Var X y x E X y. g x y dx. dan varians bersyarat dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai berikut: Var Y x y E Y x. h y x dy

Transkripsi

1 0

2 VARIANS BERSYARAT Penenuan varians bersara dari sebuah peubah acak diberikan peubah acak lainna, baik diskri maupun koninu dijelaskan dalam Definisi 7.. Definisi 7.: VARIANS BERSYARAT UMUM Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskri maupun koninu, maka varians bersara dari X diberikan Y = didefinisikan sebagai: Var(X ) = E[{X - E(X )} ] aau Var(X ) = E(X ) - [E(X )] dan varians bersara dari Y diberikan X = x didefinisikan sebagai: Var(Y x) = E[{Y - E(Y x)} x] aau Var(Y x) = E(Y x) - [E(Y x)] Penenuan varians bersara dari sebuah peubah acak diskri diberikan peubah acak diskri lainna, baik varians bersara dari X diberikan Y = maupun varians bersara dari Y diberikan X = x dijelaskan dalam Definisi 7.3. Definisi 7.3: VARIANS BERSYARAT DISKRIT Jika X dan Y adalah dua peubah acak diskri, p (x ) adalah nilai fungsi peluang bersara dari X diberikan Y = di x, dan p ( x) adalah nilai fungsi peluang bersara dari Y diberikan X = x di, maka varians bersara dari X diberikan Y = dirumuskan sebagai beriku: Var X x E X. p ' x x dan varians bersara dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai beriku: Var Y x E Y x. p '' x Penenuan varians bersara dari sebuah peubah acak koninu diberikan peubah acak koninu lainna, baik varians bersara dari X diberikan Y = maupun varians bersara dari Y diberikan X = x dijelaskan dalam Definisi 7.4. Definisi 7.4: VARIANS BERSYARAT KONTINU Jika X dan Y adalah dua peubah acak koninu, g(x ) adalah nilai fungsi densias bersara dari X diberikan Y = di x, dan h( x) adalah nilai fungsi densias bersara dari Y diberikan X = x di, maka varians bersara dari X diberikan Y = dirumuskan sebagai beriku: Var X x E X. g x dx dan varians bersara dari Y diberikan X = x dirumuskan sebagai beriku: Var Y x E Y x. h x d

3 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN Fungsi pembangki momen gabungan dapa didefinisikan sebagai fungsi pembangki momen ang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan aau fungsi densias gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangki momen gabungan dapa digunakan unuk memperoleh momen-momen, baik unuk sau peubah acak maupun dua peubah acak. Fungsi pembangki momen gabungan dari dua peubah acak diskri dijelaskan dalam Definisi 7.5. Definisi 7.5: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN UMUM Jika X dan adalah dua peubah acak, baik diskri maupun koninu, maka fungsi pembangki momen gabungan dari X dan Y (dinoasikan dengan M(, )) didefinisikan sebagai: M(, ) = E[exp( X + Y)] unuk -h < < h, -h < < h, h > 0, h > 0. Fungsi pembangki momen gabungan dari dua peubah acak diskri dijelaskan dalam Definisi 7.6. Definisi 7.6: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN DISKRIT Jika X dan Y adalah peubah acak diskri dengan p(x,) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari X dan Y di (x,), maka fungsi pembangki momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai: x M, e. p( x, ) x Fungsi pembangki momen gabungan dari dua peubah acak koninu dijelaskan dalam Definisi 7.7. Definisi 7.7: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN KONTINU Jika X dan Y adalah peubah acak koninu dengan f(x,) adalah nilai fungsi densias gabungan dari X dan Y di (x,), maka fungsi pembangki momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai: x M, e. f ( x, ) dx d Berdasarkan fungsi pembangki momen gabungan dari X dan Y, kia dapa menenukan fungsi pembangki momen masing-masing dari X dan Y ang dinamakan fungsi pembangki momen marginal dari X dan fungsi pembangki momen marginal dari Y. Fungsi pembangki momen marginal dari X diperoleh dari fungsi pembangki momen gabungan dengan mensubsiusikan = 0, sehingga: M(,0) = M( ) = E[exp( X)] Penenuan momen-momen dari peubah acak X berdasarkan fungsi pembangki momenna digunakan rumus sebagai beriku: M, 0 x E( X ) 0 E X M(, 0) 0 Adapun penenuan varians dari X digunakan rumus sebagai beriku:

4 Var( X ) X Fungsi pembangki momen marginal dari Y diperoleh dari fungsi pembangki momen gabungan dengan mensubsiusikan = 0, sehingga: M(0, ) = M( ) = E[exp( Y)] Penenuan momen-momen dari peubah acak Y berdasarkan fungsi pembangki momenna digunakan rumus sebagai beriku: E( Y) M( 0, ) 0 E Y M( 0, ) 0 Adapun penenuan varians dari Y digunakan rumus sebagai beriku: Var( Y) Y Adapun nilai E(XY) dienukan dengan rumus sebagai beriku: E( XY) M, 0 KOEFISIEN KORELASI Penenuan deraja hubungan linier anara dua buah peubah acak digunakan koefisien korelasi. Rumus ang digunakan unuk menenukan deraja hubungan linier ersebu bisa diliha dalam Definisi 7.8. Definisi 7.8: KOEFISIEN KORELASI Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskri maupun koninu, maka koefisien korelasi (dinoasikan dengan ) didefinisikan sebagai: E( XY) E( X ). E( Y) E X E( X ) E Y E( Y) Selain iu, penghiungan koefisien korelasi dapa juga dilakukan berdasarkan fungsi pembangki momen gabungan dari X dan Y. Rumus ang digunakanna sama seperi di aas, dengan menggani: 3

5 a. E(XY) oleh b. E(X) oleh c. E(X ) oleh d. E(Y) oleh e. E(Y ) oleh Dalam hal ini, kelima besaran ersebu mempunai pengerian sebagai beriku: a. Turunan parsial dari M(, ) erhadap dahulu, kemudian hasilna diurunkan lagi erhadap, dan selanjuna dan disamakan dengan nol. b. Turunan parsial dari M(,0) erhadap, kemudian disamakan dengan nol. c. Turunan parsial dari M(,0) erhadap, kemudian hasilna diurunkan lagi erhadap, dan selanjuna disamakan dengan nol. d. Turunan parsial dari M(0, ) erhadap, kemudian disamakan dengan nol. e. Turunan parsial dari M(0, ) erhadap, kemudian hasilna diurunkan lagi erhadap, dan selanjuna disamakan dengan nol. Dengan demikian, penghiungan deraja hubungan anara dua buah peubah acak X dan Y dapa digunakan dengan dua cara, aiu:. perumusan ekspekasi 4

6 . perumusan fungsi pembangki momen gabungan AKIBAT KEBEBASAN STOKASTIK Kia sudah menjelaskan bahwa dua peubah acak dikaakan saling bebas, jika disribusi gabunganna sama dengan perkalian dari disribusi marginal masing-masing peubah acakna. Beberapa akiba kebebasan sokasik dari dua peubah acak bisa diliha dalam dalil-dalil beriku ini. Dalil 7.4: AKIBAT PERTAMA KEBEBASAN STOKASTIK E(XY) = E(X).E(Y) Dalil 7.5: AKIBAT KEDUA KEBEBASAN STOKASTIK E[(u(X).v(Y)] = E[u(X)].E[v(Y)] Dalil 7.6: AKIBAT KETIGA KEBEBASAN STOKASTIK M(, ) = M X ( ).M Y ( ) Dalil 7.7: AKIBAT KEEMPAT KEBEBASAN STOKASTIK Kov(X,Y) = 0 Dalil 7.8: AKIBAT KELIMA KEBEBASAN STOKASTIK = 0 Dalam hal ini, hubungan anara kebebasan sokasik dua peubah acak dan koefisien korelasina = 0 sebagai beriku:. Jika X dan Y adalah dua peubah acak ang saling bebas, maka = 0.. Jika = 0, maka X dan Y adalah dua peubah acak ang belum enu saling bebas. Dalil 7.9: AKIBAT KEENAM KEBEBASAN STOKASTIK r,s = r. s 5

7 6