TEKNIK PENGINTEGRALAN

Transkripsi

1 TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2

2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi Pecahan Parsial (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

3 Pendahuluan Manfaat Teknik Pengintegralan Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita: menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar, menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris, menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan, memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu, memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkan serangga jantan yang mandul, dsb. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

4 Teknik Integral Pendahuluan (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

5 Pendahuluan Ringkasan Formula Integral Taktentu. x n dx = x n+ / (n + ) + C, n = 2. sin x dx = cos x + C 3. cos x dx = sin x + C 4. sec 2 x dx = tan x + C 5. csc 2 x dx = cot x + C 6. sec x tan x dx = sec x + C 7. csc x cot x dx = csc x + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

6 Pendahuluan tan x dx = ln cos x + C cot x dx = ln sin x + C dx = ln x + C x e x dx = e x + C a x dx = ax + C, a > 0, a = ln a ( a2 x = x ) 2 sin + C a a 2 + x 2 = ( x ) a tan + C a (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

7 Manipulasi Integran Manipulasi Integran Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelum dapat menggunakan teknik integral tertentu. Beberapa teknik manipulasi aljabar: Melengkapi kuadrat Menambahkan "0" Mengalikan "" Substitusi merasionalkan (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

8 Manipulasi Integran Contoh (Manipulasi Integran) Tentukan integral berikut: Melengkapi kuadrat: x 2 + 2x + 2 dx 2 Menambah "0": + e x dx 3 Mengalikan "": cos x dx 4 Substitusi merasionalkan: x x dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

9 Manipulasi Integran Substitusi Merasionalkan Integran yang melibatkan bentuk akar n ax + b seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambil substitusi u = n ax + b, atau u n = ax + b, sehingga nu n du = a dx () Contoh Tentukan 9 4 x x dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

10 Manipulasi Integran Soal (Manipulasi Integran) Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integral berikut: + x x dx, jawab: sin x x 2 + C 2 0 x + 3 x dx, jawab: 2 ln 8 2x + 3 x 2 + 2x + 5 dx, jawab: ln ( x 2 + 2x + 5 ) ( ) 2 tan x+ 2 + C 4 5 /2 dx, 2x x 2 x 0 x dx, jawab: 6 π jawab: 9 ln x 9 + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

11 Integral Parsial Kapan Integral Parsial Digunakan? Integral Parsial Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda. Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi transenden (logaritma, eksponen, trigonometri beserta inversnya) Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi) Contoh: ln x dx, sin x dx, cos (ln x) dx Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsi transenden) Contoh: xe x dx, x 2 sin x dx, e x cos x dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2

12 Integral Parsial Teknik Pengintegralan Parsial d dx [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + g (x) f (x) f (x) g (x) dx + g (x) f (x) dx = f (x) g (x) f (x) g (x) dx = f (x) g (x) g (x) f (x) dx (2) Ambil u = f (x) du = f (x) dx, dv = g (x) dx v = g (x). Akibatnya, (2) menjadi u dv = uv v du (3) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

13 Integral Parsial Penentuan u dan dv u dv = u v v du dv mudah diintegralkan (menjadi v), v du lebih mudah dibandingkan u dv. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

14 Integral Parsial Contoh (Integral Parsial) Tentukan: 2 ln x dx (hanya ada alternatif u, dv) Jawab: ln x dx = x ln x x + C 2 ln x dx = 2 ln 2. 2 x 2 e x dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat) Jawab: e x ( x 2 2x + 2 ) + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

15 Integral Parsial Soal (Integral Parsial) Hitung integral ( 3) sin x dx, jawab: x sin x + x 2 + C 2 e x cos x dx, jawab: 2 ex (cos x + sin x) + C) 3 e x dx, ambil u = x, lalu gunakan integral parsial 4 Carilah kesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 =. "Pada (/t) dt ambil u = /t dan dv = dt sehingga du = /t 2 dt, v = t. Akibatnya, (/t) dt = + (/t) dt atau 0 =." 5 Andaikan G n = n (n + ) (n + 2) (n + n), perlihatkan bahwa lim n (G n /n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (G n /n), kenali sebagai suatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

16 Dekomposisi Pecahan Parsial Dekomposisi Pecahan Parsial Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsi polinom) sejati: p (x) r (x) dx = q (x) dx dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x). Bila derajat p (x) derajat q (x), lakukan pembagian sehingga diperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati. Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan cara menguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x) menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

17 Dekomposisi Pecahan Parsial Metode Dekomposisi Pecahan Parsial p (x) q (x) dx Kasus : q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda, q (x) = (a x + b ) (a 2 x + b 2 )... (a k x + b k ), p (x) q (x) dx = A (a x + b ) dx + A 2 (a 2 x + b 2 ) dx + + A k (a k x + b k ) dx Contoh dx x 2 4 = dx (x 2) (x + 2) = A x 2 dx + B x + 2 dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

18 Dekomposisi Pecahan Parsial p (x) q (x) dx Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang, q (x) = (ax + b) r, p (x) q (x) dx = A ax + b dx + A 2 (ax + b) 2 dx + + A r (ax + b) r dx Contoh 5x 2 + 3x 2 (x + 2) x 2 dx = A B x + 2 dx + x dx + C x 2 dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

19 Dekomposisi Pecahan Parsial p (x) q (x) dx Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan, q (x) = ax 2 + bx + c dengan b 2 4ac < 0, p (x) q (x) dx = Ax + B ax 2 + bx + c dx Contoh 2x + 4 Ax + B (x 2 + ) (x ) 2 dx = x 2 + dx + Jawab koefisien: A = 2, B =, C = 2, D =. C x dx + D (x ) 2 dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

20 Dekomposisi Pecahan Parsial Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial) Hitung integral berikut 3 x 2 + 3x dx, jawab: ln x x+3 + C x 2 + x 2 dx, jawab: ln x + 2 ln (x ) 2 x x (x ) + C x 4 3 x 4 dx, jawab: x + 4 ln x x+ 2 tan x + C 6 x 25 4 dx, jawab: 2 + ln 9 x 4 9 cos x 5 sin 2 x + sin x dx, jawab: ln sin x sin x+ + C ( ) 6 e x e x dx, jawab: 2 ln e x e x + + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2

21 Dekomposisi Pecahan Parsial Tentang Slide Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 202 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 2