KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

Transkripsi

1 KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan

2 BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4,... Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi, N = {1, 2, 3, 4, } Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan dengan nol, maka diperoleh bilangan cacah, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, Himpunan semua bilangan cacah biasa disimbolkan dengan C. Jadi, C = { 0, 1, 2, 3, 4, } Jika di dalam himpunan semua bilangan cacah kita tambahkan semua negatifnya, maka diperoleh bilangan bulat, yaitu, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi, Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Selanjutnya himpunan bilangan yang lebih besar adalah bilangan rasional. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat a ditulis dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Himpunan semua b bilangan rasional biasa dinotasikan dengan Q. Jadi, a Q, a Z, b Z, b 0 b Lawan dari bilangan rasional adalah bilangan irrasional. Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dengan a. b 2

3 Himpunan semua bilangan irrasional biasa dinotasikan dengan I. Bilangan irrasional antara lain 2, 3, 5, dan e. Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatif dan nol disebut bilangan real. Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan kelima himpunan N, C, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan N C Z Q R. B. Operasi Bilangan Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan dan y bilangan real maka penjumlahan dan y ditulis + y dan perkalian dan y ditulis. y atau secara singkat ditulis y. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut: 1. Hukum komutatif: + y = y + dan y = y. 2. Hukum asosiatif: + (y + z) = ( + y) + z dan (yz) = (y)z. 3. Hukum distributif: (y + z) = y + z. 4. Elemen-elemen identitas: Elemen identitas penjumlahan adalah 0 sebab + 0 =. Elemen identitas perkalian adalah 1 sebab.1 =. 5. Invers (kebalikan): Setiap bilangan real mempunyai invers penjumlahan yaitu yang memenuhi + = 0 dan setiap bilangan real yang tidak nol mempunyai invers perkalian yaitu yang memenuhi C. Pertidaksamaan Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, atau. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya 3

4 merupakan interval atau gabungan interval- interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = { a < < b }. 2. Interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = { a b }. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut. Penulisan Interval Penulisan Himpunan Garis bilangan (a, b) { a < < b } a b [a, b] { a b } a b (a, b] { a < b } a b [a, b) { a < b } a b (-, b) { < b } b (-, b] { b } b (a, ) { a < } a [a, ) { a } a (-, ) { R } Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 7 < < < < < HP = { > 5 2 } 4

5 Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 6 < < = 0 ( 3)( + 2) = 0 = 3 V = - 2 HP = { - 2 < < 3 } Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ( 2) = = 0 V 2 0 = 3 V 2 HP = { 2 < < 3 } D. Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam 5

6 kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. 1. Definisi nilai mutlak Nilai mutlak bilangan real, ditulis didefinisikan dengan, jika 0 -, jika < 0 2. Sifat-sifat nilai mutlak a. a.b = a. b b. a b = a b c. a + b a + b d. a - b a - b 3. Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut: a. < a a < < a b. > a < a atau > a. Contoh 1 c. Tentukan penyelesaian < 3 Nilai yang memenuhi 3 < < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan < 3. Jadi, HP = { -3 < < 3 } Contoh 2 Tentukan penyelesaian - 2 < 3 6

7 - 2 < 3 3 < - 2 < < < < < 5 Jadi, HP = { -1 < < 5 } Contoh 3 Tentukan penyelesaian V V V 2 Jadi, HP = { 4 2 V 2} SOAL Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan < < < < > 1 7

8 BAB II FUNGSI A. Definisi Fungsi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Perhatikan diagram panah berikut: A B A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real. Contoh 1 Relasi manakah yang merupakan fungsi dari diagram panah berikut? 8

9 a. c. b. d. C dan D Contoh 2 Tentukan domain dan range dari fungsi f = D f = { R, 3 } R f = { R } 1 3! Contoh 3 Tentukan domain dan range dari fungsi f = 9! 9

10 D f = { 9 } R f = { 0 } B. Fungsi Komposisi Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g o f, didefinisikan sebagai (g o f)() = g(f()) untuk setiap D g. Contoh 1 Jika f() = 2 3 dan g() = + 3, tentukan (g o f)()! (g o f)() = g [f ()] = f() + 3 = Contoh 2 Jika g() = dan h() = , tentukan (h o g)()! (h o g)() = h[g()] = [g()] 2 + 2[g()] + 5 = (2 + 4) 2 + 2(2 + 4) + 5 = = Contoh 3 Jika g() = dan (f o g)() = , tentukan f()! g() = (f o g) () = f(g()) = 3( 2 + 3) 5 f(g()) = 3[g()] 5 f () = 3 5 Adapun sifat-sifat fungsi komposisi sebagai berikut: 1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif. 10

11 (f o g)() (g o f)() 2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif [f o (g o h)]() = [(f o g) o h]() 3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I() = sehingga (f o I)() = (I o f)() = f() C. Fungsi Invers Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal D f dan daerah hasil R f. Fungsi invers ( fungsi balikan ) f adalah f 1 hanya jika jika dan (f 1 o f)() = untuk setiap di dalam D f dan (f 1 o f)() = untuk setiap di dalam R f. Contoh 1 Tentukan invers dari fungsi y = f() = 5 7 y = = y + 7 = y+7 5 = f 1 () = y Jadi, fungsi invers dari y = 5 7 adalah y = +7 5 Contoh 2 Tentukan invers dari fungsi y = y = y 2 1 = y y = y 3 = y

12 (2y 3) = y + 4 = y + 4 2y 3 Jadi, fungsi invers dari y = adalah y = 2 3 Contoh 3 Tentukan invers dari fungsi y = y = = y 4 2 = y 4 3 = y 4 3 Jadi, fungsi invers dari y = adalah y = 4 3 Soal 1. Tentukan domain dan range dari fungsi f = 2. Tentukan domain dan range dari fungsi f = ! 1 4! 3. Tentukan domain dan range dari fungsi f = 1 2! 4. Tentukan f o g() dan g o f () dari fungsi f() = 3 4 dan g() = ! 5. Jika f () = dan f o g () = 3(3 2), tentukanlah g()! 6. Jika g() = 2 ( 1) dan g o f () = 2 ( 5), tentukanlah f()! 7. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut 12

13 a. f() = 2 2 b. f = + 1 c. f = d. f =

14 BAB III LIMIT FUNGSI A. Definisi Limit Definisi yang tepat tentang limit pertama kali diperkenalkan oleh Cauchy. Cauchy adalah seorang mahaguru di Ecole Polytechnique, Sarbone, dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya sangat cemerlang sehingga semua buku ajar moderen mengikuti penjelasan kalkulus yang terperinci oleh Cauchy. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi limit adalah lim f = L a dijabarkan sebagai "limit fungsi f() pada saat mendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan lim a f. Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan lim a + f. B. Limit Fungsi Aljabar Beberapa cara dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu: 1. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut. Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim 4 ( ) 14

15 lim 4 ( ) = Contoh 2 = = - 10 Tentukan limit fungsi lim lim = = 1 1 = 1 2. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu Jika dengan cara substitusi langsung pada lim a f() g() diperoleh bentuk 0 0 (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran terlebih dahulu terhadap f() dan g(). Kemudian, sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim lim = lim 2 +2 ( 2) 2 = lim 2 ( + 2) = = 4 15

16 Contoh 2 Tentukan limit fungsi lim lim = lim = lim = = 0 = 0 Contoh 3 Tentukan limit fungsi lim lim = lim 3(+1) ( 4) = lim 0 3(+1) 2( 4) = 3(0+1) 2(0 4) = 3 8 = Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan Jika pada lim a f() g() diperoleh bentuk tak tentu 0 0 untuk = a dan sulit untuk memfaktorkan f() dan g(), lakukan perkalian dengan faktor sekawan dari g() atau f(). Agar lebih jelas, pelajari contoh berikut. 16

17 Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim lim = lim = lim 0 9 (9 9) 3 (3+ 9 9) = lim (3+ 9 9) = lim 0 3 (3+ 9 9) = = = = 1 2 Contoh 2 Tentukan limit fungsi lim lim = lim = lim = lim 1 2( 1) = lim = = = =

18 C. Limit Tak Hingga Lambang (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, bukan merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak benar = 0 atau = 1. Beberapa cara menyelesaikan limit tak hingga antara lain dengan membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan sekawan. 1. Menentukan Limit dengan Membagi dengan Pangkat Tertinggi Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim lim = lim = lim = = = 3 Contoh 2 Tentukan limit fungsi lim

19 lim = lim = lim = = = 0 3 = 0 Contoh 3 Tentukan limit fungsi lim lim = lim = lim 1 = = = lim = 1 1 = 1 19

20 2. Menentukan Limit dengan Mengalikan dengan Sekawan Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim ( + 1 ) lim ( + 1 ) = lim = lim ( +1) 2 ( ) = lim = lim +1 + = lim = = = 0 2 = 0 Contoh 2 Tentukan limit fungsi lim ( ) lim ( ) = lim ( ). ( ) = lim ( ) ( ) 20

21 = lim ( ) = lim ( ) = lim 2 ( ) = lim = lim = = = = 0 D. Limit Fungsi Trigonometri Pada Subbab sebelumnya telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan mempelajari sifat berikut. 1. lim 0 sin = sin 0 = 0 2. lim π cos = cos π = 1 3. lim t 0 sin t t = 1 4. lim t 0 t sin t = 1 5. lim t 0 tan t t = 1 6. lim t 0 t tan t = 1 21

22 Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri, pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut. Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar. Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab sebelumnya berlaku juga untuk limit fungsi trigonometri. Contoh 1 Tentukan limit fungsi lim 0 lim 0 Contoh 2 2 sin 2 = 1 2 sin 2 Tentukan limit fungsi lim 0 5 sin lim 0 5 sin Contoh 3 5 = lim 0 lim sin 0 = lim 0 5 lim 0 sin = 5 1 = 4 Tentukan limit fungsi lim 0 sin 3 tan 2 sin 3 lim 0 = lim sin 3 tan tan sin 3 = lim tan = 3 2. lim 0 2 tan 2. sin 3 3 = =

23 Soal Tentukan limit fungsi berikut 1. lim lim lim lim lim lim lim 0 3 sin 5 8. lim π 4 2(sin cos ) 1 sin 2 23

24 BAB IV TURUNAN (DIFERENSIAL) A. Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f = lim 0 turunan menggunakan f atau dy d. f c+ f(c) jika limitnya ada. Notasi B. Teorema-Teorema Turunan 1. y = k dy d = 0 2. y = dy d = 1 3. y = n dy d = nn 1 dengan k konstanta dengan n bilangan rasional 4. y = a n dy d = a. nn 1 dengan n bilangan rasional 5. f = g + f = g + 6. y = u. v dy d = u. v + v. u 7. y = u dy = u.v v.u v d v 2 8. y = sin y = cos 9. y = cos y = sin 10. y = tg y = sec y = cotg y = cosec y = sin () y = cos. () 13. y = cos () y = sin. () 14. y = tg () y = sec 2. () 15. y = cotg () y = cosec 2. () 16. y = ln f() dy d = f() f () 17. y = e f() dy = d ef. f () 24

25 18. y = arc sin y = y = arc tg y = C. Turunan Tingkat Dua dan Turunan Tingkat Tiga Contoh 1 y y y y Atau y dy d d2 y d 2 d3 y d 3 y = cos, tentukan 8y + 4y + 2y + y y = cos y = sin y = cos y = sin = sin 8y + 4y + 2y + y = 8 sin + 4 (-cos ) + 2 (-sin ) + cos = 8 sin - 4 cos - 2 sin + cos = 6 sin - 3 cos SOAL Tentukan turunan fungsi berikut 1. y = y = y = y = y =

26 6. y = tg y = 2 sin 8. y = 4 3 cos 6 9. y = y =

27 BAB V APLIKASI TURUNAN A. Persamaan Garis Singgung Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f() di titik A [a, f(a)] adalah m. Persamaan garis lurus yang melalui titik P( 1, y 1 ) dengan gradien m adalah y y 1 = m( 1 ) Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A [a, f(a)] pada kurva adalah y f(a) = f '(a)( a) Contoh 1 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f() = 2 di titik ( 2, 4) f() = 2 f () = 2 m = f (-2) = 2(-2) = -4 persamaan garis singgungnya adalah y f(a) = f '(a)( a) y 4 = f '(-2)( (-2)) y 4 = (-4)( + 2) y 4 = -4-8 y = y = -4 4 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -4 4 B. Nilai Ekstrem atau Nilai Puncak Fungsi f dengan domain D yang memuat titik a dikatakan bahwa 1. f(a) adalah nilai maksimum fungsi f jika f(a) > f() untuk semua dalam D syarat nilai maksimum adalah f (a) = 0 dan f (a) < 0 27

28 2. f(a) adalah nilai minimum fungsi f jika f(a) < f() untuk semua dalam D syarat nilai minimum adalah f (a) = 0 dan f (a) > 0 Contoh 1 Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva y = y = 2 2 y = = 0 = 1 4 y = 2 2 y = y = 4 1 y = = = y = 4 (y > 0) nilai minimum Jadi, titik puncak adalah 1 4, 1 8 dan merupakan titik maksimum SOAL 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut a. f() = di = 4 b. f() = di titik (2, 1) 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang sejajar garis y =. 3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang tegak lurus y = Carilah dan tentukan titik puncak pada kurva f() = Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume cm 3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin. 28

29 6. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum. 7. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi unit barang jenis A sebesar rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum. 29