MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world"

Transkripsi

1 Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203

2 Catatan kuliah ini ditulis dengan banyak merujuk tulisan Bapak Koko Martono dan Bapak Warsoma Djohan MA20 Kalkulus 2A i K. Syuhada, PhD.

3 Daftar Isi Teknik Pengintegralan. Pengantar Menentukan anti-turunan Metode substitusi Metode anti-turunan parsial Metode substitusi yang merasionalkan Integral fungsi rasional Integral fungsi trigonometri Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 2. Pengantar Bentuk Tak Tentu Bentuk tak tentu 0/ Bentuk tak tentu / Bentuk tak tentu Bentuk tak tentu Latihan Integral Tak Wajar Integral Pada Selang Hingga Integral Pada Selang Tak Hingga Deret Tak Hingga 3. Barisan Tak Hingga Kemonotonan Kekonvergenan Deret Tak Hingga Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku Positif Uji Integral Uji Banding Deret Berganti Tanda Deret Pangkat Deret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi ii

4 4 Irisan Kerucut dan Koordinat Polar MA20 Kalkulus 2A iii K. Syuhada, PhD.

5 BAB Teknik Pengintegralan. Pengantar Integral atau anti turunan adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping derivatif atau turunan. Perhatikan: y = f(x) = x 2, yang memiliki turunan y = f (x) = d f(x) = 2 x. dx Sekarang, jika diketahui f (x) = 2 x, maka f(x) = x 2 adalah salah satu anti-turunan yang sesuai. Secara umum, sering kita tuliskan f(x) = x 2 + C, dimana C konstanta. Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunan bersifat tidak tunggal dan karenanya lebih sulit daripada turunan.

6 Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan df(x) = f (x) dx. Atau, df(x) = f(x) + C = f (x) dx..2 Menentukan anti-turunan Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatu anti-turunan? Gunakan keterampilan teknis Manfaatkan aturan dasar (Beberapa) aturan dasar anti-turunan:. k dx = k x + C x r dx = r + xr+, r e x dx = e x + C 4. dst... a x dx = ln a ax + C.2. Metode substitusi Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/cara menyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinya adalah menentukan pemisalan/substitusi MA20 Kalkulus 2A 2 K. Syuhada, PhD.

7 untuk suatu fungsi tertentu dengan tepat. Contoh: x 2 + x 2 dx mungkinkah kita memisalkan y = x 2? anti-turunan? atau y = x 2 dan mencari atau memisalkan y = x 2? Contoh lain, e x dx e2x Selesaikan dengan memisalkan y = e x ; y = e 2x ; y = 9 e x ; y = 9 e 2x ; y = e x ; y = e 2x ;?.2.2 Metode anti-turunan parsial Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metode anti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kita memanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan x cos x dx Misalkan u = f(x), v = g(x), d dx (u v) = u v + u v d(u v) = u v = Jadi, u dv = u v v du Untuk contoh x cos x dx, MA20 Kalkulus 2A 3 K. Syuhada, PhD.

8 misalkan atau u = x, u = cos x,? Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untuk mencari substitusi yang tepat. Bagaimana dengan ln x dx, yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?.2.3 Metode substitusi yang merasionalkan Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunan suatu fungsi yang memuat akar, seperti n (ax + b)m dx atau a2 x 2 dx, dimana kita ingin menghilangkan tanda akar tersebut. Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kita melakukan pemisalan atau substitusi, seperti (ax + b) = u n, untuk mencari anti-turunan n (ax + b)m dx. Contoh, x 3 x 4 dx, MA20 Kalkulus 2A 4 K. Syuhada, PhD.

9 yang dapat diselesaikan dengan memisalkan atau (x 4) = u 3 x = u 3 + 4, sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai (3u u 3) du Untuk kasus mencari anti-turunan a2 x 2 dx, dapat digunakan substitusi x = a sin t, π/2 t π/2, sehingga diperoleh a2 x 2 = a cos t Perhatikan bahwa substitusi lain adalah x = a tan t, π/2 < t < π/2, atau x = a sec t, 0 t π, t π/2.3 Integral fungsi rasional Mencari anti-turunan berbentuk seperti 4x + x 3 + 5x dx, adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom P (x) = 4x + MA20 Kalkulus 2A 5 K. Syuhada, PhD.

10 dan Q(x) = x 3 + 5x yang perlu diperhatikan derajat -nya. Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu) lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian, dapat dituliskan 4x + x 3 + 5x = A x + Bx + C x dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripada derajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh A = /5; B = /5; C = 4. Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P (x)/q(x) menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajat pembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baik secara langsung, seperti Bx + C x 2 + 5, ataupun tidak langsung, seperti C (2x + 5) 2, dimana kata tidak langsung merujuk pada pemisalan y = 2x + 5 dengan turunan konstan. (untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 202) Diskusi: Bagaimana kita mencari anti-turunan x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) dx? Apakah dengan menguraikan x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) = A x 2 + B (x 2) + C 2 x +? MA20 Kalkulus 2A 6 K. Syuhada, PhD.

11 (dengan A = 2; B = ; C = 3) Atau, x 2 x + 5 (x 2) 2 (x + ) = B (x 2) + C 2 x +?.4 Integral fungsi trigonometri Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri, sin n x dx, atau cos n x dx, untuk n genap atau ganjil. Atau, sin m x cos n x dx, pada beberapa kemungkinan nilai m dan n. Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunan seperti berikut. sin x dx = cos x + C 2. cos x dx = sin x + C 3. sec 2 x dx = tan x + C 4. sec x tan x dx = sec x + C dst... MA20 Kalkulus 2A 7 K. Syuhada, PhD.

12 Contoh: Selesaikan sin m x dx, untuk m = 2, 3, 4. MA20 Kalkulus 2A 8 K. Syuhada, PhD.

13 BAB 2 Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 2. Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk it dengan nilai seolaholah : Contoh: dan 0 0 ; ; 0 ; ; 00 ; 0 ; x 0 x 4 sin x x x x 2, x 4 yang apabila kita substitusikan titik itnya, kita peroleh nilai 0 0. Pertanyaan: Berapakah nilai it diatas?

14 2.2 Bentuk Tak Tentu 2.2. Bentuk tak tentu 0/0 Kita akan menghitung dengan x c f(x) g(x), f(x) = 0 = g(x). x c x c Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f(x)/g(x) (menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentuk pecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehingga sifat-sifat it fungsi dapat dipakai. Contoh : hitunglah x 0 sin x x Contoh 2: hitunglah Solusi: x 4 x 4 x x 2 x 4 x x 2 x 4 ( x 2)( x + ) = x 4 ( x 2)( x + 2) x + = x 4 x + 2 = 3/ Bentuk tak tentu / Misalkan kita akan menghitung x f(x) g(x), MA20 Kalkulus 2A 2 K. Syuhada, PhD.

15 dengan f(x) = = g(x). x x Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f(x)/g(x) (merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk /x n dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat it fungsi dapat dipakai. Contoh: hitunglah x x x 2 x 4 (Perhatikan bahwa jika kita substikan titik itnya, kita dapatkan nilai it berbentuk tak hingga per tak hingga) Solusi: x x x 2 x 4 ( x 2)( x + ) = x ( x 2)( x + 2) x + = x x + 2 x( + = x = = + + x( + 2 x ) x ) x x 2 x x Bentuk tak tentu 0 Sekarang, pandang dengan f(x)g(x), x c f(x) = 0; g(x) =. x c x c MA20 Kalkulus 2A 3 K. Syuhada, PhD.

16 Kita dapat menghitung it diatas dengan cara mengubah bentuk f(x)g(x) menjadi bentuk f(x) /g(x) sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk g(x) /f(x) dengan bentuk /. Contoh : hitunglah ( x π 4 Solusi: x π 4 x π 4 = x π 4 = = = /2 ) sec 2x ( x π ) sec 2x 4 x π 4 cos 2x Contoh 2: hitunglah ( sin ) x x x Bentuk tak tentu Untuk menyelesaikan it berbentuk, dengan (f(x) g(x)), x f(x) = ; g(x) =, x x caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk /. MA20 Kalkulus 2A 4 K. Syuhada, PhD.

17 Contoh: hitunglah ( x2 + 2x x) x Solusi: tuliskan x2 + 2x x = x 2 + 2x x x2 + 2x + x x2 + 2x + x = x2 + 2x x 2 x2 + 2x + x = = 2x x ( 2 + x) 2 + x 2x ) x ( + 2x + Jadi, ( x2 + 2x x) = x Dapatkah anda menghitung ( x2 3x + x) x? Solusi: 3/ Latihan Hitung dan x x x2 + x 2x x2 + x 2x. Limit diatas berbentuk MA20 Kalkulus 2A 5 K. Syuhada, PhD.

18 Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan x2 + x 2x = x ( ) 2 + x x ( ) 2 x dan untuk x berlaku sehingga untuk x berlaku sehingga Jadi, dan x x x 2 + x 2x = /2 x 2 + x 2x = / Integral Tak Wajar 2.3. Integral Pada Selang Hingga Misalkan kita ingin menghitung dx. x Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkan y = x sehingga dx x = y /2 dy = 2y /2 + C = 2 x + C Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu 5 x dx? MA20 Kalkulus 2A 6 K. Syuhada, PhD.

19 Kita tahu bahwa fungsi f(x) = x kontinu pada selang (, 5] dengan =. x + x Apabila kita menghitung integral pada selang [, 5], maka tindakan yang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar. Jadi, 5 = c + x dx 5 ( c + = = 4 x 2 ) x Integral Pada Selang Tak Hingga Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihat bentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya, namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas tak hingga. Contoh : hitunglah 0 + x 2 dx yang mana kita tahu fungsi f(x) = +x 2 kontinu dan terdefinisi di selang (, ). Solusi: 0 = a = a = a + x dx 2 0 = ( π/2) a + x dx 2 ( ) 0 tan x a ( ) tan a MA20 Kalkulus 2A 7 K. Syuhada, PhD.

20 Contoh 2: hitunglah 0 x(x + ) dx Solusi: Perhatikan bahwa fungsi f(x) = x(x+) kontinu pada selang (0, ) dengan f(x) =. x 0 + Selain itu, integral tak tentunya dx = 2 tan x + C x(x + ) Jadi, 0 x(x + ) dx = = π. Bagaimana dengan 0 sin x dx,? MA20 Kalkulus 2A 8 K. Syuhada, PhD.

21 BAB 3 Deret Tak Hingga 3. Barisan Tak Hingga Barisan adalah fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli, f : N R, yang mana f(n) = a n, dikenal sebagai barisan bilangan real {a n }; a n disebut sebagai suku ke-n atau rumus umum suatu barisan. Contoh: atau a n = n, {, 2, 3,...} Diskusi: Mungkinkah ada rumus suku ke-n yang lain yang memberikan beberapa suku pertama barisan yang sama dengan diatas? Jawab: Ada! a = ; a n+ = a n + a n Perhatikan bahwa rumus suku ke-n suatu barisan tidak tunggal. Contoh: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut:. {,,,,...} 2. { 8, 5, 4,...} 2 2 2

22 Solusi:. a n = ( ) n+ ; a n = sin (n 2 )π 2. a n = + 3 n ; a n = 2 n2 3n Apa (lagi) yang bisa kita lakukan terhadap suatu barisan? Jawab: menyelidiki... ke-monoton-an ke-terbatas-an ke-konvergen-an 3.. Kemonotonan Ilustrasi: Selidiki kemonotonan barisan. a n = n+ 2n 2. a n = ( )n n 3. a n = n! 2 n Untuk no, suku-suku barisannya adalah, 3 4, 2 3, 5 8, 3 5,... yang cenderung mengecil (turun). Kita menduga bahwa barisan {a n } monoton turun. Apabila kita perhatikan secara teoritis rasio rumus suku ke-n + dan ke-n, a n+ a n = n2 + 2n n 2 + 2n + <, n N, maka a n+ < a n, n N. Sehingga {a n } merupakan barisan monoton turun. Definisi: Barisan bilang real {a n } dikatakan monoton turun, jika untuk setiap n N, a n+ < a n. (bagaimana definisi untuk barisan monoton tidak turun, naik, tidak naik? barisan tidak monoton?) MA20 Kalkulus 2A 2 K. Syuhada, PhD.

23 3..2 Kekonvergenan Definisi: Barisan bilang real {a n } dikatakan konvergen ke a R, jika a n = a. n Barisan {a n } yang tidak punya it dikatakan divergen; it barisannya,, atau beroskilasi. Contoh: Barisan a n = n+ 2n n n + 2n = 2. konvergen ke 2 karena Sedangkan barisan a n = ( ) n divergen karena n ( )n tidak ada (beroskilasi). Dapatkah anda menyelidiki kekonvergenan barisan c n = n2 2n + 3 sin π n? Solusi: Barisan diatas dapat ditulis menjadi perkalian dua barisan dengan a n b n a n = n sin π n, yang konvergen ke π; dan b n = n 2n + 3, yang konvergen ke 2. Dengan demikian barisan {c n} konvergen ke 2 n. Teorema: Misakan barisan {a n } konvergen ke a dan barisan {b n } konvergen ke b, maka barisan-barisan MA20 Kalkulus 2A 3 K. Syuhada, PhD.

24 {a n b n } konvergen ke ab { a n bn } konvergen ke a b, b 0 {a n + b n } konvergen ke a + b {a n b n } konvergen ke a b Teorema: Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas Setiap barisan bilangan real yang monoton dan terbatas selalu konvergen Latihan: Selidiki kekonvergen barisan-barisan berikut dengan memanfaatkan sifat kemonotonan dan keterbatasan, dan a n = b n = 2n n! 2n 3.2 Deret Tak Hingga Pandang barisan {a n }, lalu bentuklah barisan baru {s n } dengan s n = a + a a n = n a k, k= atau jumlah n suku pertamanya. Barisan {s n } disebut sebagai deret (tak hingga) bilangan real. Notasi deret: a n = a + a 2 + n= Sedangkan s n = n a k, k= MA20 Kalkulus 2A 4 K. Syuhada, PhD.

25 disebut jumlah parsial ke-n dari deret Deret n= a n dikatakan konvergen jika barisan jumlah parsialnya mempunyai it; dikatakan divergen jika itnya tidak ada. Contoh: Deret n= n(n + ) dapat diselidiki kekonvergenannya dengan cara tulis rumus jumlah parsialnya hitung itnya Dengan demikian, dan s n = = n a k = k= n k= n k= ( k k + =... = n + k(k + ) ) ( s n = ) = n n n + Artinya, deret konvergen ke (konvergen dengan jumlah ). Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut. n= 2. n= 2n+ n 2 (n+) 2 n 3. n= ( )n+ (deret harmonik) Teorema: Jika deret n= a n konvergen maka a n = 0 n MA20 Kalkulus 2A 5 K. Syuhada, PhD.

26 3.3 Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku Positif Menguji kekovergenan deret dengan suku-suku positif dapat dilakukan dengan cara antara lain. Uji integral 2. Uji banding 3. Uji akar* 3.3. Uji Integral Telah kita ketahui bahwa deret n= n = divergen. Namun, untuk kepentingan pengujian kekonvergenan deret dengan Uji Integral, maka kita anggap kita belum mengetahui bahwa deret tersebut divergen. Secara geometris, deret diatas memiliki arti luas persegipanjang dengan panjang alas dan tinggi, n =, 2,.... Jumlah luas persegipanjang ini lebih n besar dibandingkan luas daerah yang dibatasi oleh {x, 0 y }. Dengan kata x lain, n= n > x dx. Sekarang, kita hitung integral tak wajar pada selang tak hingga b dx = x b = b ( ln x = b ln b = divergen (karena lebih besar dari integral tak wa- Akibatnya, deret n= jarnya) n x dx ) b MA20 Kalkulus 2A 6 K. Syuhada, PhD.

27 Bagaimana dengan deret n= n 2? Teorema: Misalkan f fungsi kontinu, monoton turun, dan f(x) > 0 pada selang [, ). Jika integral tak wajar f(x) dx konvergen/divergen, maka deret n= f(n) konvergen/divergen Latihan: Selidiki kekonvergenan dari deret-deret berikut:. n= 2. n=2 2n+ n ln 2 n Solusi: Integral tak wajar sedangkan 2 2x + dx =, x ln 2 x dx = ln Uji Banding Teorema: Misalkan deret-deret a n= n dan b n= n adalah deret dengan suku-suku positif, Jika a n b n untuk semua n N dan b n= n konvergen, maka konvergen Jika a n b n untuk semua n N dan b n= n divergen, maka divergen n= a n n= a n Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut. n= 2 n + MA20 Kalkulus 2A 7 K. Syuhada, PhD.

28 2. n=2 ln n Teorema: Misalkan deret-deret a n= n dan b n= n adalah deret dengan suku-suku positif, Jika n a n b n = c, c > 0 maka kedua deret konvergen atau divergen Jika n a n b n = 0 dan n= b n konvergen maka n= a n konvergen Jika n a n b n = dan n= b n divergen maka n= a n divergen Latihan: Lakukan uji banding it dengan deret lain pada. n= 2. n=2 2 n + ln n untuk menyelidiki kekonvergenannya. Pengujian kekonvergenan dengan uji integral atau uji banding dengan deret lain seringkali tidak mudah; integral tak wajar sulit/tak dapat dihitung dan/atau tidak dapat dicari deret pembandingnya. Kita dapat menguji kekonvergenan suatu deret dengan suku deretnya sendiri. Teorema: Jika n= a n deret dengan suku-suku positif dan n a n+ a n = L maka deret konvergen jika 0 L < dan divergen bila L >. MA20 Kalkulus 2A 8 K. Syuhada, PhD.

29 Latihan: Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut. n= 2. n=2 n+ n! 2 n n Deret Berganti Tanda Deret (ber)ganti tanda berbentuk: ( ) n+ a n = a a 2 + a 3 a , n= dimana suku-sukunya memiliki tanda positif negatif secara berselang-seling. Seperti sebelumnya, kajian utama kita adalah menguji kekonvergenan deret ganti tanda. Contoh:. n= ( )n+ = n= ( )n+ 2 n = Solusi: Divergen, Konvergen. Teorema: Jika barisan {a n } memiliki suku-suku (kesemua sukunya) positif, monoton turun dan n a n = 0, maka deret ( ) n+ a n n= konvergen. Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:. n= ( )n+ n 2. n= ( )n+ n ln n Definisi: Deret n= a n disebut konvergen mutlak jika deret a n n= MA20 Kalkulus 2A 9 K. Syuhada, PhD.

30 konvergen; disebut konvergen bersyarat jika deret a n n= divergen. Teorema: Jika deret n= a n konvergen mutlak maka deret n= a n konvergen. Selidiki kekonvergenan deret-deret berikut:. n= ( )n+ ( n+ 2n 2. n= sin 6 (2n )π n n 3. 3n n= ( )n n! ) n 3.5 Deret Pangkat Sejauh ini kita telah mempelajari deret yang jelas bentuk deretnya. Kini, kita akan melihat deret yang tidak jelas, yang dinyatakan dalam x, seperti x n = + x + x , x < ; n=0 n! x n = + x + 2 x x ; n=0 n= ( ) n n2 n xn =. Catatan: Perhatikan himpunan x yang membuat deret konvergen/divergen. Definisi: Deret yang berbentuk a n (x c) n = a 0 + a (x x) + a 2 (x c) n=0 MA20 Kalkulus 2A 0 K. Syuhada, PhD.

31 dikatakan sebagai deret pangkat dalam (x c) atau deret pangkat berpusat di c. Perhatikan bahwa deret diatas konvergen untuk x = c. Adakah nilai x yang lain yang menyebabkan deret tersebut konvergen? Contoh : deret n=0 n! xn Contoh 2: deret n=0 yang mana n = = 2 x ( ) n n2 n xn a n+ a n Artinya, deret akan konvergen mutlak untuk x < (atau x < 2) dan 2 divergen untuk x > (atau x > 2). Namun untuk x = 2, 2 n=0 ( ) n n 2 n 2n = konvergen; untuk x = 2, n=0 ( ) n n 2 n ( 2)n = divergen. Jadi, deret n=0 ( ) n n 2 n xn kovergen untuk 2 < x 2 atau ( 2, 2]. Catatan: Himpunan semua x dimana deret pangkat konvergen dikatakan sebagai selang kekonvergenan deret. MA20 Kalkulus 2A K. Syuhada, PhD.

32 Teorema: Jika deret pangkat n=0 a nx n konvergen di x 0, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk x < x Jika deret pangkat n=0 a nx n divergen di x, maka deret tersebut divergen untuk x > x Teorema: Deret pangkat kovergen hanya untuk x = 0 Deret pangkat kovergen mutlak untuk setiap x R Terdapat suatu r > 0 sehingga deret pangkat konvergen mutlak untuk x < r dan divergen untuk x > r (r > 0 adalah jari-jari kekonvergenan) Latihan: Tentukan jari-jari dan selang kekonvergenan deret. n=0 ( ) n+ 2 n n 2 (x 3) n 2. n=0 ( )n+ (n + ) (x ) n Teorema: Misalkan deret pangkat a n x n n=0 memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. dapat diturunkan pada ( r, r) dengan Maka, fungsi f(x) = n=0 a n x n f (x) = n a n x n n=0 Teorema: Misalkan deret pangkat a n x n n=0 MA20 Kalkulus 2A 2 K. Syuhada, PhD.

33 memiliki jari-jari kekonvergenan r > 0. Maka, fungsi f(x) = n=0 a n x n dapat diintegralkan pada setiap selang bagian tertutup dari ( r, r) dan untuk setiap x ( r, r) berlaku x 0 f(t) dt = n a n n + xn+ n=0 Teorema Abel: Jika f(x) = n=0 a n x n, x < dan deret n=0 a n konvergen, maka n=0 a n = x f(x) dan n=0 ( ) n a n = x + f(x). 3.6 Deret Taylor dan Hampiran Taylor untuk Fungsi Ilustrasi: Perhatikan fungsi f(x) = e x yang dapat diuraikan menjadi e x = + x + x2 2 + x , x R, Bagaimana kita dapat menguraikan fungsi tersebut? Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus menguraikannya? Deret pangkat f(x) = a 0 + a x + a 2 x = a n x n n=0 dapat diturunkan suku demi suku sampai tingkat tak hingga, f (n) (x) = n!a n n(n + )a n+ x +..., untuk x < r. MA20 Kalkulus 2A 3 K. Syuhada, PhD.

34 Apabila kita mengambil x = 0, atau f(0) = a 0, f (0) = a, f (0) = 2!a 2. f (n) (0) = n!a n a 0 = f(0); a = f (0)! ; a 2 = f (0) ;... ; a n = f (n) (0) 2! n! Dengan demikian, deret pangkat dapat ditulis atau f(x) = f(0) + f (0)! x + f (0) 2! x f (n) (0) n! x n +..., f(x) = n=0 f (n) (0) n! x n, untuk x < r, r > 0 jari-jari kekonvergenan, dan f (0) (0) = f(0). Deret tersebut dikenal dengan nama Deret MacLaurin. Jika titik pusatnya digeser ke c, maka f(x) = n=0 f (n) (c) n! (x c) n, untuk x c < r, r > 0 jari-jari kekonvergenan dan f (0) (c) = f(c). Deret ini disebut Deret Taylor yang berpusat di c dari fungsi f. Latihan: Tentukan deret Taylor dan selang kekonvergenan dari fungsi f berikut di titik c,. f(x) = sin x di c = π 2. f(x) = ln x di c = e Seberapa banyak (sampai berapa suku) kita harus menguraikan deret Taylor di titik c? MA20 Kalkulus 2A 4 K. Syuhada, PhD.

35 Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan deret Taylor sebagai f(x) = P n (x) + R n (x) dimana dan P n (x) = n k=0 f (k) (c) k! (x c) k R n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! dengan ξ diantara c dan x. (x c)n+ Teorema: Misalkan fungsi f dapat diturunkan sampai tingkat tak hingga pada selang (c r, c + r). Misalkan barisan bilangan real {M n } konvergen ke nol. Jika untuk setiap n N, x, ξ (c r, c + r) berlaku f n (ξ) (x c) n M n n! maka fungsi f dapat dinyatakan sebagai Deret Taylor pada selang (c r, c+r). Latihan: Hitunglah,. e 2. ln 5 dengan ketelitian sampai 4 desimal MA20 Kalkulus 2A 5 K. Syuhada, PhD.

36 BAB 4 Irisan Kerucut dan Koordinat Polar Silakan merujuk Catatan Kuliah dari Bapak Warsoma Djohan seperti yang disampaikan di kelas

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan 4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan

Lebih terperinci

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n!

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n! Analisa Numerik Teknik Sipil 1 PENDAHULUAN 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya),

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga, DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio. Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu

Lebih terperinci

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga.

Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga. ix M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 2 yang disajikan pada bahan ajar ini membahas materi tentang barisan, deret, dan integral. Pembahasan barisan dan deret hanya sekitar 11 persen dari dari keseluruhan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB   September 26, 2011 (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,

Lebih terperinci

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Oleh Ayundyah Kesumawati, S.Si., M.Si. (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 26 Daftar Isi Daftar Isi iv Daftar

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA Ver.1.0 : Desember 2015 1. Nama Mata kuliah Kalkulus II Semester/Kode/SKS II/ MAM 1201/4 2. Silabus Aplikasi Integral, Fungsi-fungsi Invers (Eksponensial,, Teknik, Persamaan Parametrik dan Koordinat Polar,

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

Pengintegralan Fungsi Rasional

Pengintegralan Fungsi Rasional Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU INTERGRAL OLEH : KELOMPOK 5 KETUA TEORI 1. I GEDE DIKA VIRGA SAPUTRA 2. I WAYAN HERMAWAN 3. EGI AZIKIN MAULANA KETUA SOAL 1. I MADE DUPI ANDIKA 2. I PUTU BAGUS MAHENDRA INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI

Lebih terperinci

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Deret Taylor. dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, (x a) + f 00 (a) 2! (x a) 2 + f 000 (a) 3!

Deret Taylor. dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, (x a) + f 00 (a) 2! (x a) 2 + f 000 (a) 3! oki neswan (fmipa-itb) Deret Taylor Sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah deret pangkat membangkitkan sebuah fungsi dengan domain merupakan interval kekonvergenan deret pangat tersebut. Sekarang

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

Deret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14

Deret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14 Deret Binomial Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII June 25, 2015 Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, 2015 1 / 14 Pendahuluan Deret Binomial Kita telah mengenal Rumus Binomial. Untuk bilangan

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya

BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya 1 BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya Perhatikan persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu yaitu: d + V (x) ( x) E( x) m dx d ( x) m + (E V(x) ) ( x) 0 dx (3-1) (-4) Suku-suku

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14 Mari mengingat

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI

MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI Nama : Syifa Robbani NIM : 125100301111002 Dosen Kelas : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc : L Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

Karena deret tersebut konvergen pada garis luarnya, kita dapat menukar orde integrasi dan penjumlahan pada ruas kanan.

Karena deret tersebut konvergen pada garis luarnya, kita dapat menukar orde integrasi dan penjumlahan pada ruas kanan. Transformasi- 3. Invers Transformasi- Formasi inversi untuk memperoleh dari x(n) dari X() dapat diperoleh menggunakan teorema integral Cauchy yang merupakan teorema penting dalam variabel kompleks. Transformasi-

Lebih terperinci

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci