FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
|
|
- Budi Santoso
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy
2 Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba anda analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban anda!
3 Sistem Bilangan Kompleks DEFINISI: Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real dan y yang dinyatakan dengan lambang =,y. Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai C :,y :, y R a. Pada bilangan kompleks =,y, =Re dan y=im b. Bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni, bila Re= c. jika Re= dan Im=1, maka disebut satuan imajiner yang dilambangkan dengan i=1,.
4 Sistem Bilangan Kompleks 3 DEFINISI: Diberikan bilangan kompleks n = n,y n, n=1,. Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan a 1 = jika dan hanya jika 1 = dan y 1 = y b 1 + = 1 +,y 1 +y c 1 - = 1 +- = 1 -,y 1 -y d k 1 = k 1,ky 1, k konstanta real e 1 = 1 y 1 y, 1 y + y 1
5 Sistem Bilangan Kompleks 4 Coba Anda buktikan teorema berikut: Sistem bilangan kompleks C,+,. merupakan suatu lapangan field. Sebelum membicarakan bahwa sistem bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistem bilangan real, coba buktikan terlebih dahulu teorema berikut: Diberikan himpunan C C :,, R. Jika f : R C suatu fungsi yang didefinisikan dengan f,y=,, maka f fungsi bijektif.
6 Sistem Bilangan Kompleks 6 Berdasarkan kesimpulan di atas, coba Anda tuliskan definisi operasi pada himpunan bilangan kompleks C. DEFINISIOperasi Konjuget: Diberikan bilangan kompleks. Bilangan kompleks sekawan konjuget dari didefinisikan dengan. iy iy;, y R
7 Sistem Bilangan Kompleks 7 Coba anda buktikan teorema berikut: Diberikan 1, C. Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah a 1 1 e b 1 1 f c 1 _ Re 1 g Re 1 1 d / /, h i Im Im
8 Geometri bilangan kompleks Y Sumbu imajiner.,y=+iy= arg arg Sumbu real X
9 Geometri bilangan kompleks 3 Segmen o menyatakan bilangan kompleks =+iy Panjang segmen o menyatakan modulus dari dan dilambangkan dengan, dan y Untuk sebarang nilai utama argumen didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen yang memenuhi hubungan o, sumbu real positif argumen arg Nilai tunggal argumen tersebut dilambangkan dengan Arg.
10 Geometri bilangan kompleks 4 Buktikan sifat-sifat modulus dari suatu bilangan kompleks berikut ini. Jika C,w, maka berlaku, w w h w w d w w g c w w f w w b w w w e a
11 Akar Bilangan Kompleks 1 Coba Anda buktika teorea De Moivre : Jika C dengan r cos isin maka n r n cos n isin n untuk setiap n Z. DEFINISI Akar: Diberikan 1 w n,w C. Akar pangkat n dari w ditulis didefinisikan sebagai bilangan kompleks sehingga berlaku n w, n N, dan n.
12 Akar Bilangan Kompleks a. Hitunglah i 1/3 b. Berdasarkan penyelesaikan yang anda kerjakan, simpulkan bagimana cara menyelesaikan akar bilangan kompleks. Nyatakan kesimpulan tersebut dalam bentuk teorema, kemudian buktikan!
13 FUNGSI KOMPLEKS [1] DEFINISI Fungsi bernilai tunggal: Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai tunggal f : A B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap A dengan tepat satu w B yang dinotasikan dengan w = f. Berdasarkan definisi diatas, tuliskan domain dan range fungsi f, kemudian berikan contoh fungsi bernilai tunggal. Sekarang bandingkan apakah definisi berikut bertentangan dengan definisi fungsi bernilai tunggal? Berika penjelasan secukupnya.
14 FUNGSI KOMPLEKS [] DEFINISI Fungsi Bernilai Banyak : Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai banyak f:a B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap A dengan paling sedikit satu w B dan terdapat A yang dipasangkan dengan paling sedikit dua w B. Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f, A dan s=g, B. Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padad=a B.
15 FUNGSI KOMPLEKS [3] Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Tuliskan definisi fungsi komposisi dari f dan g. Kemudian definisikan domain dan range fungsi komposisi g o f. Diskusikan! Diberikan fungsi f = 3+i dan g = ++1 i a. Tentukan f + g b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
16 FUNGSI KOMPLEKS [4] Diberikan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f, A dan s=g, B. Tuliskan Operasi dari fungsi f dan g pada D = A B Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar fungsi komposisi f dan g terdefinisi. Kemudian tuliskan persamaan fungsi komposisi f dan g, domain dan range gof Diskuskan! Diberikan fungsi f = 3+i dan g = ++1 i a. Tentukan f + g b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
17 Fungsi yang berbentuk eksponen. DEFINISI: FUNGSI EKSPONEN f disebut fungsi Untuk bilangan kompleks = + iy didefinisikan e = e cos y + i sin y. Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema berikut: Jika,w C, maka a e d e e b e +w =e.e w w e e e w e i c e e f Jika =+iy, maka e e dan Arge =y e, C
18 FUNGSI TRIGONOMETRI [1] DEFINISI: Untuk bilangan kompleks didefinisikan a cos e i e i b c d e f sin tan cot sec csc e i i sin cos cos sin 1 cos 1 sin e i
19 FUNGSI TRIGONOMETRI [] Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut: Jika,w C, maka berlaku a b c d e sin cos sin cos sin jika jika cos sin cos dan hanya dan hanya 1 jika jika k, k k, Z k Z
20 FUNGSI TRIGONOMETRI [3] iy y k iy y j iy y i y i iy y i y h w w w g w w w f, sinh cos cos, sinh sin sin, sinh sin cosh cos cos, sinh cos cosh sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin
21 FUNGSI HIPERBOLIK [1] DEFINISI : Untuk variabel kompleks didefinisikan fungsi hiperbolik a sinh 1 e e b cosh 1 e e c tanh sinh cosh
22 FUNGSI HIPERBOLIK [] DEFINISI : Untuk variabel kompleks didefinisikan fungsi hiperbolik d e f coth sec csh cosh sinh 1 cosh 1 sinh
23 FUNGSI HIPERBOLIK [3] Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut: Jika,w C, maka berlaku sifat-sifat a b 1 c cosh coth tanh d sinh 1 e cosh sinh sech csch sinh cosh f tanh tanh 1
24 FUNGSI HIPERBOLIK [4] g h i sinh cosh sinh w sinh coshw cosh sinh w w cosh coshw sinh sinh w sinh cos y icosh sin y, iy j cosh cosh cos y i sinh sin y, iy k sinh sinh sin y, iy l cosh cosh sin y, iy
25 Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan o C, r R,dengan r>. a N o,r={ C: o < r} disebut lingkungan r dari o b N* o,r={ C:< o < r} disebut lingkungan r dari o tanpa o
26 Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik dalam himpunan A, jika terdapat bilangan r>, sehingga berlaku Np,r A. b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan A = {p C: p titik dalam himpunan A}. c. Titik p C disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan r>, sehingga berlaku Np,r A C. d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku A =A, yaitu setiap A merupakan titik dalam himpunan A.
27 Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [3] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan r> berlaku Np,r A {p}. b. Himpunan titik limit A didefinisikan dengan A = { p C: p titik limit himpunan A } c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku A A. d. Titik p C disebut titik terasing terpencil himpunan A, jika dan p bukan titik limit A, yaitu terdapat bilangan r> sehingga berlaku Np,r A=.
28 Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [4] DEFINISI: Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan r> berlaku Np,r A dan Np,r Ac. b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan A = {p: p titik batas himpunan A} c. Interior himpunan A didefinisikan dengan IntA = {: titik dalam A} d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan EksA ={: titik luar A} e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan A A A A A
29 Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [5] Definisi : Diberikan himpunan A C a. Himpunan A dikatakan terhubung connected, jika setiap 1, A dapat dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A b. Himpunan A dikatakan daerah domain di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya. Catatan: Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.
30 Limit Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah D C dan D. a. lim f Ljika dan hanya jika untuk setiap bilangan > terdapat bilangan > sehingga jika < - o <, D berlaku f-l < b. lim f L jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan NL, terdapat lingkungan terhapuskan N*, sehingga jika N*, D berlaku f NL,.
31 Limit Fungsi Kompleks [] Buktikan bahwa: i lim 1 a. b. i lim i iy 4i TEOREMA : Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada daerah D C dengan o D dan L,M C. a. jika lim f L dan lim f M, maka L = M o o b. lim f L jika dan hanya jika terdapat bilangan o k> dan bilangan > sehingga berlaku * f k untuk setiap N, D o
32 Limit Fungsi Kompleks [3] TEOREMA: Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah D=D f D g C dengan o D. Jika lim f L dan lim g M, maka a. lim [ f g ] L M b. c. d. lim lim lim kf kl, k [ f. g ] LM f L, M g M C
33 Limit Fungsi Kompleks [4] TEOREMA : 1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah D C dengan o D. a. lim f jika dan hanya jika lim f b. jika lim f L, L maka lim o f L. Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada daerah D=D f D g C dan o D. Jika f g untuk setiap N*o, D, lim f L dan, maka lim h L lim g L h
34 Limit Fungsi Kompleks [5] TEOREMA : 1. Diberikan f=u,y+iv,y terdefinisi pada daerah D C dan o=a+ib D. lim f A ib jika dan hanya jika lim u, y A dan, y a, b. Diberikan f=u,y+iv,y terdefinisi pada daerah D C dan o=a+ib D. Jika lim f L, maka lim f selalu ada dengan nilai L untuk lim v, y suatu titik limit S. B o, y a, b sepanjang kurva S D dan o
35 Limit Fungsi Kompleks [6] Diskusikan! 1. Diketahui f= y y i. Selidiki apakah lim f y 1 ada. y yi. Buktikan bahwa lim 4 y y Selidikilah apakah lim i y 1 1 ada?
36 Kekontinuan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada region D C yang memuat o dengan o suatu titik limit dari D. Fungsi f dikatakan kontinu di o jika f f lim b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C yang memuat. Fungsi f dikatakan kontinu di o jika untuk setiap bilangan > terdapat bilangan > sehingga jika, D berlaku f f c. Fungsi f dikatakan kontinu pada region D C jika f kontinu di setiap titik pada D
37 Kekontinuan Fungsi Kompleks [] Diskusikan bukti teorema berikut: a. Diberikan f = u,y + iv,y terdefinisi pada region D C yang memuat o = a + ib. Fungsi f kontinu di o jika dan hanya jika u,y dan v,y kontinu di a,b. b. Diberikan fungsi f dan g terdefinisi pada region D C dan o D dan k suatu konstanta kompleks. Jika f dan g kontinu di o, maka fungsi f + g, kf, dan fg semuanya kontinu di o. Sedangkan fungsi f/g kontinu di o asalkan g o.
38 Kekontinuan Fungsi Kompleks [3] c. Jika fungsi kompleks f kontinu di o dan fungsi g kontinu f o, maka fungsi komposisi g o f kontinu di o. d. Fungsi polinom f kontinu pada seluruh bidang kompleks. h e. Fungsi rasional f h dan g fungsi g polinom kontinu pada C { C: g = }
39 Turunan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan o D. Turunan fungsi f di o didefinisikan dengan jika limit ini ada. b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C. Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan jika limit ini ada. f f lim f ' f f lim f f f lim ' w f w f w lim
40 Turunan Fungsi Kompleks [] Diskusikan bukti teorema berikut: Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D dan o D. Jika f o ada, maka f kontinu di o. Perlihatkan bahwa f kontinu di seluruh bidang kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di =. Diberikan fungsi f dan g dapat diturunkan pada region D C, tuliskan turunan fungsi f + g, f g, kf k konstanta dan fg pada D. C
41 Turunan Fungsi Kompleks [3] Buktikan teorema berikut: Diberikan fungsi f yang dapat ditunkan pada C. a. Jika f = k untuk setiap C dengan k suatu konstanta, maka f = b. Jika f = untuk setiap C, maka f = 1 c. Jika f = n untuk setiap C, n N, maka f = n n-1 d. Jika f = a o n + a 1 n a n-1 + a n untuk setiap C, n N, maka f = a o n n-1 + a 1 n-1 n- + + a n-1 e. Jika f = n untuk setiap C, n Z, maka f = n n-1
42 Persamaan Cauchy Reimann [1] Buktikan teorema berikut: a. Diberikan terdefinisi pada region D C dan o = o +iy o D. Jika maka sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu ada, f o ',y y u i,y y v,y v i,y u f o o o o o o o o o ',y v,y y u dan,y y v,y u o o o o o o o o
43 Persamaan Cauchy Reimann [] b. Diberikan f u, y iv, y terdefinisi pada region D C dan o= o +iy o D. Jika 1 fungsi u,y, v,y, u,y, u y,y, v,y,dan v y,y semuanya kontinu di titik o = o,y o Memenuhi persamaan Cauchy Reimann u o,y o = v y o,y o dan u y o,y o = - v o,y o maka f o ada dan f o = u o,y o +i v o,y o = v y o,y o -i uy o,y o
44 Persamaan Cauchy Reimann [3] Diskusikan! 1. Diberikan fungsi f dengan aturan f 1 sin,, y,, y,, Perlihatkan bahwa f ada tetapi tak kontinu di,.
45 Persamaan Cauchy Reimann [4]. Diberikan fungsi f dengan aturan f,, Tunjukkan bahwa persamaan C R dipenuhi di =, tetapi f tidak ada.
46 Persamaan Cauchy Reimann [5] 3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya. a. f = iy b. f = c. f =
47 Sekian Terima Kasih
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi
Lebih terperinciANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Lebih terperinciBilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperinciMODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA 1 MINGGU KE- POKOK DAN SUB POKOK BAHASAN TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU) SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATAKULIAH : FUNGSI KOMPLEKS (3 SKS)
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciFungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciBAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciBil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Lebih terperinciCATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinciBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Lebih terperinciKuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciBAB I BILANGAN KOMPLEKS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN KOMPLEKS
BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran
Lebih terperinciTinjauan Ulang 23 Juni 2013
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013 Daftar Isi 1 Logika Matematika, Himpunan, Relasi, dan Pemetaan 3 1.1 Logika Matematika................................ 3 1.2 Formalisme Himpunan..............................
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI. f : x y
. Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinci(a) (b) Gambar 1. garis singgung
BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciMateri UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciFUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciintegral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.
integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciDIKTAT ANALISA KOMPLEKS. BINTI ANISAUL K, M.Pd.
DIKTAT ANALISA KOMPLEKS BINTI ANISAUL K, M.Pd. BAB I BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan ang sudah dikenal sebelumna aitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternata masih belum cukup untuk
Lebih terperinci65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciKALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciMAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti
33 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian Penelitian dilaksanakan di SMAN 1 Kasihan untuk kelas XI IPA1 dan XI IPA2 pada bulan April- Mei 2014. Pada bulan April 2014 peneliti melakukan
Lebih terperinciANALISA KOMPLEKS. 1. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut. z = a + ib (1)
ANALISA KOMPLEKS. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan () berikut = a + ib () dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular - a : bilangan nyata
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK KED
FUNGSI DAN GRAFIK 1.1 Pendahuluan Deinisi unsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan
Lebih terperinciTINJAUAN MATA KULIAH... MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Kegiatan Belajar 1: Latihan Rangkuman Tes Formatif
Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... i MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Pernyataan, Negasi, DAN, ATAU, dan Hukum De Morgan...... 1.3 Latihan... 1.18 Rangkuman... 1.20 Tes Formatif 1...... 1.20 Jaringan Logika
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Lebih terperinciAljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul
Lebih terperinciHendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
Lebih terperinci[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I
FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan
Lebih terperincimatematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinci