Bab 3 Fungsi Elementer
|
|
- Handoko Lie
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. () Pertemuan II: Fungsi Hiperbolik, Fungsi logaritma, cabang-cabang fungsi logaritma dan sifat-sifatnya. (3) Pertemuan III: Pangkat Kompleks, Invers fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik. Di dalam bab ini akan dipelajari beberapa jenis fungsi elementer. Berangkat dari fungsi-fungsi elementer dengan variabel dan nilai real sebagaimana telah dipelajari di dalam mata kuliah kalkulus, akan didefinisikan fungsi-fungsi sejenis dengan variabel dan nilai kompleks, sehingga fungsi-fungsi real tersebut menjadi kejadian khususnya. Sebagai permulaan, terlebih dahulu akan didefinisikan fungsi eksponensial kompleks. Setelah itu, akan dikembangkan fungsi-fungsi lain dengan menggunakan fungsi eksponensial tersebut. 3.1 Fungsi Eksponensial Di dalam kalkulus, fungsi eksponensial mempunyai rumus f(x) = e x, x R (3.1) Oleh karena itu, sebagaimana telah diterangkan pada awal bab ini, fungsi eksponensial kompleks harus dapat direduksi menjadi rumus (3.1), yaitu apabila z = x + i.0, maka f(z) = e x, (3.) untuk setiap x R. Karena f(x) = e x analitik pada R dan d(ex ) = e x untuk dx setiap x R, maka fungsi eksponensial kompleks juga harus mempunyai sifat f merupakan fungsi utuh, dan f (z) = f(z), (3.3) 61
2 untuk setiap z C. Selanjutnya, akan ditentukan fungsi f(z) sehingga (3.) dan (3.3) dipenuhi. Misalkan fungsi yang dimaksud adalah f(z) = u(x, y)+iv(x, y). Karena (3.3), maka u x (x, y) = u(x, y) dan v x (x, y) = v(x, y) untuk setiap (x, y) R. Hal ini mengakibatkan adanya fungsi real g(y) dan h(y) sehingga u(x, y) = e x g(y) dan v(x, y) = e x h(y) (3.4) Sekali lagi, menurut (3.3) f fungsi utuh, artinya f analitik di setiap (x, y) R. Oleh karena itu, u dan v harmonik pada R. Jadi, untuk setiap (x, y) R berlaku persamaan differensial Laplace u xx + u yy = 0 dan v xx + v yy = 0 (3.5) Selanjutnya, dari (3.4) dan (3.5), diperoleh g (y) + g(y) = 0 dan h (y) + h(y) = 0 (3.6) Masing-masing persamaan diferensial di dalam (3.6) mempunyai penyelesaian g(y) = A 1 cos y + B 1 sin y dan h(y) = A cos y + B sin y Dengan demikian u(x, y) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) dan v(x, y) = e x (A cos y + B sin y) Karena di setiap (x, y) R, berlaku persamaan Cauchy-Riemann, maka B = A 1 dan A = B 1, sehingga f(z) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) + ie x (A cos y + B sin y) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) + ie x ( B 1 cos y + A 1 sin y) Untuk z = x, maka dari persamaan terakhir diperoleh e x = e x (A 1 ) + ie x ( B 1 ) A 1 = 1 dan B 1 = 0 6
3 Jadi, f(z) = e x (cos y + i sin y). Berdasarkan uraian di atas, selanjutnya dapat diturunkan definisi untuk fungsi eksponensial kompleks. Definisi Untuk sebarang z C, didefinisikan e z = e x (cos y + i sin y) (3.7) Untuk diperhatikan, apabila z = iθ, maka persamaan (3.7) menjadi e iθ = cos θ + i sin θ, (3.8) Persamaan (3.8) disebut rumus Euler. Dengan demikian, setiap bilangan kompleks z 0 dapat pula dinyatakan ke dalam bentuk eksponensial z = re iθ, dengan r = z dan θ = arg z. Selanjutnya, berdasarkan keterangan pada Bagian 1.4, maka untuk sebarang θ 1, θ berlaku e iθ 1 e iθ = (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ + i sin θ ) Dengan cara yang sama, diperoleh pula = (cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ ) = e i(θ 1+θ ) e iθ 1 e iθ = ei(θ 1 θ ) Dengan mengingat rumus Euler, maka (3.7) dapat pula ditulis sebagai sehingga e z = e x. Jadi, dari (3.9), diperoleh e z = e x e iy, (3.9) e z = e x dan arg(e z ) = y + kπ, k Z Karena e z = e x selalu positif, maka e z 0, 63
4 untuk setiap z C. Perhatikan bahwa berdasarkan (3.8), e iπ = 1. Jadi, berbeda dengan fungsi eksponential real yang selalu bernilai positif, maka fungsi eksponential kompleks bisa bernilai negatif ataupun kompleks. Berdasarkan (3.8) pula, e πi = 1, sehingga e z+πi = e z, untuk setiap z C. Jadi, fungsi eksponential merupakan fungsi periodik dengan periode πi. Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa e +3πi = e Berdasarkan ekspresi (3.9) di atas, sifat-sifat eksponensial menjadi mudah untuk dipahami. Sifat 3.1. Untuk sebarang z, z 1, z C dan n Z, berlaku e z 1 e z = e z 1+z (3.10) e z 1 e z = e z 1 z (3.11) (e z ) n = e nz (3.1) Bukti: Misalkan z 1 = x 1 + iy 1 dan z = x + iy. Karena x 1, x, y 1, y R, maka e z 1 e z = e x 1 e iy 1 e x e iy = e x 1 e x e iy 1 e iy = e x 1+x e i(y 1+y ) = e z 1+z, dan e z 1 e = ex1 e iy1 z e x e iy = ex1 e iy 1 e x e = iy ex 1 x e i(y 1 y ) = e z 1 z Untuk persamaan (3.1), dimisalkan z = x + iy. Berdasarkan rumus Euler dan rumus de Moivre, maka untuk n Z, diperoleh (e z ) n = (e x ) n (e iy ) n = e nx e iny = e nz. Diberikan g(w) = ln r + iθ dengan w = re iθ. Berdasarkan persamaan (3.9), maka diperoleh e g(w) = w 64
5 Hal ini berarti bahwa g(w) = ln r + iθ merupakan invers dari f(z) = e z, dan sebaliknya. Contoh Jika e z =, maka z = ln +i(n+1)π, karena = e i(n+1)π. Latihan 1. Tunjukkan f(z) = z ze z merupakan fungsi utuh.. Tentukan semua nilai z sehingga a. e z = 1 b. e z = 1 i 3 c. e 1 z = d. e z+ = 1 e z 3. Tunjukkan bahwa e z+i + e iz e x + e xy. 4. Tunjukkan e z = e z untuk setiap z C. 5. Tunjukkan bahwa f(z) = e z tidak analitik di mana-mana. 6. Selidiki kapan f(z) = e z analitik. 7. Tunjukkan (e z ) n = e nz untuk setiap n Z. 3. Fungsi Trigonometri Pada bagian sebelumnya telah diterangkan rumus Euler, yaitu e ix = cos x + i sin x untuk setiap x R. Selanjutnya, berdasarkan rumus Euler ini, berturut-turut diperoleh e ix e ix = i sin x dan e ix + e ix = cos x (3.13) 65
6 Berawal dari persamaan (3.13) di atas, maka fungsi sinus dan cosinus dengan perubah kompleks didefinisikan sebagai berikut sin z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz i (3.14) Mudah ditunjukkan bahwa sin( z) = sin z dan cos( z) = cos z Dari (3.14) terlihat bahwa sin z dan cos z masing-masing merupakan kombinasi linear fungsi utuh e iz dan e iz. Oleh karena itu, mudah dipahami bahwa sin z dan cos z keduanya merupakan fungsi utuh. Dari (3.14) dapat pula ditunjukkan bahwa d(sin z) = cos z dan d(cos z) = sin z Dalam kalkulus telah dikenal fungsi sinus hiperbolikus dan cosinus hiperbolikus, yaitu sinh y = ey e y dan cosh y = ey + e y (3.15) untuk setiap y R. Berdasarkan hal ini dan persamaan (3.14), maka mudah ditunjukkan bahwa sin(iy) = i sinh y dan cos(iy) = cosh y (3.16) Dapat diperlihatkan bahwa identitas-identitas trigonometri juga berlaku untuk perubah kompleks. Untuk itu, terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa sin z 1 cos z = sin(z 1 + z ) + sin(z 1 z ) (3.17) Berdasarkan (3.14) dan sifat-sifat fungsi eksponensial, maka sin z 1 cos z = ( eiz 1 e iz 1 i )( eiz + e iz ) = ei(z 1+z ) e i(z 1+z ) + ei(z 1 z ) e i(z 1 z ) i i = sin(z 1 + z ) + sin(z 1 z ) 66
7 Selanjutnya, berdasarkan (3.17) dapat ditunjukkan rumus-rumus identitas berikut ini: sin(z 1 + z ) = sin z 1 cos z + cos z 1 sin z, (3.18) cos(z 1 + z ) = cos z 1 cos z sin z 1 sin z, (3.19) sin z + cos z = 1, (3.0) sin z = sin z cos z, cos z = cos z sin z, (3.1) sin(z + π ) = cos z, dan cos(z + π ) = sin z. (3.) Diberikan sebarang z = x + iy. z 1 = x dan z = iy, maka berdasarkan (3.16) diperoleh Apabila dalam (3.18) dan (3.19) diambil sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, dan (3.3) cos z = cos x cosh y i sin x sinh y. (3.4) Selanjutnya, mengingat sin x + cos x = 1 dan cosh x sinh x = 1 untuk setiap x R, maka dari (3.3) dan (3.4) dapat diturunkan identitas sin z = sin x + sinh y, dan cos z = cos x + sinh y. (3.5) Karena sinh y tidak terbatas, maka berdasarkan (3.5) sin z dan cos z juga tak terbatas. Jadi, berbeda dengan sinus dan cosinus perubah real, yang nilai mutlaknya tidak lebih dari 1, maka sinus dan cosinus perubah kompleks nilai mutlaknya bisa lebih dari 1. Contoh 3..1 Selesaikan sin z = i. Penyelesaian: Berdasarkan (3.3), sin z = i sin x cosh y + i cos x sinh y = i Selanjutnya, dengan menyamakan bagian real dan bagian imaginer kedua ruas persamaan di atas diperoleh sin x cosh y = 0 dan cos x sinh y = 67
8 Karena cosh y 0, maka dari sin x cosh y = 0, diperoleh sin x = 0. Akibatnya, x = kπ atau x = (k + 1)π (3.6) Jika x = kπ, maka cos x = 1. Sehingga, dari cos x sinh y =, diperoleh sinh y = ey e y = e y e y 1 = 0 (e y 1) = Selanjutnya, karena e y 1 0, maka e y 1 =, atau y = ln(1 + (3.7) Kemungkinan lain, yaitu apabila x = (k +1)π, maka cos x = 1. Akibatnya, dari cos x sinh y =, diperoleh sinh y = ey e y = e y + e y 1 = 0 (e y + 1) = Selanjutnya, karena e y + 1 > 0, maka e y + 1 =, atau y = ln( 1 + ) = ln(1 + ) (3.8) Dari 3.6, 3.7, dan 3.8, diperoleh z = kπ ± i ln(1 + ), k Z. Kiranya pembaca dengan mudah akan dapat menunjukkan bahwa sin z = 0 z = kπ, k Z dan cos z = 0 z = (k + 1 )π, k Z 68
9 Fungsi-fungsi trigonometri yang lain didefinisikan berdasarkan fungsi sinus dan cosinus, yaitu sebagai berikut: tan z = sin z cos z, sec z = cos z cot z = sin z 1 cos z, csc z = 1 sin z Mudah dipahami bahwa tan z dan sec z analitik kecuali di titik-titik di mana cos z = 0, yaitu z = (k + 1 π, k Z. Demikian pula, cot z dan csc z analitik kecuali di titik-titik z = kπ, k Z. Selanjutnya, dengan memperhatikan turunan sin z dan cos z, diperoleh d tan z = sec z, d cot z = csc z dan d sec z = sec z tan z, d csc z = csc z cot z Latihan 1. Selesaikan persamaan-persamaan di bawah ini. a. cos z = b. sin z = 1 c. cos z = cosh d. tan z =. Tunjukkan rumus-rumus identitas (3.18), (3.19), (3.0), (3.1), dan (3.). 3. Tunjukkan bahwa a. 1 + tan z = sec z b. 1 + cot z = csc z 4. Selidiki di mana f(z) = sin z analitik. 5. Tunjukkan u(x, y) harmonik, a. u(x, y) = sin x cosh y b. u(x, y) = cos x cosh y 69
10 Selanjutnya, tentukan v(x, y) agar f(z) = u(x, y) + iv(x, y) merupakan fungsi utuh. 6. Tunjukkan a. sinh y sin z cosh y b. sinh y cos z cosh y 3.3 Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik dengan variabel kompleks didefinisikan sejalan dengan fungsi hiperbolik dengan variabel real, yaitu sebagai berikut sinh z = ez e z dan cosh z = ez + e z Kedua fungsi tersebut di atas merupakan fungsi utuh (mengapa?) dan d sinh z = cosh z dan d cosh z = sinh z Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi sin z dan cos z sebagaimana diberikan pada Bagian 3., maka diperoleh sinh(iz) = i sin z, cosh(iz) = cos z (3.9) sin(iz) = i sinh z, cos(iz) = cosh(iz) (3.30) Dengan menggunakan identitas-identitas pada 3.9 dan 3.30, mudah ditunjukkan rumus-rumus identitas sinh( z) = sinh z, cosh( z) = cosh z (3.31) cosh z sinh z = 1 (3.3) sinh(z 1 + z ) = sinh z 1 cosh z + cosh z 1 sinh z (3.33) cosh(z 1 + z ) = cosh z 1 cosh z + sinh z 1 sinh z (3.34) 70
11 dan apabila z = x + iy, maka berdasar 3.33 dan 3.34, diperoleh sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (3.35) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y (3.36) Akibatnya, sinh z = sinh x + sin y (3.37) cosh z = sinh x + cos y (3.38) Contoh Tentukan semua akar-akar cosh z = i Penyelesaian: Dengan memperhatikan 3.36, cosh z = i cosh x cos y + i sinh x sin y = i sehingga diperoleh cosh x cos y = 0 dan sinh x sin y = 1 Dari cosh x cos y = 0, diperoleh cos y = 0. Hal ini dikarenakan cosh x 0. Akibatnya, y = π + kπ atau y = 3π + kπ (3.39) untuk k Z. Apabila y = π +kπ, maka sin y = 1. Sehingga dari sinh x sin y = 1, diperoleh sinh x = 1 ex e x = 1 e x e x 1 = 0 (e x 1) = Selanjutnya, karena e x 1 0, maka e x 1 = atau x = ln(1 + ) (3.40) 71
12 Apabila y = 3π + kπ, maka sin y = 1. Sehingga dari sinh x sin y = 1, diperoleh sinh x = 1 ex e x = 1 e x + e x 1 = 0 (e x + 1) = Selanjutnya, karena e x + 1 > 0, maka e x + 1 = atau x = ln(1 + ) (3.41) Selanjutnya, dari 3.39, 3.40, dan 3.41, diperoleh atau z = ln(1 + ) + i( π + kπ), z = ln(1 + ) + i( 3π + kπ), k Z k Z Cara lain untuk menyelesaikan persamaan cosh z = i adalah langsung menggunakan definisi. Lengkapnya adalah sebagai berikut. cosh z = i ez + e z = i e z ie z + 1 = 0 (e z i) = = cis(π) Selanjutnya, dengan memperhatikan akar kompleks, diperoleh atau e z i = cis( π + kπ ), k = 0, 1 e z = i + cis( π + kπ ), k = 0, 1 Selanjutnya, dengan memperhatikan uraian pada Bagian 3.1, diperoleh atau z = ln(1 + ) + i( π + kπ), z = ln(1 + ) + i( 3π + kπ), k Z k Z. 7
13 Fungsi-fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai berikut. tanh z = sinh z cosh z, coth z = 1 tanh z sech z = 1 cosh z,, csch z = 1 sinh z Latihan 1. Tentukan d tanh z dan d coth z.. Tunjukkan rumus-rumus identitas 3.31, 3.3, 3.33, dan Bilangan c C disebut zeros dari f(z) jika f(c) = 0. Tentukan semua zeros dari sinh z dan cosh z. 4. Tentukan titik-titik singular dari tanh z. 5. Tentukan akar-akar dari a. cosh = 4 b. sinh z = i 6. Selidiki di himpunan mana f(z) = sinh(e z ). 3.4 Fungsi Logaritma Sebagaimana telah dijelaskan pada Bagian 3.1, untuk sebarang bilangan kompleks tak nol z = ρe iφ, π < φ π, persamaan e w = z mempunyai solusi w = ln ρ + i(φ + nπ), n Z Apabila logarirma kompleks log w didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + nπ), n Z (3.4) 73
14 maka diperoleh e log z = z. Kenyataan ini memberikan inspirasi untuk pendefinisan fungsi logaritma kompleks. Untuk sebarang variabel tak nol z = ρe iφ, π < φ π, fungsi log z didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + nπ), n Z (3.43) Nilai utama dari log z dicapai pada saat n = 0 dan ditulis dengan Log z. Jadi, Log z = ln ρ + iφ, π < φ π Contoh Karena 1 = e i0, maka log 1 = ln 1 + i(0 + nπ), n Z sedangkan Log 1 = 0. Secara sama, dan Log( ) = ln + iπ. log( ) = ln + i(n + 1)π Untuk sebarang variabel kompleks tak nol z = re iθ, maka argumen z, yaitu θ, dapat dituliskan sebagai θ = Arg(z) + nπ, n Z. Selanjutnya, 3.43 dapat disajikan sebagai log z = ln r + iθ (3.44) atau log z = ln r + iargz (3.45) Karena arg(z) merupakan fungsi bernilai banyak, maka log z juga bernilai banyak. Selanjutnya, untuk sebarang α R diperhatikan salah satu nilai log z, yaitu log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ α + π (3.46) 74
15 Bagian real dan imaginer dari log z adalah u(r, θ) = r dan v(r, θ) = θ (3.47) yang masing-masing kontinu pada α < θ < α + π. Selanjutnya, u r, u θ, v r, dan v θ ada dan kontinu pada α < θ < α + π dan pada domain tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann u r = 1 r v θ dan u θ = rv r Jadi, f(z) analitik pada α < θ < α + π dan Khususnya dlogz f (z) = 1 re iθ = 1 z = 1 z, π < θ < π Gambar 3.1 Selanjutnya, diperhatikan fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (3.46) untuk z {re iα : r > 0}. Bagian imaginer dari log z tersebut, yaitu v(r, θ) = θ tidak kontinu di θ = α, sebab lim θ α v(r, θ) lim θ α + v(r, θ). Oleh karena itu, f tidak ada untuk setiap z {re iα : r > 0}. Jadi, fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (3.46) analitik kecuali untuk z {re iα : r > 0}. 75
16 Cabang suatu fungsi bernilai banyak f(z) adalah fungsi bernilai tunggal F (w) yang analitik pada suatu domain D dimana untuk setiap w D, F (w) merupakan salah satu nilai dari f(z). Fungsi F (w) disebut cabang utama dari f(z) jika F (w) cabang dari f(z) dan π < argw < π. Jadi, untuk sebarang bilangan real α, fungsi log z, log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ < α + π, masing-masing merupakan cabang dari fungsi log z, z 0. Sedangkan Logz = ln r + iθ, π < θ < π adalah cabang utama dari log z. Selanjutnya, akan diteliti sifat-sifat dasar dari fungsi logaritma. sebarang z = x + iy, maka e z = e x.e iy Diberikan Selanjutnya, dengan memperhatikan (3.43), diperoleh log(e z ) = ln e x + i(y + nπ) = x + i(y + nπ) = z + (nπ)i, n Z Khususnya, Loge z = z dan Untuk sebarang z 1, z C, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa log(z 1 z ) = log z 1 + log z (3.48) log( z 1 z ) = log z 1 log z (3.49) Pembaca perlu berhati-hati dalam memahami makna persamaan (3.48) dan (3.49). Sebagaimana maksud arg(z 1 z ) = argz 1 + argz maka persamaan (3.48) harus dibaca atau diartikan bahwa sebarang nilai log(z 1 z ) sama dengan suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z. Persamaan (3.49) dibaca secara sama. 76
17 Contoh 3.4. Diberikan z 1 = z = 1, maka z 1 z = 1. Berturut-turut diperoleh log z 1 = log z = (n + 1)πi dan log z 1 z = nπi Selanjutnya, untuk sebarang n Z, nπi dapat dituliskan sebagai nπi = (k 1 + 1)πi + (k + 1)πi, (3.50) untuk suatu k 1, k Z. Ruas kiri pada (3.50) berarti sebarang nilai log z 1 z, sedangkan ruas kanan berarti suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z. Latihan 1. Hitunglah a. log(1 i) b. log( 1 + i 3) c. Log(1 + i) d. log(3 + i 3). Tentukan semua z sehingga log z = 1 πi. 3. Selidiki apakah log z = log z. Jelaskan jawaban Saudara. 4. Jika D sebarang domain yang tak memuat 0, tunjukkan u(x, y) = ln(x +y ) harmonik pada D. Selanjutnya, tentukan fungsi f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yang analitik pada D. 5. Tentukan Re{log(z + 1)}. 3.5 Pangkat Kompleks Di dalam kalkulus telah dikenal bentuk pangkat x c, untuk sebarang c > 0 dan c 1. Selanjutnya, karena ln x c = c ln x, maka dapat dituliskan x c = e c ln x (3.51) Sejalan dengan persamaan (3.51), didefinisikan bentuk pangkat kompleks. Untuk sebarang z 0 dan untuk sebarang c C, didefinisikan z c = e c log z (3.5) 77
18 Contoh Berdasarkan (3.5), berturut-turut diperoleh i = e log i = e (n+1)πi = 1 (1 i) i = e i log(1 i) = e i(ln +i(8n 1) π 4 ) = e (8n 1) π 4 +i ln Diberikan sebarang z = re iθ. Untuk sebarang α R, log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ < α + π merupakan fungsi bernilai tunggal dan analitik pada domain yang diberikan, yaitu {z : r > 0, α < θ < α + π}. Selanjutnya, karena z c = e c log z maka menggunakan aturan rantai diperoleh c = ec log z. c z = czc 1 Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol c C. Sebagaimana (3.5), Contoh 3.5. Berdasarkan (3.53), Karena f(z) = e z c z = e z log c (3.53) z = e z log z(ln +nπi) = e g(z) = c z juga merupakan fungsi utuh dan merupakan fungsi utuh, maka mudah dipahami bahwa dc z = cz log c Latihan 1. Tunjukkan a. i (+i) = e (4n+1) π, n Z b. (1 i) i = e (8n 1) π 4 i ln, n Z 78
19 . Hitunglah a. (1 + i) i b. (1 i) (1 i) 3. Tentukan cabang utama dari z i. 4. Tunjukkan ( 1 + i 3) 1 = ± dengan cara. 5. Jika z 0 dan a R, tunjukkan bahwa untuk nilai utamanya berlaku z a = a a. 3.6 Invers Fungsi Trigonometri dan Invers Fungsi Hiperbolik Invers dari sin z ditulis dengan sin 1 z. Secara sama, cos 1 z, tan 1 z, cot 1 z, sec 1 z, dan csc 1 z berturut-turut menyatakan invers dari cos z, tan z, cot z, sec z, dan csc z. Misalkan sin 1 z = w, maka z = sin w = eiw e iw i (3.54) atau ekuivalen dengan Apabila (3.55) diselesaian untuk e iw, maka diperoleh (e iw ) ize iw 1 = 0 (3.55) e iw = iz + (1 z ) 1 atau w = i log{iz + (1 z ) 1 } (3.56) Jadi berdasarkan (3.56), sin 1 z = i log{iz + (1 z ) 1 } (3.57) 79
20 Contoh Tentukan akar-akar dari sin z = i. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (3.57, z = i log{ii + (1 + 4) 1 } = i log{ ± 5} Karena log{ 5} = ln{ + 5} + i(n + 1)π dan log{ + 5} = ln{ + 5} + inπ = ln{ + 5} + inπ maka z = i{( 1) n+1 ln{ + 5} + inπ}, n Z. Selanjutnya, dengan cara yang sama mudah ditunjukkan bahwa cos 1 z = i log{z + i(1 z ) 1 } dan tan 1 z = i log i + z i z Turunan fungsi-fungsi sin 1 z, cos 1 z, dan tan 1 z diperoleh dengan mengingat turunan fungsi logaritma dan aturan rantai. d sin 1 z = 1 (1 z ) 1 d cos 1 z d tan 1 z = 1 (1 z ) 1 = z 80
21 Invers fungsi-fungsi hiperbolik dapat diperoleh sebagaimana invers fungsifungsi trigonometri. sinh 1 z = log{z + (z + 1) 1 } cosh 1 z = log{z + (z 1) 1 } tanh 1 z = 1 log 1 + z 1 z 81
22 Latihan 1. Selesaikan persamaan-persamaan berikut. a. cos z = i b. sinh z = c. tan z = 1 d. sin z = cos z. Turunkan rumus-rumus untuk cos 1 z, tan 1 z, sinh 1 z, cosh 1 z, dan tanh 1 z 3. Selesaikan cos(z + 1) = dengan cara. 8
Fungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinciCATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN KOMPLEKS
BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciBilangan dan Fungsi Kompleks
Bab 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinciFT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinci7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z
MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Keempat)
Fungsi Analitik (Bagian Keempat) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VII) Outline 1 Fungsi Analitik 2 Fungsi Analitik
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciBil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Lebih terperinciFUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
Lebih terperinciBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB III. TURUNAN 3.1 Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z D. Jika diketahui bahwa nilai lim zz f(z) z f(z z ) ada,
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciFungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma
Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
Lebih terperinciBab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
Lebih terperinciBAB I BILANGAN KOMPLEKS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciMODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciANALISA KOMPLEKS. 1. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut. z = a + ib (1)
ANALISA KOMPLEKS. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan () berikut = a + ib () dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular - a : bilangan nyata
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRIK
FUNGSI TRIGONOMETRIK MAKALAH Untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si Oleh: Kelompok V M. Sihabudin 309312422750 Rino Kitanto 309312426745
Lebih terperinciTEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
Lebih terperinciBilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Lebih terperinciANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 07, No. 1 (2018), hal 41-46. ANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI Analisis kompleks salah satu cabang matematika
Lebih terperinciTinjauan Ulang 23 Juni 2013
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013 Daftar Isi 1 Logika Matematika, Himpunan, Relasi, dan Pemetaan 3 1.1 Logika Matematika................................ 3 1.2 Formalisme Himpunan..............................
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
Lebih terperinciAturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciBAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciDASAR-DASAR MATLAB. Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya.
DASAR-DASAR MATLAB Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya. Dalam pemrograman MATLAB dikenal hanya dua tipe data, yaitu Numeric
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I
SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)
Lebih terperinciBab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Lebih terperinciPENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN
PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010 PENDAHULUAN LATAR BELAKANG
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinciBAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK
BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciFourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part I
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August
Lebih terperinci4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi
4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut
Lebih terperinci