BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB I DERIVATIF (TURUNAN)"

Transkripsi

1 BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] R di titik c [a, b] R dapat dijelaskan dalam definisi berikut. Definisi. Diberikan interval [a, b] R, fungsi f : [a, b] R, dan c [a, b]. Bilangan real L disebut derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 < x c < δ berlaku. Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis = L. Dengan kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai it: jika itnya ada. Catatan: Secara umum konsep derivatif dikenakan pada suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu interval. Jika derivatif fungsi f : [a, b] R ada di titik c [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan. Dalam kasus fungsi, sudah terbiasa untuk memandang sebagai fungsi dari x. perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, Untuk sembarang c R, diperoleh 2 Jadi dalam kasus ini, fungsi terdefinisi pada R dan 2,. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut. Thobirin Herawan, Analisis Real II

2 Teorema.2 Diberikan interval [a, b] R. Jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial (mempunyai derivatif) di titik c [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c. Bukti: Ambil sembarang x [a, b], dengan x c. Perhatikan bahwa. Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau ada, maka dengan menerapkan operator dan sifat aljabar it fungsi diperoleh.0 Oleh karena l im maka terbukti f kontinu di c. Kekontinuan fungsi f : [a, b] R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa 0 tidak ada. Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Selanjutnya diberikan sifat sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi derivatif dari beberapa kombinasi fungsi fungsi terdiferensial. B. Sifat sifat Aljabar Derivatif Fungsi Teorema.3 Diberikan interval [a, b] R, c [a, b], serta fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di titik c. a. Untuk se tiap α R, fungsi α f terdiferensial di titik c, dan b. Fungsi f + g terdiferensial di titik c, dan c. Fungsi f g terdiferensial di titik c, dan d. Jika g(c) 0 maka fungsi terdiferensial di titik c, dan Bukti: Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya diserahkan kepada pembaca. 2 Thobirin Herawan, Analisis Real II

3 Ambil sembarang interval [a, b] R, dan c [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] R dan fungsi g : [a, b] R keduanya terdiferensial di tit ik c. a. Misalkan h = α f, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh Karena h = αf, maka diperoleh. c. Misalkan h = fg, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh Karena h = fg, maka diperoleh d. Misalkan dan g 0, maka untuk setiap x [a, b] dengan x c diperoleh 3 Thobirin Herawan, Analisis Real II

4 Karena, maka diperoleh Dengan menggunakan induksi matematika, pembaca dapat memperluas aturan aturan pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut. Akibat.4 Jika,,,, masing masing fungsi dari [a, b] R ke R dan terdiferensial di c [a, b], maka a. fungsi terdiferensial di titik c, dan b. fungsi terdiferensial di titik c, dan (.) Jika pada (.) fungsi fungsinya sama, yaitu maka pada (.) berlaku (.2) Catata n: Jika [a, b] R suatu interval dan f : [a, b] R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan derivatif fungsi f, sebagai contoh Df atau atau (jika x variabel bebas atau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema.3 bagian b dan c dapat pula ditulis sebagai D(f + g) = Df + Dg dan D(f g) = (Df)g + f(dg). C. Aturan Rantai (Chain Rule) Pada bagian ini diberikan suatu aturan pendiferensialan fungsi fungsi komposisi yang dikenal dengan aturan rantai (chain rule). Aturan rantai memberikan suatu cara untuk mencari derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di f(c), maka derivatif dari fungsi g o f di titik c adalah o atau o o. 4 Thobirin Herawan, Analisis Real II

5 Teorema.5 (Aturan Ranta i) Diberikan interval [a, b] dan[c, d] keduany a interval di dalam R, g : [c, d] R dan f : [a, b] R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) [c, d] dan c * [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial di titik c * dan fungsi g terdiferensial di f(c * ), maka fungsi komposisi g o f terdiferensial di titik c *, dan o. Bukti: Misalkan e = f(c * ), oleh karena g terdiferensial di f(c * ) maka didefiniskan fungsi bernilai real G yang well defined pada [c, d] dengan,, ada. Selanjutnya Oleh karena fungsi g terdiferensial di e = f(c * ), maka. Hal ini menunjukkan bahwa fung si G kontinu di e = f( c * ). Selanjutnya karena fungsi G kontinu di e = f(c * ), fungsi f kontinu di c * dan f([a, b]) [c, d], maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi fungsi kontinu, diperoleh G o f kontinu di c *, sehingga o Dari definisi fungsi G, dapat ditulis,, Oleh karenanya, jika x [a, b] dengan x c *, dan f(x) = y, diperoleh o o o o o o Selanjutnya untuk x c * dan dengan menerapkan operator it, diperoleh o o o Dengan demikian bukti telah lengkap. o. Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df =. Oleh karenanya aturan rantai dapat pula ditulis o o o. 5 Thobirin Herawan, Analisis Real II

6 Contoh.6. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) = y n y R, n N o. Oleh karenanya berdasarkan Teorema.5 diperoleh o,, (.3) Dapat dimengerti bahwa, jika g(y) = y n maka, oleh karenanya dari (.3) diperoleh. Misalkan f(x) = 2x, maka Dipersilakan pembaca untuk memberikan contoh lain. 2. Diberikan interval [a, b] R, jika fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat 0 dan 0 untuk setiap,. Jika, 0, dapat dimengerti bahwa, 0. Oleh karenanya diperoleh o. 3. Tugas bagi pembaca untuk menunjukkan Jika sin, maka cos untuk setiap x R dan jika cos, maka sin untuk setiap x R. Dengan menggunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan pembagian untuk setiap x R dengan Jadi untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh sin cos tan cos cos sin sin tan cos tan cos sin cos cos sec. Demikian halnya untuk setiap x R dengan untuk k bilangan bulat, diperoleh 0. cos. sin sec cos cos cos cot sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin csc. sin sectan cos 6 Thobirin Herawan, Analisis Real II

7 csc 0. sin. cos cos sin sin sin sin 4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut. sin, 0. cos sin csc cot Derivatif (Turunan) 0, 0 Jika digunakan sifat aljabar derivatif, yaitu aturan perkalian titik (dot product) pada Teorema.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema.5) diperoleh 2sin cos, 0. Jika 0 tak satu pun dari aturan kalkulasi dapat digunakan. Konsekuensinya untuk mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh sin sin 0 Jadi derivatif f, yaitu ada di mana mana. Namun fungsi tidak punya it di x = 0, oleh karenanya diskontinu di titik 0. Dengan demikian, suatu fungsi yang terdiferensial di mana mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu. C. Derivatif Fungsi Invers Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton tegas. Teorema.7 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f yang monoton tegas dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik [a, b] dan 0, maka fungsi g terdiferensial di titik e =, lebih lanjut Bukti: Ambil sembarang y [c, d] dengan y e, selanjutnya didedifiniskan fungsi H : [c, d] R dengan 7 Thobirin Herawan, Analisis Real II

8 Diketahui g monoton tegas, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka, dengan kata lain H : [c, d] R well define. Demikian halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh. Mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [c, d] dengan y e, maka H(y) 0. dibuktikan bahwa. Selanjutnya Diberikan bilangan ε > 0 dan jika f terdiferensial di = g(e), maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 < x < δ berlaku. Diketahui g kontinu di titik e =, artinya untuk setiap bilangan δ > 0 terdapat bilangan η > 0 sehingga untuk setiap y [c, d] dengan 0 < y e < η maka berlaku. (.4) Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan, maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (.4), diperoleh; jika 0 < y e < η maka untuk setiap y [ c, d]. Oleh karenanya untuk setiap y [c, d] dengan 0 < y e < η berakibat untuk sembarang ε > 0. Jadi. Perhatikan bahwa karena y e mak a 0, sehingga diperoleh Dapat disimpulkan, untuk setiap y [c, d] dengan y e, berlaku. Terbukti.. Catatan: Persyaratan 0 pada Teorema.7 sangat penting. Faktanya, apabila 0 maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e =. Artinya, jika g terdiferensial di titik e = dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan Teorema.7 pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik dan diperoleh 0. Nampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e =. Perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan, 8 Thobirin Herawan, Analisis Real II

9 Dapat dimengerti bahwa,, 3, dan 3. Ambil titik = 0, diperoleh e = = 0 dan 0. Dengan demikian 0. T erjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa, tak terdiferensial di 0. Teorema.8 Diberikan interval [a, b] R, dan f : [a, b] R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] R invers fungsi f. Jika fungsi f terdiferensial pada [a, b] dan 0 untuk setiap x [a, b], maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut,. o Bukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh.9. Diberikan dengan n genap, I = [0, ) dan fungsi bernilai real f : I R yang didefinisikan dengan,, dapat dibuktikan bahwa fungsi f naik tegas dan kontinu pada I. Sehingga fungsi inversnya ada pada I, sehingga fungsi inversnya ada, yaitu, 0,. Fungsi g nai k tegas dan kontinu pada [0, ). Lebih lanjut diperoleh,. Oleh karenanya jika y > 0, maka ada, dan o Dengan kata lain untuk y > 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik Diberikan, n ganjil dengan sifat n, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut turut didefinisikan dengan, dan, Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor telah ditemukan untuk y 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik titik lain. 3. Diberikan bilangan rasional positif, diberikan I = [0, )dan fungsi bernilai real h didefinisikan dengan h(x) =,. Fungsi h dapat dinyatakan sebagai komposisi fungsifungsi f(x) =, dan g(x) =,. Dapat dimengerti bahwa h(x) = (f o g)(x). Dengan mengaplikasikan aturan rantai (Teorema.5) dan berdasrakan hasil nomor atau nomor 2, diperoleh 9 Thobirin Herawan, Analisis Real II

10 untuk setiap x > 0 4. Diberikan fungsi sinus, sin yang dibatasi pada pada domain I =,. Jelas f naik tegas pada I. Pembaca tahu bahwa sin sin dan sin. Selanjutnya diberikan J = [, ], perhatikan bahwa f : I J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers yaitu arcsin. Dengan demikian, jika diberikan I =, dan J = [, ], maka sin arcsin. Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan sin cos,. Selanjutnya untuk setiap, nilai c os 0, maka berdasarkan Teorema.7 diperoleh ar csin sin cos cos sin untuk setiap, erlu dicatat bahwa P tidak ada di titik dan. LATIHAN. Gunakan definisi derivatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a., b., 0 c., 0, d., 0, 2. Buktikan bahwa, tak terdiferensial di titik x = 0 3. Buktikan Teorema. bagian b. 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II

11 4. Diberikan fungsi f : R R didefinisikan dengan l, rasiona 0, irrasional Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x = 0 dan tentukan Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut a., b. 5 2, c. sin,, d. tan, 6. Diberikan dan fungsi f : R R didefinisikan dengan, 0 0, 0 Tentukan nilai n aga r kontinu di titik 0 dan terdiferensi al di titik Andaikan f : R R terdiferensial di titik dan 0. Buktikan bahwa fungsi terdiferensial di titik c jika dan hanya jika Diberikan fungsi g : R R didefinisikan dengan sin, 0 0, 0 Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R dan tunjukkan bahwa tak terbatas pada [, ]. 9. Jika 0 suatu bilangan rasional, fungsi f : R R didefinisikan dengan Tentukan nilai r agar ada. sin, 0 0, 0 Thobirin Herawan, Analisis Real II

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.

BAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi. BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan

Lebih terperinci

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA

HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA HAND OUT ANALISIS REAL 1 (MT403) KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 1 Identitas Mata Kuliah 1. Nama Mata Kuliah : Analisis

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

DERIVATIVE (continued)

DERIVATIVE (continued) DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Matematika

Matematika dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika FUNGSI FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Memproses Bilangan Sebuah fungsi adalah

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah

Lebih terperinci

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Fungsi. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015

PENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,

Lebih terperinci

BAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional

BAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan

Lebih terperinci

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)

Lebih terperinci

BAB III PELABELAN KOMBINASI

BAB III PELABELAN KOMBINASI 1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU INTERGRAL OLEH : KELOMPOK 5 KETUA TEORI 1. I GEDE DIKA VIRGA SAPUTRA 2. I WAYAN HERMAWAN 3. EGI AZIKIN MAULANA KETUA SOAL 1. I MADE DUPI ANDIKA 2. I PUTU BAGUS MAHENDRA INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI

Lebih terperinci