INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use"

Transkripsi

1 INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200

2 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua Program Studi di Institut Teknologi Bandung (kecuali Desain dan Seni Murni). Dari segi teori, materi yang tercakup merupakan materi dasar yang diperlukan bagi seluruh Program Studi di ITB, sehingga isinya dari tahun ke tahun tidak banyak mengalami perubahan. Penyusunan diktat ini bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran yang berlangsung di kelas. Diktat dirancang untuk dipakai dosen dan juga mahasiswa. Dosen memanfaatkannya sebagai media untuk ceramah dan diskusi di kelas, sedangkan bagi mahasiswa, diktat ini sebagai pengganti catatan kuliah. Untuk itu, diktat dirancang dalam bentuk beningan (transparancies) yang cukup rinci. Untuk mengoptimalkan proses pembelajaran, materi yang akan dibahas sebaiknya sudah disebar ke mahasiswa sebelum perkuliahan dimulai. Dengan cara ini maka proses pembelajaran di kelas dapat lebih efektif, di mana waktu lebih banyak digunakan untuk berinteraksi (ceramah dan diskusi), dibandingkan dengan pola konvensional yang banyak menghabiskan waktu untuk mencatat. Perlu dipahami bahwa diktat ini bukanlah pengganti buku teks, tetapi merupakan perangkat bantu untuk meningkatkan proses pembelajaran, terutama dalam kelas. Selain itu konsep-konsep matematika yang ditulis di sini masih sangat memerlukan pemahaman dan penjelasan dari dosen pengajar. Soal-soal contoh dan latihan umumnya tidak dituliskan solusinya. Soal-soal ini sebagian untuk dibahas di kelas, sebagian lagi untuk latihan mahasiswa secara mandiri. Cara ini diterapkan untuk menghindari proses belajar yang hanya menghafal soal-jawab, tanpa memahami prosesnya. Diktat ini mulai disusun pada bulan Januari 2004 dan dapat diselesaikan pada akhir Mei Revisi dilakukan terus menerus secara kontinu. Penyusunan didasarkan pada buku teks yang digunakan yaitu: Calculus and Analytic Geometry, edisi 9, D. Varberg & E.J. Purcell. Semoga penulisan diktat ini dapat meningkatkan proses pembelajaran matematika pada mahasiswa tingkat di ITB. Kritik dan saran atas isi diktat ini dapat disampaikan melalui ke Penyusun, Warsoma Djohan

3 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Teknik Pengintegralan Mencari anti turunan dari sebuah fungsi f(x) secara umum sukar dilakukan. Pada bagian ini dibahas beberapa kelompok fungsi tertentu yang anti turunannya dapat dihitung secara analitis. Berikut ini disajikan beberapa rumus anti turunan yang telah dikenal dari pasal-pasal sebelumnya:. k du = ku + c 2. u r du = { u r+ r+ + c r ln u + c r = e u du = e u + c 4. sinudu = cosu + c 6. sec 2 u du = tanu + c 8. sec u tanudu = sec u + c 0. tanudu = ln cosu + c 2. du ( a2 u = u ) 2 sin + c 4. a a u du = au ln a + c a, a > 0 cosudu = sinu + c csc 2 u du = cotu + c csc u cotudu = csc u + c cotudu = ln sin u + c du u 2 + a = ( u ) 2 a tan + c a 5. du u u 2 a 2 = a sec ( ) u + c a Buktikan sifat no: dan 3.

4 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Pengintegralan dengan Metode Substitusi Perhatikan masalah f(x) dx. Pada metode ini, sebagian dari integran (fungsi yang diintegralkan) disubstitusikan menjadi variabel baru. Substitusi diatur agar bentuk integral dapat dibawa menjadi salah satu bentuk seperti pada halaman. Contoh-Contoh: x. cos 2 (x 2 ) dx 2 2. dx 5 9x e /x dx x 2 e x dx 4 + 9e2x x 3 x 4 + dx Pengintegralan Fungsi Trigonometri a tan x 6. cos 2 x dx 7 7. x 2 6x + 25 dx x 2 x 8. x + dx 9. sec x dx 0. csc x dx Bentuk sin n x dx dan cos n x dx dengan n ganjil sin n x sin x dx = sin n x d(cosx) Tulis sebagai cos n x cosxdx = cos n x d(sinx) Dengan menggunakan rumus sin 2 x + cos 2 x =, ubah sin n x dalam cosx atau cos n x dalam sin x Contoh: Tentukan (a.) sin 3 x dx (b.) cos 5 x dx

5 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Bentuk Tulis sin n x dx dan sin n x = ( sin 2 x )n 2 = cos n x = ( cos 2 x )n 2 = cos n x dx dengan n genap ( 2 2 cos(2x) ( cos(2x) )n 2 )n 2 lalu pangkatkan Contoh: Tentukan (a.) sin 4 x dx (b.) cos 6 x dx Bentuk sin m x cos n x dx dengan m atau n ganjil Pisahkan satu suku dari yang berpangkat ganjil. Untuk ilustrasi, misalkan yang ganjil adalah m. Tulis sebagai sin m x cos n x sin x dx = sin m x cos n x d(cosx) Ubah faktor sin n x dalam cosx Contoh: Tentukan sin 4 x cos 3 x dx Bentuk sin m x cos n x dx dengan m dan n genap Reduksilah pangkat m dan n dengan menggunakan identitas sin 2 x = 2 2 cos(2x) dan cos2 x = cos(2x) Contoh: Tentukan sin 2 x cos 4 x dx Bentuk tan n x dx dan cot n x dx Untuk tan n x keluarkan faktor tan 2 x = sec 2 x Untuk cot n x keluarkan faktor cot 2 x = csc 2 x Contoh: Tentukan (a.) tan 4 x dx (b.) cos 3 x dx

6 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 4 Bentuk tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx n genap Untuk tan m x sec n x keluarkan faktor sec 2 x dx = d(tanx) Untuk cot m x csc n x keluarkan faktor csc 2 x dx = d(cotx) Contoh: Tentukan (a.) tan 3/2 x sec 4 x dx Bentuk tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx m ganjil Untuk tan m x sec n x keluarkan faktor sec x tanxdx = d(secx) Untuk cot m x csc n x keluarkan faktor csc x cotxdx = d(cscx) Contoh: Tentukan (a.) tan 3 x sec /2 x dx sin(mx) cos(nx) dx, sin(mx) sin(nx) dx, sin(mx) cos(nx) = [ sin(m + n)x + sin(m n)x ] 2 sin(mx) sin(nx) = 2 [ cos(m + n)x cos(m n)x ] cos(mx) cos(nx) = 2 [ cos(m + n)x + cos(m n)x ] Contoh: Tentukan (a.) (b.) π sin(2x) cos(3x) dx sin(mx) sin(nx) dx cos(mx) cos(nx) dx π

7 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 5 Substitusi yang Merasionalkan Bentuk ini digunakan untuk beberapa integran yang memuat tanda akar. Bentuk n (ax + b) m, gunakan substitusi (ax + b) = u n Contoh: (a) dx x x (b) x 3 x 4 dx (c) x 5 (x + ) 2 dx Bentuk a 2 x 2, a2 + x 2, dan x 2 a 2 Pada ketiga bentuk tersebut, masing-masing gunakan substitusi: x = a sint π 2 t π 2 x = a tant π 2 < t < π 2 x = a sec t 0 t π, t π 2 Diperoleh: a 2 x 2 = a cost a 2 + x 2 = a sec t { a tant 0 t < π x 2 a 2 = 2 π a tant 2 < t π Contoh: Tentukan integral-integral berikut a2 (a) x 2 dx dx (c) dx 9 + x 2 4 x 2 (b) dx x 2 (d) x2 + 2x + 26 dx (e) 2x x2 + 2x + 26 dx 3 (e) x2 dx 2 x 3

8 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 6 Pengintegralan Parsial Misalkan u = u(x) dan v = v(x) dua buah fungsi. D x [uv] = u v + uv Jadi uv = u v dx + uv dx uv dx = uv u v dx atau Contoh: Tentukan integral-integral berikut 2 (a) x cosxdx (b) ln x dx (d) (g) x 2 sinxdx tan 2 x sec 3 x dx (e) e x sinxdx (f) Tunjukkan: sin n x dx = sinn x cosx n (g) x cos 2 x sin x dx (h) u dv = uv v du (c) (f) + n n sin x dx sec 3 x dx sin n 2 x dx x sin 3 x dx (tulis sin 3 x = ( cos 2 x ) sin x)

9 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 7 Pengintegralan Fungsi Rasional Pasal ini membahas pencarian anti turunan berbentuk: P(x) dx dengan P(x), Q(x) polinom. Q(x) Contoh: Tentukan x 5 + 2x 3 x + dx x 3 + 5x Bila derajat pembilang derajat penyebut, lakukan proses pembagian. Jadi, x 5 + 2x 3 x + x 3 + 5x = x x + x 3 + 5x x 5 + 2x 3 x + dx = (x 2 3) dx + x 3 + 5x (buktikan!) 4x + x 3 + 5x dx Pada ruas kanan, integral pertama mudah diselesaikan. Kesulitan hanya pada integral kedua. Dengan demikian pembahasan cukup dibatasi pada bentuk fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Bentuk : Pembilang konstanta, penyebut terdiri dari satu faktor linear. (ax + b) dx gunakan substitusi u = ax + b m Contoh: (a) 2 dx (b) (2x + ) 3 2 3x + 5 dx Bentuk 2: Pembilang polinom derajat, penyebut terdiri dari satu faktor linear dengan multiplisitas m. Kita uraikan seperti pada ilustrasi berikut: p(x) (ax + b) m = A (ax + b) + A 2 (ax + b) A m (ax + b) m Contoh: x 3 (x ) 2 dx

10 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 8 Bentuk 3: Penyebut terdiri dari faktor 2 linear dengan multiplisitas satu. S(x) (x x ) (x x 2 ) (x x n ) = A + A x x x x 2 6 Contoh: (x + 2)(x ) dx A n x x 2 Perhatikan bahwa penguraian di atas tidak bergantung pada polinom S(x), asalkan derajatnya lebih kecil dari derajat penyebut. 6 5x + 3 Latihan: (a) dx (b) (2x )(x + 3) x 3 2x 2 3x dx Bentuk 4: Penyebut terdiri dari faktor 2 linear dan beberapa faktor multiplisitasnya lebih dari satu. Uraikan faktor bermultiplisitas satu seperti pada bentuk 2, sedangkan untuk yang multiplisitasnya lebih dari satu kita uraikan sebanyak pangkatnya seperti contoh berikut: x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) = = A (x 2) + B (x 2) + C 2 x + A(x 2)(x + ) + B(x + ) + C(x 2)2 (x 2) 2 (x + ) x 2 x + 5 = A(x 2)(x + ) + B(x + ) + C(x 2) 2 Substitusikan secara beruntun nilai-nilai x = 2, x = dan x = 0 pada persamaan di atas, maka diperoleh B =, C = 3 dan A = 2. Jadi x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) = 2 x 2 + Contoh: (a) (x 2) x + (bentuk ) 8x 2 + 5x 8 3x 5 + 7x 4 + 9x 3 64x 2 30x + dx (b) dx (2x ) 2 (x + 3) (x ) 2 (x 2)(x + 3) 3 Bentuk 5: Pembilang konstanta dan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas. Contoh: x 2 + 4x + 8 dx.

11 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 9 Bentuk 6: Pembilang polinom derajat satu sedangkan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas. p px + q Ubah bentuknya sbb. x 2 + bx + c = 2 (2x + b) x 2 + bx + c + q p 2 b x 2 + bx + c 2x + 0 Contoh: x 2 + 4x + 8 dx Bentuk 7: Penyebut terdiri dari dua faktor atau lebih dan memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas. Contoh: S(x) (x t)(x 2 +bx+c) = A x t + Bx+C x 2 +bx+c 7x 2 + 2x 7 (4x + )(x 2 + 4x + 8) dx Bentuk 8: Penyebut memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 2. Contoh: S(x) (x t)(x 2 +bx+c) 2 = A x t + A 2x+A 3 x 2 +bx+c + A 2x+A 3 (x 2 +bx+c) 2 6x 4 + x x 2 + 7x + 6 (4x + )(x 2 + ) 2 dx

12 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 0 Bentuk Tak tentu Limit Perhatikan tiga buah limit berikut: (a) lim x 0 sin x x (b) lim x 3 x 2 9 x 2 x 6 (c) lim x a f(x) f(a) x a Bila masing-masing titik limitnya disubstitusikan, ketiganya menghasilkan bentuk 0 0, tetapi bila dihitung nilai limitnya, hasilnya dapat berbeda-beda. Bentuk seperti ini dinamakan bentuk tak tentu. Aturan L Hopital : Misalkan lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0. f Bila lim (x) x a g (x) f(x) ada (boleh takhingga) maka lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Contoh: Tentukan limit-limit berikut: sin x (a) lim x 0 x (d) lim x 0 tan(2x) ln(+x) cosx (b) lim x 0 x sin x x (e) lim x 0 x 3 x (c) lim 2 +3x 0 x 2 + x 2 4x+4 cosx (f) lim x 0 x 2 +3x Aturan L Hopital 2: Misalkan lim x a f(x) = lim x a g(x) =. f Bila lim (x) x a g (x) f(x) ada (boleh takhingga) maka lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Contoh: Tentukan limit-limit berikut: x (a) lim x e x x (b) lim a x e, a>0 x e (h) lim x x x (c) lim x ln x x a a>0 (d) lim x 0 + ln x cotx Bentuk Tak Tentu 0. Diubah jadi bentuk 0 Contoh: Tentukan lim tanx ln(sinx). x π 2 atau 0 Bentuk Tak Tentu. Samakan penyebutnya sehingga berbentuk 0 0 atau Contoh: Tentukan lim x + ( x x ln x).

13 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Bentuk Tak Tentu 0 0, 0, dan. Lakukan penarikan logaritma. Contoh: Tentukan (a) lim x 0 + xx (b) lim x 0 +(x + )cotx (c) lim (tanx)cosx x π 2 Catatan: Bentuk-bentuk berikut merupakan bentuk tertentu 0, 0, +,, 0, (jelaskan!) Integral Tak Wajar: batas Pada pendefinisian integral yang lalu, akan dibahas bila batas integrasinya. a. b. c. b a f(x) dx = lim t f(x) dx = lim q f(x) dx = 0 q a b t f(x) dx f(x) dx f(x) dx + 0 b a f(x) dx f(x) dx, a dan b berhingga. Pada bagian ini Catatan: f(x) dx lim t t t f(x) dx Bila suku-suku di ruas kanan nilainya berhingga, dikatakan integral tak wajar tersebut konvergen dan nilainya adalah hasil di ruas kanan. Contoh-Contoh:. Tentukan (a) 2. Tentukan k supaya xe x2 dx 3. Carilah semua nilai p supaya (b) sinxdx 0 k +x 2 dx = dx konvergen. xp

14 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Integral Tak Wajar: Integran Tak Hingga Ilustrasi: Perhatikan integral tentu 2 x 2 dx. Bila kita hitung memakai teorema dasar kalkulus : 2 [ x dx = ] = 2 x 2 2 = 3 2 Hasil ini tidak wajar, sebab integrannya f(x) = x 2 fungsi yang positif. Penyebab ketidakwajaran ini karena f(x) tidak terdefinisi di x = 0 [ 2, ]. Integral ini merupakan integral tak wajar, jadi tidak boleh dihitung seperti di atas. Bentuk-bentuk integral tak wajar karena integrannya takhingga didefinisikan sbg: a. Misalkan lim f(x) =, maka x a + b. Misalkan lim f(x) =, maka x b b a b a f(x) dx = lim t a + f(x) dx = lim q b c. Misalkan f(x) kontinu pada [a, b] kecuali di c [a, b], maka b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx b t q a f(x) dx f(x) dx Contoh-Contoh:. Tentukan Integral-Integral berikut (a) 2. Carilah semua nilai p supaya 3. Periksa kekonvergenan (a) x 2 dx 0 x p dx konvergen. x 2 dx (b) 3 0 (x ) 2 3 dx (b) 0 x dx

15 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a + a a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan tak hingga. Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga adalah fungsi f : N R. Barisan biasanya hanya dituliskan nilai-nilai fungsinya sebagai berikut: a, a 2, a 3, dengan a n = f(n), n N Notasi lain untuk barisan: {a n }, atau {a n} Contoh-Contoh:. a n = n : 0, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 2. b n = ( ) n n : 0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5, 7 6, 6 7, 3. c n = ( ) n + n : 0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5, 7 6, 6 7, 4. d n = 0, 999: 0, 999 ; 0, 999 ; 0, 999 ; Diskusi: Bila n cenderung menuju nilai berapakah suku barisan di atas? Definisi Kekonvergenan Barisan: Barisan {a n } disebut konvergen ke L, ditulis lim a n = L, artinya untuk setiap ǫ > 0, dapat dicari bilangan positif K sehingga untuk n K = a n L < ǫ. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Contoh: Dengan definisi kekonvergenan barisan, Tunjukkan lim ( n ) = Rumus umum suku barisan tersebut a n = n. Misalkan ǫ sebuah bilangan positif, dicari bilangan asli K supaya, untuk semua n K berlaku a n < ǫ, ( ) a, a 2, a 3,, a K, a K, a K+, a K+2, a K+3, }{{} a n < ǫ

16 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 4 Kembali pada pernyataan ( ), untuk mencari bilangan K, kita lakukan berikut: a n < ǫ ( n ) < ǫ n ) < ǫ n < ǫ a n < ǫ n > ǫ Dari pernyataan terakhir, dengan memilih bilangan asli K yang lebih besar dari ǫ, maka hubungan ( ) dipenuhi. Contoh: Perhatikan barisan c n = ( ) n + n. Apakah barisan ini konvergen ke -? Bila kita perhatikan nilai suku-suku barisan tersebut adalah sebagai berikut 0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5, 7 6, 6 00,, 7 000, , , , Perhatikan bahwa sukus-suku ganjil (warna biru), cenderung menuju -, sedangkan suku-suku yang genap (warna oranye), cenderung menuju. Dengan demikian, bila ǫ = 2 kita tidak mungkin mendapatkan bilangan asli K sehingga untuk semua n K berlaku a n ( ) <. Jadi lim 2 ( )n + n. Pertanyaan lebih lanjut, apakah lim ( ) n + n ada?, Jelaskan jawaban anda.

17 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 5 Sifat-Sifat: (sama dengan sifat-sifat limit fungsi yang telah dikenal) Misalkan {a n }, {b n } barisan 2 yang konvergen, k R dan p N. lim n = 0 p lim k = k lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n lim (a n b n ) = lim a n lim b n a n lim = b n lim a n lim b n syarat lim b n 0 Misalkan a n = f(n). Bila lim x f(x) = L maka lim f(n) = L Prinsip Apit: Misalkan {a n }, {b n }, dan {c n } barisan 2 dengan sifat a n c n b n untuk suatu n K (mulai indeks yang K). Bila lim a n = L dan lim b n = L maka lim c n = L lim a n = 0 lim a n = 0 Contoh-Contoh: 3n 2. Tentukan lim 7n 2 + ln n 2. Tentukan lim e n 3. Tentukan lim sin 3 n n 4. Misalkan < r <, tunjukkan lim r n = 0 (perhatikan r >, lalu tulis r = + p, tunjukan 0 r n pn ) bagaimanakah nilai lim r n bila r?

18 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 6 Barisan Monoton Pengertian kemonotonan barisan persis sama dengan pengertian kemonotonan pada fungsi. Sebuah barisan {a n } disebut monoton tak turun bila memenuhi a n a n+ dan disebut monoton tak naik bila memenuhi a n a n+. Sifat: Bila {a n } dan terbatas di atas, maka {a n } konvergen. Bila {a n } dan terbatas di bawah, maka {a n } konvergen. Catatan: Untuk pengamatan sifat barisan, kemonotonan {a n } cukup dimulai dari suatu indeks, yaitu bagian ekornya, depannya tidak perlu teratur. Contoh: Buktikan barisan {b n } dengan b n = n2 2 n konvergen (tunjukkan {b n } monoton tak naik untuk n 3). Catatan. Untuk menunjukan sebuah barisan {a n } monoton, gunakan salah satu cara berikut: Periksa tanda dari a n+ a n Bila a n selalu positif atau selalu negatif, periksa nilai dari a n+ a n. Bila a n = f(n), bentuk fungsi real f(x), lalu periksa tanda dari f (x).

19 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 7 Deret Tak Hingga Bentuk umum: a + a 2 + a 3 + = Tetapkan barisan {S n } sebagai berikut: a n dengan a n R. }{{} a, a } {{ + a } 2, a } + a {{ 2 + a } 3,, a } + a 2 + {{ + a n}, S S 2 S 3 S n Barisan ini disebut barisan jumlah parsial dari deret Secara intuitif bila n maka S n Definisi: Sebuah deret a n Deret Geometri: a + ar + ar 2 + ar 3 + = Sifat: Deret geometri divergen untuk r. k= Bukti: Sebut S n = a + ar + ar ar n. S n rs n = a ar n (tunjukkan!) S n = a( rn ) r r a n a n disebut konvergen ke S bila lim S n = S. k= ar k a, r R ar k konvergen untuk r < dengan nilai S = a r dan Untuk r <, lim S n = a r (lihat contoh 4 halaman 5) Untuk r >, r, {S n } divergen (lihat contoh 4 halaman 5) Untuk r =, {S n } divergen (mengapa?) Contoh: Tentukan nilai deret berikut: Sifat: (uji kedivergenan deret) Bila a n konvergen maka lim a n = 0 sifat ini ekivalen dengan: bila lim a n 0 maka a n divergen. Contoh: Periksa kekonvergenan n 3 2n 3 +2n

20 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 8 Deret harmonik: n + = Perhatikan lim a n = lim n = 0, apakah deret ini konvergen? S n = n = ( 3 + ( 4) ) ( ) n > n n = n Jadi lim S n =, jadi {S n } divergen atau deret harmonik divergen. Deret Teleskopik / Kolaps : ( ) ( + ) ( + ) + = a a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 Pada deret ini : S n = a a n+ Contoh: Periksa kekonvergenan deret Sifat Linear: Jika a n, k= (k + 2)(k + 3) ( ) a n a n+ b n deret yang konvergen dan c R maka (a) ca n = c a n dan (b) (a n + b n ) = a n + b n Sifat: Jika a n divergen dan c 0 maka ca n divergen Contoh: Tunjukkan 9n divergen

21 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 9 Pengelompokan Suku-Suku Deret Perhatikan deret ( ) n + + Suku ke n dari deret ini adalah a n = ( ) n+ Karena lim a n = lim ( ) n+ 0 maka deret ini divergen. Sekarang kita kelompokkan suku-sukunya sebagai berikut: Pengelompokan a: ( ) + ( ) + ( ) + = 0 Pengelompokan b: ( ) ( ) ( ) + = Ternyata deret hasil pengelompokannya dapat dibuat konvergen. Hal ini tentu saja salah. Jadi secara umum suku-suku sebuah deret tidak boleh dikelompokkan karena nilainya akan berubah. Sifat: Pengelompokan suku-suku sebuah deret yang konvergen tidak mengubah nilai dan kekonvergenannya. (tetapi posisinya tidak boleh ditukar).

22 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 20 Deret Positif Pengujian kekonvergenan deret secara umum sukar dilakukan. Untuk deret yang sukusukunya tak-negatif, tersedia berbagai macam sifat untuk menguji kekonvergenannya. Definisi: Sebuah deret a n disebut deret positif bila a n 0. Uji Jumlah Terbatas: Deret positif a n konvergen jumlah parsialnya, S n, terbatas di atas. Contoh: Tunjukkan! + 2! + 3! + konvergen. (perlihatkan n! 2 n ) Uji Integral: Diberikan deret a n dengan a n = f(n). Dibentuk fungsi f(x). Bila f(x) kontinu, positif dan tak naik pada [, ] maka a n konvergen f(x) dx konvergen. (ilustrasikan secara geometri) Perhatikan bahwa a n f(x) dx Contoh 2 :. Uji kekonvergenan deret 2. Deret n e n galatnya adalah k=2 k ln k diaproksimasi nilainya memakai 5 suku pertama n=6 n 5 n e n, sehingga e n. Aproksimasilah galat tersebut memakai integral tak wajar. Uji Deret-p: + 2 p + 3 p + 4 p + = k= k p dengan p konstanta. Deret-p konvergen untuk p > dan divergen untuk p (buktikan!). (petunjuk: untuk p > 0 gunakan uji integral, untuk p < 0 gunakan uji suku ke-n) Contoh: Periksa kekonvergenan deret k= k 0,00

23 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 2 Uji Banding: Misalkan 0 a n b n untuk n N. Bila b n konvergen maka a n konvergen Bila a n divergen maka b n divergen Contoh 2 : Periksa kekonvergenan (a) n 5n 2 4 (b) (untuk soal c, tunjukkan untuk n 3 berlaku (n 2) 2 9 n 2 ). n 2 n (n+) (c) n=3 (n 2) 2 a Uji Banding Limit: Misalkan a n 0, b n 0 dan lim n bn = L. Bila 0 < L < maka kekonvergenan a n dan b n bersamaan. Bila L = 0 dan b n konvergen maka a n konvergen Contoh 2 : Periksa kekonvergenan (a) (untuk soal c, gunakan pembanding Uji Hasil Bagi: Misalkan Bila ρ < deret konvergen. Bila ρ > deret divergen. 3n 2 n 3 2n 2 + n 2, Bila ρ = tidak diperoleh kesimpulan Contoh 2 : Periksa kekonvergenan (a) (b) n dan ). n 3/2 a a n deret positif dengan lim n+ a n 2 n n! (b) 2 n n 00 n2 +9n = ρ (c) n! n n (c) ln n n 2 (untuk soal c, gunakan sifat lim ( + n )n = e).

24 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 22 Ringkasan: Misalkan a n sebuah deret positif: Jika lim a n 0 maka deret divergen. Jika a n mengandung n!, r n atau n n, gunakan uji hasil bagi. Jika a n berbentuk fungsi rasional (pangkat konstan dalan n), gunakan uji banding limit. Sebagai deret pembanding gunakan pangkat tertinggi dari pembilang dibagi penyebut. Jika uji-uji di atas gagal, coba dengan uji banding, uji integral atau uji jumlah terbatas. Catatan: Item 2, 3, dan 4 hanya dapat dipakai untuk deret positif.

25 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 23 Deret Ganti Tanda Bentuk umum : a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 + = ( ) n a n Contoh-contoh: a n > 0 n Secara umum kekonvergenan deret ganti tanda sukar untuk ditentukan!!, tetapi untuk yang suku-sukunya menurun pengujiannya mudah dilakukan. Perhatikan deret ganti tanda ( ) n a n dengan 0 < a n+ < a n. Bentuk barisan jumlah parsial: S, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, Perhatikan: S S S S 8 S 6 S 4 S S. barisan: S, S 3, S 5, monoton turun dan terbatas di bawah sehingga konvergen, misalkan limitnya S. 2. barisan: S 2, S 4, S 6, monoton naik dan terbatas di atas sehingga konvergen, misalkan limitnya S. S S n n ganjil dan S S n n genap sehingga S selalu terletak diantara S n dan S n+ n N. Dengan alasan serupa S selalu terletak diantara S n dan S n+ n N. Jadi S S S n+ S n = a n+ = a n+ Bila lim a n = 0 maka semua suku barisan S n menuju limit yang sama yaitu S = S = S, jadi barisan {S n } konvergen. Karena S selalu terletak antara S n dan S n+ maka S S n S n+ s n = a n+ = a n+

26 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 24 Uji Deret Ganti Tanda Misalkan a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 + suatu deret ganti tanda dengan 0 < a n+ < a n. Bila lim a n = 0 maka deret konvergen. Bila nilai deret tersebut diaproksimasi dengan S n maka galatnya a n+. Contoh-contoh: Periksa kekonvergenan deret-deret berikut: (deret harmonik ganti tanda) 2. ( ) n n2 2 n Kekonvergenen Mutlak dan Bersyarat Perhatikan deret berikut: Deret ini tidak dapat diuji dengan Uji Deret Ganti Tanda, mengapa? Bila setiap suku dari deret tersebut dimutlakkan maka diperoleh deret: Apakah deret terakhir ini konvergen? Beri alasan! Deret a n disebut deret mutlak dari deret Sifat Bila a n konvergen maka a n konvergen. a n Berikan contoh sebuah deret a n yang konvergen tapi a n divergen. Sebuah deret dikatakan a. Bila a n konvergen, dikatakan deret tersebut konvergen mutlak. b. Bila a n konvergen tetapi a n divergen, dikatakan deret konvergen bersyarat.

27 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 25 Contoh 2 : Periksa kekonvergenan (mutlak/bersyarat/divergen) deret 2 berikut: cos(n!) n 2 ( ) n+ n ( ) n n2 2 n Uji Hasil Bagi Mutlak Misalkan a n sebuah deret (sebarang). Tetapkan ρ = lim a n+ a n. a. Jika ρ < deret konvergen mutlak. b. Jika ρ > deret divergen. c. Jika ρ = tidak ada kesimpulan Contoh: Tunjukan deret ( ) n+3n Teorema Penukaran Tempat n! konvergen mutlak Suku-suku sebuah yang konvergen mutlak boleh dipertukarkan posisinya, nilai deretnya tidak akan berubah. Latihan:. 2. Periksa kekonvergenan deret-deret berikut: 4n 3 +3n n 5 4n 2 + ( ) n+ n++ n

28 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 26 Deret Pangkat Dalam x Bentuk Umum: a n x n = a 0 + a x + a 2 x 2 + n=0 dengan x R Perjanjian: Pada notasi sigma di atas suku a 0 x 0 = a 0, walaupun x = 0. Masalah: Untuk nilai-nilai x berapa saja deret tersebut konvergen. Mungkinkah sebuah deret pangkat divergen untuk semua nilai x R. Berapa nilai dari deret pangkat tersebut. (Jika ada, berupa apa nilainya). Perhatikan deret berikut: a + ax + ax 2 + dengan a konstanta Deret tersebut merupakan deret geometri dengan pengali x dan akan konvergen untuk < x < dengan nilai S(x) = a x. a + ax + ax 2 + = a x < x < Himpunan dari semua nilai x yang menyebabkan suatu deret pangkat konvergen disebut Himpunan/Daerah Kekonvergenan Deret. Pada a + ax + ax 2 +, himpunan kekonvergenannya < x <. Secara umum, alat untuk menentukan daerah kekonvergenan suatu deret pangkat adalah Uji Hasil Bagi Mutlak. Contoh 2 : Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret-deret berikut: n=0 n=0 x n (n+)2 n x n n! n! x n n=0

29 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 27 Bentuk dari himpunan kekonvergenen hanya berupa salah satu dari 3 bentuk berikut: Terdiri dari titik yaitu x = 0, dikatakan jari-jari kekonvergenannya 0. Berupa sebuah selang/interval ( R, R) (bisa tutup, buka atau setengah buka), dikatakan jari-jari kekonvergenannya R. Seluruh R, dikatakan jari-jari kekonvergenannya. Sebuah deret pangkat selalu konvergen mutlak di dalam inverval kekonvergenannya sedangkan pada kedua ujungnya belum tentu. Bila pada kedua ujungnya juga konvergen, dikatakan deret pangkat tersebut konvergen mutlak di daerah kekonvergenannya. Pada contoh di atas, apakah deret konvergen mutlak di daerah kekonvergenannya? Deret Pangkat Dalam x a Bentuk Umum: a n (x a) n = a 0 + a (x a) + a 2 (x a) 2 + n=0 dengan a konstanta dan x R Bentuk dari himpunan kekonvergenen deret pangkat dalam (x a) selalu berupa salah satu dari 3 bentuk berikut: Terdiri dari titik yaitu x = a, dikatakan jari-jari kekonvergenannya 0. Berupa sebuah selang/interval (a R, a + R) (bisa tutup, buka atau setengah buka), dikatakan jari-jari kekonvergenannya R. Seluruh R, dikatakan jari-jari kekonvergenannya. Contoh: Tentukan interval dan jari-jari kekonvergenan dari deret n=0 (x ) n (n+) 2

30 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 28 Operasi Deret Pangkat Pada pasal ini akan dikaji: Pendiferensialan, Pengintegralan dan Operasi Aljabar (tambah, kurang, kali dan bagi) dari deret pangkat. Perhatikan sebuah deret pangkat yang konvergen ke fungsi S(x). a n x n = a 0 + a x + a 2 x 2 + = S(x) n=0 Misalkan I adalah interval kekonvergenannya dan x titik di dalam I, maka: S (x) = D x (a n x n ) = na n x n = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + dan x 0 n=0 S(t) dt = n=0 x 0 (a n t n ) dt = n=0 a n n + xn+ = a 0 x + 2 a x a 2x 3 + Dengan operasi Pendiferensialan dan Pengintegralan terhadap deret pangkat kita dapat memperoleh rumus-rumus deret untuk fungsi yang lain seperti dikemukakan pada contoh-contoh berikut ini: Perhatikan deret pangkat: Apabila didiferensialkan maka diperoleh: x = + x + x2 + x 3 + < x < ( x) 2 = + 2x + 3x 2 + 4x 3 + < x < dan bila diintegralkan diperoleh ln( x) = x + x2 2 + x3 3 + x4 4 + < x < Dengan substitusi u = x dan hasilnya var. u diganti dengan x, diperoleh: ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + < x <

31 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 29 Hasil Titik Ujung Misalkan f(x) = n=0 a n x n, untuk R < x < R. Jika f kontinu diujung-ujung R dan R dan deretnya konvergen pada titik tersebut maka rumus tersebut berlaku pada ujung-ujung interval. Latihan:. Lakukan substitusi x = t 2 pada deret x lalu integralkan untuk memperoleh rumus tan (x) = x x3 3 + x5 5 x7 7 + < x < 2. Lakukan operasi pendiferensialan pada deret S(x) = + x + x2 2! + x3 3! + x R untuk memperoleh rumus deret e x. Tugas Mandiri Pelajari Pasal 9.7, Kalkulus karangan Purcell edisi 9 : Operasi aljabar deret pangkat. Deret Taylor dan McLaureen Pada pasal sebelumnya kita telah melihat bahwa sebuah deret pangkat yang konvergen akan konvergen ke suatu fungsi S(x). Pada pasal ini akan dipelajari proses sebaliknya. Diberikan sebuah fungsi fungsi f(x) dan konstanta real a. Kita akan mencari formula (bila dapat), supaya fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret: f(x) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + () Pada persamaan terakhir, kita harus menentukan nilai-nilai: c 0, c, c 2, c 3,. Bila ruas kiri dan kanan dari persamaan () kita turunkan, diperoleh: f (x) = c + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 + 4c 4 (x a) 3 + f (x) = 2! c c 3 (x a) + 2 c 4 (x a) c 5 (x a) 3 + f (x) = 3! c c 4 (x a) + 60 c 5 (x a) c 6 (x a) 3 +. Dengan mensubstitusikan x = a maka diperoleh: c 0 = f(a), c = f (a), c 2 = f (a), c n = f(n) (a) 2! n! (2)

32 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 30 Teorema Ketunggalan Fungsi f(x) hanya dapat diuraikan secara tunggal dalam bentuk: f(x) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 + dengan c n = f(n) (a) n!. Deret f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) 3! (x a) 3 + disebut deret Taylor dari f(x) disekitar a. Bila a = 0 dinamakan deret MacLaurin. Pertanyaan: Apakah sebuah deret Taylor menggambarkan fungsi semula? Sebagai ilustrasi, perhatikan pada deret Taylor x = + x + x2 + Teorema Taylor: Misalkan f(x) dapat diturunkan terus pada interval (a r, a + r), maka deret Taylor f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) 2 + f (a) 3! (x a) 3 + akan menggambarkan f(x) pada interval tersebut bila lim R n(x) = lim (x a) n+ = 0 dengan c (a r, a + r) (n+)! Suku R n (x) disebut suku sisa Taylor. Soal-soal: f (n+) (c). Tentukan deret McLaureen dari f(x) = sin(x) dan tunjukkan hasilnya berlaku untuk semua x R. 2. Seperti soal untuk f(x) = cos(x). 3. Dengan menguraikan ln(x+) atas deret McLaureen, aproksimasilah nilai ) dx memakai 5 suku pertama dari deret tersebut. 0 ln(x+

33 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 3 Deret-Deret McLaureen yang penting:. x = + x + x2 + x 3 + < x < 2. ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + < x < 3. tan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + < x < 4. e x = + x + x2 2! + x3 3! + 5. sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + 6. cosx = x2 2! + x4 4! x6 6! + 7. sinh x = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + 8. coshx = + x2 2! + x4 4! + x6 6! + 9. ( + x) p = + ( ( p ) x + p ) 2 x 2 + ( p dengan ( ) p k = p (p ) (p k+) 2 3 k 3) x 3 + < x <

34 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 32 Aproksimasi Taylor untuk Fungsi Tujuan: menghampiri suatu fungsi dengan sebuah polinom. f(x) p n (x) n derajat polinom yang digunakan Aproksimasi Linear / Polinom Taylor derajat satu f(x) p (x) = c 0 + c (x a) a konstanta (3) Pada masalah ini, kita harus menentukan nilai c 0 dan c agar hampiran tersebut baik. Pada hampiran Taylor dipilih supaya fungsi f dan polinom p nilainya di titik a berimpit sampai turunan pertama. f(a) = p (a) dan f (a) = p (a) Dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas pada (3) maka diperoleh c 0 = f(a) dan c = f (a). f(x) f(a) + f (a)(x a) ilustrasi geometri Contoh: Hampiri nilai ln(0, 9) dengan polinom Taylor derajat satu. (p (0, 9) = ; ln(0.9) = 0, ). Aproksimasi kuadrat / Polinom Taylor derajat dua f(x) p 2 (x) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) 2 a konstanta (4) Kriteria yang digunakan untuk menentukan nilai c 0, c danc 2 adalah: f(a) = p 2 (a), f (a) = p 2 (a) f (a) = p 2 (a) Dengan mensubstitusikan ketiga persamaan di atas pada (4) diperoleh c 0 = f(a), c = f (a) dan c 2 = f (a) 2!. f(x) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2!

35 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 33 Contoh: Hampiri nilai ln(0, 9) dengan polinom Taylor derajat dua. (p (0, 9) = ; ln(0.9) = 0, ). Aproksimasi Polinom Taylor derajat n f(x) p n (x) = c 0 + c (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n (5) Nilai c k ditentukan dari syarat f (k) (a) = p (k) n (a) k = 0,,, n. Dengan mensubstitusikan syarat tersebut satu-persatu pada (5), diperoleh: c 0 = f(a), c = f (a), c 2 = f (a) 2!,, c n = f(n) (a) n! Bentuk umum hampiran polinom Taylor orde n dari fungsi f(x) disekitar titik a adalah: f(x) p n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f(n) (a) n! (x a) n Hal khusus, bila a = 0 maka p n (x) disebut polinom McLaureen: Latihan: f(x) p n (x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x f(n) (0) n! x n. Hampiri nilai ln(, ) dengan polinom Taylor derajat empat. (p 4 (, ) = 0, ; ln(, ) = 0, ). 2. Tuliskan polinom McLaureen orde n dari f(x) = e x.

36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 34 Hampiran polinom Taylor terhadap f(x) = x x sin(x) disekitar x = π 4 p (x) = x p 2 (x) = x x 2 p 8 (x)

37 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 35 Tugas Mandiri: Pelajari metode Horner untuk menghitung nilai polinom. Galat/Error/Kesalahan Galat adalah perbedaan nilai dari suatu besaran dengan nilai hampirannya. ilustrasi: cos(0, 2) 2! (0, 2)2 + 4! (0, 2)4 0, galat metode (galat pemotongan) galat perhitungan (galat pembulatan) Galat pemotongan terjadi karena adanya pemotongan rumus matematika tertentu, sedangkan galat pembulatan diakibatkan karena keterbatasan penyimpanan bilangan pada alat hitung kita. Perlu diperhatikan, walaupun hasil hitungan numerik selalu berupa hampiran, bila sumber galatnya hanya galat pemotongan, maka kita dapat mengatur besar galat yang terjadi sesuai dengan kebutuhan. Hal ini dijamin oleh rumus berikut: Rumus Sisa Taylor Misalkan f(x) fungsi yang dapat diturunkan sampai (n +) kali disekitar titik a, maka f(x)=f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! dengan R n (x) = f(n+) (c) (n+)! (x a) n+, c diantara x dan a (x a) f(n) (a) (x a) n + R n (x) n! (suku sisa Taylor) Secara umum nilai galat R n (x) tidak diketahui, tetapi batas atasnya dapat dicari. Semakin besar n yang digunakan umumnya R n (x) makin kecil, mengapa? Latihan:. Taksirlah batas galatnya bila ln(, ) dihampiri dengan p 4 (x). 2. Hampiri e 0,8 dengan galat tidak melebihi 0,00 3. Galat suatu hasil perhitungan numerik adalah E = c2 sin c c dengan 2 c 4. Taksirlah batas maksimum galat tersebut.

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan 4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga, DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14 Mari mengingat

Lebih terperinci

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Oleh Ayundyah Kesumawati, S.Si., M.Si. (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 26 Daftar Isi Daftar Isi iv Daftar

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio. Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB   September 26, 2011 (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010 Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk

Lebih terperinci

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

Pengintegralan Fungsi Rasional

Pengintegralan Fungsi Rasional Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013 Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use DIKTAT KALKULUS 1. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si.

Open Source. Not For Commercial Use DIKTAT KALKULUS 1. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. DIKTAT KALKULUS 1 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Departemen Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung September 2010 Pengantar Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir

Lebih terperinci

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n!

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n! Analisa Numerik Teknik Sipil 1 PENDAHULUAN 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya),

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

Deret Taylor. dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, (x a) + f 00 (a) 2! (x a) 2 + f 000 (a) 3!

Deret Taylor. dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, (x a) + f 00 (a) 2! (x a) 2 + f 000 (a) 3! oki neswan (fmipa-itb) Deret Taylor Sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah deret pangkat membangkitkan sebuah fungsi dengan domain merupakan interval kekonvergenan deret pangat tersebut. Sekarang

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti

Lebih terperinci

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Pecahan Parsial (Partial Fractions) oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU 1

INTEGRAL TAK TENTU 1 INTEGRAL TAK TENTU 1 Rumus umum integral b a f (x) dx F(x) =lambang integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS DASAR

DIKTAT KALKULUS DASAR DIKTAT KALKULUS DASAR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc Rosita Kusumawati, M.Sc Nikenasih Binatari, M.Si email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T. DESKIPSI MATA KULIAH EL-121 Matematika Teknik I: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( ) II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI

APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

Konsep Deret & Jenis-jenis Galat

Konsep Deret & Jenis-jenis Galat Metode Numerik (IT 402) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 2 Konsep Deret & Jenis-jenis Galat ALZ DANNY WOWOR 1. Pengatar Dalam Kalkulus, deret sering digunakan untuk

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Ilustrasi Persoalan Matematika

Ilustrasi Persoalan Matematika Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

LIMIT FUNGSI. Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah LIMIT FUNGSI Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga.

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan

Lebih terperinci

FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA

FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema

Lebih terperinci

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif

Lebih terperinci

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga.

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga. ix M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 2 yang disajikan pada bahan ajar ini membahas materi tentang barisan, deret, dan integral. Pembahasan barisan dan deret hanya sekitar 11 persen dari dari keseluruhan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3.

BAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3. BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci