Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI"

Transkripsi

1 Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI REAL Misalkan P, Q R(himpunan bilangan Real), fungsi f : P Q adalah suatu aturan yang mengaitkan P dengan tepat satu unsur Q. Pengkaitannya ditentukan oleh suatu aturan, yang diberi lambang y = f (), Pada definisi ini, daerah asal fungsi f adalah himpunan P, ditulis D f = P; sedangkan daerah nilai fungsi f adalah himpunan R f = {f () : D }. Unsur f () Q dinamakan nilai fungsi f. Bila pada suatu fungsi hanya diketahui aturannya saja, katakanlah y = f (), maka daerah asal fungsi f adalah himpunan dan daerah nilainya adalah himpunan D f = {f () R : f () R} R f = {f () R : f () D f } Kita mempunyai fungsi y = f () dengan daerah asal D f dan daerah nilai R f. Himpunan titik dinamakan grafik fungsi f {(,y) R : y = f (), R f } Ilustrasi Kita akan menentukan daerah asal, daerah nilai, dan grafik fungsi

2 f ( ) agar f () R, syaratnya adalah + 0, sehingga daerah asal fungsi f adalah Df / Kemudian, karena - berlaku 0, sehingga daerah nilai fungsi f adalah Rf / 0 Grafik fungsi f ( ) diperlihatkan pada Gb. Gb. Grafik fungsi f ( ) Pada konsep fungsi real, daerah asal dan daerah nilai fungsi f merupakan himpunan bagian dari R Fungsi f seperti ini dinamakan fungsi dengan peubah real dan bernilai real, disingkat fungsi real. Fungsi real dengan aturan y = f () dapat digambarkan sebagai diagram panah pada Gb.7 atau Gb.8. Gb. Gb.3

3 Contoh Daerah asal dan daerah nilai fungsi pecahan linear. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi f () = Jawab Agar f ( ) R, syaratnya 0, jadi daerah asal fungsi f adalah D f = R. {0} Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, misalkan) y f ( ) kemudian nyatakan dalam y dan perhatikan syaratnya, diperoleh y = - (y ) = - y y ` Jadi daerah nilai fungsi f adalah R f = R - {}. Contoh Daerah asal dan daerah nilai fungsi kuadrat. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi f () = dan g () = 4 Jawab Karena f () dan g () R untuk setiap R, maka daerah asal fungsi f dan g adalah D f = R dan D g = R Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, tulislah f () = ( 3) + karena R R berlaku ( 3) 0, maka f () R, akibatnya daerah nilai fungsi f adalah Rf [, ) Untuk menentukan daerah nilai fungsi g, tulislah g ( ) ( 5)

4 Karena R berlaku ( 5) 0, maka g () 5 R, akibatnya daerah nilai fungsi g adalah Rg / 5 FUNGSI ALJABAR Fungsi aljabar adalah suatu fungsi elementer yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar(penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar ke-n, n =,3, ) atas fungsi konstan y = k dan fungsi identitas y =. Fungsi elementer yang bukan fungsi aljabar dinamakan fungsi transenden. Contoh f () =, g( ), dan h( ) 3 3 semuanya adalah fungsi aljabar karena diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas y = k dan y =. Tetapi fungsi f () = cos, g () =, dan h () = log ( + ) Semuanya bukan fungsi aljabar karena tidak mungkin diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas y = k dan y =. Suku banyak Bentuk umumnya adalah Pn ( ) a 0 n a n... a n a Disini a o,a,r, a n dinamakan koefisien suku banyak, a o dinamakan koefisien pemuka (leading coefficient). Bila a o 0, derajat suku banyak ini adalah n. n Kasus n = : Fungsi linier Bentuk umum fungsi linier adalah y = f() = a + b. Daerah asal dan daerah nilai fungsi linier adalah R, bila. a 0 D f = R dan R f = { b}, bila, a 0

5 Grafik fungsi linear adalah garis lurus. Berbagai sifat tentang ini telah dipelajari pada Pasal.3. Sistem Koordinat dan Garis Lurus. Kasus n = : Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = f () = a + b + c, a 0. Daerah asal fungsi ini adalah D f = R Untuk menentukan daerah nilainya, tulislah b 4ac b b D (*) y = f() = a a, a 0 a 4a a 4a Dengan D = b 4ac. Bilangan real D dinamakan diskriminan bentuk kuadratnya. Dari bentuk ini diperoleh f () daerah nilai fungsi kuadrat adalah D bila a > 0, dan f() 4a D 4a D D R f =, 00 ) bila a > 0, dan R f = ( -00, 4a a bila a < 0 4 Dari bentuk (*) juga diperoleh f () > R a > 0 dan D < 0 f () < R a < 0 dan D < 0 bila a < 0. Jadi Fungsi kuadrat yang nilainya selalu positif untuk setiap R dinamakan definit positif, syaratnya adalah a > 0 dan D < 0. Fungsi kuadrat yang nilainya selalu negatif untuk setiap R dinamakan definit negatif, syaratnya adalah a < 0 dan D < 0. Grafik fungsi kuadrat dinamakan parabol. Pada fungsi kuadrat y = + k, bila peranan diganti oleh (-), maka akan diperoleh bentuk yang sama. Akibatnya, grafik fungsi ini simetri terhadap sumbu y (garis = 0). Berdasarkan ini diperoleh bahwa grafik fungsi kuadrat Simetri terhadap garis = sumbu simetri parabol. y = f () = a b D + b + c = a, a 0 a 4a b b. (Jelaskan mengapa!). Garis = ini dinamakan a a

6 Sifat grafik fungsi y = f () = a + b + c, a 0 adalah sebagai berikut Parabol terbuka ke atas bila a > 0, dan terbuka ke bawah bila a < 0. Titik b D, a 4a dinamakan titik puncak parabol. Untuk kasus D > 0, parabol memotong sumbu di titik (, 0) dan (,0) dengan = b a > bila a > 0 dan < bila a < 0. D b D dan =, D = b 4ac. Untuk kasus ini, 4a a a Untuk kasus D = 0, parabol menyinggung sumbu di titik b,0 a. Untuk kasus D < 0, parabol terletak di atas sumbu bila a > 0 (definit positif), dan terletak di bawah sumbu bila a < 0 (definit negatif). Pada Gb. 9 dn Gb.30 diperlihatkan parabol untuk semua kasus yang mungkin. Gb.4. Parabol untuk kasus a > 0 Gb.5 Parabol untuk kasus a < 0 Kasus n = 3: Fungsi kubik (Pangkat tiga)

7 Bentuk umum fungsi kubik adalah y = f () = a 3 + b + c + d, a 0. Daerah asal dan daerah nilai fungsi ini adalah D f = R dan R f = R. Fungsi ini selalu memotong sumbu, paling sedikit di satu titik. Untuk kasus a > 0, grafiknya mempunyai dua kemungkinan, selalu naik, atau mempunyai dua titik pundak. Demikian juga untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun, atau mempunyai dua titik puncak. Perhatikan Gb.3. dn Gb.3 yang memperlihatkan model grafik untuk fungsi ini untuk kasus a > 0, dan a < 0. Gb.3. Grafik f () = a 3 + b 3 + c + d untuk kasus a > 0 Gb.6. Grafik f () = a 3 + b + c + d untuk kasus a < 0 Fungsi Rasional Bentuk umum fungsi rasional adalah y f ( ) A( ), A dan B suku banyak B( ) daerah asal fungsi ini adalah D f = { R : B() 0 } = R { R : B () = 0} Untuk kasus Adan B berbentuk linear, daerah nilainya dapat ditentukan dengan menyatakan dalam y. Untuk kasus A atau Bberbentuk kuadrat, daerah nilainya

8 dapat ditentukan dengan sifat diskriminan dari bentuk kuadrat dalam dan y.. Secara umum, daerah nilai fungsi rasional sukar ditentukan. Fungsi Irasional Bentuk umum fungsi irasional adalah y f ( ) n g( ), g fungsi rasional, n =, 3, Daerah asal fungsi ini adalah D f = { R : g () 0} bila n bilangan genap, dan D f = D g bila n bilangan ganjil. FUNGSI TRIGONOMETRI Ukuran sudut Satu derajat, ditulis o, adalah besarnya sudut pusat lingkaran di hadapan busur lingkaran yang panjangnya /360 keliling lingkaran. Satu radian, ditulis rad, atau, adalah besarnya sudut pusat lingkaran berjari-jari r dihadapan busur lingkaran yang panjangnya juga r satuan. Hubungan antara ukuran derajat dan radian : radian = 360 o = satu keliling lingkaran o = 0, 075 o o rad, dan rad = 57,3 o FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam lingkaran satuan u + v =, tetapkan sudut pusat, 0 π sehingga diperoleh sector OAP dengan koordinat P (u, v), perhatikan Gb. 33. Gb. 7

9 Disini adalah sudut positif karena diukur dari sumbu u positif ke OP berlawanan arah putaran jarum jam. Sudut negatif adalah sudut yang diukur dari sumbu u positif ke OP searah dengan putaran jarum jam. berikut. Fungsi trigonometri dar, = <AOP, A (,0) P (u,v) didefinisikan sebagai Cosinus sudut : cos = absis titik P (u,v) = u Sinus sudut : sin ordinat titik P (u, v) = Tangent sudut : tan = Contangent sudut : cot = Secant sudut : sec = Cosecant sudut : csc = sin cos cos sin cos v u u v i u, u 0, v 0, u 0, v 0 sin v Karena u dan v memenuhi u + v =, maka - u dan - v, jadi - cos dan - Jika = AOP dengan A (,0) dan P (u,v), maka = AOQ dengan Q (u,v). Jadi sudut dan berbeda hanya arah pengukuran sudutnya. Akibatnya kita mempunyai hubungan antara fungsi trigonometri sudut dan sudut sebagai berikut. Cos (-) = cos cot (-) = -cot Sin (-) = -sin sec (-) = sec Tan (-) = -tan csc (-) = -csc Karena titik P (u,v) terletak pada lingkaran satuan u + v =, maka dari definisi u = cos dan v = sin diperoleh rumus berikut yang dikenal sebagai kesamaan Pythagoras. Cos + sin = Bila kedua ruas kesamaan Pythagoras dibagi oleh cos, maka diperoleh

10 + tan = sec, + n π, n bilangan bulat Kita mempunyai dua titik pada lingkaran satuan u + v =, P (cos, sin ) dan Q (cos y, din y), dengan = (OP, sb- positif) dan y = (OQ, sb- positif). Berdasarkan rumus jarak dua titik diperoleh PQ = (cos cos y) + (sin sin y) = (cos cos y + sin sin y) Disini POQ = - y, dengan cos POQ = cos - y = cos ( y). Bila titik Q digeserkan ke titik (,0) maka Q (,0) dan P (cos) - y, sin - y, sehingga PQ = (cos - y - ) + sin ( + y) = - cos ( y) Jadi kita mempunyai kesaman penting berikut, yang berlaku,y R Cos ( y) = cos cos y + sin sin y Bila peranan y digantikan oleh y, dengan menggunakan rumus cos (-y) = cos y dan sin (-y) = -sin y diperoleh Cos ( + y) = cos cos y sin sin y Dari dua rumus terakhir kita mempunyai kaitan antara sinus dan cosinus, yaitu Tulislah t = diperoleh : Cos ( ), maka = t - sin = -cos ( ), sehingga sin (t- ) = -cos t. Dari sini Sin ( ) = cos Dengan menggunakan kedua rumus terakhir dan rumus cosinus selisih dua sudut diperoleh : Sin ( + y) = cos ( ( y) = cos ( ) = cos (( ) - y) cos y + sin ( ) = sin cos y + cos sin y sin y

11 Bila peranan y digantikan oleh y, dengan menggunakan rumus cos (-y) = cos y dan sin (-y) = -sin y diperoleh : Sin ( y) = sin cos y cos sin y Kesimpulan Kita telah mengkonstruksi empat rumus trigonometri berikut. () Cos ( y) = cos cos y + sin sin y () Cos ( + y) = cos cos y - sin sin y (3) Sin ( + y) = sin cos y + cos sin y (4) Sin ( y) = sin cos y - cos sin y Jumlah dan selisih rumus () dan () menghasilkan (5) Cos ( y) + cos ( + y) = cos cos y (6) Cos ( y) - cos ( + y) = sin sin y Misalkan s = y dan t = + y, maka = s t s t dan y =, akibatnya (7) Cos s + cos t = cos (8) Cos s cos t = - sin s t s t cos s t s t sin Jumlah dan selisih rumus (3) dan (4) menghasilkan (9) Sin ( + y) + sin ( y) = sin cos y (0) Sin ( + y) sin ( y) = cos sin y Misalkan s = s + y dan t = y,maka = s t s t cos, akibatnya () Sin s + sin t = sin () Sin s sin t = cos s t s t coss s t s t sin Hasil bagi rumus (3) dan () menghasilkan Tan ( + y) = sin( cos( y) y) sin cos y cos sin y cos cos y sin sin y

12 sin cos y cossin y = cos cos y cos cos y sin sin y cos cos y tan tan y tan tan y Bila peranan y digantikan oleh y, dengan menggunakan rumus tan (-y) = -tan diperoleh rumus tan tan y tan (-y)= tan tan y Jadi kita mempunyai rumus berikut tentang tanget dari sudut ganda (3) tan ( + y) = (4) tan ( y) = tan tan y tan tan y tan tan y tan tan y Bila pada rumus (), (3) dan (3), peranan y digantikan oleh, maka kita mempunyai rumus tentang sudut ganda berikut. (5) Cos = cos sin = cos = sin (6) Sin = sin cos (7) Tan = tan tan Dengan menggunakan rumus cos = Dan sec sin Sin = cos cos Cos = cos = tan tan tan tan diperoleh tan tan tan tan Jadi kita mempunyai dua rumus penting berikut tentang kaitan sinus dan cosinus sudut gnda dengan nilai tangentnya. (8) Sin = tan tan tan (9) Cos = tan

13 Dari rumus (), (3) dan (3), diperoleh hasil berikut yang menyatakan periode fungsi trigonometri. (0) Cos ( + nπ) = cos, n bilangan bulat () Sin ( + nπ) = sin, n bilangan bulat () Tan ( + nπ) = tan, n bilangan bulat (3) Cot ( + nπ) = cot, n bilangan bulat (4) Sec ( + nπ) = sec, n bilangan bulat (5) Csc ( + nπ) = csc, n bilangan bulat Kita dapat menentukan kaitan antara konstanta a, b, k, dan ө agar hubungan a cos + b sin = k cos ( - ө) berlaku untuk setiap nilai. Dari bentuk yang diinginkan kita mempunyai a cos + b sin = (k cos ө) cos + (k sin ө) sin Karena hubungan ini berlaku R, maka a = k cos ө dan b = k sin ө. Dari sini diperoleh a + b = k, atau k = a b dan sudut ө memenuhi cos ө = a / a b dan sin ө = Akibatnya, kita mempunyai kesamaan b / a b a b a cos + b sin a Catatan Hasil terakhir dapat juga diperoleh dengan membuat kesamaan a cos + b sin = l sin ( + ) b Grafik Fungsi Trigonometri Berdasarkan konstruksinya, kaitan antara setiap nilai trigonometri dengan sudutnya membentuk suatu fungsi.

14 Fungsi sinus : f () = sin, D f = R, R f = [-,], f( + π) = f () R R Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb.8. Gb.8, grafik fungsi f () = sin Fungsi cosinus : f () = cos, D f = R, R f = [-,], f ( + π) = f () R R. Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb.9 Gb.9, grafik fungsi f () = cos Fungsi tangent : f () = tan, D f = R - { : + nπ, n bilangan bulat}. R f = R, f ( + π) = f () R D f. Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb.0 Gb.0, grafik fungsi f () = tan Gb., grafik fungsi f () = cot

15 Fungsi contangent : f () = cot, D f = R - { : nπ, n bilangan bulat), R f = R, f ( + π) = f () R D f. Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb.37. Fungsi secant : f () = sec, D f = R - { : + nπ, n bilangan bulat, Rf = ( -00,-] [, +00 ), f ( + π) = f () R D f. Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb. Gb. grafik fungsi f () = sec Gb. 3 grafik fungsi fungsi f () = csc Fungsi cosecant : f () = csc, D f = R - { : nπ, n bilangan bulat}, R f = ( -00,-] [, +00 ), f ( + π) = f () /// D f. Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gb.3 Contoh. Daerah nilai fungsi trigonometri Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi f () = sin + sin. Jawab Karena fungsi sinus terdefinisi untuk setiap R, maka daerah asal fungsi f adalah D f = R Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, tulislah f () = (sin + ) - 4 Gunakan batas nilai fungsi sinus dan sifat pertaksamaan untuk memperoleh batas nilai f (), prosesnya sebagai berikut.

16 - sin - sin + 0 (sin + ) - 4 (sin + ) f () Jadi daerah nilai fungsi f adalah R f = [- 4, ]. Contoh. Daerah nilai fungsi trigonometri Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi f () = cos 4 + sin 4 dan g () = cos 6 + sin 6 Jawab Karena nilai fungsi cosinus dan sinus terdefinisi untuk setiap R, maka daerah asal fungsi f dan g adalah D f = R dan D g = R Untuk menentukan daerah nilai fungsi f dan g, gunakan berbagai sifat fungsi trigonometri untuk memperoleh bentuk lain dari fungsi f dan g. f () = cos 4 + sin 4 = (cos + sin ) sin cos = - sin 3 = - ( - cos 4) = + cos dan g () = cos 6 + sin 6 = (cos + sin ) 3 3 sin cos 4 3 sin 4 cos = 3 sin cos (cos + sin ) = sin = ( - cos 4) = cos 4

17 Kemudian gunakan batas nilai fungsi cosinus dan sifat pertaksamaan untuk memperoleh batas nilai f () dan g (), prosesnya sebagai berikut. - cos 4 - cos cos cos cos 4 + cos f () g () 4 Jadi daerah nilai fungsi f dan g adalah R f = [,] dan Rg = [ 4,]. LATIHAN.. Untuk soal sampai dengan 30, tentukan daerah asal dan daerah nilai dari setiap fungsi yang diberikan.. f () = +. f () = f () = 4. f () = f () = f () = f () = 3 8. f () = 3 9. f () = 0. f () =

18 . f () = +. f () = f () = - 4. f () = 5. f () = 6. f () = 7. f () = 8. f () = f () = 0. f () = 8. f () = sin. f () = cos 3. f () = sin sin 4. f () = cos cos f () = sin + sin 6. f () = sin 4 cos 4 7. f () = cos + sin 8. f () = 3 cos 4 sin 9. f () = 3 tan 30. f () = tan

19 .. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI Kesamaan Dua Fungsi Real Fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f = g, jika D f = D g = D dan f () = g () D Sebagai ilustrasi, fungsi f () = dan g () = / tidak sama, karena D f D g, D f = R dan D g = R - {0}. Tetapi fungsi f() = cos 4 + sin 4 sama dengan fungsi g () = 3 + cos 4 karena Df = D g = R dan f () = g () R (lihat contoh dihalaman 5). Operasi Aljabar pada Fungsi Real Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefinisikan operasi aljabar, yang terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian atas kedua fungsi tersebut. Kita mempunyai fungsi f dan g dengan D f = D g = D; jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari fungsi f dan g, ditulis f + g, f g, fg dann f/g, didefinisikan sebagai fungsi yang aturannya R D ditentukan oleh (f + g) () = f () + g () (fg)() = f (). g () (f g) () = f () g () (f/g)() = f ()/g(), g () 0 Catatan Lambang operasi aljabar di ruas kiri dan di ruas kanan mempunyai arti yang berbeda. Ruas kiri adalah operasi aljabar atas fungsi, sedangkan ruas kanan adalah operasi aljabar atas nilai fungsi yang merupakan bilangan real. Jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabarnya ditentukan setelah aturan operasinya, maka fungsi f + g, f g, fg, dan f/g mempunyai daerah asal D f+g = D f-g = D fg = D = D f D g dan D f/g = D { R : g () = 0} Contoh Operasi aljabar pada dua fungsi

20 Jika f () = dan g(), tentukan fungsi f + g, f g, fg, f/g, dan g/f beserta daerah asal setiap fungsinya. Jawab Jumlah f dan g : (f + g) () = + = ) ( ) ( Selisih f dan g : (f g) () = + = ) ( ) ( Hasilkali f dan g : (fg)() = ) ( dengan D f+g = D f-g = D = R - {-,0} Hasil bagi f dan g : (f/g)() = dengan D f/g = D { R : g () = 0} = D - = D = R - {-,0} Hasil bagi g dan f : (f/g)() = ) ( dengan D f/g = D { R : f () = 0} = D {} = R - {-,0,} Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f dikatakan fungsi genap jika f (-) = f () D f, dan dikatakan fungsi ganjil jika f (-) = -f () D f. Ilustrasi fungsi f () = cos adalah fungsi genap karena f (-) = cos (-) = cos = f () D f = R. fungsi f () = / adalah fungsi ganjil karena f (-) = /(-) = -/ = -f() D f = R - {0}

21 fungsi f () = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil karena f (-) = 0 = f () dan f (-) = 0 = -0 = -f () D f = R fungsi f () = + cos adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil karena D = R sehingga f (-) = - + cos f () dan D = R sehingga f (-) = - + cos -f (). carilah suatu nilai yang demikian. Fungsi f () = tidak dapat dikelompokkan sebagai fungsi genap atau fungsi ganjil karena D f tidak memuat dan secara bersamaan. Grafik fungsi y = f () dikatakan simetri terhadap sumbu y jika untuk setiap D f berlaku (,y) grafik f (-,y) grafik f. Berdasarkan ini diperoleh bahwa grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y. Selanjutnya, grafik fungsi y = f () dikatakan simetri terhadap titik asal 0 (0,0) Jika untuk setiap D berlaku (,y) grafik f (-, -y) grafik f. Berdasarkan ini diperoleh bahwa grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik 0. Fungsi Terbatas Ilustrasi Fungsi f dikatakan terbatas jika M > 0 f () M D f. Fungsi f () = sin terbatas karena f () D f = R Fungsi f () = / tidak terbatas karena M > 0 o, o < M, 0 0 sehingga f ( o ) = 0 > M. Fungsi Periodik Fungsi f dikatakan periodik jika p 0 sehingga + p D f dan f ( + p) = f () R D f Bilangan p > 0 terkecil yang mengakibatkan f ( + p) = f () R D f dinamakan periode fungsi f.

22 Ilustrasi Fungsi f () = sin adalah suatu fungsi periodic dengan periode p = π karena D f = R berlaku f ( + p) = sin ( + π) = in cos π + cos sin π = sin = f () dan p = π adalah bilangan positif terkecil yang memenuhi f ( + p) = f () D f = R Untuk membuktikan p = π adalah bilangan positif terkecil, andaikan terdapat p, 0 < p < π yang memenuhi sin ( + p) = sin R Maka untuk = 0 berlaku sin p =0. Karena 0 < p < π, maka p = π. Ini mengakibatkan kesaman sin ( + π) = sin berlaku R Hal ini tidak benar karena untuk = π/ mengakibatkan - = sin 3π/ = sin π/ =, suatu pertentangan. Pertentangan ini mengakibatkan pengandaian tidak benar, jadi p = π adalah bilangan positif terkecil yang memenuhi sin ( + p) = sin R Rumus umum untuk periode fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.. Periode fungsi f () = A sinn (t + ) dan f () = A cos (t + ), dengan A,, konstanta adalah π/.. Periode fungsi f () = A tan (t + ) dan g () = A cot (t + ), dengan A,, konstanta adalah π/. Ilustrasi Berdasarkan kesamaan sin = - cos dan cos = + cos, periode fungsi f () = sin dan g () = cos adalah π. Berdasarkan kesamaan f () = cos 4 3 = cos 4 (contoh 4 halaman 4 4 5), maka periode fungsi f adalah π/. Berdasarkan kesamaan f () = cos 6 + sin = cos 4 (contoh halaman 5) maka periode fungsi f adalah π/.

23 Pergeseran Grafik Fungsi Kita ingat kembali bahwa grafik fungsi f adalah himpunan titik {(,y) R : y = f (), D f dan y R f } Aturan pergeseran grafik fungsi f adalah sebagai berikut. Grafik fungsi y = f ( a) + b, a, b > 0 diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = f () sejauh a satuan ke kanan (kea rah sumbu positif) dan b satuan ke atas ( ke arah sumbu y positif). Dasar pembuktian rumus pergeseran grafik fungsi adalah bahwa titik (p,q) terletak pada grafik fungsi y = f () q = f (p) adalah suatu pernyataan benar. Perhatikan Gb.40, grafik fungsi y + f () digeser a satuan ke kanann dan b satuan ke atas sehingga menjadi y + f ( - a) + b. Gb.40, pergeseran grafik fungsi Arah pergeseran grafik fungsi f untuk a dan sebarang ditentukan oleh a > 0 dan b > 0 : grafik f digeser a satuan ke kanan dan b satuan ke atas, a < 0 dan b > 0 : grafik f digeser a satuan ke kiri dan b satuan ke atas, a > 0 dan b < 0 : grafik f digeser a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah, a < 0 dan b < 0 : grafik f digeser a satuan ke kiri dan b satuan ke bawah, Ilustrasi Berdasarkan kesamaan f () = = ( ) 4, maka grafik fungsi f dapat diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = sejauh satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah.

24 Berdasarkan kesamaan cos = sin ( + ), maka grafik fungsi y = cos dapat diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = sin sejauh π/ satuan ke kiri. Fungsi dengan Banyak Aturan Berdasarkan definisi nilai mutlak, fungsi f () = + dapat dituliskan sebagai :, 0, 0 f () = + =, 0 3, 0 perhatikan bahwa di sini fungsi f mempunyai dua aturan, f () = -, yang berlaku pada selang ( -00,0) dan f () = 3, yang berlaku pada selang [0, +00 ). Gambarkan grafiknya! Fungsi yang mempunyai lebih dari satu aturan dinamakan fungsi dengan banyak aturan. Sebagai ilustrasi, fungsi, f () =, dengan daerah asal D f = R ini mempunyai dua aturan, yaitu f () = - pada selang ( -00,) dan f () = + pada selang [, +00 ). Gambarkan grafiknya! Contoh 6. Grafik fungsi dengan nilai mutlak. Tulislah aturan fungsi f () = - dalam bentuk tanpa nilai mutlak, kemudian gambarkan grafiknya. Jawab Dengan menggunakan definisi nilai mutlak = bila 0, = - bila < 0, dan sifat nilai mutlak -u, maka aturan fungsi f dapat ditulis f () =, 0 (, 0, 0 (, 0

25 karena ( + ) berganti tanda di - dan ( ) berganti tanda di, maka untuk menghilangkan nilai mutlak pada bentuk terakhir kita mempunyai empat kasus.. Kasus < - : Di sini < 0 dan + < 0, sehingga ( + ) > 0, akibatnya ( + ) = ( + ).. Kasus - < 0 : Di sini < 0 dan + 0, sehingga ( + ) 0, akibatnya ( +) = - ( + ). 3. Kasus 0 < : Di sini 0 dan < 0, sehingga ( ) 0, akibatnya ( ) = - ( ) 4. Kasus : Di sini 0 dan - 0, sehingga ( - ) 0, akibatnya ( ) = ( ). Jadi aturan fungsi f dalam bentuk tanpa nilai mutlak adalah f () = (,, ( ), 0, 0 ( ),0,0 ( ),, grafik fungsi f diperlihatkan pada Gb.4. Gb.4, grafik fungsi f () = \

26 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar Untuk sebarang R terdapat tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan. Bilangan bulat n yang memenuhi n semua terletak di sebelah kiri pada garis bilangan, yang diperlihatkan pada Gb.4. Diantara semua jajaran bilangan bulat tersebut, yang terbesar dinamakan bilangan bulat terbesar dari, dan ditulis dengan lambang []. Gb.4, bilangan bulat terbesar dari Dari definisi ini, untuk sebarang R kita mempunyai [] = n n < n +, n bilangan bulat Ilustasi Berdasrkan sifat ini, [-,5] = -, karena - -,5 < -. Perhatikan bahwa diantara jajaran bilangan bulat yang lebih kecil dari -,5; yaitu R, -4, -3, -, terlihat bahwa - adalah yang terbesar. Fungsi yang memuat bentuk [ o ] dinamakan fungsi bilangan bulat terbesar. Ilustrasi Kita ingin menggambarkan grafik fungsi f () = [], R Daerah asal dan daerah nilai fungsi ini adalah D f = R dan R f = Z, himpunan bilangan bulat. Ambilah beberapa nilai n tertentuk, diperoleh n = - : - < - f () = [] = - n = - : - 0 f () = [] = - n = 0 : 0 < f () = [] = 0 n = : < f () = [] = n = ; < 3 f () = [] =

27 Hasilnya adalah aturan fungsi f dan grafik fungsi f () = [] yang diperlihatkan pada Gb.43. () f [] = 3,, 0,0 0,, Gb.43, grafik f () = [] Catatan Grafik fungsi bilangan bulat terbesar dikenal sebagai fungsi tangga. Contoh 7. Grafik fungsi yang memuat bentuk [ o ] Gambarkan grafik fungsi f () = + [ ] -4 4 dan g () = [ ], - Jawab Berdasarkan konsep bilangan bulat terbesar, n n n n n Agar -4 < 4 ambillah n = -, -, 0, dan ; untuk = 4, f (4) = 4 + = 6. n = - : -4 < - ) ( f n = - : - < 0 ) ( f n = 0 : 0 < f ) ( 0 n = : < 4 ) ( f

28 Hasilnya adalah aturan fungsi f dan grafik fungsi f () = yang diperlihatkan pada Gb.44. untuk f () = + [ ] -4 4, 4, 0 f ( ),0, 4 6, 4 Berdasarkan konsep bilangan bulat terbesar, Gb. 44, grafik f() = + [ ] -4 4 [ ] = n 0 n < n + n < n atau n < n Agar -, ambillah n = 0,,, dan 3; untuk = - atau, g () = 4. n = 0 ; - < 0 atau 0 < 0 < = 0 n = ; - < - atau < < = n = ; - 3 < - atau < 3 < 3 = n = ; - < - 3 atau 3 < 3 < 4 = 3 = - atau = = 4 = 4 Hasilnya adalah aturan fungsi g dan grafik fungsi g () = [ ], - yang diperlihatkan pada Gb.45. g() = [ ], - 0, 0 atau 0, - - atau f (), atau 3 3, atau 3 4, - atau

29 Fungsi Implisit Jika diberikan aturan fungsi y = f (), maka aturan fungsi f ini dapat ditulis dalam bentuk F (, y) = 0 dengan F (,y) = 0 dengan F (,y) = y f () dinamakan fungsi eksplisit. Sebaliknya, jika diberikan aturan F (,y) = 0, maka y bergantung dari, atau y fungsi dari yang terkandung secara implicit dalam aturan F (,y) = 0. Pada bentuk aturan F (,y) = 0, y merupakan fungsi dari, dan merupakan fungsi dari y. Fungsi y = y () dan = (y) yang termuat dalam aturan F (,y) = 0 dinamakan fungsi implicit. Ilustrasi Pada bentuk persamaan lingkaran + y = a, a > 0 termuat pengertian bahwa y fungsi dari, dan fungsi dari. Fungsi ini dapat dinyatakan secara eksplisit, yaitu dan y = = a atau y = - a y atau = - a a y Pada bentuk persamaan y + y 4 = 4 juga termuat pangertian bahwa y fungsi dari, dan fungsi dari y. Fungsi ini tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. Dalam hal ini kita katakana bahwa y adalah fungsi implicit dari, atau adalah fungsi implicit dari y, yang termuat dalam aturan yang diberikan. Daerah di Bidang Datar Pada aturan F (,y) = 0 yang terdefinisi pada selang tertentu, dapat dibuat aturan baru dengan mengganti lambing = oleh <,>,, atau. Grafik dari aturan F (,y) < 0, F (,y) > 0, F (,y) 0 berbentuk daerah di bidang datar.

30 Demikian juga dalam hal F (,y) = y f (), kita mempunyai aturann y < f (), y < (f (), atau y f (). Perhatikan grafik y = f () pada selang I pada Gb.46. Untuk yang dibuat tetap, titik (, f ()) terletak pada grafik f. Koordinat titik diatasnya adalah (,y) dengan y > f (), sedangkan koordinat titik di bawahnya adalah (,y) dengan y < f (). Secara umum, himpunan titik {(,y) R : a b, f () y g () Berbentuk daerah di bidang datar yang proyeksinya terhadap sumbu adalah selang tertutup [a, b], di atas dibatasi oleh grafik y = g (), dann di bawah oleh grafik y = f (). Lihat Gb.46. Ilustrasi Persamaan lingkaran yang berjari-jari a > 0 adalah L : + y = a. Aturan + y a adalah himpunan titik yang terletak di dalam dan pada lingkaran L. Aturan + + y+ > a adalah himpunan titik yang terletak di luar L. Himpunan titik {(,y) R : -, - y + } adalah himpunan titik yang proyeksinya terhadap sumbu adalah selang [-,], di atas dibatasi oleh parabol y = +, dan di bawah dibatasi oleh parabol y = -. Perumusan Masalah Nyata dalam Bentuk Fungsi Banyak masalah nyata yang melibatkan dua pubah real, di mana peubah yang satu bergantung pada peubah lainnya. Setelah diidentifikasi, masalah demikian dapat ditampilkan sebagai fungsi satu peubah, berikut adalah ilustrasi sederhana tentang ini.

31 Ilustrasi Dalam sebuah bola berjari-jari a > 0 dibuat silinder lingkaran tegak yang lingkaran alas dan atasnya terletak pada permukaan bola. Kita ingin menyatakan isi silinder sebagai fungsi dari jari-jari lingkaran alasnya, atau sebagai fungsi dari tingginya. Perhatikan Gb.48. Misalkan jari-jari lingkaran alas dan tinggi silinder adalah r dan t, maka diperoleh hubungan a = ( t ) + r = 4 Dari sini diperoleh r = t 4 Karena itu isi silinder dinyatakan sebagai fungsi dari t adalah I = πr t = π (a - t a atau t = t )t, a konstanta Dan isi silinder dinyatakan sebagai fungsi dari r adalah 4 r a r I = πr = πr a r, a konstanta LATIHAN... Jika f () = dan g () =, tentukan aturan fungsi f + g, f g, g f, f g,f/g, dan g/f beserta daerah definisinya., 0,. Jika f () = dan g () =, tentukan aturan fungsi f +,, g, f g, g f, f g, f/g, dan g/f beserta daerah definisinya. 3. Jika f () = / + -/ dan g () = /, tentukan aturan fungsi f + g, f g, g f, f g, f/g dan g/f beserta daerah definisinya.

32 Untuk soal 4 sampai dengan, ubahlah aturan setiap fungsi yang diberikan sehingga menjadi fungsi dengan banyak aturan kemudian gambarkan grafiknya. 4. f () = + 5. f () f () = 3-7. f () = - 8. f () = 4 9. f () = - 0. f () = - R. f () = - R. f () = sin 3. Tunjukan fungsi f () = dan g () = / adalah tak terbatas pada daerah definisinya. 4. Tunjukan fungsi f () = + - 3, 0 adalah terbatas, kemudian tentukan suatu batas-batasnya. 5. Tunjukan fungsi f () = +, 0 tidak terbatas. 6. Tunjukan periode fungsi f () = tan adalah π. 7. Gambarkan fungsi periodic f () =, - <, f ( + ) = f () R 8. Gambarkan fungsi periodic g () =, - <, g ( + ) = g () R 9. Jika f dan g fungsi genap, buktikan f g dan f + g juga fungsi genap. 0. Jika f fungsi genap dann g fungsi ganjil, buktikan f g fungsi ganjil.. Jika P (,y) sebuah titik pada parabol y =, nyatakan jarak titik (-3,0) ke titik P sebagai fungsi dari.. Sebuah kotak akan dibuat dari sehelai karton berukuran 45 4 cmdengan menggunting keempat bujursangkar di sudut karton. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari panjang rusuk bujursangkar yang dibuang.

33 .3. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan g memenuhi R f D g. Fungsi komposisi dari g dan f, (f dilanjutkan g), ditulis g o f, adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bagian dari D f dan aturannya ditentukan oleh (g o f)() = g (f(). Daerah asal dan daerah nilai fungsi g o f adalah D gof = { D f : f () D g } dan R gof = {y R g : y = g (t), t R f. Perhatikan syarat agar fungsi komposisi g o f terdefinisi, yaitu R f D g pada Gb.49. Gb.49, diagram pemetaan fungsi komposisi g o f Fungsi komposisi fog dirancang dengan cara yang sama, f dan g saling bertukar peran. Misalkan fungsi f dan g memenuhi R g D f. Fungsi komposisi dari f dan g, (g dilanjutkan f), ditulis fog, adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bagian dari D g dann aturannya ditentukan oleh (fog)() = f (g()). Daerah asal dan daerah nilai fungsi fog adalah D fog = { D g : g () D f } dan R fog = {y R f : y = f (t), t R g } Contoh 8, Fungsi komposisi gof dan fog.

34 Misalkan f () dan g () =, tentukan fungsi gof dan fog beserta derah asal dan daerah nilai fungsi komposisinya. Jawab Daerah asal dan daerah nilai fungsi f dan g adalah D f = [0, +00 ), R f = [0, +00 ), D g = R dan R g = ( -00,] Karena R f D g = [0, +00 ), maka fungsi gof terdefinisi dengan aturan (gof)() = g (f()) = g( = - Daerah asal fungsi gof adalah D gof = { D f : f () D g } = { [0, +00 ) : R} = { 0 : R.} = [0, +00 ) Dan daerah nilai fungsi gof adalah R gof = {y R g : y = g (t), t R f } = {y ( -00,] : y = t, t 0} = ( -00,] = {y : y = t, t 0} = ( -00,] Catatan Berdasarkan konsep fungsi komposisi, meskipun aturan fungsi komposisinya adalah (gof)() =, derah asal fungsi ini bukan R, tetapi hukmpunan diperoleh y, sehingga daerah nilai fungsi gof adalah R gof = ( -00,] Kita akan menentukan fungsi fog dengan f () = dan g () =. Ingat bahwa daerah asal dan daerah nilai fungsi f dan g adalah D f = [0, +00 ), R f = [0, +00 ), D g = R, dan R g = ( -00,]. Karena R g D f = ( -00,] [0, +00 ) = [0,], maka fungsi fog terdefinisi dengan aturan (fog)() = f (g()) = f ( ) = Daerah asal fungsi fog adalah

35 D fog = { D g : g g () D f } = { R : [0, +00 ) = { R : 0} = { R : - } = [-,] Dan daerah nilai fungsi fog adalah R fog = {y R f : y = f (t), t R g } = {y [0, +00 ) : y = t, t ( -00,]} = {y 0 : y = t, 0 t } = [0,] Fungsi Invers Fungsi f : D f R f dikatakan satu-kesatu jika f (u) = f (v) u = v u, v D f. Sebagai ilustrasi, fungsi f : R R, f () = 3 satu-kesatu karena F (u) = f (v) u = v u, v D f = R (Jelaskan alasannya!). Fungsi kuadrat g () = tidak satu-kesatu karena -, D f memenuhi f (-) = f () = 4, tetapi -. Jika fungsi f : D f R f satu-kesatu, maka terdapat fungsi g : R f D f sehingga f (g(y)) = y y R f. Invers fungsi f (fungsi invers dari f) didefinisasikan sebagai rungsi f - : R f D f yang memenuhi f(f - (y)) = y y R f. Dari sini, jika aturan fungsi f adalah y = f (), maka f (f - (y)) = f (). Karena f satu-kesatu, maka f - (y) =, atau f - (f()) = D f. Akibatnya, untuk fungsi f : D f R f yang satu-kesatu berlaku y = f () = f - (y) ini berarti bahwa (,y) grafik f (y,) grafik f - simetri terhadap y = karena titik (,y) dan (y,) simetri terhadap garis y =, maka dari sini diperoleh grafik f dan f - simetri terhadap garis y = Contoh. Cara menentukan fungsi invers

36 Diketahui fungsi f : ( -00,0] [0, +00 ), f (). Tentukan invers fungsi f dan sebutlah f -. Kemudian gambarkan grafik fungsi f dan inversnya pada satu sistem koordinat. Jawab Karena f (u) = f (v) u = v u v u vu, v D R, maka fungsi f satu kesatu; akibatnya fungsi f mempunyai invers. Dari hubungan y = y y, 0 dan y 0 diperoleh bahwa invers dari fungsi f adalah = f - (y) = -y. Agar fungsi f - dan f dapat digambarkan pada system koordinat yang sama, maka peubah bebasnya f mesti sama. Jadi invers dari fungsi f () =, 0 harus ditampilkan dalam bentuk f - () = -, 0. Hasil ini dapat juga diperoleh dari hubungan y = f () = f - (y) Yang memperlihatkan bahwa kaitan antara aturan f dan f - adalah dan y saling bertukar peran. Berdasarkan ini, dari aturan fungsi y =, 0 dan y 0 buatlah dan y saling bertukar peran, diperoleh bahwa invers fungsi f adalah = y, y 0, 0 yang memberikan = -y, atau y = -, 0; sama dengan hasil diatas. Perhatikan grafik fungsi f dan inversnya pada Gb.50.

37 Gb.50, grafik f () = dan inversnya f - () = -, 0 Invers Fungsi Trigonometri Dengan membatasi daerah definisinya pada selang tertentu, fungsi trigonometri dapat dibuat satu-kesatu, sehingga inversnya dapat didefinisikan sebagai berikut. Invers dari f () = sin, adalah f - () = sin -, Invers dari f () = cos, 0 < π adalah f - () = cos -, Invers dari f () = tan, < adalah f - () = tan -, R Invers dari f () = cot, 0 < < π adalah f - () = cot -, R Invers dari f () = sec, 0 π, adalah f - () = sec -, Invers dari f () = csc,, 0 adalah f - () = csc -, Berdasarkan sifat yang mengkaitkan aturan suatu fungsi dan inversnya, maka diperoleh hubungan antara invers fungsi trigonometri dengan fungsi asalnya.. y = sin -, = sin y, y. y = sin -, = cos y, 0 y π 3. y = tan -, R = tan y, y < 4. y = cot -, R = cos y, 0 < y < π 5. y = sec -, sec y, 0 y π, y

38 6. y = csc -, = csc y, y, y 0 Teorema Hubungan antara invers fungsi trigonometri diberikan dalam rumus berikut.. sin - + cos - =,. tan - + cot - =, R 3. csc - + sec - =, 4. sec - = cos -, 5. csc - = cos -, Kita hanya akan membuktikan rumus pertama saja, rumus lainnya dibuktikan dengan cara serupa dan diserahkan untuk latihan pembaca. Untuk ini, misalkan Y = sin -, dan y Dari sini diperoleh (periksa!). Ini mengakibatkan = sin y = cos ( - y), 0 - y π atau - y = cos - sehingga terbuktilah yang diinginkan. sin - + cos - =,

39 Grafik invers fungsi trigonometri diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi asalnya terhadap garis y =, hasilnya diperlihatkan pada Gb.5. sampai dengan Gb.56. Contoh 30, Nilai eksak yang berkaitan dengan invers fungsi trigonometri Tunjukkan (a) cos ( sin - ( ) ) =, (b) tan = tan - 3 3, (c) tan tan - = 3 4

40 Jawab (a) Misalkan t = sin - ( ), maka sin - t t ( ) =, sehingga sin 3 3 cos ( sin - ( ) ) = cos t = sin t 4 = = = 3. Jadi (b) Misalkan t = tan -, maka tan - 3 Akibatnya tan t = Jadi tan - = tan - 3 t tan. 3 t tan (c) Misalkan s = tan - dan t = tan t t =, sehingga tan =. 3 3, dari sini diperoleh t = tan , maka tan s = dan tan t =. Kita 3 3 akan menunjukkan s + t = 4. Dari rumus trigonometri diperoleh 5 tan s tant Tan (s + t) = 3 6 tan s tant Akibatnya tan - + tan - = s + t =. 3 4 Contoh, Kesamaan invers fungsi trigonometri Jawab Tunjukkan sin (tan - ) + cos (tan - ) = Misalkan t = tan -, maka tan t = dengan t <. Berdasarkan rumus trigonometri diperoleh sec t = + tan t = +. Karena t <, maka Sec t = sec t Jadi

41 sin (tan - ) + cos (tan - ) = sin t + cos t = cos t (tan t + ) Contoh 3, Jawab = ( ) sect Daerah definisi, daerah nilai, dan invers dari invers fungsi trigonometri Tentukan daerah asal, daerah nilai, dan invers fungsi f () = cos Agar f () R, syaratnya adalah , yang menghasilkan 5 Jadi daerah nilai fungsi f adalah D f = [-,4]. Jika - 4, maka - 3, akibatnya 5 0 f () = cos - 3 π 5 Jadi daerah nilai fungsi f adalah R f = [0, π]. Untuk menentukan invers fungsi f, misalkan y = cos - 3, - 4 dan 0 y π 5 kemudian buatlah dan y saling bertukar peran, diperoleh = cos - y 3, - y 4 dan 0 π 5 y = cos = y 3 5 y 3 = 5 cos cos +, 0 π dan - y 4

42 jadi fungsi invers f adalah Sumber Bacaan. f - () = cos +, 0 π dan - y 4 Matono, K.(99). Seri Matematika Kalkulis jilid.bandung: Jurusan Matematika FMIPA ITB

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Matematika

TRIGONOMETRI Matematika TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,

Lebih terperinci

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Lebih terperinci

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10

C. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10 1. Diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah... A. { bilangan cacah antara 19 dan 20 } B. { bilangan genap yang habis dibagi bilangan ganjil } C. { bilangan kelipatan 3 yang bukan

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB SOL-SOL LTIHN TURUNN FUNGSI SPM 00-007. SPM Matematika asar Regional I 00 Kode 0 Garis singgung kurva di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya postif y mempunyai gradien.. 9 8 7. SPM Matematika asar

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I FUNGSI-2 SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN

MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I FUNGSI-2 SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I FUNGSI-2 SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN FUNGSI Perhatikan relasi {(x,y) x, y R; y=x 2 } Untuk tiap-tiap nilai x dalam wilayahnya, relasi itu hanya menyatakan

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

KALKULUS UNTUK STATISTIKA

KALKULUS UNTUK STATISTIKA Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75 Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51 Perbandingan

Lebih terperinci

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1 i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... D. -4 E. -5

1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... D. -4 E. -5 1. Himpunan penyelesaian adalah {(x, y, z)}. Nilai dari y + z adalah... A. 5 3 2 Kunci : C 3x + y = 5 y - 2z = -7-3x + 2z = 12 2x + 2z = 10 - x = 2-4 -5 x + z = 5 2 + z = 5 z = 3 3x + y = 5 3. 2 + y =

Lebih terperinci

e. 238 a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut Angka yang terletak pada baris 40, kolom 20 adalah

e. 238 a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut Angka yang terletak pada baris 40, kolom 20 adalah Soal Babak Penyisihan OMITS 007. Jikaf R R dengan R bilangan real. Jikaf x + x = x + x maka nilai f 5. Nilaidari a. 5 5 4 5 5 d. 5 e. 5 k= 4 k +.5 k+ + 7 k a. 0 5 9 d. 40 e. 45. Sukubanyakx + 5x + x dan

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:

BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar: BAB 3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar:. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK KED. Fungsi Bukan Fungsi Definisi

FUNGSI DAN GRAFIK KED. Fungsi Bukan Fungsi Definisi FUNGSI DAN GRAFIK Deinisi Funsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan nilai ya diperoleh

Lebih terperinci

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi BAB 6 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi: Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi A. Fungsi dan Macam-macam Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai

Lebih terperinci

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015 SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 0 Paket Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Diberikan premis-premis berikut!. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan

Lebih terperinci

Uji Komptensi. 2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5

Uji Komptensi. 2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5 Uji Komptensi Barisan dan Deret "Aljabar Linear Elementer". Diketahui barisan 84,80,77,... Suku ke-n akan menjadi 0 bila n =... Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 00 dan 00 yang habis

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD:

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi, Pecahan dan Skala 4. Perpangkatan dan Akar 5. Waktu, Kecepatan, dan Debit

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,

Lebih terperinci

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1980

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1980 Matematika Proyek Perintis I Tahun 980 MA-80-0 Di antara lima hubungan di bawah ini, yang benar adalah Jika B C dan B C, maka A C Jika A B dan C B, maka A C Jika B A dan C B, maka A C Jika A C dan C B,

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai sec cosec cot INGAT definisi: sin depan miring cosec sin miring depan cos samping

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008 Soal Babak Penyisihan OMITS 008. Banyak pembagi positif dari.50.000 adalah..... a. 05 b. 0 c. 75 d. 0 e.5. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut.....

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal

Lebih terperinci