MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

Transkripsi

1 MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1

2 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifatsifatnya.

3 1. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran z o adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(z o,r) atau z z o < r. b. Persekitaran tanpa z o adalah himpunan semua titik zz o yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(z o,r) atau 0< z z o < r. 3

4 Contoh : a. N(i,1) atau z i < 1, lihat pada gambar 1 b. N*(O,a) atau 0< z O < a, lihat pada gambar Im Im i i O a Re O Re gambar 1 gambar 4

5 . Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S c,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S. Contoh : Gambarkan! A = { z Im z< 1}, maka A c = { z Im z 1}. B ={ z <z<4}, maka B c = { z z atau z4}. 5

6 A = { z Im z< 1}, maka A c = { z Im z 1}. B ={ z <z<4}, maka B c = { z z atau z4}. Im Im O 1 A A c Re 4 B c B O 4 Re 6

7 3. Titik limit Titik z o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(z o,) maka N*(z o,) S. Jika z o S dan z o bukan titik limit, maka z o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik z o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(z o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 7

8 6. Interior dan Eksterior Titik z o disebut interior dari himpunan S jika ada N(z o,) sehingga N(z o,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya. 8

9 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S. 10. Daerah domain Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain. 11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya. 1. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya. 9

10 Contoh : 1. Diberikan A = { z / z <1}, maka: Im 1 1 A 1 1 Re A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { z / z =1}. Penutup dari A adalah { z / z 1}. 10

11 . Diberikan B = { z / z <1} U {(0,1)}, maka: Im 1 1 B 1 1 Re B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari B adalah { z / z 1}. 11

12 3. Diberikan C = { z / z }, maka: Im Re Titik-titik interior C adalah { z / z <}. 1

13 Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang Z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(z). Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D f dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R f, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D. 13

14 Im( z) Im(w) f z w f(z) Re( z) Re(w) Bidang Z Bidang W 14

15 Contoh : a) w = z + 1 i b) w = 4 + i c) w = z 5z d) 3 z f(z) = z 1 Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z, kecuali z = 1 15

16 Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ). 16

17 Contoh : Tuliskan f(z) = z i dalam bentuk u dan v! Jawab : Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = z i = (x + iy ) i = (x +xyi-y ) i = (x -y ) + i(xy-1). Jadi u = (x -y ) dan v = xy-1. 17

18 Jika z = r(cos + i sin). Tentukan f(z) = z + i Jawab f(z) = z + i = [r (cos+i sin)] + i = r [cos - sin + isincos] + i = r (cos - sin ) + r isin + i = r (cos - sin ) +(1+r sin)i berarti u = r (cos - sin ) dan v = 1+r sin). 18

19 Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f(z) dengan domain D f dan fungsi g(z) dengan domain D g. Jika R f D g, maka ada fungsi komposisi (g f)(z) = g(f(z)), dengan domain D f. f g z f ( z ) g f ( z ) ( g f )( z ) g f 19

20 Jika R g D f, maka ada fungsi komposisi (f g)(z) = f(g(z)), dengan domain D g. g f z g(z) f g(z) (f g)(z) f g Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f) (z) dan (f g)(z). 0

21 Contoh : Misal: f(z) = 3z i dan g(z) = z + z 1 + i Jika R f D g, maka (g f) (z) = g (f (z)) = g(3z i) = (3z i) + (3z i) 1 + i = 9z 6iz 1 + 3z i 1 + i = 9z 3z 6iz 1

22 Jika R g D f, maka (f g) (z) = f (g (z)) = f(z + z 1 + i) = 3z + 3z 3 + 3i i Karena 9z 3z 6iz 3z + 3z 3 + 3i i Jadi (g f) (z) (f g)(z) atau (g f) (f g), (tidak komutatif)

23 Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masingmasing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z. 3

24 Contoh 1 : Diketahui fungsi w = z 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (x 1) + (y + 1)i. Misalnya untuk z 1 = 1 + i, dan z = 3i, berturut-turut diperoleh : w 1 = 1 + 3i, dan w = 3 5i. Gambar dari z 1, z, w 1, dan w dapat dilihat di bawah ini Y bidang 1 Z z 1 O 1 X V bidang 3 O 1 w 1 W 3 U 3 z 5 w 4

25 Contoh : Diketahui fungsi w = z. Dengan menggunakan z = r (cos+i sin), maka diperoleh w = z = r (cos+i sin). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah 0 arg z dipetakan menjadi daerah 0 arg w. Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini. 5

26 bidang W bidang Z r r 6

27 Limit Diketahui daerah D pada bidang Z dan titik z o terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali di z o. Apabila titik z bergerak mendekati titik z o melalui setiap lengkungan sebarang K dan mengakibatkan nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu w o pada bidang W, maka dikatakan limit f(z) adalah w o untuk z mendekati z o, ditulis : lim f(z) w zz o o D D K z bidang N* (z Z z o, o w o ) N(w o, ) bidang W f(z) 7

28 Definisi : Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di z o (titik z o di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah w o untuk z mendekati z o, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga f(z) w o <, apabila 0 < z z o <, ditulis: lim zz o f(z) w o 8

29 Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik z o adalah titik limit domain fungsi f.. Titik z menuju z o melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z o dari segala arah. 3. Apabila z menuju z o melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z o. 9

30 Contoh 1 : Buktikan bahwa : lim z 3z z z 5 Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: 0 z z 3z 5 z Lihat bagian sebelah kanan, untuk z 30

31 Dari persamaan kanan diperoleh: z 3z 5 z (z 1 5)(z (z ) (z ) z Hal ini menunjukkan bahwa (z 1)(z ) 5 (z ) ) telah diperoleh. 31

32 Bukti Formal : Jika diberikan > 0, maka terdapat untuk z, diperoleh 0 z z 3z 5 z (z 1)(z ) 5 (z ) (z ), sehingga Jadi z 3z z 5 apabila 0 z Terbukti lim z 3z z z 5 3

33 Teorema Limit : Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z o, maka nilai limitnya tunggal. Bukti: Misal limitnya w 1 dan w, maka f(z) w1 w1 f(z) f(z) w w 1 sehingga jadi f(z) f(z) w 1 w w 1 w w w 1 f(z) f(z) w 33

34 Teorema : Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z o = (x o,y o ) = x o +iy o di dalam D atau batas D. Maka lim zz o f(z) lim u(x,y) zz o x o x iy o o jika dan hanya jika dan lim v(x,y) zz o y o 34

35 Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka 1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z z o ). lim (f(z). g(z)) = a. b (untuk z z o ) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z z o ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! 35

36 Contoh 1 : Hitunglah Jawab: 36 i z 1 z lim i z i i) lim (z i z i) i)(z (z lim i z 1 z lim i z i z i z

37 Contoh : Jika xy f(z) x i. Buktikan lim f(z) tidak ada! x y y 1 z0 Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim f(z) z0 lim (x,0) (0,0) f(z) Sedangkan di sepanjang garis y = x, lim f(z) lim f(z) lim(1 x i) 1 x 1 z0 (x,x) (0,0) Dari 1 dan, terbukti lim x x0 x0 lim 0 z i f(z) 0 1 tidak ada 37

38 Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik z o terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di z o jika untuk z menuju z o, maka lim f(z) = f(z o ). 38

39 Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di z o, yaitu : f(z o ) ada lim f(z) zz lim f(z) zz o o ada f(z o ) Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. 39

40 Teorema 4 : Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan z o = x o + i y o titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di z o jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (x o,y o ). 40

41 Teorema 5 : Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di z o, maka masingmasing fungsi : 1. f(z) + g(z). f(z). g(z) 3. f(z) / g(z), g(z) 0 4. f(g(z)); f kontinu di g(z o ), kontinu di z o. 41

42 Contoh 1 : Fungsi f(z) = Jawab : z 4, z i 3 4z, z i, apakah kontinu di i z i f(i) = 3 + 4(i) = 3 + 8i, sedangkan untuk z mendekati i, lim f(z) = z + i, sehingga lim f(z) f(i) zi jadi f(z) diskontinu di z = i. 4

43 Contoh. Dimanakah fungsi g(z) z 1 kontinu? z 3z Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z =. Jadi g(z) kontinu di daerah z z 43