MODEl PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK UNTUK PROSES PRENDIVILLE

Transkripsi

1 βea p-issn: / e-issn: hp://jurnalbea.ac.id Vol. 5 No. 1 (Mei) 212, Hal βea 212 MODEl PERSAMAAN DIFERENSIAL STOKASTIK UNTUK PROSES PRENDIVILLE Grania Absrak: Suau model yang banyak digunakan unuk mendekai fenomena alam adalah model persamaan diferensial sokasik, model ini banyak digunakan dalam populasi biologi. Model sokasik yang akan dibahas pada ulisan ini adalah proses Prendiville kelahiran dan kemaian logisik. Persamaan Forward Folmogorof aau Fokker Plank digunakan unuk menemukan Model Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) dari proses Prendeville ini, selain iu diemukan juga solusi eksplisinya, fungsi mean dan fungsi variansi. Kaa Kunci: Proses Prendiville; Persamaan Forward Kolmogorof; Persamaan Diferensial Sokasik A. PENDAHULUAN Banyak penomena fisik di alam dapa direpresenasikan dan lebih dipahami dengan menggunakan model maemaika, model sokhasik adalah salah saunya. Model ini adalah suau model yang paling banyak digunakan dalam populasi biologi, keunggulan model ini karena dianggap paling mendekai fenomena yang erjadi, sehingga peneliian dalam model sokasik berkembang dengan sanga pesa. Suau model sokasik yang dibua unuk mendekai penomena alam akan dipengaruhi oleh fakor noise sehingga pemilihan model Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) diperlukan disini. Dalam peneliian ini ada dua jenis model sokasik yang akan digunakan yaiu CTMC (Coninuous-ime Markov Chain) dan SDE (Sochasic Differenial Equaion) aau yang kia sebu dengan PDS. Kedua model ini dibedakan pada pendefinisian variabelnya yaiu diskre aau koninu yang digunakan unuk ukuran populasi aaupun waku. Di dalam model CTMC variabel wakunya adalah koninu eapi variabel

2 Grania, Model Persamaan Differensial keadaannya adalah diskre sedangkan unuk model PDS didasarkan pada proces diffusi dimana kedua variabelnya adalah koninu. Model sokasik perumbuhan populasi yang akan dibahas adalah proses Prendiville. Di dalam proses Prendiville raa-raa kelahiran adalah fungsi (linier) penurunan ukuran populasi. Model menggambarkan populasi mandiri di mana reproduksi dihamba oleh kepadaan penduduk. Mais & Kiffe (1996) mengaakan: We are no able o idenify any naural populaion wih a decreasing birh rae over he whole range of populaion size. However, we sugges ha he Prendiville generalizaion holds grea promise for modeling naural populaions when he sandard linear increasing rae in he early phase of populaion growh is joined wih a linearly decreasing (Prendiville) rae in he laer phase of growh. Pembahasan enang proses Prendiville dapa kia emukan dianaranya; (Parhasarahy & Kumar, 1994), (Mais & Kiffe, 1996), (Qi Zheng, 1998), (Q Zheng 1998a). Semua ulisan yang disebukan membahas proses Prendiville dengan menggunakan model sokasik CTMC. Sejauh ini penulis belum menemukan pembahasan proses Prendiville dengan menggunakan PDS, oleh karena iu penulis erarik unuk menggunakan model sokasik PDS unuk proses Prendiville. Proses Prendiville yang dibahas pada ulisan ini adalah model kelahiran dan kemaian logisik aau model kelahiran dan kemaian linier yang erbaas (di bawah dan di aas) unuk sau dimensi. Terbaas di bawah karena kia menganggap sudah ada sejumlah populasi erenu pada waku dan erbaas diaas pada suau nilai yang biasa disebu carrying capasiy disebabkan karena kepadaan penduduk. Model PDS Kelahiran kelahiran dan kemaian linier anpa baas aas elah dibahas secara umum oleh Allen, L.J.S & Allen, E.J. (23) dan Allen, E. J( 27). Langkah awal yang akan dilakukan yaiu menyajikan proses Prendiville dengan menggunakan model CTMC seelah iu merubahnya menjadi model PDS, cara yang akan digunakan unuk menghubungkan kedua model adalah dengan menggunakan persamaan Forward Kolmogorov aau persamaan Fokker Plank, sehingga persamaan ini sebagai jalan unuk mendapakan model PDS. Seelah diemukan model 76 βea Vol. 5 No. 1 (Mei) 212

3 Grania, Model Persamaan Differensial. PDS unuk proses Prendiville akan dicari solusi eksplisinya kemudian menunjukkan fungsi mean dan fungsi variansinya. B. PEMBAHASAN Suau proses Prendiville { X(), } adalah CTMC, yang mana λ n dan μ n raa-raa ransisi unuk keadaan n, sau ke aas dan sau ke bawah. Misalkan L dan M bilangan bula non negaif yang memenuhi L < M <. Raa-raa ransisi didefinisikan pada L n M, sebagai beriku: λ n = λ(m n) dan μ n = μ(n L). Misalkan X() menunjukkan ukuran populasi pada waku dan X() = x ukuran populasi awal. Misalkan juga p n () adalah peluang jumlah populasi sebanyak n pada waku maka diperoleh p n ( h) = p n () ((Mλ Lμ) (μ λ)n)hp n () λ(m (n 1))hp n 1 () μ((n 1) L)hp n1 () O(h) Bila h maka urunannya adalah p n () = ((μ λ)n Mλ Lμ)p n () λ(m (n 1))p n 1 () μ((n 1) L)p n1 () (1) Persamaan ini merupakan persamaan Forward Kolmogorov Karena p n () (n = L,, M) dibawah proses Prendiville maka menuru Takashima (1956), proses ini mengikui disribusi Binomial beriku M L p n () = ( n L ) [λ(1 e (μλ) ) ] [ λe (μλ) μ ] Masih menuru Takasima X() adalah penjumlahan konsana L dengan peubah acak X (), sehingga n L M n X ()~Bin (M L, λ(1 e (μλ) ) ) μλ Unuk menghiung fungsi mean E[X()] = E[L X ()], diperoleh E[X()] = L (M L) ( λ(1 e (μλ) ) μλ ) = L λ(m L) μλ ((1 e (μλ) )) βea: Vol. 2 No. 1 (Mei)

4 Grania, Model Persamaan Differensial Dengan cara yang serupa diperoleh fungsi variansi Var(X()) = Var (L X ()) = Var ( X ()) yaiu Var(X()) = (M L) ( λ(1 e (μλ) ) ) ( λe (μλ) μ ) = λ(m L) (μλ) 2 (μ(1 e 2(μλ) ) (μ λ)(e (μλ) e 2(ìë) )) Seelah kia meliha proses Prendiville unuk model CTMC selanjunya akan dibahas proses Prendeville unuk model PDS. Liha kembali persamaan Forward Kolmogorof (1), dp n () = p d n () = ((ì ë)n Më Lì)p n () ë(m (n 1))p n 1 () ì((n 1) L)p n1 () = 1 2 [p n1()( (n 1)(ì ë) Më Lì) p n 1 ()( (n 1)(ì ë) Më Lì)] 1 2 [p n1()((n 1)(ì ë) Më Lì) 2p n ()(n(ì ë) Më Lì) p n 1 ()((n 1)(ì ë) Më Lì)] Suau pendekaan persamaan differensial dari persamaan diaas adalah sebuah persamaan diferensial parsial dari persamaan Forwad Kolmogorov aau biasa disebu persamaan Fokker Plank: p(, x) ( (ì ë)x Më Lì)p(, x) = x 1 2 ((ì ë)x Më Lì)p(, x) 2 x 2 Persamaan ini berhubungan dengan proses diffusi yang merupakan model PDS dari proses Prendiville (kelahiran dan kemaian logisik), sehingga kia menemukan model PDS beriku; dx() = ( (ì ë)x() Më Lì)d (ì ë)x() Më Lì dw() unuk suau nilai awal x = L, dimana W() adalah Brownian moion yang urunannya mendefinisikan noise yang disebukan diawal ulisan ini. 78 βea Vol. 5 No. 1 (Mei) 212

5 Grania, Model Persamaan Differensial. Dengan menggunakan rumus Io unuk PDS di emukan solusi eksplisinya dari model PDS unuk proses Prendeville yaiu X() = Le (ìë) Më Lì ì ë (1 e (μλ) ) e (ìë)(u ) (ì ë)x(u) Më Lì dw(u) Selanjunya kia akan mencari fungsi mean dan fungsi variansinya. Dengan menggunakan sifa-sifa dari model PDS liha (Iacus, 28) h.33, kia menemukan fungsi mean E[X()] = E[Le (ìë) Më Lì ì ë (1 e (μλ) ) e (ìë)(u ) (ì ë)x(u) Më Lì dw(u)] = Le (ìë) Më Lì ì ë (1 e (μλ) ) ë(m L) = L (1 e (μλ) ) dan fungsi variansi Var(X()) = Var [Le (ìë) Më Lì ì ë (1 e (μλ) ) ë)(e (ìë) e 2(ìë) )) e (ìë)(u ) (ì ë)x(u) Më Lì dw(u)] = e 2(ìë) E [e 2(ìë)s ((ì ë)x(s) Më Lì)]ds = ë(m L) (ì(1 (ìë) 2 e 2(ìë) ) (ì Kia dapa meliha mean dan variansi kedua model ini adalah sama. C. KESIMPULAN Model persamaan diferensial sokasik unuk Prendeville dapa diperoleh dari persamaan Forward Kolmogorov dan diemukan juga solusi eksplisinya, dari pengecekan unuk fungsi nilai mean dan variansi βea: Vol. 2 No. 1 (Mei)

6 Grania, Model Persamaan Differensial menunjukkan hasil yang sama dengan model CTMC sehingga ini menunjukkan bahwa model PDS dan solusi eksplisi yang diperoleh adalah benar. DAFTAR PUSTAKA Allen, E. J. (27). Modeling wih Io Sochasic Differenial Equaions. The Nadherland: Springer. Allen, L. J. S. & Allen, E. J. (23). A comparison of hree differen sochasic populaion models wih regard o persisence ime. Theoreical Populaion Biology, 64, Iacus, S. M. (28). Simulaion and Inference for Sochasic Differenial Equaion New York: Springer. Mais, J. H., & Kiffe, T. R. (1996). Sochasic Comparmen Models wih Prendville Growh Raes. Mahemaical Biosciences, 138, Parhasarahy, P. R., & Kumar, B. K. (1994). Sochasic Comparmenal Models wih Prendville Growh Mechanisms. Mahemaical Biosciences, 125(1995), Takashima, M. (1956). Noe on Evoluionary Processes. Bull. Mah. Sais, 7, Zheng, Qi. (1998). Noe on he non-homogeneous Prendiville process. Mahemaical Biosciences, 148, 1 5. Zheng, Q. (1998a). A Sochasic Two-phase Growh Model. Bullein of Mahemaical Biology, 6, βea Vol. 5 No. 1 (Mei) 212