Teknik Pengintegralan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Teknik Pengintegralan"

Hartono Sutedja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Jurusan Matematika 13 Nopember 2012

3 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah daftar integral-integral dasar yang telah diurutkan: KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL 1. du = u + C 2. a du = au + C 3. u r du = ur+1 r+1 + C, r 1 4. du u = ln u + C 5. e u = e u + C 6. a u du = au ln a + C, a > 0

4 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI 7. sin u du = cos u + C 8. cos u du = sin u + C 9. sec 2 u du = tan u + C 10. csc 2 u du = cot u + C 11. sec u tan u du = sec u + C 12. csc u cot u du = csc u + C 13. tan u du = ln sec u + C 14. cot u du = ln sin u + C

5 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK 15. sinh u du = cosh u + C 16. cosh u du = sinh u + C 17. sech u du = tanh u + C 18. csch u du = coth u + C 19. sech u tanh u du = sech u + C 20. csch u coth u du = csch u + C

6 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI ALJABAR 21. du a 2 u 2 = sin 1 ( u a ) + C 22. du a 2 +u 2 = 1 a tan 1 ( u a ) + C 23. du u u = 1 2 a 2 a sec 1 ( u a ) + C = 1 a cos 1 ( a u ) + C

7 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal FUNGSI-FUNGSI ALJABAR 24. du a 2 +u 2 = ln(u + u 2 + a 2 ) + C 25. du u 2 a 2 = ln u + u 2 a 2 + C 26. du = 1 a+u a 2 u 2 2a ln a u + C 27. du = 1 u a 2 u 2 a ln a+ u 28. du = 1 a ln a+ u a 2 +u 2 a 2 u 2 a 2 +u 2 u + C + C

8 Pengintegraan dengan Teorema (Substitusi) Untuk menentukan f (x) dx, kita dapat mensubstitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f (x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka f (x) dx = h(u) du = H(u) + C = H(g(x)) + C

9 Beberapa Integral Trigonometri Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metode substitusi kita akan dapat mengintegralkan banyak bentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometri yang sering muncul adalah: 1. sin n x dx dan cos n x dx 2. sin m x cos n x dx 3. tan n x dx dan cot n x dx 4. tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx 5. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx

10 Jenis 1: sin n x dx dan cos n x dx Diperlukan identitas trigonometri: sin 2 x = 1 2 (1 cos 2x) dan cos2 x = 1 (1 + cos 2x) 2 dan sin 2 x = 1 cos 2 x dan cos 2 x = 1 sin 2 x

11 Jenis 2: sin m x cos n x dx Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. sin m x cos n x dx Prosedur Identitas Terkait - Pilihlah faktor dari cos x n ganjil - Gunakan kesamaan terkait cos 2 x = 1 sin 2 x Substitusi u = sin x - Pilihlah faktor dari sin x m ganjil - Gunakan kesamaan terkait sin 2 x = 1 cos 2 x - Substitusi u = cos x m dan n genap - Gunakan kesamaan terkait untuk sin 2 x = 1 (1 cos 2x) 2 mereduksi pangkat sin x dan cos x cos 2 x = 2 1 (1 + cos 2x)

12 Jenis 3: tan n x dx dan cot n x dx Untuk menghitung integral berbentuk tan n x dx dan sec m x dx dimulai dengan rumus integral dasar tan x dx = ln sec x + C sec x dx = ln sec x + tan x + C Sedangkan untuk perpangkatan yang lebih tinggi dapat direduksi dengan rumus: tan n x dx = tann 1 n 1 tan n 2 x dx sec m x dx = secm 2 x tan x + m 2 sec m 2 x dx m 1 m 1

13 Jenis 4: tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuk tan m x sec n x. tan m x sec n x dx Prosedur Identitas Terkait - Pilihlah faktor pembagi dari sec 2 x n genap - Gunakan kesamaan terkait sec 2 x = 1 + tan 2 x Substitusi u = tan x - Pilihlah faktor dari sec x tan x m ganjil - Gunakan kesamaan terkait tan 2 x = sec 2 x 1 - Substitusi u = sec x m genap dan n ganjil - Gunakan kesamaan terkait untuk tan 2 x = sec 2 x 1 mereduksi pangkat dari sec x - Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec x Dengan pertolongan kesamaan 1 + cot 2 x = csc 2 x prosedur diatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk cot m x csc n x dx.

14 Jenis 5: sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx Untuk menghitung integral berbentuk sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx digunakan rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawah ini: sin mx sin nx = 1 [cos(m + n)x cos(m n)] 2 cos mx cos nx = 1 [cos(m + n)x + cos(m n)x] 2 sin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m n)x] 2

15 Integran yang memuat n ax + b Apabila didalam integran ada bentuk n ax + b, substitusi u = n ax + b dapat merasionalkan integran.

16 Integran yang memuat a 2 x 2, a 2 + x 2 dan x 2 a 2 Untuk merasioanalkan bentuk bentuk integran a 2 x 2, a 2 + x 2 dan x 2 a 2 kita gunakan masing-masing substitusi sebagai berikut: Ekspresi Substitusi Pembatasan θ Kesamaan trigonometri dalam yang diperlukan untuk integran penyederhanaan a 2 x 2 x = a sin θ π 2 θ π a 2 a 2 sin 2 θ = a 2 cos 2 θ 2 a 2 + x 2 x = a tan θ π 2 θ π a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 sec 2 θ 2 x 2 a 2 x = a sec θ 0 θ π (x a) a 2 sec 2 θ a 2 = a 2 tan 2 θ 2 π θ 3π 2 (x a)

17 Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna Apabila sebuah bentuk kuadrat x 2 + Bx + C muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sempurna sebelum kita menggunakan substitusi trionometri.

18 Pecahan Parsial Setiap fungsi rasional P(x) Q(x) dengan derajat pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan P(x) Q(x) = F 1(x) + F 2 (x) F n (x) dimana F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x) fungsi-fungsi rasional dalam bentuk A 1 (ax+b) k atau Ax+B (ax 2 +bx+c) k Suku-suku F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x) pada sisi kanan persamaan diatas disebut pecahan parsial sedangkan semua sisi kanannya disebut dekomposisi pecahan parsial dari sisi kiri.

19 Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahan parsial suatu fungsi rasional P(x) Q(x) yang mempunyai derajat pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalah dengan memfaktorkan Q(x), secara lengkap menjadi faktor linier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, dan mengumpulkan faktor berulang sehingga Q(x) dinyatakans ebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk (ax + b) m dan (ax 2 + bx + c) m.

20 Faktor-faktor Linier Jika semua faktor Q(x) linier, maka dekomposisi pecahan dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut: parsial P(x) Q(x) Teorema (Aturan Faktor Linier) Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + b) m, dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: A 1 ax + b + A 2 (ax + b) A m (ax + b) m dengan A 1, A 2,..., A m konstanta yang ditentukan.

21 Faktor-faktor Kuadratik Jika beberapa faktor Q(x) adalah kuadratik yang tidak dapat disederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu pada dekomposisi pecahan parsial P(x) Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut: Teorema (Aturan Faktor Kuadratik) Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax 2 + bx + c) m, dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: A 1 x + B 1 ax 2 + bx + c + A 2 x + B 2 (ax 2 + bx + c) A m x + B m (ax 2 + bx + c) m dengan A 1, A 2,..., A m, B 1, B 2,..., B m konstanta yang ditentukan.

22 Integral yang mencakup pangkat rasional Integral yang mengandung pangkat rasional x seringkali dapat disederhanakan dengan substitusi u = x 1 n dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dalam pangkat. Tujuan dari substitusi ini adalah untuk mengganti pangkat-pangkat pecahan dengan pangkat bilangan bulat, yang lebih mudah untuk dikerjakan.

23 Contoh: x x dx Jawab: Digunakan subsitusi u = x 1 6 karena 6 adalah KPK dari 2 dan 3. Sehingga didapat x = u 6 dan dx = 6u 5 du. Untuk x, 1 x = (x 6 ) 3 = u 3, sedangkan untuk 3 x, 3 x = (x 1 6 ) 2 = u 2.

24 Sehingga x x dx = = = u u 2 6u5 du 6u u 2 du 6u 6 6u 4 + 6u u 2 du = 6 7 u7 6 5 u5 + 2u 3 6u + ln u u 2 + C = 6 7 (x 1 6 ) (x 1 6 ) 5 + 2(x 1 6 ) 3 6(x 1 6 ) +... ln (x 1 6 ) (x 1 6 ) 2 + C

25 Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali, dan hasilbagi berhingga dari sin x dan cos x Contoh: sin x + 3 cos 2 x cos x + 4 sin x, sin x 1 + cos x cos 2 x, 3 sin 5 x sin x

26 Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu dv = uv v du Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkan pengintegralan u dv pada pengintegralan v du yang tergantung pada pemilihan u dan dv yang tepat.

27 Pengintegralan Parsial Integral Tentu b a b u dv = [uv] b a v du a

dokumen-dokumen yang mirip

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan