STK 203 TEORI STATISTIKA I

Transkripsi

1 STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak menggunakan fungsi dari peubah acak. Sebagai ilustrasi, pada saat kita akan melakukan pengujian hipotesis terhadap nilai tengah µ dari peubah acak X yang menyebar normal, statistik yang digunakan adalah t = x _ µ 0 s x Kenapa menggunakan statistik tsb? V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 2

2 Sebaran Fungsi Peubah Acak Untuk menentukan sebaran fungsi peubah acak tersebut, kita akan membahas tiga metode utama yaitu : (1) Metode Fungsi Sebaran (2) Metode Transformasi (3) Metode Fungsi Pembangkit Momen V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 3 (1) Metode Fungsi Sebaran Perhatikan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran F Y (y). Jika U = g(y) dan F U (u) adalah fungsi sebaran peubah acak U, secara umum kita bisa mencari f U (u) yang merupakan turunan pertama dari F U (u). Sedangkan F U (u) = P U (U u) = P U (g(y) u) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 4

3 (1) Ilustrasi 5.1. Jika Y ~ Seragam (0, 1) dan U = g(y) = - log(y) Dengan demikian f U (u) kita peroleh dari turunan pertama F U (u), sbb. karena 0 < y < 1 maka u = - log(y) > 0 sehingga diperoleh Kita tahu bahwa F Y (y) = y untuk 0 < y < 1. Sehingga 0 < e -u < 1 dan F U (u) = 1 F Y (y) = 1 - e -u u lainnya Bisa diperlihatkan bahwa U ~ Eksponensial (1) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 5 (1) Ilustrasi 5.2. Diketahui Y ~ Eksponensial (1). Tentukan fkp U = g(y) = Y + θ, θ > 0. Dengan metode fungsi sebaran kita peroleh : Dengan demikian kita bisa memperoleh f U (u) dengan menentukan turunan pertama dari F U (u) sbb. Kita tahu bahwa F Y (y) = 1- e -y untuk y > 0. Sehingga u - θ > 0 dan F U (u) = 1 F Y (u - θ) = 1 - e-(u - θ) Jadi u lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 6

4 (2) Metode Transformasi Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fungsi sebarannya F Y (y) dan U = g(y) adalah fungsi satu-ke-satu dari Y. Ada beberapa sifat dari fungsi satu-ke-satu yang akan kita gunakan, yaitu : (1) g akan memetakan R ke R dengan sifat monoton naik atau monoton turun (2) g akan memiliki fungsi kebalikan yang unik, g -1 V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 7 (2) Perhatikan jika g(y) adalah fungsi satu-ke-satu yang monoton naik, maka u = g(y) g -1 (u) = y, dan Dengan menurunkan F U (u) akan diperoleh aturan rantai V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 8

5 (2) Sekarang perhatikan jika g monoton naik, demikian pula dengan g -1, sehingga. Jika g monoton turun, demikian pula dengan g -1, sehingga akan tetapi f Y (g -1 (u)) < 0 sehingga bernilai positif. Untuk mengatasi kedua kasus tersebut, kita bisa menggunakan fungsi harga mutlak, sehingga fkp bagi U adalah V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 9 (2) Ilustrasi 5.3. Diketahui Y ~ Eksponensial (β). Tentukan fkp Pertama-tama, kita harus meyakinkan bahwa g adalah fungsi satu-kesatu pada daerah fungsi R Y. Mudah untuk ditunjukkan bahwa g(y) adalah fungsi yang monoton naik dan bersifat satu-ke-satu pada R Y = {y 0 < y < }. Selanjutnya kita tentukan turunan dari g -1 (u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh untuk (?) Dengan demikian U ~ Wibull (2, β) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 10

6 (2) Ilustrasi 5.4. Diketahui fkp peubah acak Y sbb. y lainnya Tentukan fkp dari U = g(y) = 1 - Y Mudah untuk menunjukkan g(y) adalah fungsi yang monoton turun dan bersifat satu-ke-satu pada R Y = {y 0 < y < 1}. Selanjutnya kita tentukan turunan dari g -1 (u), sehingga diperoleh dan dan berdasarkan formulasi sebelumnya, maka diperoleh untuk V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 11 (2) Pertanyaan berikutnya adalah BAGAIMANA KALAU g(y) BUKAN FUNGSI SATU-KE-SATU? Dalam kondisi g yang bukan fungsi satu-ke-satu kita masih bisa menggunakan metode transformasi asalkan kita dapat mempartisi R Y sedemikian sehingga diperoleh partisi-partisi yang tidak beririsan dan g pada masing-masing partisi bersifat satu-ke-satu. V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 12

7 (2) Teorema 5.1.: Perhatikan Y peubah acak kontinu dengan fkp f Y (y) dan U = g(y) adalah suatu fungsi yang tidak bersifat satu-ke-satu pada R Y tetapi kontinu. Misalkan kita dapat mempartisi R Y menjadi beberapa himpunan yang terhingga banyaknya, katakan A 1, A 2,, A k dengan (i) P(Y i A i ) > 0 untuk setiap i dan (ii) f Y (y) bersifat kontinu pada setiap A i Jika fungsi g 1 (y), g 2 (y),, g k (y) ada sedemikian sehingga g i (y) terdefinisi pada A i untuk i = 1, 2,, k serta g i (y) memenuhi sifat (i) g(y) = g i (y) untuk setiap y A i (ii) g i (y) bersifat monoton pada A i maka : u lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 13 (2) Ilustrasi 5.5. Diketahui Y ~ N(0, 1). Tentukan fkp peubah acak U = Y 2 Pertama-tama, kita lihat bahwa U = Y 2 bukan fungsi satu-ke-satu pada R Y = {y - < y < } tetapi bersifat satu-ke-satu pada A 1 = (-, 0) dan A 2 = [0, ). g(y) = y 2 bersifat monoton turun pada A 1 dan monoton naik pada A 2 dan juga berlaku R Y = A 1 A 2. Kemudian bisa kita peroleh ringkasan berikut partisi R Y transformasi invers transformasi dan pada A 1 dan A 2 berlaku V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 14

8 (2) Ilustrasi 5.5. perhatikan u = y 2 > 0, sehingga R U = {u u > 0}. Berdasarkan teorema 5.1. maka fkp bagi U adalah u lainnya ; karena Dengan demikian U ~ Gamma (1/2, 2) atau U ~ χ 2 (1) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 15 (3) Metode Fungsi Pembangkit Momen Teorema 5.2. Perhatikan X dan Y yang masing-masing memiliki fungsi pembangkit momen m X (t) dan m Y (t). Jika m X (t) = m Y (t) untuk semua nilai t maka X dan Y memiliki fkp/fmp yang sama. (sifat unik fungsi pembangkit momen). Bagaimana menentukan fkp/fmp melalui fpm? Jika kita memiliki suatu fungsi U = g(y) dan kemudian dapat ditentukan m U (t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak U, serta kita mengenali bentuknya (misal Poisson, Binomial, Normal, Gamma, dll). Kita dapat menggunakan sifat unik fungsi pembangkit momen untuk menentukan fkp/fmp dari peubah acak U. V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 16

9 (3) Ilustrasi 5.6. Jika Y ~ Gamma(α, β), perlihatkan bahwa U = g(y) = 2Y/β ~ χ 2 (2α). Kita tahu bahwa fpm Y adalah sehingga Jelas U ~ χ 2 (2α) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 17 (3) Teorema 5.3. Perhatikan Y 1, Y 2,, Y n adalah contoh acak dimana Yi memiliki fpm m Yi (t) untuk i = 1, 2,, n. Jika U = Y 1 + Y Y n maka Bisa diperlihatkan sbb. V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 18

10 (3) Ilustrasi 5.7. Jika Y 1, Y 2,, Y n ~ Bernoulli (p). Tentukan fkp U = Y 1 + Y Y n. m U (t) dapat dihitung sbb. kali m U (t) adalah fpm Binomial (n, p). Jadi U ~ Binomial (n, p) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 19 (4) Transpormasi Peubah Acak Ganda Dalam pembahasan topik ini kita akan fokus pada transformasi ganda dua yaitu jika kita memiliki U 1 = g 1 (Y 1, Y 2 ) dan U 2 = g 2 (Y 1, Y 2 ). Perhatikan jika (Y 1, Y 2 ) adalah peubah acak ganda kontinu dengan fkp bersama f Y1,Y2 (y 1, y 2 ). Jika g : R 2 R 2 yang memetakan satu-ke-satu dari R Y1Y2 ke R U1U2 dimana U 1 = g 1 (Y 1, Y 2 ) dan U 2 = g 2 (Y 1, Y 2 ) serta g 1-1 dan g 2-1 dapat diturunkan secara parsial dan diperoleh maka (u 1, u 2 ) lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 20

11 (4) Ilustrasi 5.8. Diketahui Y 1 ~ Γ(α,1), Y 2 ~ Γ(β, 1) dengan Y 1 dan Y 2 saling bebas. Jika didefinisikan : Tentukan : (a) f U1U2 (u 1, u 2 ), fkp bersama dari U 1 dan U 2 (b) f U1 (u 1 ), fkp marginal U 1 (c) f U2 (u 2 ), fkp marginal U 2 V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 21 (4) Ilustrasi 5.8. (a) f U1U2 (u 1, u 2 ), fkp bersama dari U 1 dan U 2 karena Y 1 dan Y 2 saling bebas, maka fkp bersama (Y 1, Y 2 ) adalah untuk (y 1, y 2 ) R Y1,Y2 = {(y 1, y 2 ) y 1 > 0, y 2 > 0). Dengan memperhatikan u 1 = y 1 + y 2 dan u 2 = y 1 /(y 1 +y 2 ), maka R U1,U2 = {(u 1, u 2 ) u 1 >0, 0 < u 2 < 1) dan dan V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 22

12 (4) Ilustrasi 5.8. (a) f U1U2 (u 1, u 2 ), fkp bersama dari U 1 dan U 2 dengan demikian diperoleh dan dapat ditulis (u 1, u 2 ) lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 23 (4) Ilustrasi 5.8. (b) f U1 (u 1 ), fkp marginal U 1 kita akan integralkan fkp bersama (U 1, U 2 ) untuk setiap nilai u 2 maka kita peroleh u 1 lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 24

13 (4) Ilustrasi 5.8. (c) f U2 (u 2 ), fkp marginal U 2 kita akan integralkan fkp bersama (U 1, U 2 ) untuk setiap nilai u 1 maka kita peroleh u 2 lainnya V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 25 (5) Statistik Tataan Perhatikan Y 1, Y 2,, Y n adalah contoh acak dari Y ~ f Y (y θ) dengan fungsi sebaran F Y (y). Didefinisikan Y (1) Y (2) Y (n) adalah statistik tataan (order statistics) dengan Y (1) adalah nilai terkecil, Y (2) nilai terkecil berikutnya, demikian seterusnya sehingga Y (n) adalah nilai terbesar. Karena Y i saling benas, maka fkp bersamanya adalah Π i f Y (y i θ). Menurut aturan pencacahan, akan ada n! cara yang berbeda untuk menyusun Y 1, Y 2,, Y n sehingga diperoleh Y (1) Y (2) Y (n), dengan demikian fkp bersama dari statistik tataan adalah f Y(1),Y(2),,Y(n) (y 1, y 2,, y n ) = n! Π i f Y (y i θ) = n! f Y (y 1 θ) f Y (y 2 θ) f Y (y n θ) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 26

14 (5) (a) fkp statistik minimum, Y (1) dan dan dan sehingga dapat diperoreh V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 27 (5) (b) fkp statistik maksimum, Y (n) dan dan dan sehingga dapat diperoreh V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 28

15 (5) (c) fkp statistik tataan ke-k, Y (k) Untuk mencari f Y(k) (y) coba didekati dengan model peluang multinomial. Suatu barisan {Y (i) } kita bagi dalam 3 kelas, yaitu Kelas Nilai Y Y < y Y = y Y > y Banyak anggota kelas k -1 1 n - k Karena Y i saling bebas, maka dengan pendekatan model multinomial kita peroleh dengan menginterpretasikan F Y (y) = P(Y i < y), f Y (y) = P(Y i = y) dan 1- F Y (y) = P(Y i > y), maka fkp bagi statistik tataan ke-k adalah V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 29 (5) Ilustrasi 5.9. Diberikan Y 1, Y 2,, Y 10 contoh acak dari Y ~ Beta(2,1). Tentukan : (a). P(Y (1) < 0.25) (b). P(Y (10) > 0.90) (c). P(Y (6) > 0.50) V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 30