Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel

Transkripsi

1 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 5. Pendahlan epeti telah dijelaskan sebelmnya, ntk alian disekita benda di mana haga R e ckp tinggi, asmsi invisid dapat dignakan. Asmsi ini jga dapat dignakan ntk kass kass di mana sangat kecil sehingga menjadi sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Untk kass kass sepeti ini maka pesamaan (I.3) (lihat sb bagian asmsi inkompesibel) menjadi lebih sedehana, p t Apabila alian adalah alian steady maka 0 sehingga, t (MI) p ekaang kita ambil dot podct pesamaan di atas dengan, e l, nit vecto di aah kecepatan (seaah dengan steamline), maka p 0 ( l )

2 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel ata p konstan sepanjang steamline Catatan:Pesamaan teakhi jga dapat ditnkan dai pesamaan Benolli ntk alian kompesibel dengan e = konstan sepeti telah dijelaskan di Bab. Pesamaan di atas membeikan hbngan antaa p dan. Jadi apabila solsi telah ditemkan, maka p dapat dihitng dengan menggnakan pesamaan Benolli. olsi dapat ditemkan dengan menyelesaikan pesamaan votisitas yang ntk kass ini adalah, d dt Apabila selain asmsi inviscid, alian jga adiabatik maka entopy () tidak bebah d sepanjang pegeakan sebah flid elemen ( 0 dt ) dan alian menjadi alian isentopic (lihat sb-bagian.6 tentang asmsi-asmsi yang biasa dignakan). ehingga apabila asmsi-asmsi ini kita gnakan ntk mempelajai alian inkompesibel disekita benda yang diletakkan pada alian dengan feestam yang seagam, haga menjadi konstan diselh daeah flida dimana asmsi-asmsi tesebt dapat dignakan. ebagaimana telah kita pelajai sebelmnya, ini beati ω = 0 sehingga asmsi iotasional dapat dignakan dan alian ini disebt alian potensial. 5. Teoi potensial ntk alian inkompesibel epeti telah dijelaskan di bab sebelmnya, alian disekita benda di mana R e tinggi pada mmnya adalah alian iotasional kecali di daeah di dekat pemkaan (lapisan batas). Oleh kaena it masalah alian di la lapisan batas dapat diselesaikan dengan menggnakan teoi potensial. Kaena 0 dan kita ketahi dai kalkls vekto bahwa 0ntk setiap skala, maka dapat dinyatakan sebagai,

3 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 3 dan pesamaan kontinitas menjadi, 0 0 (IP.). Pesamaan di atas adalah pesamaan Laplace. Pesamaan ini dapat diselesaikan apabila kondisi batasnya dibeikan. Untk alian inviscid, kondisi batasnya adalah, sehingga nˆ U nˆ ata nˆ U nˆ solid U ˆ solid n n solid (IP.) Kondisi batas lainnya adalah kondisi batas di feesteam (daeah yang jah dai benda). Kondisi batas ini menyatakan bahwa didaeah ini adalah kecepatan feesteam ata, ( x ) U (IP..b). Pemasalahan alian iotasional inkompesibel menjadi pemasalahan ntk mendapatkan solsi dai pesamaan (IP.) dengan kondisi batas (IP.) dan (IP..b). Apabila telah ditemkan maka didapatkan dai definisi. etelah didapatkan maka tekanan p dapat ditemkan. Untk menemkan p, kita kembali ke pesaman momentm ntk alian inkompesibel (MI) (lihat 5.) dengan ω = 0 dan =. p t p 0 t

4 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 4 ata p f ( t). t f(t) yang didapatkan dai integasi, dapat diiktsetakan kedalam kaena tidak didefinisikan secaa nik. ehingga apabila ' f ( t) maka ' '. Dengan demikian maka pesamaan di atas menjadi p t kons tan (IP.3.a) ata kass steady, p kons tan (IP.3.b) Pesamaan (IP.3.b) dapat ditnkan dai pesamaan h kons tan. Dengan e = konstan ntk alian inkompesibel, didapatkan pesamaan Benolli (IP.3.b). 5.3 ifat-sifat mm dai solsi pesamaan Laplace Kita telah lihat pemasalahan alian inviscid inkompesibel bebah menjadi pemasalahan matematik, yait mendapatkan solsi pesamaan Laplace, apabila asmsi iotasional dapat dignakan. Dalam sbbagian ini kita akan mempelajai sifat-sifat mm dai solsi pesamaan Laplace. Kaena sifat-sifat ini adalah sifat-sifat matematis dai sebah pesamaan, maka apa yang kita dapatkan dalam sbbagian ini belak secaa mm ntk segala macam fenomena fisis yang dijelaskan oleh pesamaan Laplace, temask alian potensial ntk kass inkompessible.

5 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 5 ebelm kita mlai mempelajai sifat dai solsi pesamaan Laplace lebih dalam, dipelkan bebeapa definisi dan teoema beikt ini. Definisi-definisi yang dipelkan ntk mempelajai sifat-sifat pesamaan Laplace adalah:. Redcible cicit: adalah sebah sikit yang dapat dikontaksikan menjadi sebah titik tanpa melewati daeah yang dipelajai.. Reconciable cicit: adalah da bah sikit yang dapat dipetemkan dengan caa yang kontiny tanpa melewati daeah yang dipelajai. 3. Daeah simply connected: daeah di mana sema sikit adalah edcible dan econcilable. 4. Daeah Dobly connected: daeah di mana didalamnya tedapat sat sikit yang tidak edcible. Contoh: daeah exteio dai benda 3 dimensi, daeah ini adalah daeah simply connected kaena sema sikit, C dan C misalnya, adalah sikit yang edcible dan econciable. Contoh : daeah exteio dai benda dimensi.

6 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 6 Daeah exteio dai benda yang digambakan di atas (a dan b) adalah daeah dobly connected kaena sikit C misalnya, adalah sikit yang tidak edcible. (C hanya dapat dikontaksikan menjadi sebah titik dengan caa memotong sayap dalam keda gamba di atas. Dengan kata lain, has melewati daeah yang dipelajai (flida). Namn, pada keda gamba di atas sikit C0 adalah edcible. Beikt ini adalah teoema-teoema yang dibthkan ntk mempelajai sifat solsi pesamaan Laplace lebih lanjt: Teoema tokes: Apabila l adalah sikit edcible maka, dl d nd ˆ l (Teoema tokes) l l A di mana l adalah batas dai pemkaan A (sepeti telihat dalam sketsa dibawah).

7 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 7 Teoema Geen: dv nd ˆ..(Teoema Geen) R apabila, adalah fngsi yang single valed. Bkti ntk Teoema Geen: Kita mlai dai Teoema Gass (*) sekaang kita definisikan V AdV A nd ˆ A sehingga, A sekaang kita sbsitsikan kedalam teoema Gass, dv V nd ˆ Pel diingat bahwa (*) belak ntk A yang kontiny (ψ & Jadi teoema ini belak apabila & adalah fngsi yang single valed. haslah kontiny). Bentk lain dai Teoema Geen adalah sebagai beikt, definisikan A A Apabila kita sbsitsikan kedalam teoema Gass,

8 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 8 V nˆ dv. nˆ,. nˆ nˆ nˆ nˆ d (Teoema Geen Keda) 5.3. Kenikan solsi pesamaan Laplace dalam daeah imply Connected Untk kass ini teoema tokes dapat dignakan sehingga,. Γ d ωn ˆ ds 0 l Α 0 Jadi ntk kass ini Γ = 0 ntk setiap sikit. Kaena Γ = 0 maka, sehingga, d A B lewat C d A B lewat C d 0 (B) (A) (B) (A). lewat C lewat C Oleh kaenanya dapat disimplkan bahwa B & A hanya mempnyai sat nilai ( single valed ). Dengan kata lain hanya ada sat haga di setiap titik di daeah simply connected yang mepakan daeah exteio dai benda B (daeah R).

9 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 9 ekaang kita akan lihat apakah solsi dai pesamaan (IP.) dengan kondisi batas (IP.) (Poblem ini disebt jga Nemann exteio poblem ) di daeah simply connected adalah solsi yang nik. Misalkan ada da, &, yang memenhi pesamaan (IP.) dan kondisi batas (IP.) sehingga, n φ φ 0 di R dan φ φ 0 di mana adalah pemkaan benda. elain it tnan dai ( ) di infinity adalah nol kaena φ x U φ x. di ekaang kita gnakan Teoema Geen dengan ψ = & = (teoema ini dapat dignakan kaena daeah di la benda adalah simply connected sehingga adalah single valed). dv nd ˆ d n R Σ Apabila kita ambil Σ yang beada di infinity maka d 0, kaena di sehingga, R dv 0 0 Jadi, k di mana k adalah konstan ata fngsi wakt. Σ n 0

10 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 0 Dengan demikian dapat disimplkan bahwa solsi dai φ 0 di R (daeah exteio dai ) dengan φ nˆ U nˆ di adalah nik sampai dengan sebah additive k wall apabila R adalah daeah simply connected Kenikan solsi pesamaan Laplace dalam daeah Dobly Connected Untk kass ini Teoema tokes hanya dapat dignakan ntk daeah-daeah sepeti yang dibatasi dengan sikit sepeti yang dibatasi oleh C0. Untk daeah-daeah yang dibatasi dengan sikit sepeti C, C, Teoema tokes tidak belak. Oleh kaena it, walapn kita tah bahwa ω = 0 di daeah di la, kita tidak tah apakah Γ C 0 ata tidak (kaena Teoema tokes tidak dapat dignakan). ehingga dapat disimplkan bahwa, Di daeah dobly connected, Γ dai sikit yang tidak edcible tidak has sama dengan nol dan haga Γ tidak dapat ditentkan dengan menggnakan apa yang telah kita pelajai selama ini. Teoema tokes dapat dignakan di daeah σ yang dibatasi oleh sikit C dan C.

11 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel C dl dl ωnˆ d 0 C σ, sehingga ΓC ΓC. Oleh kaena it dapat disimplkan, Γ di sepanjang sikit yang tidak edcible mempnyai haga yang sama. ekaang kita akan lihat sifat dai di dalam daeah dobly connected. B B B dl dl d l A A A Kaena Teoema tokes dapat dignakan di daeah σ maka, B B d d ωn ˆ d 0 A A σ lewat C lewat C (B) (A) (B) (A) lewat C lewat C ehingga dapat disimplkan bahwa sepanjang edcible cicit adalah single valed. Hal yang bebeda tejadi ntk sikit yang tidak edctible sepeti C + C3. Untk sikitsikit sepeti ini Teoema tokes tidak dapat dignakan sehingga, ata A B A B d d Γ lewat C 3 lewat C

12 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel (B) (A) (B) (A) Γ lewat C lewat C Jadi dapat disimplkan bahwa epanjang sikit yang tidak edcible, mltivaled kecali ntk kass = 0. Daeah dobly connected dapat dibah menjadi simply connected dengan memaskkan baie (lihat gamba!). Daeah di dalam baie tidak diiktsetakan di dalam daeah yang dipelajai. ekaang kita hitng siklasi ntk sikit dalam sketsa diatas, p lim lim d p p p p p p p Maka dapat disimplkan bahwa Apabila kita melompati pembatas (baie) maka akan ada lompatan sebesa ekaang kita akan lihat apakah solsi dai (IP.) dengan (IP.) adalah nik sampai dengan sebah additive k, sebagaimana kass di daeah simply connected. Kemdian, sepeti sebelmnya, kita anggap ada da ( dan ), yang memenhi (IP.) dan (IP.) sehingga, di R dan 0 Definisikan sehingga, n 0 di n 0 di R (daeah dobly connected) dan 0 di

13 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 3 ama sepeti kass simply connected, kita akan gnakan Teoema Geen ntk melihat apakah adalah nik. Namn, ntk kass ini R adalah daeah dobly connected sehingga,, dan adalah mltivaled. Oleh kaena it, Teoema Geen tidak dapat dignakan. Untk it kita pel menambahkan baie membat domain yang ba Rb menjadi simply connected dan Teoema Geen dapat dignakan. d dl dl dl dl n n n n AB C CD C0 dl dan Apabila kita ambil C yang beada di infinity maka 0 d dl dl dl dl n n n n AB CD b b C 0 Walapn mltivaled, n adalah single valed kaena kecepatan di sebah titik haslah single valed. Jadi, Dengan demikian, n n b b b b dl b n baie d b

14 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 4 lim D A Kaena D A maka ata d baie baie dl n d dl. n Jadi apabila = maka = + k tetapi apabila maka. Dengan kata lain, solsi nik ntk kecepatan hanya akan didapatkan apabila keda solsi ( dan ) mempnyai siklasi yang sama. Ini beati ntk kass ini selain kondisi batas, siklasi jga has dispesifikasikankan. Jadi dapat disimplkan bahwa olsi dai di 0 di R (daeah dobly connected) dengan nˆ U ˆ s n adalah nik (sampai dengan sebah konstanta k) apabila dibeikan. Untk kondisi batas di dan yang sama, haga yang bebeda akan membeikan solsi yang bebeda. Jadi ntk mendapatkan solsi yang nik ntk masalah alian potensial (inkompesibel) di daeah dobly connected has dibeikan. pesifikasi didapatkan dai pengetian fisis dai alian yang dipelajai. Dalam pemasalahan alian di sekita aifoil, dispesifikasikan oleh apa yang disebt dengan Ktta condition. Kondisi Ktta menyatakan bahwa: alian di pemkaan aifoil has meninggalkan aifoil tepat di tailing edge. ifat-sifat lain dai

15 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 5 ifat-sifat mm dai akan dibahas di sini. ifat-sifat ini belak baik ntk R yang simply connected walapn R yang dobly connected. ifat-sifat ini adalah:. tidak mngkin mempnyai haga maksimm ata minimm di inteio dai flida. Haga maksimm ata minimm hanya dapat dicapai di batas-batas flida. Bkti: Misalkan sebah titik P beada di inteio flida. V adalah sebah volme element kecil yang mengelilingi P dengan pemkaan. Ini atinya di sekita P, d nd ˆ V n n V 0 tidak mngkin selhnya negatif ata positif. Jadi tidak mngkin mempnyai haga minimm ata maksimm di titik P. Tnan spatial dai memenhi pesamaan Laplace. Bkti: Tnan spatial dai adalah, kaena maka, 0, ata 0 ata tnan spatial menti pesamaan Laplace. Oleh kaenanya, maka mempnyai sifat 3 dan 4 di bawah 3. Tnan spatial dai tidak bisa mencapai minimm ata maksimm di inteio dai flida. 4. Komponen kecepatan tidak dapat mencapai minimm ata maximm di inteio flida. 5. Besa kecepatan tidak dapat mencapai haga maksimm di inteio flida

16 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 6 Bkti: Kita gnakan Teoema Geen dengan Kaena ˆnd V s 0 ˆ 0 nd dv v 0 dv,, memathi pesamaan Laplace (sifat ) maka : x y z ˆ 0 di mana nds Jadi di sekita titik P, n mencapai maksimm di dalam inteio flida. 6. Tekanan mencapai minimm di batas dai flida n p Jadi disekita titik P, n x y z tidak mngkin negatif sehingga tidak mngkin p t f t p d p nd ˆ nd ˆ nd ˆ t V 0 minimm di dalam inteio flida. t d n 0 p d 0 n tidak mngkin positif sehingga p tidak mngkin mencapai Pinsip peposisi

17 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 7 Pesamaan Laplace (IP.) adalah pesamaan difeensial pasial yang linie. Oleh kaena it, Pinsip peposisi belak apabila kondisi batasnya dijelaskankan oleh pesamaan yang jga linie. Pinsip ini menyatakan bahwa : Apabila,, 3,, n adalah solsi dai pesamaan-pesamaan : 0 dengan n a, 0 n,, n n n a, 0 a n yang linie. maka... n jga memenhi pesamaan Laplace 0 dengan kondisi batas a a... an n Pinsip ini dapat dibktikan dengan mdah dengan menggnakan kenyataan bahwa (IP.) dan (IP.) adalah pesamaan-pesamaan yang linie. Jadi apabila kita mengetahi bebeapa solsi dai pesamaan Laplace, maka solsi-solsi dapat digabngkan ntk mendapatkan solsi yang ba. Metode ntk mendapatkan solsi dai (IP.) (dengan(ip.)) dengan caa menggabngkan bebeapa solsi adalah salah sat metode yang banyak dignakan. Metode lainnya adalah dengan menggnakan Methods of sepaation of vaiable. 5.4 Pemasalahan alian potensial ditinja dai angka acan yang bebeda

18 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 8 Dalam paktik, seing sekali kita has menyelesaikan pemasalahan alian potensial di sekita benda yang begeak dengan kecepatan U(t) elatif tehadap flida yang diam. Untk kass ini pemasalahan matematis yang has diselesaikan adalah pesamaan (IP.), (IP.), (IP..b) yang ntk kass ini menjadi, 0 nˆ U ( t) nˆ dim ana ( t) b x ( ) 0 ementaa it tekanan dapat dihitng dengan menggnakan pesamaan Benolli ntk kass nsteady yait, p t kons tan b b Hbngan matematis diatas adalah hbngan yang ditliskan dengan menggnakan angka acan yang diam (elatif tehadap ang (K) dalam sketsa diatas). Dai hbngan tesebt dapat dilihat bahwa kita has menjelaskan pemkaan benda yang begeak tesebt (b) dengan menggnakan sebah fngsi wakt walapn benda tesebt adalah benda igid. Namn, apabila kita gnakan angka acan yang begeak dengan benda (K), fngsi yang menjelaskan pemkaan benda menjadi time independent. Ini disebabkan kaena pemkaan benda b tidak bebah tehadap wakt apabila kita jelaskan pemkaan tesebt dengan menggnakan K. Jadi pemasalahan akan menjadi lebih sedehana apabila kita ganakan angka acan K yang begeak besama dengan benda.

19 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 9 Untk melihat ini, kita tansfomasikan hbngan diatas yang ditliskan dengan menggnakan dai K ke K. Dai gamba diatas dapat dilihat bahwa posisi sebah titik P dijelaskan oleh x apabila diamati dai K dan x apabila diamati dai K. Hbngan antaa vekto x dan x adalah :, x x t x U d t Dai pesamaan ini maka telihat bawa kecepatan potensial dan tekanan elatif tehadap K ( x, t, px, t ) adalah, 0 x, t x x, t, t x, t p x, t p x x, t, t p x, t Ini tentnya sesai dengan pinsip bahwa haga sebah skala tidak tegantng dai angka acan yang dignakan. elain it hbngan-hbngan beikt jga belak: x, (kaena U d f x x, t x U t t t x t t ) 0 (3) Jadi dengan menggnakan sistem koodinat yang begeak besama angka acan K, pemasalahan alian potensial disekita benda yang begeak dengan kecepatan U(t) selesaikan dengan mencai solsi dai pemasalahan, 0 nˆ U ( t) nˆ dim ana ( t) b x ( ) 0 b b di mana sekaang x t, Hbngan ini mennjkkan bahwa ketegantngan tehadap wakt didapatkan hanya melali Ut () dan apabila benda begeak dengan kecepatan konstan maka pemasalahan ini dilihat dai K adalah pemasalahan yang steady. Pel ditekankan disini, bahwa b dalam angka acan K bkan mepakan fngsi wakt kaena b dijelaskan dengan

20 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 0 menggnakan x yang tidak bebah tehadap wakt apabila vekto ini beada didalam benda. Dengan menggnakan angka acan K, pesamaan Benolli menjadi, p x, t U kons tan t Teakhi, pemasalahan alian disekita benda yang begeak didalam flida yang diam dapat pla dianggap sebagai pemasalahan alian disekita benda yang diam. Ini dapat dilihat dengan mendefinisikan, ˆ Ut (). Dengan kata lain, sekaang pesoalan ini diamati oleh pengamat yang diam elatif tehadap K dan ˆ adalah kecepatan elatif. Dengan menggnakan definisi ini maka hbngan pesamaan Laplace dan kondisi batasnya menjadi, ˆ 0 ˆ ˆ b U t n U ( t ) n ˆ 0 ˆ ( ) U ( t) b Ini mennjkkan bahwa pemasalahan alian benda yang begeak dengan kecepatan U elatif tehadap flida yang diam ekivalen dengan pemasalah alian disekita benda diam yang diletakkan didalam alian dengan kecepatan feesteam U(t). Dengan kata lain, pemasalahan alian potensial yang dihasilkan oleh benda yang begeak elatif tehadap flida yang diam dapat diselesaikan dengan menyelesaikan pemasalahan elatif tehadap benda (mencai ) kemdian menambahkan kecepatan elatif ini dengan kecepatan benda ata, ˆ Ut () ˆ Dalam liteat ˆ dikenal dengan sebtan petbation potential ata potensial ganggan.

21 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel Namn, dalam menggnakan ekivalensi diatas kita pel behati-hati. ebelmnya kita pel melihat apakah alian ini tetap mepakan alian potensial apabila kita amati dai angka acan K. ecaa mm, benda igid dapat begeak secaa tanslasi dan otasi ( U U ) sehingga kecepatan disebah titik didalam alian dapat dinyatakan sebagai, U tan el tan dimana adalah kecepatan flida dititik tesebt elatif tehadap K dan el kecepatan flida dititik tesebt dilihat oleh pengamat yang begeak besama K. Untk melihat apakah alian tetap mepakan alian potensial di K, kita hitng votisitas di titik tesebt. 3 ( ) ( ) U el tan el el el dimana el el adalah votisitas elatif tehadap K. Dai hasil ini telihat bahwa alian yang iotasional elatif tehadap K, belm tent jga alian yang iotasional apabila dilihat dai K. Alian hanya akan iotasional elatif tehadap keda angka acan apabila benda tesebt tidak bepta ata Gaya-gaya yang beaksi di pemkaan benda yang begeak dalam alian potensial tak tebatas

22 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel Misalkan B begeak dengan kecepatan U(t) dalam flida. Apabila adalah pemkaan dai B maka gaya yang bekeja pada B (gaya-gaya flida) adalah: F p x, tnd ˆ () p x, t dapat ditliskan dengan menggnakan potensial kecepatan dan hbngan antaa p dan didapatkan dai pesamaan Benolli px, t f t p t epeti telah dibahas disb-bagian sebelm ini pemasalahan yang has diselesaikan akan menjadi lebih sedehana, secaa matematis, apabila kita gnakan angka acan K. Pesamaan Benolli yang ditliskan dengan menggnakan angka acan ini adalah, p x t p U p x t t,, Apabila pesamaan ini kita sbstitsikan ke pesamaan () maka, q F nd ˆ U qnd ˆ t q nd ˆ U qnd ˆ t di mana q. I

23 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 3 Kaena ˆ ˆ ˆ U nq U q n U n q maka I q n U n q d U n q d ˆ ˆ ˆ. Kaena nˆ q nˆ U nˆ di (x) maka q II nˆ q nˆ qd Di daeah di antaa dan (daeah R0) II q n ˆ ( q n ˆ) q d q ( q ) q ( q ) dv 0. 0 R0 Kaena 0 adalah pemkaan dan maka, q q II nˆ ( q nˆ ) q d nˆ ( q nˆ ) q d Jadi, apabila kita pilih di infinity, maka II = 0 kaena x alian adalah alian tak tebatas yang tak mempnyai efek di infinity. ( ) q 0 apabila Dengan mensbtitsikan hasil-hasil ini ke pesamaan ntk F didapatkan, F nd ˆ U ( nˆ q) d t (4) ekaang kita akan lihat ati dai ( n ˆ q) d dan ntk it kita akan lihat pemasalahan ini menggnakan sdt pandang altenatif yang dipekenalkan di akhi sb-bagian epeti telah dijelaskan disb-bagian 5.3.5, pemasalahan ini ekivalen dengan pemasalahan alian disekita benda diam yang diletakkan didalam alian dengan kecepatan feesteam U(t). Apabila adalah kecepatan absolt dai flida dalam sdt pandang ini, maka U q

24 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 4 maka, Kaena nˆ U d U nˆ d 0 ( nˆ q) d ( nˆ ) d eˆ d di mana ê dengan n ˆ &. Apabila kita tliskan d dl, di mana adalah span dan dl adalah elemen sepanjang kont benda maka, ( nˆ q) d eˆ d eˆ dl eˆ dl eˆ. l Dengan demikian maka sk ( n ˆ q) d menjelaskan siklasi Γ dai benda. Akhinya fomla ntk gaya F dapat tliskan sepeti, F nd ˆ ( U eˆ) t (F) di mana adalah span dan ê adalah nit vekto yang tegak ls dengan U dan nˆ. Apabila kita ingat bahwa ( x, t) ( x; U( t)) maka du t U dt. Jadi, apabila U konstan, 0, sehingga t nd ˆ 0 t (ntk U = konstan). Dai hasil-hasil di atas, maka dapat disimplkan bahwa ; ) Apabila benda igid 3-D begeak dengan kecepatan yang konstan di dalam alian potensial yang tak tebatas (infinite), maka gaya flida yang beaksi pada benda tesebt adalah nol kaena ini (3-D), 0. ) Apabila benda igid D begeak dengan kecepatan konstan di dalam alian potensial yang tak tebatas, maka pada benda tesebt tidak tedapat Dag (kaena

25 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 5 benda adalah benda -D dan tidak has sama dengan nol. Namn, gaya ( Ueˆ ) adalah tegak ls dengan U sedangkan dag sejaja dengan U ). 3) Alian steady di sekita benda -D yang mempnyai menghasilkan gaya sebesa F Ueˆ. Oleh kaena gaya ini tegak ls dengan U adalah lift pe nit span (l) sehingga, l U (Ktta-Jokowski Theoem) Teoema ini sangatlah penting dalam Aeodinamik. dan ê, maka gaya ini Kesimplan ) dan ) dikenal sebagai D Alembet s Paadox. ekali lagi diingatkan bahwa hasil-hasil di atas didapatkan ntk alian yang tak tebatas. Jadi, ntk alian yang tebatas (alian di sekita benda) dapat menghasilkan dag dan tidak tedapat D Alembet s Paadox. 5.6 olsi Elemente dai Pesamaan Laplace D Dalam sbbagian ini, akan dibeikan solsi-solsi elemente dai pesamaan 0 ntk kass -D. epeti telah dijelaskan sebelmnya, ntk alian -D, pesamaan kontinitas 0 dipenhi jga oleh, x di mana adalah steamfnction yang jga mengikti pesamaan Laplace (ntk kass alian potensial). Dalam sbbagian ini, akan dibeikan solsi-solsi elemente ntk mapn ntk. x

26 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel oce D Untk kass da dimensi, soce flow adalah alian yang didefinisikan oleh : eˆ 0 ( ) 0 B B kecepatan ini belak di mana pn kecali di titik = 0. Di titik ini menjadi infinite. ekaang kita akan mencai haga ntk B. Petama-tama kita definisikan ˆ m e dl dl di mana dl adalah segmen kecil sepanjang lingkaan. m disebt jga soce stength. Dai definisinya, dapat dilihat bahwa q adalah volme flida yang kela dai sebah kva yang mentpi soce tesebt. Apabila kita sbstitsikan m Jadi, eˆ eˆ m B dl B Untk mendapatkan dan, kita tliskan sebagai beikt., 0 m konstan, m log konstan, ( dl d )

27 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 7 di mana x x x dan tan. x 5.6. Doblet D Kita telah lihat bahwa, ntk kass 3-D hbngan antaa doblet dengan kekatan dan soce dengan kekatan M adalah doblet M l di mana l adalah vekto yang menghbngkan posisi sink dan soce. Untk kass doblet -D dengan kekatan maka, sehingga, di mana adalah sdt antaa soce m ˆ ˆ ˆ doblet log e log e e m l doblet cos eˆl dan eˆ. Kaena l l x maka, dan doblet sin x

28 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 8 teamline dai sebah doblet didapatkan dengan menyatakan = konstan. Bentk dai steamline ntk doblet dapat dilihat dalam sketsa di atas Point Votex Kita dapat menggnakan votex ntk mendapatkan solsi pesamaan Laplace -D. Point Votex teamline yang dihasilkan oleh point votex mempnyai bentk sepeti sketsa di atas. Dai sketsa ini kita ketahi bahwa haslah sepeti, ˆ e Dengan = 0 maka, k sehingga,. d 0 0 d Untk mencai konstanta k, kita hitng sepanjang salah sat gais = konstan. k dl d k

29 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 9 sehingga, eˆ. Untk mendapatkan dan kita gnakan, 0 dan Hasilnya adalah log konstan = konstan 6.. Potensial ntk alian seagam U V Kass alian seagam adalah kass yang paling sedehana. Untk kass ini komponen kecepatan baik di x mapn di x tidak bebah tehadap posisi. Dai definisi fngsi as dan potensial kecepatan, U, V x x x x Oleh kaenanya, potensial kecepatandan fngsi as adalah,

30 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 30 V x U x U x V x 6. Contoh peneapan: Kass Alian Disekita ilinde -D Disbbagian ini kita akan melihat contoh peneapan pinsip speposisi dai solsi-solsi elemente -D. ebagai contoh, kita akan pelajai alian di sekita silinde. Contoh ini sangatlah penting kaena, walapn elatif ckp sedehana namn contoh ini membeikan petnjk bagaimana menyelesaikan pemasalahan yang lebih mit. 6.. peposisi dai alian seagam + sebah soce Misalkan kita mempnyai alian seagam diaah x. Fngsi as ntk kass ini adalah, U Kemdian kepada alian ini kita tambahkan sebah soce yang fngsi asnya adalah, so m x Apabila kita gnakan koodinat sistem (,) sepeti digambakan di atas maka, x sin, x cos Dalam koodinat sistem ini U sin menjadi, Alian yang dihasilkan oleh speposisi dai alian nifom dan sebah soce mempnyai, m so U sin

31 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 3 teamline dai alian ini didapatkan dengan menliskan m konstan Usin Beiktnya kita lihat kecepatan, m U cos. U sin Titik-titik stagnasi ata titik-titik di pemkaan benda di mana = 0 ntk kass ini adalah titik di mana m U cos 0 & U sin 0 Apabila kita selesaikan pesamaan di atas ntk & θ maka hasilnya adalah, m ( s, s ), U, dengan s = stagnasi; dan θs = θ stagnasi. Dengan demikian maka titik stagnasi bejaak m U di depan soce. Apabila koodinat titik stagnasi kita sbstitsikan kedalam pesamaan konstan maka didapatkan, U m m m sin konstan U Dengan demikian maka pemkaan benda dijelaskan oleh pesamaan, (steamline dijelaskan oleh pesamaan konstan ) m m U sin ata m m x U x tan x Apabila kita gambakan fngsi ini maka didapatkan,

32 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 3 Jadi dai contoh ini dapat dilihat bahwa speposisi dai alian seagam dengan sebah soce meepesentasikan alian disekita benda tmpl yang panjangnya tak behingga. 6.. Alian di sekita silinde bnda ekaang ktia akan lihat bahwa speposisi dai alian nifom dengan sebah doblet menghasilkan alian yang mepakan epesentasi dai alian potensial (inkompesibel) di sekita sebah silinde bnda. Fngsi as ntk alian yang mepakan speposisi dai alian seagam dan sebah doblet adalah sin doblet Usin Usin U Kaena mempnyai nit m maka kita dapat definisikan U sehingga R U R U sin.

33 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 33 Beiktnya, kita lihat komponen-komponen dai kecepatan ( dan θ). R U cos R U sin Untk menentkan bentk dai benda yang diepesentasikan oleh speposisi ini, kita cai titik-titik stagnasi kaena titik-titik ini beada di pemkaan benda. R 0 R 0 U U olsi dai keda pesamaan teakhi di atas adalah Apabila ktia sbstitsikan keda-danya,0 R dan, cos 0 sin 0, R,0 dan, R,, ini ke, R, 0. dalam pesamaan ntk maka ntk Dengan demikian, maka pemkaan benda dijelaskan oleh pesamaan = 0 ata 0 R U sin Pesamaan ini akan selal tepenhi ntk setiap haga apabila = R = konstan. Dengan demikian maka benda yang alian di sekitanya diepesentasikan adalah sebah silinde bnda dengan adis R U Apabila kita lihat steamline-steamline lainnya maka alian di sekita benda ini telihat sepeti digambakan di bawah.

34 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 34 Kaena alian di sekita silinde bnda ini adalah alian yang simetis, maka distibsi tekanannya jga simetis. Dengan kata lain silinde bnda ini tidak akan mempnyai lift. Dag sdah pasti sama dengan nol kaena alian ini adalah alian potensial. Jadi alian di sekita silinde ini tidak menghasilkan gaya apa pn. Obsevasi ini tentnya dapat dibktikan dengan mengintegasikan distibsi tekanan di sekita silinde tesebt. Untk it petama-tama kita cai Cp. p p U Cp U U di mana telah dignakan pesamaan Benolli, Di pemkaan benda = R, sehingga, U p U p. 0 dan U sin 4U Oleh kaena it, maka Cp di pemkaan benda, sin Cp 4sin Apabila Cp tesebt diintegasikan di pemkaan maka akan didapatkan Cl = 0 dan Cd = 0. Dai contoh ini kita dapat obsevasikan sesat yang penting yait, Distibsi dai soce dan sink yang diletakkan pada gais yang sejaja dengan feesteam memepesentasikan alian di sekita benda yang simetis tehadap gais

35 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 35 tesebt. Oleh kaena alian yang dihasilkan adalah alian yang simetis, maka alian di sekita benda ini tidak menghasilkan lift Alian di sekita silinde bnda yang dengan siklasi Telah kita lihat di iii) bahwa alian di sekita silinde bnda tidak menghasilkan gaya angkat/ lift. ekaang kita akan lihat apabila silinde yang sama bepta ( spinning ), apakah alian di sekita benda tesebt menghasilkan lift. Yang menjadi petanyaan adalah bagaimana meepesentasikan alian ini. Kita akan coba meepesentasikan alian ini dengan menambahkan sebah votex ke dalam alian di sekita silinde bnda. Apabila kita lakkan ini maka fngsi as ntk alian ini adalah dob votex R sin log Di mana votex yang ditambahkan sedemikian pa sehingga aliannya bepta seaah jam jam. epeti sebelmnya, langkah beiktnya adalah mendapatkan dan θ. R U cos R U sin Dengan & maka kita dapat temkan titik-titik stagnasi dipemkaan benda. R cos 0 U R U sin 0 (cc.) (cc.)

36 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 36 Dai pesamaan yang petama kita dapatkan solsi = R. sbstitsikan ke pesamaan yang keda maka didapatkan, sin 4U R Apabila solsi ini kita (cc.3) Kaena 0 maka θ haslah beada di kadan ketiga dan keempat. Jadi dai hasil ini dapat dilihat bahwa titik-titik stagnasi tegantng dai haga. Dengan kata lain, alian di sekita benda ini hanya akan menjadi alian yang nik apabila haga ditentkan. Ini sesai dengan hasil yang telah kita dapatkan sebelmnya bahwa solsi dai pesamaan Laplace ntk alian disekita benda -D yang mempnyai hanya ntk kass-kass di mana dispesifikasikan. 0 adalah solsi yang nik Dai ekspesi ntk θ, dapat disimplkan bahwa titik-titik stagnasi beada di pemkaan benda apabila tidak mempnyai ati. 4U R. Apabila 4U R maka sin θ> dan pesamaan tesebt Untk kass 4U R, kita kembali ke pesamaan (cc.). elain pesamaan ini tepenhi ntk = R, pesamaan ini jga tepenhi ntk ata. Apabila kita sbstitsikan ke dalam (cc.) maka didapatkan R 4U 4U

37 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 37 Jadi ntk kass ini tedapat titik stagnasi yang salah satnya beada di dalam silinde. Beiktnya kita lihat apakah alian ini menghasilkan lift. Untk it kita pelkan distibsi tekanan di pemkaan. epeti sebelmnya (lihat (iii)), c p adalah c p U Untk kass ini distibsi kecepatan di pemkaan adalah 0 dan U sin Dengan didapatkannya c p di pemkaan maka Cd dan Cl dapat dihitng dan hasilnya adalah, C C d l 0 c (cos ) d 0 p, c p. l (sin ) d c p, l c (cos ) d p,. (sin ) d di mana c p, l : c p di pemkaan bawah c p, : c p di pemkaan atas Apabila kita integasikan maka akan didapatkan, C 0 dan Cl d RU Dengan demikian maka dapat disimplkan bahwa alian ini menghasilkan lift. Dai contoh ini kita dapat obsevasikan sesat yang penting yait : Apabila kita tambahkan distibsi votex kepada alian yang awalnya simetis maka alian yang dihasilkan menjadi tidak simetis elatif tehadap gais yang sejaja dengan feesteam dan gaya angkat/lift akan dihasilkan.

38 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel peposisi dai olsi Elemente dan potensial ntk alian seagam Dai hasil yang telah kita dapatkan, kita ketahi bahwa solsi dai pesamaan Laplace, baik 3- D mapn -D, dapat dinyatakan sebagai speposisi dai soce, doblet, dan votex. ebelm kita gnakan kesimplan ini ntk menyelesaikan pemasalahan paktis, kita pel mempelajai lebih dalam sifat-sifat dai setiap solsi elemente tesebt. Untk menyedehanakan pemasalahan, kita akan memfokskan pada kass -D dan melihat apa yang dihasilkan oleh distibsi dai setiap solsi elemente sepanjang sebah axis (lihat sketsa) Distibsi oce Apabila kita letakkan bebeapa soce dengan kekatan (pe nit panjang diaah x), m, yang bebeda pada gais x, maka didapatkan, mtln x t x dt (i) m t dt x xt x x t (ii) x mt dt (iii) x xt x

39 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 39 Apabila kita pehatikan (iii), maka jelaslah bahwa = 0 pada x = 0 kecali pada titik di mana x = t. Dengan demikian maka haga dai integal tesebt hanya ditentkan oleh titik tesebt. Oleh kaenanya, m(t) dapat kita ganti dengan m(x) dan dikelakan dai integal. elain it, limit dai integasi dapat kita bah menjadi kaena ini tidak akan mengbah haga dai integal. ehingga apabila kita mendekati gais x = 0 (axis x di mana sama-sama diletakkan), dai aah atas (+) maka, m x x dt x,0 lim x 0 xt x Pekenalkan sehingga, x t x, dt d x d m x m x x,0 lim tan x 0 m x Dengan caa yang sama maka dapat ditnjkkan bahwa apabila kita mendekati gais x = 0 dai aah bawah (-) didapatkan m x x,0 Dengan demikian maka dapat disimplkan bahwa distibsi soce menghasilkan diskontinitas kecepatan di aah nomal sebesa, m x edangkan kecepatan di aah tangensial adalah kontiny sehingga, sebagaimana telihat pada (ii).

40 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel Distibsi Doblet ( x, x) oce ( + ) ink ( - ) θ (x-t) x Apabila kita letakkan doblet-doblet kekatan κ (pe nit panjang diaah x), m, yang bebeda pada axis x dengan aah vekto l (vekto yang menghbngkan soce dan sink) sejaja dengan smb x maka, cos x t x kaena θ adalah sdt antaa l dan (vekto yang menghbngkan doblet dengan titik (x, x)). Dengan demikian maka, t x x t x t dt xt x x x t x dt xt x t dt xt x Dai hasil ini telihat bahwa bentk integal dai sepa dengan ntk soce (iii). Dengan demikian maka distibsi doblet menghasilkan diskontinitas sebesa,

41 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 4 Kaena (). x x maka distibsi doblet menghasilkan diskontinitas kecepatan tangensial d dx edangkan kecepatan di aah nomal () tidak bebah ata, Distibsi Votex Apabila yang diletakkan di gais x adalah votex dengan kekatan x yang mepakan siklasi pe nit panjang (definisi ini dipekenalkan ntk memastikan aga nit dai potensial kecepatan tetap m /sec) maka, x t tan dt x t x t dt xt x x t t dt xt x Dai hasil ini telihat bahwa sepa dengan ntk soce (iii). Oleh kaena it dapat disimplkan bahwa distibsi votex menghasilkan diskontinitas kecepatan di aah tangensial (x) sebesa, x edangkan kecepatan di aah nomal tidak bebah (kontiny),

42 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 4 Catatan: Untk kass -D sepeti yang dibahas di sini, telihat bahwa distibsi doblet dan distibsi votex menghasilkan alian yang sepa. Dengan kata lain, alian yang dihasilkan oleh distibsi doblet dapat dimodelkan dengan menggnakan distibsi votex yang mempnyai kekatan d x. dx Kesimplan bahwa distibsi doblet dapat digantikan oleh distibsi votex ini sepa dengan apa yang kita telah lihat pada kass 3-D. 5.7 olsi Umm Pesamaan Laplace 3-D dan -D Di dalam sbbagian ini, kita akan memempelajai solsi mm dai pesamaan Laplace 3-D. ecaa mm pesamaan ini dapat ditlis sebagai beikt, = m di mana m = 0. Apabila m 0 maka pesamaan difeensial it disebt pesamaan Poisson. olsi mm ini didapatkan dengan menggnakan apa yang disebt dengan teoema Geen. Teoema ini didapatkan sebagai beikt.

43 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 43 Kita mlai dai teoema Gass yait, Apabila kita pilih A maka, V A dv A nˆ d A ehingga, dv nd ˆ ( L3D.) V Apabila kita tka vaiabel dan ( ) dalam (L3D.), dv nd ˆ ( L3D.) V Beiktnya kita kangi (L3D.) dengan ( L3D.) didapatkan, dv nd ˆ (Teoema Geen) V Untk mendapatkan solsi pesamaan Poisson, kita pilih = dimana x x (lihat sketsa diatas). Dai definisi telihat bahwa, = 0 di V kecali di titik p di mana = 0. Apabila kita tidak setakan titik p, dengan membat bola p dengan jai-jai R (lihat sketsa dibawah) maka = 0 di volme yang ba ini (pemkaan yang ba adalah, b, p). Dengan demikian maka teoema di atas menjadi, dv nd ˆ. V bp Apabila kita definisikan pemkaan t yang mepakan gabngan pemkaan dan b (dan pemkaan lain yang mepakan batas-batas flida) maka, dv nd ˆ nd ˆ V t p

44 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 44 p R p P R P t kita ambil limit R 0 sehingga, ekaang lim nd ˆ lim p 4 R R0 R0 R p R R R (p beada di dalam V). lim R p4 4 p R 0 R Pel diingat bahwa hasil teakhi didapatkan ntk titik p yang beada didalam domain (flida). Apabila titik p beada di pemkaan t, tentnya kita tidak bisa membat sebah bola. Yang bisa kita lakkan ntk kass dimana titik p beada di pemkaan t adalah membat setengah bola (lihat sketsa dibawah sebelah kii) dan ntk kass ini, lim nd ˆ lim p 4 R R R R R R0 R0 p lim R p p R 0 R (p beada di pemkaan t). Dengan demikian maka dapat disimplkan bahwa, ˆ p ( x) ( x, x, x3) dv ( ) nd n V ( x) t ( x) n 4 p didalam V p dipemkaan t Hasil di atas adalah solsi dai pesamaan Poisson 3-D. Kita lihat bahwa apabila (L3D.a) dan ˆn n diketahi di t maka di setiap titik dalam alian dapat dihitng.

45 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 45 Untk pesamaan Laplace, 0 sehingga, ( x) nd ˆ ( ) d n n n n n 4 t( x) t( x) p didalam V p dipemkaan t (L3D.b) Jadi ntk alian iotasional 3-D, solsi didapatkan dengan menggnakan (L3D.b) di mana b dan adalah batas-batas flida (total keda pemkaan adalah t) dalam pemasalahan tesebt. Pel diingat, bahwa integasi dilakkan elatif tehadap vaiabel x dan x x. Untk kass -D, solsi mm ntk pesamaan Laplace didapatkan dengan memilih ln ntk di dalam teoema Geen. Untk kass D, domain dai pesamaan Laplace bkanlah volme melainkan aea. Dengan demikian maka kita pel mengganti integal volme dan aea dalam kass 3D menjadi integal aea dan integal sepanjang kva. ama sepeti kass 3-D, di dalam domain (aea) kecali di titik P di mana = 0. Dengan membat lingkaan p 0 dengan jai-jai R maka 0 di dalam aea yang dibatasi oleh kva-kva, b, p. Di dalam domain ini, teoema Geen menjadi, ln ln ln d ndl ˆ b p epeti sebelmnya kita definisikan kva t yang mepakan gabngan antaa kve dan b (dan kva lain yang mepakan batas-batas flida) sehingga, ˆ d ndl ndl ˆ ln ln ln ln ln t p Apabila kita ambil limit R 0 lim ln ln ndl ˆ lim ln R p ln R R R0 R0 R p R ( p beada di dalam ). lim Rln R p p R 0 R epeti dalam kass 3D, apabila p tedapat di kva t maka,

46 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 46 lim ln ln ndl ˆ lim ln R p ln R R R p R (p beada di pemkaan t). lim Rln R p p R 0 R R 0 R 0 Dengan demikian maka, ln ln ln ˆ p x d ndl n n n p didalam p dikva t t Apabila 0 maka p n ln x ln dl n n n t ( x ) p didalam p dikva t (LD) ekali lagi diingatkan bahwa integasi dilakkan tehadap vaiabel x dan x x olsi mm sebagai speposisi dai soce dan doblet Dalam sb-bagian ini, akan dipelihatkan bahwa solsi mm dai pesamaan Laplace, baik 3D mapn D, adalah speposisi dai soce dan doblet yang tedapat di pemkaan banda ata batas-batas flida. Bentk solsi mm yang akan kita dapatkan ini adalah bentk yang dapat dignakan ntk mendapatkan solsi secaa nmeik. olsi mm ntk pesamaan Laplace, baik 3-D mapn D, dapat ditliskan sepeti (ntk kass D integal aea tentnya dibah menjadi integal sepanjang kva), x di mana φs adalah, s s d n n t ( x ) (MP.)

47 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 47 s n ( kass 3 D) ln n ( kass D). dan haga n tegantng dai letak titik x didalam domain ata dibatas domain (lihat pesamaan (L3D.b) dan (LD)). Jadi haga di setiap titik di dalam alian dapat dihitng apabila kita mengetahi haga dan n bagaimana dengan haga di t? di pemkaan t. n tentnya diketahi dai kondisi batas tetapi Untk it, petama-tama kita pelas domain pehitngan dengan mengiktsetakan daeah di la alian sepeti daeah di dalam t dan kita nyatakan haga yang dihasilkan oleh alian didaeah ini dengan simbol. Untk melihat kontibsi dai alian imajine ini, di sebah titik P di dalam alian, kita kembali ke teoema Geen dan gnakan teoema ini di daeah ba (volme daeah ini adalah Vt) dv Vt d n n t Kaena alian di daeah ba ini adalah alian (imajine) potensial maka 0. elain it, kaena kita pilih titik P yang beada di la Vt maka apabila kita tidak akan menemi keslitan dengan kass = 0 ( tidak akan sama dengan nol kaena P di la Vb, lihat sketsa) sehingga 0 di Vb dan s 0 s d n n (MP.) t

48 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 48 Kaena nnˆ maka apabila kita jmlahkan (MP.) dan (MP.) didapatkan d n n n B x s s t A M Kaena ntk kass 3D, misalnya, soce dan doblet 4 maka jelaslah bahwa l 4 sk A pada integal di atas menjelaskan sebah doblet dengan kekatan. edangkan sk B menjelaskan sebah soce dengan kekatan M maka solsi mm pesamaan Laplace 3-D dapat ditliskan sepeti ( x) Ms sd n s ( x ) t n ( kass 3 D), n4 ( ntk x yang beada di V ) ata n ( ntk x yang beada di t ) ln n ( kass D), n ( ntk x yang beada di ) ata n( ntk x yang beada di t ). Oleh kaena it, n n (MP.3) Dengan demikian maka dapat disimplkan bahwa solsi mm dai pesamaan Laplace 3-D adalah speposisi dai soce dan doblet pada pemkaan benda. Bebeda dengan (MP. ) dimana solsi ditentkan oleh haga potensial dan tnannya di t, dapat dilihat bahwa dengan menggnakan pesamaan (MP.3) kita mendapatkan kebebasan ntk memilih bentk dai potensial. Ini disebabkan kaena baik mapn tnannya diaah nomal belm dispesifikasikan. Dengan kata lain, distibsi dai soce dan doblet di pemkaan t bkan mepakan distibsi yang nik sehingga kita dapat memilih sat distibsi soce dan doblet yang mempemdah pehitngan.

49 Teoi Potensial Untk Alian Inkompesibel 49 olsi mm pesamaan Laplace dalam bentk (M.P.3) membeikan kita kebebasan ntk memilih bentk dai potensial mapn tnannya diaah nomal. Misalnya, kita dapat memilih di pemkaan t sehingga haga di t adalah nol dan (M.P.3) menjadi, ( x) M d. ( x ) t Dengan pilihan ini, pesamaan solsi Laplace didapatkan dengan menggnakan distibsi soce. s Apabila kita dapat memilih menjadi, n n di pemkaan t, haga di t menjadi nol dan (M.P.3) ( x) s d n. ( x ) t Dengan pilihan ini, pesamaan solsi Laplace didapatkan dengan menggnakan distibsi doblet. Pesamaan (MP.3) mennjkkan bahwa solsi pesamaan Laplace didapatkan apabila haga dan M di pemkaan diketahi. ekaang yang menjadi petanyaan bagaimana mendapatkan haga dan M di pemkaan? mengevalasi ( x) ecaa mm, haga dan M di pemkaan didapatkan dengan di pemkaan t dan biasanya ini dilakkan secaa nmeik dengan menggnakan metoda yang dikenal dengan sebtan Metoda Panel. Metoda ini akan kita pelajai lebih lanjt di BAB 7.