Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral"

Agus Pranata
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic

2 Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg- edisi Juli Alamat pos: Kanaakan D-, Bandung, 5. Fa: (6) () 57 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3 BAB 8 Fungsi Logaritma atural, Eksponensial, Hiperbolik 8.. Fungsi Logarithma atural. Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e. Bilangan e ini, seperti halna bilangan π, adalah bilangannata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan angka di belakang koma, nilaina adalah e =,78888 Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nata ang sangat penting dalam matematika: ln e = (8.) ln e a = a ln e= a (8.) Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari dituliskan sebagai = ln (8.) Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita pelajari pada Bab-), aitu = ln dt (8.) t Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral dengan batas tertentu seperti (8.) berarti luas bidang antara fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi oleh t = dan t =. Perhatikan Gb.8.. Nilai fungsi = ln adalah luas bidang ang dibatasi oleh kurva (/t) dan sumbu-t, dalam rentang antara t = dan t =. 6 5 /t ln t Gb.8.. Definisi ln ditunjukkan secara grafis.

4 Kurva fungsi = ln dalam koordinat - adalah seperti pada Gb.8.. Nilai ln = terjadi pada nilai = e. Gb.8.. Kurva = ln. Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. Jika dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka: Soal-Soal ln a= ln a+ ln ln ln ln e= ln e,5 -,5 e - -,5 - = ln ln a; a n,5 = nln = ln bernilai negatif untuk < = ln (8.5) Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (/t) pada Gb.8. dalam segmen-segmen selebar t =, dan mendekati luas segmen sebagai luas trapesium, hitunglah ). ln,5 ). ln ; ). ln,5 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

5 8.. Fungsi Eksponensial Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi dari logaritma; kita melihatna sebagai suatu fungsi = ln (8.6) Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini ekivalen dengan ang disebut fungsi eksponensial. = e (8.7) Fungsi eksponensial ang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul pada = walaupun faktor u(), aitu fungsi anak tangga satuan, tidak dituliskan. b = ae ; (8.8) Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar b maka nilai fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar fungsi ini akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan tersebut. Dengan mengambil nilai a =, kita akan melihat bentuk kurva fungsi eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang seperti terlihat pada Gb.8.. Pada Gb.8.. ini terlihat bahwa makin besar nilai b, makin cepat fungsi menurun.,8,6 e e,,,5,5,5,5 Gb.8.. Perbandingan kurva = e dan = e. 5

6 Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 6% dari nilai awalna (aitu nilai pada = ), pada saat = /b. Pada saat = 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dari nilai awalna. Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada = 5/b. Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah at = Ae u(t) (8.9) Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menatakan bahwa kita hana meninjau keadaan pada t. Fungsi ini menurun makin cepat jika a makin besar. Didefinisikanlah sehingga (8.9) dituliskan τ = (8.) a t / τ = Ae u( t) (8.) τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun. Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial ang banak dijumpai dalam rekaasa adalah eksponensial ganda aitu penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunai amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduana juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah t / τ t / τ ( e ) u( t) = A e (8.) Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.. Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja (surge) merupakan jenis pulsa ang awalna naik dengan cepat sampai suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih lambat. Surja tegangan ang dibangkitkan untuk keperluan laboratorium berbentuk mulus namun kejadian alamiah ang sering dimodelkan dengan surja tidaklah mulus, misalna arus terpaan petir. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

7 5 A = Ae t / τ = Ae t / τ = A e t / τ t / τ ( e ) 5 t/τ Gb.8.. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial. Soal-Soal. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial ang muncul pada = dan konstanta τ, berikut ini : a). a = amplitudo 5, τ =. b). b = amplitudo, τ =. c). c = amplitudo 5, τ =.. Dari fungsi pada soal, gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. a). c). d b). e f = = a a = a + + b c + b +. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. a). c,5 { e }, { 5e } = u( ) b). = u( ) 7

8 8.. Fungsi Hiperbolik Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) e + e e e cosh v= ; sinh v= (8.) Persamaan (8.) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika = cosθ dan = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan lingkaran satuan (berjari-jari ), aitu + = = sin θ+ cos θ. Pada fungsi hiperbolik, jika = cosh v dan = sinh v, maka fungsifungsi ini memenuhi persamaan hiperbola satuan : = Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk dan sinh v untuk dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan hiperbola satuan akan terpenuhi. Kita coba: v v v v e + + e e + e = cosh v sinh v= = = Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb dengan e + e e e = cosh v= ; = sinh v= v = v = P[,] Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan. 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

9 Jika kita masukkan e + e = cosh v= ; e e = sinh v= maka titik P[,] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena e v selalu bernilai positif dan e v = /e v juga selalu positif untuk semua nilai nata dari v, maka titik P[,] selalu berada di bagian positif (sebelah kanan sumbu-) kurva hiperbolik. Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik ang lain didefinisikan sebagai sinh v e e cosh v e + e tanh v= = ; coth v= = (8.) cosh v v e + e sinh e e sech v= = ; csch v= = (8.5) cosh v v e + e sinh e e Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini. ). cosh v sinh v=. Identitas ini telah kita buktikan di atas. Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa. ). tanh v= sech v. Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan cosh v. ). coth v = csch v. Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan sinh v. ). 5). cosh v + sinh v= e u. Ini merupakan konsekuensi definisina. u cosh v sinh v= e. Ini juga merupakan konsekuensi definisina. 9

10 Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan kurva fungsi-fungsi hiperbolik. (a) e = sinh e = cosh c) b) = sech = cosh e = sinh Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

11 = coth = tanh = coth - - d) - = csch = sinh e) = csch - - Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.

12 Soal-Soal ). Turunkan relasi sinh( u+ v) dan cosh( u+ v). ). Diketahui sinh v = /. Hitung cosh v, coth v, dan csch v. ). Diketahui sinh v = /. Hitung cosh v, tanhv, dan sech v. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

13 Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 96 96, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,.. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book,. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book,.

dokumen-dokumen yang mirip

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham