Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran."

Transkripsi

1 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan integran. d Jadi d Contoh f ) ( d f (). sin, sin 5, sin 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos untuk semua. Sifat 4.0.: Misalkan f dan g mempunai anti turunan dan k suatu konstanta, maka. kf ( ) d k f ( ) d. [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d Teorema 4.0. Jika F dan G keduana integral tak tentu dari f pada interval I, maka F() dan G() berselisih suatu konstanta pada I Jadi F() G() C dengan C sembarang konstanta. Akibat Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f, maka dengan C konstanta sembarang. f ( ) d F() C. Thobirin, Kalkulus Integral 5

2 4. Rumus Dasar n n. d. d n C, n. d arc tan C ln C, 0 arc cot C. e d e C. 4. a d a ln a d arc sin C C, a arc cos C a > 0 5. sin d cos C. d arc sec C 6. cos d sin C arc csc C 7. sec d tan C 4. sinh d cosh C 8. csc d cot C 5. cosh d sinh C 9. sec tan d sec C 0. csc cot d csc C SOAL Tentukan:. ( ) d. d. d 4. (sin ) d 5. d Thobirin, Kalkulus Integral 54

3 4. Integral dengan Substitusi 006 Masalah: Tentukan ( 5) d Untuk menelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.. Jika u g() ang didefinisikan pada interval I mempunai invers g (u) dan fungsi-fungsi g dan g keduana mempunai derivatif ang kontinu pada intervalna masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g didefinisikan, maka Contoh 006 Tentukan ( 5) d f { g( )} g '( ) d f ( u) du Penelesaian: Substitusikan u 5 du d du d maka ( 5) d ( 5) d u 006 du Contoh 006 Tentukan ( 5) d ( 007 u C 007 5) C Penelesaian: Substitusikan u 5 du 6 d du 6 d Thobirin, Kalkulus Integral 55

4 maka ( 5) d ( 5) 6 d 6 u 006 du u C ( 007 5) C Contoh 4 Tentukan cos d Penelesaian: Substitusikan u du d du d maka cos d cosu du sin u C sin C SOAL Tentukan:. ( ) 9 d 6. d 4 9 d. ( 5 ) d 7. 4 ( ) 8. d 8. 4 ( ) d 4. d ln sin(ln ) 5. d sin 9. e cos d 4 0. e d Thobirin, Kalkulus Integral 56

5 4. Integral Parsial Masalah: Tentukan e d Misalkan: u f() f '( ) d du f '( ) d du u ' d v g() g '( ) d dv g '( ) d dv v ' d d( uv) uv f() g() f '( ) g( ) f ( ) g '( ) d d ( uv) f '( ) g( ) d f ( ) g '( ) d d(uv) d(uv) Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh uv v du u dv u dv uv v du u ' v d uv ' d v du u dv Contoh 5 Tentukan e d Penelesaian: Misalkan u du d dv e d v e d sehingga e d e e d e e d e e C e Contoh 6 Tentukan e d Penelesaian: Misalkan u dv e d du d v e d e Thobirin, Kalkulus Integral 57

6 sehingga e d e e d e e d e ( e e ) C e e e C Contoh 7 Tentukan cos d 5. Penelesaian: Misalkan u du d dv cos d v cos d sin sehingga cos d sin sin d sin cos C Contoh 8 Tentukan e cos d Penelesaian: Misalkan u e sehingga e cos d e du e d dv cos d v cos d sin sin e sin e sin e d sin d misal u e du e d dv sin d v sin d Diperoleh e cos d e e cos d e cos d e { e e sin ( cos ) cos d } e sin e cos cos e d e e sin e cos cos e d sin e cos sin e cos C cos Thobirin, Kalkulus Integral 58

7 SOAL Tentukan:. sin d 6. e sin d. sin d 7. arcsin d. ln d 8. arctan d 4. e d e d 0. ln ln ln d d 4.4 Integral ang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma Ingat: d arc tan C Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a 0, maka berlaku: d arc tan C (4.4.) a a a Perhatikan penebut dalam integran. Selanjutna akan dicari b c d Jika f() b c dengan D 4b 4c < 0, maka f() definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk f() ( b) p dengan p c b > 0 sehingga d b c ( b) p d dan dengan menggunakan (4.4.) dapat diperoleh d b c b arctan C (4.4.) p p dengan p c b Thobirin, Kalkulus Integral 59

8 Contoh 9 Tentukan Penelesaian: d Dengan menggunakan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan C Contoh 0 Tentukan 9 d Penelesaian: Dengan menggunakan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan C Contoh Tentukan d 5 Penelesaian: b c 5 p 5 4 Dengan rumus (4.4.) diperoleh d arc tan 5 Atau secara langsung dengan cara berikut: d 5 d arc tan C ( ) 4 C Selanjutna ingat: d ln C Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa g '( ) g( ) d ln g () C (4.4.) Thobirin, Kalkulus Integral 60

9 Contoh Tentukan d 4 Penelesaian: Dengan rumus (4.4.) diperoleh d ln 4 C 4 Contoh 5 Tentukan d 6 Penelesaian: 5 ( 6) d 6 d 6 ( 6) d 6 d 6 ln 6 d ( ) 4 ln 6. arc tan ln 6 arc tan C C SOAL Tentukan: 5. d 5. 0 d d 6. 5 d 6. tan sin d d cos 7. 4 d d d 4 7 Thobirin, Kalkulus Integral 6

10 4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional P n () a o a a a... a n n dengan a n 0 dinamakan polinomial (fungsí suku banak) berderajat n. Fungsi konstan P o () a o dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol. N( ) Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk dengan N() dan D() polinomialpolinomial. D( ) Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut Keadaan N() D () Jika N() D () maka berdasarkan rumus (4.4.) diperoleh: N( ) d ln D () C D( ) dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang Keadaan derajat N() derajat D() Lakukan pembagian N() oleh D() sehingga diperoleh bentuk N( ) R( ) Q( ) dengan derajat R() < derajat D() D( ) D( ) Q() adalah polinom, sehingga integralna sangat mudah. Contoh. d d d d... 6 Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penelesaian kedua contoh dalam contoh di atas. Dengan demikian ang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana derajat N() < derajat D() dan N() D () Thobirin, Kalkulus Integral 6

11 4.5. Keadaan Derajat N() < Derajat D() Pada pembahasan ini N() D (). Tanpa mengurangi umumna pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam D() adalah satu. Untuk N( ) menghitung d, terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahanpecahan D( ) parsialna. Contoh 4 Jadi 6 6 dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut d 6 d d d d 0 d 5 d ln 0ln 5ln C Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan N( ) menjadi pecahan-pecahan parsialna, maka sebelumna perlu dipelajari D( ) N( ) cara memisah menjadi pecahan-pecahan parsialna tersebut. D( ) Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: ) derajat N() < derajat D() ) koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam D() adalah satu ) N() dan D() tidak lagi mempunai faktor persekutuan Thobirin, Kalkulus Integral 6

12 Menurut keadaan faktor-faktor D(), dalam memisahkan N( ) D( ) Integral menjadi pecahanpecahan parsialna dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, aitu: a. Semua faktor D() linear dan berlainan b. Semua faktor D() linear tetapi ada ang sama (berulang) c. D() mempunai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratna berlainan d. D() mempunai faktor kuadrat ang sama. a. Semua faktor D() linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D() adalah a, b, c, dan d, maka D() ( a) ( b) ( c) ( d). Dibentuk N( ) D( ) A B C D a b c d () sebagai suatu identitas dalam, sehingga untuk setiap nilai ang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam () sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta ang masih akan dicari nilaina. Contoh 5 Pisahkan Penelesaian: atas pecahan-pecahan parsialna ( ) ( ) ( ) 0 Dibentuk A B C () A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) 6 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ) untuk A()(4) A untuk 0 B( )() B 0 untuk 60 C( 4)( ) C 5 Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam () maka diperoleh Thobirin, Kalkulus Integral 64

13 sehingga d d d d ln 0ln 5ln C Pada bagian ini dijumpai bentuk a d b. Semua faktor D() linear tetapi ada ang sama (berulang) Misalkan faktor-faktor D() adalah a, b, c, c, d, d, dan d, maka D() ( a) ( b) ( c) ( d). Selanjutna dibentuk N( ) D( ) A B C D E F G a b c ( c) d ( d) ( d) Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama ang sesuai dengan akar sama c dan d. () Contoh 6 Pisahkan ( )( ) Penelesaian: atas pecahan-pecahan parsialna. Dibentuk A B ( )( ) ( ) ( C D ) (4) A( ) B( )( ) C( )( ) D( ) untuk D untuk 7A untuk 0 0 A B C D untuk 8A 4B C D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh: 6 A, B, C, D Jadi ( )( ) ( ) ( ) Thobirin, Kalkulus Integral 65

14 Selanjutna dapat dicari integral d ( )( ) d ( )( ) d d d ( ) ( )... d Pada bagian ini dijumpai bentuk a d dan ( a) n d n,,... c. D() mempunai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratna berlainan Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real sepasang-sepasang bersekawan, artina jika a bi suatu akar maka a bi juga akar persamaan itu Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a bi akar persamaan D() 0 maka demikian juga a bi, sehingga salah satu faktor D() adalah { (a bi)}{ (a bi)} ( a) b ang definit positif. Misal D() ( p) ( q) {( a) b }{( c) d } maka perlu dibentuk N( ) D( ) A p B q C D E F G ( q) ( a) b ( c) d (5) Contoh 7 Pisahkan Penelesaian: atas pecahan-pecahan parsialna. ( )( ) Dibentuk A B C A( ) ( B C)( ) untuk A untuk 0 0 A C untuk A B C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh A, B, dan C, sehingga Thobirin, Kalkulus Integral 66

15 Jadi d d d Pada bagian ini dijumpai bentuk d a, d a n ) ( n,,..., dan d b a B AX ) ( d. D() mempunai faktor kuadrat ang sama Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D() 0 maka demikian juga a bi, dan faktor-faktor dari D() ang sesuai dengan akar-akar ini adalah {( a) b } k. Misal D() ( p) ( q) {( a) b }{( c) d } maka perlu dibentuk ) ( ) ( D N } ) {( ) ( ) ( ) ( d c J H d c G F b a E D q C q B p A } ) {( d c L K Contoh 8 Pisahkan ) )( ( 5 atas pecahan-pecahan parsialna. Penelesaian: Dengan cara seperti ang telah diberikan sebelumna didapatkan ) )( ( 5 ) ( Thobirin, Kalkulus Integral 67

16 5 Jadi d ( )( ) d d ( ) d AX B Pada bagian ini dapat muncul bentuk d, n,,..., dan n {( a) b } N( ) Dalam mencari d D( ) kita dihadapkan kepada empat jenis integral ang berbentuk: () a d () n ( a) d n,,... () AX B ( a) b d AX B (4) n {( a) b } d, n,,... Tiga bentuk ang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori ang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi a sebagai berikut. AX B A aa B d n {( a) b } d n { b } A d( b ) aa B n { b } { b } Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk du n, n,,... Sedangkan integral pada suku keduana dapat diubah menjadi u aa B aa B d d n n { b } n b b aa B b Untuk menghitung integral dt { t } n n dt n { t } dengan t b n d dapat digunakan rumus reduksi berikut Thobirin, Kalkulus Integral 68

17 dt { t } n t (n )( t ) n n n dt { t } n Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut. Contoh 9 Selesaikan ( 4 ) Penelesaian: ( 4 ) d d. ( 4) ( 4 ) d 4 d ( 4 ) ( 4 ) d d( 4 ) ( 4 ) {( ) 9} d d( 4 ) ( 4 ) {( ) 9} 4 4 { 9 [( ) / ] } 8 {[( ) / ] } d d d Untuk 8 8 {[( ) / ] } {[( ) / ] } d d substitusikan t, dt d sehingga { t } dt t. dt (. )( t). t { } dt ( t) t t arctant 7 ( t) { } t Thobirin, Kalkulus Integral 69

18 Jadi ( 4 ) d 7 arctan.( ) arctan 7 6 ( ) arctan {[( ) / ] } d arctan C. LATIHAN. d 4 4. d ( ) ( ) 4. d 5. ( ) ( 4) d. ( ) d 4 6. d ( ) 4.6 Integral Fungsi Trigonometri 4.6. Rumus-rumus Sederhana cos d sin C tan d ln cos C sin d cos C cot d ln sin C sec d tan C sec tan d sec C csc d cot C csc cot d csc C sec d ln sec tan C csc d ln csc cot C 4.6. Bentuk R(sin ) cos d dan R(cos ) sin d Jika R fungsi rasional maka R(sin ) cos d R (sin ) d(sin ) R ( ) d Thobirin, Kalkulus Integral 70

19 R(cos ) sin d R (cos ) d(cos ) R ( t) dt Dengan mengingat rumus cos sin, maka: R(sin, cos R(cos, sin ) ) cos d R (, ) d sin d R ( t, t ) dt Contoh 0. (cos sin 7) cos d. sin d 4.6. Integral dengan memperhatikan rumus-rumus sin sin ) cos( )} sin cos ) sin( )} cos cos ) cos( )} sin cos } cos cos } Contoh Carilah. sin sin d. sin cos d. cos cos d 4. sin d 4 5. sin d Substitusi tan Jika R(sin, cos ) fungsi rasional dalam sin dan cos, maka R (sin, cos ) d menggunakan substitusi dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam dengan tan. Thobirin, Kalkulus Integral 7

20 tan arc tan d d Selanjutna perhatikan Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa sin dan cos sin sin(. ) sin cos Jadi sin. Dengan menggunakan rumus cos cos(. ) diperoleh cos tan cot Contoh d Carilah:. sin d. cos d. sin cos 4. csc d Thobirin, Kalkulus Integral 7

21 4.6.5 Integral R(tan ) Jika integran fungsi rasional dalam tan saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam dengan substitusi tan, sehingga arc tan dan d d. R( ) (tan ) d d R Jadi Contoh Carilah:. tan d. d tan Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka: sin cos n n d ( d ( t ) n ) n d dengan cos dt dengan t sin Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus: cos sin tan cot sec csc sin cos n n n n n n d cos d cos sin n n n n d sin d tan n n n n n n d tan d cot n n n n d cot d sin sec n n n n n n d sec d cos csc n n n n d csc d n n Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini. Thobirin, Kalkulus Integral 7

22 LATIHAN 4.7 Integral Fungsi Irrasional Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarna integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri Rumus ang perlu dihafal ) d a arcsin C a a ) d arc sec C a a ) d a ln a C 4) d a ln a C 5) a a d a arcsin C a 6) a d a a ln a C 7) a d a a ln a C Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan substitusi. Sedangkan rumus-rumus ang lain dapat dibuktikan dengan a menggunakan metode ang akan diterangkan pada bagian Thobirin, Kalkulus Integral 74

23 4.7. Bentuk Irrasional Satu Suku Jika integran hana memuat bentuk irrasional dari satu macam suku, misalna, maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. n dimana n Contoh 4 d 6 6 diambil substitusi, sehingga dan d 6 5 d 4.7. Satu-satuna Bentuk Irrasional a b c Dalam hal ini a b c sebagai satu-satuna bentuk irrasional di dalam integran, maka integran dapat dijadikan rasional dengan substitusi a b c atau a, jika a > 0 a b c c, jika c 0 Dengan substitusi ang pertama diperoleh ke dalam bentuk rasional dalam kali d. ( c) a b dan d dapat dinatakan Contoh 5 d diambil substitusi ( ) 6 6, sehingga ( ) 6 dan d d. Selanjutna dapat diselesaikan seperti ( ) ( ) integral raasional Substitusi Trigonometri Dengan memperhatikan rumus trigonometri cos sin dan tan sec bentuk-bentuk irra sional berikut dapat dijadikan bentuk rasional fungsi trigonometri. Thobirin, Kalkulus Integral 75

24 Bentuk Substitusi Diferensial a a sin θ d a cosθ dθ a a sec θ d a secθ tanθ dθ a a tan θ d a sec θ dθ Contoh 6. Buktikan a a d a arcsin C a. Gunakan substitusi a sin θ untuk menentukan. Carilah d ( ) 6 9 d LATIHAN 4.7. d. d. 4. d ( ) 4 d ( ) 4 8 Thobirin, Kalkulus Integral 76

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Pecahan Parsial (Partial Fractions) oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)

Lebih terperinci

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.

Lebih terperinci

INTEGRASI Matematika Industri I

INTEGRASI Matematika Industri I INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.

TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ' ' ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN ' n n n k k ' 0 k ' u' nu u n n '( ( '( ( '( ( '( ( 0 '( ( n

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 23 April 2014

Hendra Gunawan. 23 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan

Lebih terperinci

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu

Lebih terperinci

RUMUS INTEGRAL RUMUS INTEGRAL

RUMUS INTEGRAL RUMUS INTEGRAL TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, maka kita akan mendapatkan integral tak tentu dari fungsi-fungsi yang sudah kita ketahui Beberapa yang telah kita ketahui

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

! " #" # $# % " "& " # ' ( ) #

!  # # $# %  &  # ' ( ) # ! "#"# $#%""&"#'# "*# *" " " #,#" " "# * # ""- # # "! " #" # $#%""&"# '# #" &# '&$'# # "'/0& " # #'"# ## # # #"""--* # #* #"* "'# #* 0 # # ***0" #""# ** #""# " #,#"##' ##' #*"#"#"'#"" #"#" ## # # "*###

Lebih terperinci

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI ANALITIK

BAB II FUNGSI ANALITIK BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR

RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR RUMUS INTEGRAL TAK TENTU MELALUI POLA INTEGRAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh SUTIKA DEWI 0854004458 FAKULTAS SAINS DAN

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU

INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU INTERGRAL OLEH : KELOMPOK 5 KETUA TEORI 1. I GEDE DIKA VIRGA SAPUTRA 2. I WAYAN HERMAWAN 3. EGI AZIKIN MAULANA KETUA SOAL 1. I MADE DUPI ANDIKA 2. I PUTU BAGUS MAHENDRA INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut

Lebih terperinci