FT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi

Transkripsi

1 Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan integral real Banyak terdapat integral real yang tidak dapat diselesaikan secara analitik dengan memakai cara-cara di kalkulus dasar. Memang, dalam masa komputerisasi seperti sekarang ini semua bentuk integrasi, asalkan berhingga, dapat dihitung dengan cara numerik. Tetapi cara-cara analitik masih amat penting untuk kepentingan teoritik pengembangan suatu bidang keilmuan. Oleh sebab itu cara analitik di luar kalkulus dasar masih tetap diperlukan, salah satunya adalah dengan teorema residu yang baru saa dipelaari di bab IV. Beberapa bentuk integral real yang dapat diselesaikan dengan integral kompleks adalah :. bentuk integral Gauss Dari integral auchy, persamaan (3.), dengan substitusi z-a = re iθ diperoleh : π iθ f(a + re ) dθ = π f(a) (5.) Integral ini dilakukan dengan cara mencocokkan apa fungsi f dalam integrannya dan dan berapa harga a yang ada.. integran merupakan fungsi trigonometrik π f( cos θ, sin θ ) d θ = g(z) dz (5.) dengan kontur : z =, sehingga dapat dilakukan substitusi : ( z + / z) cosθ = dθ = -i dz/z ( z / z) sinθ = i untuk memperoleh g(z). Integral kompleks ini kemudian diselesaikan dengan integral auchy atau teorema residu. 3

2 3. batas integrasi dari - sampai dengan + f(x) dx Integral ini sama dengan integral kompleks terhadap fungsi f(z) sepanang sumbu real pada bidang Argand. Agar integrasi dapat dilakukan, artinya tidak divergen menadi tak-hingga, integran f(x) tidaklah sembarangan, tetapi mempunyai syarat-syarat sebagai berikut : f(x) = u(x)/v(x) dengan v(x) tidak mempunyai akar real deraat v(x) minimum dua tingkat lebih tinggi daripada deraat u(x) : lim xf(x) = x ± perhitungannya : f(x) dx = f(z) dz (5.3) dengan kontur : setengah lingkaran dan ditutup oleh lintasan γ sepanang sumbu real dari -R ke R dengan R seperti pada gambar. Im(z) Tentu saa : f ( z) dz = f ( z) dz + f ( z) dz γ -R R γ Re(z) suku kedua di ruas kanan adalah integral sepanang sumbu real, sehingga z = x : γ R f ( z) dz = f ( x) dx R Suku pertama di ruas kanan dapat dibuktikan sama dengan nol untuk R yang besar tak berhingga. Dengan adanya syarat v(x) berderaat dua lebih tinggi daripada deraat u(x), maka dengan substitusi z = Re iθ di sepanang lintasan : u( z) M f ( z) = v( z) R (5.4) dimana M adalah bilangan real positif berhingga. Menurut persamaan (3.4) integral suku pertama itu dapat dicari batas atasnya : 33

3 M f ( z ) dz R R ( π ) (5.5) sehingga untuk nilai R yang besar sekali nilai integral ini dipaksa sama dengan nol. Maka terbukti bahwa persamaan (5.3) memang berlaku. Pembedaan enis fungsi gasal atau genap pada integrannya dapat mempermudah perhitungan : gasal : = harga ini disebut harga utama integral genap : = imx 4. bentuk f(x) e dx dengan m > Integral ini mirip dengan kasus nomor 3 di atas, demikian pula cara penyelesaiannya, yaitu persamaan (5.3). Bedanya syarat integrannya sedikit lebih longgar : f(x) = u(x)/v(x) dengan v(x) tidak mempunyai akar real berorde lebih dari satu, dengan kata lain f(z) hanya boleh memiliki kutub real yang sederhana. deraat v(x) minimum satu tingkat lebih tinggi daripada deraat u(x) : lim x ± f(x) = Penyelesaiannya lewat integral kompleks : f(x) e imx imz dx = f(z) e dz (5.6) dengan kontur sama seperti pada kasus nomor 3 di atas. Oleh karena e imx = cis mx, maka : f(x) cos imz mxdx = Re f(z) e dz f(x) sin imz mxdx = Im f(z) e dz (5.7a) (5.7b) Kali ini batas atas integral pada lintasan adalah : 34

4 imz f ( z) dz f ( z) e dz π M R e mrsinθ ( Rd θ) Mengingat fungsi sinus simetri terhadap θ = ½ π, kemudian sin θ θ/π dalam range θ ½ π, integral di ruas kanan itu uga dipaksa bernilai nol untuk R yang besar tak hingga. Jika v(x) memiliki akar-akar di sumbu real, z = b, yang harus berupa kutub sederhana, seperti pada penelasan di bab III, residu yang ditimbulkannya di situ hanya separo dari residu biasa, karena kontur tepat melalui titik-titik kutub tersebut sehingga perlu dibuatkan lintasan menghindar berbentuk setengah lingkaran-lingkaran kecil. a 5. bentuk x f(x) dx dengan a pecahan syarat : cacah kutub f(x) berhingga ban- -R r K R γ K Re(z) yaknya, dan tidak ada kutub yang terletak pada sumbu real positif. lim z a z f(z) = lim z a z f(z) = Perhitungannya dengan cara integral kompleks : x a f(x) dx = a z f(z) dz e i π a (5.8) adalah kontur berupa lingkaran yang menghindari titik cabang di z = dan garis cabang sumbu real positif seperti tampak pada gambar. Kelakuan menghindar ini adalah untuk mencegah integran kompleks z a- f(z) bernilai amak. Kontur ini terbagi menadi 4 : lintasan lingkaran luar dengan rui R yang tak hingga besarnya, lintasan γ lingkaran dalam berui r yang tak berhingga kecilnya (tanda minus menunukkan arahnya yang berlawanan dengan ), dan dua garis lurus K dan K yang menyusuri sumbu real positif dari ke γ bolak-balik. Hasil integral di sepanang K dan K tidak saling menghapus, karena K berada di argumen sedangkan K berada di argumen π. Lintasan 35

5 menghindari sumbu real yang berfungsi sebagai garis cabang, karena melintasi garis cabang berarti masuk ke lembaran permukaan Riemann yang lain. Berdasarkan syarat kedua integrannya, untuk R dan r integral sepanang dan γ keduanya sama dengan nol. Akibatnya integral hanya terpecah menadi dua : R a a pada K : θ = z g( z) dz = x g( x) dx K pada K : θ = π z g( z) dz = ( xe ) g( x) dx K a iπ a Jumlahan mereka merupakan hasil integral kompleks pada persamaan (5.8) : z a f(z) dz R iπa a = ( e ) x g( x) dx maka hasil integrasi bentuk ini adalah : x a R g ( i x ) π a dx = z g z z b i a = e Re s π [ ( ), ] (5.9) dimana b adalah kutub-kutub fungsi integrannya. Perhitungan deret konvergen tak hingga Deret dalam berbagai bentuk dapat dihitung dengan teorema residu. oba amati fungsi cot πz, modulus fungsi ini berhingga besarnya dalam kontur-kontur buursangkar n dengan sudut-sudut di (n+½)(-± i) dan (n+½)(±i). iπz iπz πy e + e e cot πz iπz iπz = + = A πy e e e Adanya range : n dan ± y ± menghasilkan range untuk cot πz yaitu : cot πz coth Jika terdapat fungsi integran : π g( z) = π cot π z f ( z) dengan f(z) fungsi terbatas f(z) M/ z k dengan k > maka integrasinya sepanang kontur tertutup n uga memiliki batas atas : 36

6 n g( z) dz π cot πz f ( z) dz n πa M + k 4( n ) n sehingga untuk n besar tak berhingga batas atas ini menadi nol, demikian pula integrasinya : lim g( z) dz = n n Padahal integral ini memiliki kutub-kutub yang berasal baik dari cot πz maupun dari fungsi f(z). Kutub yang berasal dari cot πz berupa bilangan real bulat n =,,,..., sedangkan yang berasal dari f(z) namakan saa a i sebanyak k buah. Maka integral tertutup itu berubah menadi : Re s[ g( z), n] Re s[ g( z), a i ] k = Residu di ruas kiri tidak lain adalah f(n) sehingga berlaku : (5.) f(n) = Re s[ π cot πzf(z),a ] (5.) Tugas 5- Tunukkan ika residu ruas kiri persamaan (5.) adalah f(n) di dalam bidang Argand! Bentuk deret yang lain dapat ditangani dengan cara yang hampir sama : n ( ) f(n) = Re s[ π csc πzf(z),a ] (5.) 37

7 f(n + ) = Re s[ π tan πzf(z),a ] (5.3) n ( ) f(n + ) = Re s[ π sec πz f(z),a ] (5.4) dimana a adalah kutub-kutub fungsi f(z) di seluruh bidang kompleks. Pemetaan konformal Pada awal bab II telah diperkenalkan bahwa fungsi variabel kompleks merupakan proses pemetaan dari bidang z ke bidang w. Bentuk dan ukuran bangun geometri di bidang z akan diubah sedemikian rupa menurut fungsinya dan dipetakan di bidang w. Walaupun bentuk dan ukuran mengalami perubahan, ada satu aspek yang tidak berubah, yaitu sudut yang diapit oleh dua buah kurva. Dua kurva yang berpotongan tegak lurus di bidang z akan tetap berpotongan secara tegak lurus di bidang w, apapun fungsi yang memetakannya. Sifat yang demikian inilah yang memberikan nama proses ini sebagai pemetaan konformal. Sebuah fungsi kompleks analitik sembarang dapat dipakai untuk menggambarkan suatu medan kompleks dalam teori medan. Teori ini mencakup medan aliran (listrik, zat cair, partikel, panas, dsb.) dan uga medan-medan statik seperti elektrostatik. F(z) = Φ(x,y) + iψ(x,y) (5.5) Bagian realnya Φ disebut bidang ekipotensial, sedangkan bagian imainernya Ψ dise- Ψ Φ=c y Ψ=c Φ=c Ψ=c but garis arus (streamlines) atau fluks. F(z) Keduanya dapat saling bertukar peran. Φ dan Ψ adalah sepasang fungsi harmonik Φ x konugat, yakni memenuhi persamaan Bidang w Bidang z Laplace (lihat tugas -). Oleh sebab itu dalam grafiknya di bidang z, mereka saling berpotongan tegak lurus. Menurut sifat pemetaan konformal, Φ dan Ψ tetap saling tegak lurus di bidang w. 38

8 Beberapa bentuk fungsi pemetaan konformal yang dapat diumpai dalam teori medan antara lain adalah :. F(z) = c ln z Dalam bentuk polar : F(z) = c ln r + i cθ sehingga grafik pemetaannya adalah : Φ = konstan r = konstan : keluarga lingkaran Ψ = konstan θ = konstan : keluarga garis radial Medan kompleks ini teradi misalnya pada penampang lintang kawat bermuatan listrik statik, bidang ekipotensialnya berupa lingkaran-lingkaran yang melingkupi kawat, sedangkan fluksnya arahnya radial terhadap kawat.. F(z) = cosh z Φ = cosh x cos y Ψ = sinh x sin y sehingga membentuk persamaan geometrik : Φ cosh Φ cos Ψ x + sinh x = untuk x = konstan keluarga elips di bidang w Ψ y sin y = untuk y = konstan keluarga hiperbola di bidang w Medan kompleks ini teradi misalnya pada silinder eliptik bermuatan statik, atau muatan statik yang berada di lembaran tipis yang berlubang. 3. F(z) = z + e z Φ = x + e x cos y Ψ = y + e x sin y Medan kompleks ini dipakai untuk menggambarkan medan elektrostatik yang ada di uung kapasitor keping seaar. Lihat watak Ψ untuk y konstan, maka untuk setiap garis lurus y = c di bidang z akan menadi kurva Ψ = c + c e x di bidang w. Untuk x negatif besar praktis Ψ = c, tetapi akan meledak secara eksponensial di daerah x positif, grafik ini menggambarkan bidang ekipotensial di uung kapasitor itu yang seakan-akan menyemprot keluar dari dalam celah kapasitor. 39

9 Tugas 5- Gambarkan sketsa pemetaan konformal dari kasus,, dan 3 di atas!. F(z) = c ln z. F(z) = cosh z 3. F(z) = z + e z 4

10 SOAL. Hitunglah integral-integral berikut : π a. ln( sinθ) dθ b. c. π sin θ d 5 4 cosθ θ x dx ( + x ) d. x sin x x + dx e. ln x x (x ) dx 3 / 4 +. Hitunglah deret konvergen tak hingga berikut a b c d e. 4 ( n ) n = + 3. Diskusikan pemetaan konformal dengan menggunakan medan kompleks : F(z) = z Lihat apa yang sudah anda kerakan di soal nomor 5 dalam bab II. 4. Jika medan kompleks F(z) = Φ(x,y) + iψ(x,y) menggambarkan sebuah aliran, Φ(x,y) adalah bidang ekipotensialnya dan Ψ(x,y) adalah garis arusnya. Kecepatan aliran didefinisikan sebagai gradien bidang ekipotensialnya : V = Φ Φ + i x y 4

11 Tunukkan bahwa kecepatan ini uga dapat diperoleh dari turunan medan kompleksnya df/dz! Tuliskan persamaannya! 4