki

10 1.1 Meode Sekuensial 1 1, 1 1, Conoh 1.11 Komponen vekor represenasi. Misal S suau ranai Markov 1 dengan sae space,1, dan vekor represenasi. Realisasi 3 proses S, S1, S 1 memiliki represenasi , 1 1, 1 1 dan barisan komponen 1 perama : 1, 11 1, 1. Proses penenuan komponen vekor represenasi realisasi ranai Markov diringkas dengan abel: Realisasi Vekor represenasi 1 1 S Komponen perama vekor represenasi Komponen kedua vekor represenasi Komponen keiga vekor represenasi Conoh 1.1 S Komponen vekor represenasi. Misal suau ranai Markov 1 dengan sae space, 1 dan vekor represenasi. Komponen vekor represenasi dapa diperoleh melalui proses abulasi:

11 SAS44/MODUL S erliha bahwa 1 1 Conoh 1.13 Perkalian mariks peluang ransisi dengan vekor represenasi. Misal S peluang ransisi suau ranai Markov dengan sae space, 1 dan mariks P P P P11 P1 Realisasi S 1, S1 1, S memiliki represenasi 1 1 1, 1,. Perkalian dengan P memberikan: P P1, dan P Unuk ranai Markov dengan dua sae (liha conoh di aas), dan mariks ransisi,,1,, p P 1 p 1 p 11 p 11 1, 1 p11 1 p 1, 1, 1 Persamaan 1P 1 menjadi., 1 1 p11 p,, 1 Barisan perama memberikan persamaan

12 1.1 Meode Sekuensial 1 p 1 p p 1, , 1 Unuk menyederhanakan, ulis 1, 1 1, 1,1 p c, dan 11 1 p p, persamaan menjadi;,,1, 1 c 1 Subsiusi,1,,, menghasilkan c 1 1 c c 1 1 Dengan noasi mariks dan vekor, diperoleh c ulisan persamaan di aas sebagai; Y X aksiran kuadra erkecil dan diberikan oleh 1 XX XY Conoh 1.14 Regresi sederhana Y 1 X. Vekor Y dan mariks X diberikan oleh

13 SAS44/MODUL y1 1 x1 y 1 x Y, X y n 1 x n dan Sehingga n x y i i X X, X Y xi x i xy i i 1 1 xi x i X X n x x xi n i 1 1 xi x y i i X X X Y 1 n xi xi xi n xy i i aau Kemudian dengan i i n xi yi xi yi 1, y 1 x n x x i c Y, X, 1 1

14 1.14 Meode Sekuensial diperoleh X X X X 1 1 1, X Y dan 1 cˆ 1 1 X X X Y , 1 cˆ abel beriku memperlihakan proses kompuasi penaksiran parameer dan c

15 SAS44/MODUL Conoh 1.15: Esimasi Parameer Dikeahui komponen vekor represenasi ranai Markov S,, 1 1,, 9 adalah Proses abulasi memberikan: = dan 9 9 c ˆ

16 1.16 Meode Sekuensial Conoh 1.16 abel koningensi. Dikeahui komponen vekor represenasi ranai Markov S,, 1 1,, 9 adalah Proses abulasi memberikan 1 ransisi (,) (,1) (1,) (1,1) 1 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 1 x x x = Mariks frekuensi ransisi O Conoh 1.17 o11 o1 5 1 O 1 o1 o 1 Esimasi peluang ransisi. Misalkan wo-sae ranai Markov dengan 1, 1, S 1, S S, dan mariks peluang ransisi p11 p1 p11 1 p11 P p p 1 p p 1

17 SAS44/MODUL Misal O oij i j,, 1,, dengan oij frekuensi ransisi dari sae i ke sae j. Mariks O dinamakan mariks ransiion coun (mariks frekuensi ransisi) dari barisan S, S1,, S. Dengan menuliskan elemen mariks ransisi O. o O o o 11 1 o 1 aksiran peluang ransisi pˆ o, pˆ o11 o1 o1 o o LAIHAN 1) Dikeahui suau ranai Markov dengan sae space, 1 dan mariks ransisi P enukan peluang ransisi p, p11, p1, p 1! ) Dikeahui ranai Markov dengan sae space 1,, 3 dan mariks ransisi Unuk memperdalam pemahaman Anda mengenai maeri di aas, kerjakanlah laihan beriku!.4..4 P enukan peluang ransisi pi, j, i, j 1,,3!

18 1.18 Meode Sekuensial 3) Banyaknya pesera pada hari S,, suau maa kuliah diklasifikasikan dalam iga kaegori: 1 = kurang dari pesera, = anara sampai 4,3 = lebih dari 4 pesera. Daa harian pesera memberikan mariks ransisi. 1 1 P Visualisasikan mariks ransisi P dengan graf berarah! 4) Pemirsa elevisi diklasifikasikan dalam enam kaegori: = idak pernah, 1 = hanya VRI, = jam/hari, 3 = 3 jam/hari, 4 = 4 jam/hari dan 5 = lima jam/hari aau lebih. ransisi dari suau sae ke sae lain dimodelkan melalui mariks ransisi P Gambarkan mariks ransisi melalui diagram graf berarah! 5) Misalkan unuk suau produk deergen erdapa empa merek A, B, C, D. Misalkan pola pilihan produk pada minggu, S,, 1,, mengikui ranai Markov dengan peluang ransisi A B P C D enukan diagram ransisi garf berarah dari mariks deergen! 6) enukan diagram ransisi graf berarah dari mariks ransisi!

19 SAS44/MODUL P ) Misalkan suau angki air memiliki kapasias 3 m. Misal S menyaakan isi angki pada hari,, 1,,,,1,,3. dengan sae space Seiap hari dikeluarkan 1 m. Berikan inerpreasi dan diagram ransisi flukuasi isi angki berdasarkan mariks peluang ransisi P ) Suau ranai Markov S peluang ransisi dengan sae,1, memiliki mariks.1..7 P dan disribusi awal i P S i enukan realisasi ranai Markov jika sampling dari disribusi uniform U,1 menghasilkan bilangan acak: ) Suau ranai Markov S, S1, S, memiliki mariks peluang ransisi.

20 1. Meode Sekuensial.7..1 P dan disribusi awal i P S i enukan realisasi proses berdasarkan bilangan acak: ) Dikeahui suau ranai Markov dengan mariks ransisi P u a, b, c u a a u a b a b u ab c S 11) Dikeahui suau ranai Markov dengan mariks ransisi P

21 SAS44/MODUL Lengkapilah abel realisasi proses beriku: u a, b, c u a a u a b a b u ab c S ) Dikeahui suau ranai Markov dengan mariks ransisi P Lengkapilah abel realisasi proses beriku: u a, b, c u a a u a b a b u ab c S ) Suau ranai Markov memiliki sae space, 1. enukan vekor represenasi dan komponen perama 1. Realisasi proses: 1, 1, 1,,, 1.

22 1. Meode Sekuensial 14) Suau ranai Markov memiliki sae space, 1,. enukan vekor represenasi dan komponen perama 1. Realisasi proses:, 1,,, 1,,,,., 1,,3. enukan 15) Suau ranai Markov memiliki sae space vekor represenasi dan komponen perama 1. Realisasi proses:, 1,,, 1,,,,, 3, 3,, 1., 1,,. Jika 16) Dikeahui ranai Markov S dengan sae space S i, maka elemen ke-j dari vekor 1, j, 1, j, 1 1, dengan peluang pij S i, dengan peluang 1 pij unjukkan nilai ekspekasi pi E j, 1 S i pij dan E 1 S i pi 1 p i 17) Dikeahui ranai Markov S dengan sae space, 1,,3 mariks peluang ransisi dan p11 p1 p13 3 P 1 p1 p p3, pij 1, i 1,, 3 j 1 p31 p3 p 33 Misalkan S1, S,, S1 suau realisasi Markov dengan vekor represenasi, 1,,1. enukan P, 1,,1 unuk realisasi 3,,,,,,, 3, 3, 3 dan P

23 SAS44/MODUL ) Sama dengan soal 17, unuk realisasi, 1, 1,, 3,, 1, 1 dan mariks peluang ransisi P Ranai Markov S,, merupakan kuanifikasi evolusi proses erhadap waku. Sae space merupakan karakerisik uama ranai Markov. Sae berkaian dengan berbagai besaran; ingka energi, magniude gempa, banyaknya pemirsa, dan lain-lain. Peluang ransisi p aau p i, j merupakan parameer ranai Markov. Esimasi ij RANGKUMAN parameer berdasarkan frekuensi ransisi berkaian dengan abel koningensi O o ij. Melalui reprenasi model linear, parameer peluang ransisi diaksir melalui meode kuadra erkecil. Diagram ransisi melalui graf berarah merupakan ala uama dalam analisis ranai Markov. Melalui diagram ransisi, karakerisik suau ranai Markov dapa dipelajari secara sisemais. Simulasi ranai Markov memberikan suau realisasi proses berupa barisan bilangan real. 1) Koak A dan B berisi m bola. Misal S menyaakan banyaknya bola di koak A pada saa. Koak B berisi m S bola. Pada 1, diambil sau bola dari m bola secara acak dan dipindahkan ke koak lain. enukan peluang ransisi pij PS 1 j S i. Misalkan pada saa, koak A berisi i bola; S i. Pada saa 1, S 1 i 1 (bola erambil dari koak A) aau S 1 i 1 (bola erambil dari koak B). Peluang ransisi P S i 1 S i p... 1 i, j1 A. 1 m B. im ES FORMAIF 1 Pilihlah sau jawaban yang paling epa!

24 1.4 Meode Sekuensial C. m i m D. 1 i ) Koak A dan B berisi m bola. Misal pada saa, koak A berisi i bola; S i. Pada 1, sau bola dipilih secara acak dan dipindahkan ke koak S i 1. P S i 1 S i p... lain; aau A. 1 m B. im C. m i m D. 1 i 3) Misalkan S 1 1 i, i 1 mariks peluang ransisi P S 1 1 S p 1... A. 16 B. 14 C. 34 D. 56 suau ranai Markov dengan sae space,1 dan P. Peluang ransisi ) Misal S i,,1,,, i,1,, N menyaakan posisi suau bola sepanjang iik diskri,1,, N. Pada 1 bola berpindah sau langkah, ke arah kanan dengan peluang p dan ke arah kiri dengan peluang 1 p. Jika berada di iik aau N, bola bergerak ke arah dalam dengan peluang 1. Peluang ransisi diberikan oleh... p i, i 1 p, p i, i 1 1 p, i 1,, N 1 p,1 p N, N 1 1 A. B. pi, i 1 p, pi, i 1 1 p, i 1,, N 1 C. pi i p i N p pn N D. pi i p i N p pn N, 1, 1,, 1,1, 1 1, 1 1, 1,, 1,1, 1 1

25 SAS44/MODUL ) Misal S suau ranai Markov dengan sae space, 1,, 3. Pengamaan selama periode memberikan abel frekuensi ransisi O A B C D ,,3, memiliki 6) Suau ranai Markov S dengan sae space disribusi awal PS i i 1 3, 1 3, 1 3, 1,,3 dan mariks peluang ransisi 1 P Barisan bilangan acak: dan ierasi proses sebagai beriku. u a, b, c u a a u a b a b u ab c S.55 1/3, Ya 1/3, 1/ memberikan realisasi... Ya 3 Ya Ya

26 1.6 Meode Sekuensial A. 3 B. 311 C. 3 D ) Suau ranai Markov S PS i i 1,,3, memiliki disribusi awal 1 3, 1 3, 1 3, 1,,3 dan mariks peluang ransisi. 1 P 1 1 Bilangan acak: dan ierasi proses sebagai beriku. u a, b, c u a a u a b a b u ab c S.55 1/3, Ya 1/3, 1/3 1.9 Ya 1.65 Ya Ya memberikan realisasi... A B. C D ) Ranai Markov S PS s s, 1,, 3, memiliki disribusi awal 1 4, 1 4, 1 4,1 4,, 1,, 3 dan mariks peluang ransisi.

27 SAS44/MODUL P Bilangan acak: dengan ierasi proses sebagai beriku. u a, b, c, d u a a u a b a b u ab c S.55 1/4, 1/4, 1/4 Ya 1.9. Ya Ya Ya 1 memberikan realisasi... A. 13 B. 11 C. 11 D ) Dikeahui,, 1, 1 1 S suau wo-sae ranai Markov, vekor represenasi ranai Markov dan model linear p p p 1 1. Realisasi 1, , 11 1, 1 1, 13, 14, memberikan 1 dan 1, 1 masing-masing...

28 1.8 Meode Sekuensial A. ; B. ; 3 C. 3; 4 D. 4; = ) Dikeahui,, 1, Markov, S suau wo-sae ranai vekor represenasi ranai Markov dan model linear p p p 1 1. Realisasi 1, , 11 1, 1 1, 13, 14, memberikan 1 1, r1 dan 1 masing-masing... A. ; B. ; 3 C. 3; D. 1; =

29 SAS44/MODUL Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban es Formaif 1 yang erdapa di bagian akhir modul ini. Hiunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus beriku unuk mengeahui ingka penguasaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar 1. ingka penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 1% Jumlah Soal Ari ingka penguasaan: 9-1% = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurang Apabila mencapai ingka penguasaan 8% aau lebih, Anda dapa meneruskan dengan Kegiaan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi maeri Kegiaan Belajar 1, eruama bagian yang belum dikuasai.

30 1.3 Meode Sekuensial S Kegiaan Belajar Disribusi Sasioner uau ranai Markov dikarakerisasikan oleh mariks peluang ransisi P dan disribusi sasioner. Permasalahan penenuan disribusi sasioner jika dikeahui mariks ransisi P diselesaikan dengan analisis nilai dan vekor eigen. Penenuan mariks ransisi P jika dikeahui disribusi sasioner diselesaikan dengan pendekaan simulasi Mone Carlo. Conoh 1.18 enukan suau ranai Markov S 1,,3,4 dan disribusi sasioner PS i1 4, i 1,, 3, 4. Mariks ransisi memenuhi (Syara reversibiliy). i dengan sae space p p i ij j ji Karena i j, maka pij pji Jadi, agar i 1 4, i1,,3, 4, P mariks simeri. n Misal, n,1,,, suau vekor baris dengan elemen n PS j, j, peluang seelah dalam n langkah proses berada pada j n sae j. Unuk n 1, 1 j 1 1, 1 P S j P S j S i P S j S i P S i i i Dalam benuk mariks, n n1 Dengan cara yang sama, P. P 1 1 j i pij, j aau i

31 SAS44/MODUL Conoh 1.19 Dikeahui ranai Markov S,,1 dengan mariks ransisi P n n1 dan disribusi awal 1, dengan rumus P diperoleh P= , P= Vekor merupakan disribusi sasioner ranai Markov vekor eigen kiri dari P. dan ranai Markov S P dinamakan ranai Markov ergodik. S jika Conoh 1. S Misal dengan sae space 1,,3,4 dan mariks ransisi P merupakan vekor eigen kiri unuk P, karena

32 1.3 Meode Sekuensial Jadi = merupakan disribusi sasioner ranai Markov S,, P. Jika ranai Markov, maka Conoh 1.1 ransisi S,, P ergodik dengan disribusi sasioner lim P m Dikeahui ranai Markov diperoleh m S P= ,, P dengan mariks peluang P, P

33 SAS44/MODUL P Jadi, ranai Markov Conoh 1. S,, P ergodik dengan disribusi sasioner Disribusi sasioner ranai Markov S,, 1,, P diperoleh dari sisem persamaan x xp, dengan 1 x x x x. 1 3 x x x x x x x1 x 3 x3 (1) x x1 3 () x3 x1 3 x 3 (3) x x 3, x x 3 x 3 8x Disribusi sasioner 1 3 x x ,.15, 3.4 x1 x x3 x1 x x3 x1 x x3 x

34 1.34 Meode Sekuensial Conoh Dikeahui mariks ransisi P Perkalian mariks memberikan P Disribusi sasioner ranai Markov dengan mariks ransisi P adalah :.4.6. Conoh 1.4 Disribusi sasioner ranai Markov dua-sae. Misal S,,1 ranai Markov dengan mariks peluang ransisi. 1 a a P, a, b 1. 1 b 1 b Dapa diunjukkan lim P n n b a b a a b 1 b a b a b a a b abb a 1 a b adalah disribusi ranai Jadi b a b a a b b a S,, 1, P. Markov Conoh Dikeahui mariks ransisi P a 1 4, b1 6, ab 5 1, a ( ab) 1 3 5, b a b Jadi disribusi sasioner ranai Markov S,, 1, P adalah

35 SAS44/MODUL Conoh 1.6 Dikeahui ranai Markov,, 1, Disribusi sasioner x x x x S dengan mariks ransisi P diperoleh dari persamaan 1 xp x x x1 x 1 aau x x1 x 1 x x x x x x x.5 x.5x x.5 x.7 x.5x x.1 x.5 x.45x x x x1 x Karena kendala x x1 x 1, sau persamaan dapa dihapus (misalnya persamaan 3) penyederhanaan memberikan: 6x 5x1 5x (1) 5x 3x1 5x () x x1 x 1 (3)

36 1.36 Meode Sekuensial 65x 8x 1 1 dan memberikan 65 x 5 x 5 65, x 5 8, x Jadi disribusi sasioner proses Eksisensi disribusi sasioner. Dua keadaan (sae) i dan j dikaakan accessible, diulis i jjika erdapa barisan ik1 kn j sehingga p, p, p. Jika j dan i juga accessible, i dan j dikaakan 1 k1 km, km1 kn, j communicae. Kumpulan keadaan communicae membenuk kelas ekuivalen. Jika semua keadaan di sae space Ω communicae, maka sae space Ω dikaakan irreducible; sae space hanya erdiri dari sau kelas, i j. Selain iu, Ω merupakan sae space reducible. Jika erdapa lebih S dari sau kelas ekivalen ranai Markov reducible dan disribusi sasioner idak (harus) unik. Sae space Ω dapa di parisi dalam kelas-kelas ekivalen melalui relasi. Ω Ω Ω1 Ω, Ωi Ω j, i j Conoh P dapa di parisi menjadi 1 3 Parisi sae space. Misal,1,,3 dan dengan Sae space,1,,3 reducible. Conoh 1.8, 1 1,, 3 3. Ranai Markov Parisi sae space. Sae,1,,3 dengan mariks. S,

37 SAS44/MODUL P dapa di parisi menjadi 1, 3,4. Ranai markov reducible. Sae space 1,,, N S, dengan mariks ransisi P dapa di parisi menjadi 1, i j, i j jika mariks P mariks blok segiiga aas (upper block riangular). N N B K K C P,1 K N D Sekali proses berada di sae j, j K, proses idak mungkin kembali ke sae K 1, K,, N. Jika sae space dapa di parisi 1, i j, i j, ranai Markov S, reducible. Ranai Markov yang idak reducible (no reducible) dinamakan irreducible. Conoh 1.9 Disribusi sasioner idak unik Dikeahui ranai Markov mariks ransisi. S dengan sae space 1,, 3, P dan 1, dan 3,4 merupakan kelas ekivalen, Sae space 1,, 3, 4 parisi menjadi 1, 3,4. Vekor di dan merupakan vekor eigen kiri dengan nilai eigen 1. Jika

38 1.38 Meode Sekuensial keadaan awal S, disribusi sasioner adalah dan jika 1, disribusi sasioner adalah. S 3,4, Konsep reversibiliy berkaian dengan arah realisasi suau ranai Markov. Mariks ransisi P 1 1 mendefinisikan suau ranai irreducible. Barisan 13 1mungkin erjadi, eapi balikannya idak mungkin erjadi karena p3. Dengan demikian arah simulasi dapa dikeahui. Dalam hal ini, ranai idak reversible. Conoh 1.3 Diagram ransisi. Misal ransisi (simeri). S suau ranai Markov dengan mariks 1 1 P Gambar 1. Diagram ransisi

39 SAS44/MODUL Diagram ransisi menunjukkan ranai Markov S, P irreducible dan aperiodic. Dari sae proses selalu dapa kembali ke sae, misalnya 1. eapi dapa juga dalam uruan langkah 1. Sae aperiodik Dapa diunjukkan, sae 1 dan juga aperiodik. Conoh 1.31 Diagram ransisi. Misal S suau ranai Markov dengan mariks ransisi P Gambar 1.3. Diagram ransisi Diagram ransisi menunjukkan ranai Markov irreducible dan periodik dengan periode 3. Conoh 1.3 Irreducible ranai Markov. Sae space j dikaakan accessible dari sae n i, i j, jika p, unuk suau ineger n. Dua sae i, j communicae, ij noasi i j, jika i j dan j i. Suau proses irreducible jika semua sae communicae. Relasi communicae merupakan relasi ekivalen, dan melalui relasi communicae sae space di parisi dalam kelas-kelas ekivalen.

40 1.4 Meode Sekuensial Suau ranai Markov irreducible jika hanya erdapa sau kelas ekivalen. Misalkan S suau ranai Markov dengan mariks ransisi. P P P Gambar 1.4. Sae space di parisi dalam dua kelas ekivalen: 1, 3,4,5. Ranai Markov S Conoh 1.33 Parisi Mariks ransisi:,, P reducible P P P

41 SAS44/MODUL memberikan limi n P lim P n n diperoleh melalui sisem persamaan aau ; Dengan cara sama, diperoleh 1, 1 Conoh 1.34 Sae periodik. Misal,1, S suau ranai Markov dengan sae space dan mariks ransisi 1 1 P 1 1

42 1.4 Meode Sekuensial Perhaikan mariks memberikan Gambar 1.5. n n1 P P, P P Diagram ransisi memperlihakan sae merupakan sae periodik. Periode sae dihiung melalui rumus S Misal Markov n d gcd n1, p gcd, 4, 6, S suau ranai Markov dengan mariks ransisi P. Barisan, reversed dari ranai S S juga suau ranai Markov. Ranai reversible jika mariks ransisi ranai S sama dengan mariks ransisi S ; p p, i, j. Ranai Markov S ij dengan disribusi sasioner reversible jika dan hanya jika dan mariks ransisi P memenuhi balanced condiion. k Himpunan p p, i, j Ω i ij j ji k, P, k menyaakan himpunan banyaknya ii langkah unuk revisie sae i. Pembagian persekuuan erbesar dari himpunan dinamakan periode dari sae i. Suau ranai Markov di mana seiap sae mempunyai periode 1 dikaakan aperiodik. Ranai Markov periodik jika periode seiap sae lebih besar dari 1. ji S

43 SAS44/MODUL Conoh 1.35 Menghiung periode suau sae. Dikeahi mariks ransisi p Perhiungan 5 6 p P memberikan:, 1 4 periode sae adalah Jadi sae periodik dengan periode Misal S d gcd 4, 6,8, p, p, p, p 1, d space erhiung P, jika erdapa maka ranai Markov sasioner unik. Conoh 1.36 Misal S suau ranai Markov irreducible, periodik dengan sae S sehingga p p, i, j Ω i i ij j ji reversible dan ergodik dengan disribusi suau ranai Markov irreducible dengan sae space 1,,, N dan mariks ransisi simeeri pij pji. Maka ranai Markov S reversible dengan disribusi sasioner (unik) seragam; 1 N. i LAIHAN 1) Dikeahui ranai Markov ransisi Unuk memperdalam pemahaman Anda mengenai maeri di aas, kerjakanlah laihan beriku! S,,1 dengan mariks peluang

44 1.44 Meode Sekuensial enukan disribusi sasioner,, 1 a a P b 1 b ranai Markov b a Jawab., a b. Jika a b a b a b aau n 1, dan ranai Markov periodik. S,,1,. P, maka n 1 c 1 d 1, cd 1. Jika ab 1, ) enukan disribusi sasioner ranai Markov S dengan mariks ransisi a. P b. P ,,1, c P d. 1 1 P ) Suau bus beroperasi pada suau linasan (roue) koninu dengan beberapa pemberhenian. Kedaangan pada suau pemberhenian diklasifikasikan dalam 3 keadaan: 1. lebih awal dari jadwal;. sesuai jadwal; 3. erlamba. Misalkan keadaan kedaangan di pemberhenian merupakan suau ranai Markov dengan mariks peluang ransisi P..5.3 dan sae space 1,, enukan a. Disribusi sasioner ; b. Persenase erlamba dari jadwal,.

45 SAS44/MODUL ) enukan parisi sae space 1, i j, i j ranai Markov a P S, dengan mariks ransisi b P c. e. f P d P P P ) Dikeahui suau ranai Markov dengan mariks ransisi 1 1 P a. enukan diagram ransisi b. Apakah sae periodik (Jawab, idak periodik)

46 1.46 Meode Sekuensial 6) Dikeahui ranai Markov pada 1,, 3 dan mariks ransisi 1 1 P unjukkan 1 3 n P, P p p, P p p p ;, 3 n, p d gcd, , sae 1 aperiodic. 7) enukan periode sae ranai Markov d i, i, 1,, 3 dengan mariks ransisi P RANGKUMAN 1. Suau ranai Markov dengan mariks ransisi P reducible jika P dapa diulis dalam benuk. B P C D. Sae j dikaakan accessible dari sae i, i j, jika erdapa barisan (sae) i k1 k kn j sehingga p, p, k, p. Sae i dan j communicae, i j, ik1 km m1 kn j jika i j. Sae space irreducible jika semua sae communicae.

47 SAS44/MODUL Misal S,, P, ranai Markov dengan mariks ransisi P dan disribusi sasioner (unggal). Ranai reversible jika dan hanya jika p p, i, j. Misal i ij j ji S,, P, ranai Markov irreducible dengan sae space N P simeri maka ranai reversible dan 1 N. 4. Periode sae persekuuan erbesar. Jika sae i aperiodic. i 1,,,. Jika n n n pii d i i, d i gcd n 1, p,gcd ii pembagian 1,, maka 1 dan ES FORMAIF Pilihlah sau jawaban yang paling epa! 1) Disribusi sasioner ranai Markov dengan mariks ransisi adalah... A. 1 B. 1 C. 1 1 D P 1 ) Vekor merupakan disribusi sasioner ranai Markov dengan mariks ransisi P jika... A. P B. P C. P 1 D. P 3) Disribusi sasioner,, ranai Markov dengan mariks ransisi P A B

48 1.48 Meode Sekuensial C D ) Misal S suau ranai Markov dengan mariks ransisi P ,, 3 di parisi menjadi... Sae space A. 1,3 B. 1, 3 C. 1,3 D. 1 3 S 5) Misal suau ranai Markov dengan mariks ransisi P Sae space 1,, 3, 4, 5 di parisi menjadi... A B. 1,3 4,5 C. 1,3, 4 5 D. 1, 3,4 5 S 6) Dikeahui ranai Markov mariks ransisi dengan sae space,1,,3 dan

49 SAS44/MODUL P Sae priodik dengan periode... A. 1 B. C. 3 D. 4 S 7) Dikeahui ranai Markov mariks ransisi 1 1 P dengan sae space 1,,3 dan d 1... A. 1 B. C. 3 D. 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban es Formaif yang erdapa di bagian akhir modul ini. Hiunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus beriku unuk mengeahui ingka penguasaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar. ingka penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 1% Jumlah Soal Ari ingka penguasaan: 9-1% = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurang

50 1.5 Meode Sekuensial Apabila mencapai ingka penguasaan 8% aau lebih, Anda dapa meneruskan dengan modul selanjunya. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi maeri Kegiaan Belajar, eruama bagian yang belum dikuasai.

51 SAS44/MODUL Kunci Jawaban es Formaif es Formaif 1 1) B ) C 3) B 4) A 5) C 6) A 7) B 8) D 9) A 1) D es Formaif 1) D ) A 3) A 4) B 5) B 6) B 7) A

52 1.5 Meode Sekuensial Dafar Pusaka aylor, H.M., Karlin S. (1984). An Inroducion o Sochasic Modeling. Academic Press.