BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad

Transkripsi

1 4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks 7. Argumen dari Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks 8. Aka-Akar Bilangan Kompleks Aswad

2 Definisi 6. Diberikan bilangan kompleks z = x + iy, x, y R. Konjuget (sekawan) dari suatu bilangan kompleks z didefinisikan dengan 4. KOMPLEKS KONJUGATE (SEKAWAN) z x iy x iy Gambar 5. Bentuk konjugate bil. kompleks

3 Teorema 2. Diberikan z, z 1, dan z 2 C. Operasi konjuget pada suatu bilangan kompleks adalah sebagai berikut: Buktikan.

4 Contoh: Misalkan z 1 = 4 + 3i dan z 2 = 2 5i. Jelas bahwa dan z1z2 4 3i 2 5i 23 14i 23 14i 1 1 z 5i z 5i 4 3i 5i 4 8i

5 5. BENTUK POLAR & EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS Definisi 3. Misalkan r dan θ adalah kordinat polar dari titik (x, y) yang berkorespondensi dengan bilangan kompleks tak nol z = x + iy. Untuk x = r cos θ dan y = r sin θ, maka bentuk polar dari bilangan kompleks z = x + iy adalah z = r(cosθ + i sinθ). Gambar 6. Bentuk polar bil. kompleks

6 Jika z = 0, koordinat θ jelas tidak terdefinisi. r = jarak/radius vektor z = modulus dari z, r = z = x y 2 2 θ = argument dari z = besar sudut antara sumbu x positif dengan vektor z. y tan atau arc tan y x x Principal value dari arg z dinotasikan dengan Arg z, dimana π < Arg z π arg z = Arg z + 2kπ dengan k = 0, ±1, ±2,...

7 Contoh: Tentukan Arg z dan arg z dari bilangan kompleks -1 i. Penyelesaian: Perhatikan bahwa bilangan kompleks z = -1-i terletak pada kuadran ketiga. Sehingga: Arg (-1-i) = arc tan o = 45 o + 90 o = 135 o = -3π/4. Ingat, π < Arg z π, sehingga Arg (-1-i) 225 o atau 5π/4. Selanjutnya, arg (-1-i) = Arg (-1-i) + 2kπ = -3π/4 + 2kπ, dengan k = 0, ±1, ±2,...

8 Definisi 4. Bentuk e iθ atau exp(iθ) didefinisikan sebagai: e iθ = cos θ + i sin θ Dengan θ dalam radian. Berdasarkan Definisi 4, bentuk bilangan kompleks z sebagaimana yang dimaksud pada Definisi 3, dapat ditulis kembali menjadi: z = r(cosθ + i sinθ) = re iθ

9 Contoh: Misalkan diketahui bilangan kompleks z = -1 i, tentukan bentuk eksponennya. Penyelesaian: Telah ditunjukkan bahwa θ = -3π/4, r = 2. sehingga bentuk eksponensialnya adalah: 3 3 z 2exp i 2exp i 2e 4 4 i 3 4 Atau 3 z 2exp i 2k 4 dengan k = 0, ±1, ±2,...

10 Gambar 7. Bentuk polar bil. kompleks Bentuk z = re iθ dengan r = 1 menunjukkan bahwa e iθ terletak pada lingkaran dengan jarak 1 satuan dari titik asal. Secara geometri terlihat bahwa e iπ = -1, e -iπ/2 =-i, dan e -i4π = 1.

11 Latihan Tunjukkan bahwa: 2. Misalkan z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2. Buktikan bahwa dan 3. Buktikan bahwa untuk 4. Tentukan Arg z dan arg z dari 5. Tentukan bentuk eksponensial bilangan kompleks

12 6. PERKALIAN & PEMBAGIAN BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS Perkalian dan pembagian bentuk eksponensial bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Misalkan a. a maka: b. B c. Untuk suatu maka

13 7. ARGUMEN DARI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN KOMPLEKS Misalkan Maka dan

14 8. AKAR-AKAR BILANGAN KOMPLEKS Misalkan diberikan suatu titik z = re iθ, terletak pada suatu lingkaran dengan jarijari r. Titik z = re iθ akan kembali ke posisi semula jika θ bertambah ataupun berkurang sebesar 2π. Gambar 8.

15 Definisi 5 Dua buah bilangan kompleks z 1 = r 1 e iθ1 dan z 2 = r 2 e iθ2 dikatakan sama jika dan hanya jika r 1 = r 2 dan θ 1 = θ 2 + 2kπ, dengan k = 0, ±1, ±2,... Teorema De Moivre Misakan suatu bilangan kompleks pangkat n adalah z n = r n (cos nθ + i sin nθ) dengan n = 0, 1, 2,... Untuk z = r = 1, maka z n = (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ).

16 Misalkan bentuk akar n dari suatu bilangan kompleks z adalah w, ditulis sebagai berikut: Misalkan z = r (cos θ + i sin θ) dan w = R (cos Φ + i sin Φ), maka Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, maka R n = r nφ = θ + 2kπ w n n w z w z cos sin cos sin n R n i n r i R dan dengan k = 0, 1,..., n-1,.. n r n 2k n n z

17 Sehingga: 2 2 n n w z r cos k isin k n n Ke-n buah nilai tersebut terletak pada suatu lingkaran yang berjari-jari n r dengan pusat lingkaran di titik asal dan membentuk suatu polygon beraturan bersisi n. Contoh: Tentukan akar ke-n dari bilangan kompleks 1.

18 Latihan Sederhanakan bentuk 2. Tentukan principal argument (Arg z) dari bentuk kompleks berikut: 3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan 4. Gunakan teorema de Moivre untuk membuktikan rumus identitas trigonometri berikut:

19 SELESAI NEXT Tugas I