BAB II FUNGSI ANALITIK

Transkripsi

1 BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan dalam analisis kompleks. 9. FUNGSI DARI SUATU VARIABEL KOMPLEKS Misalkan S suatu himpunan bilangan kompleks. Suatu ungsi ang dideinisikan pada S adalah suatu aturan pengaitan setiap di S dengan tepat satu bilangan kompleks w. Bilangan w disebut nilai dari di dan dinotasikan dengan (); aitu w = (). Himpunan S disebut daerah deinisi dari. Tidak selalu tepat untuk menggunakan notasi ang berbeda diantara suatu ungsi ang diberikan dan nilaina. Sebagai contoh, jika dideinisikan pada setengah bidang Re > ang berarti bahwa persamaan w=, berhubungan dengan ungsi w=, atau secara sederhana ungsi, dimana Re >. Akan ditegaskan bahwa daerah deinisi dan suatu aturan ang dibutuhkan dalam urutan untuk ungsi terdeinisi. Jika daerah deinisi tidak disebutkan secara khusus maka kita mengambil himpunan ang paling besar sehingga ungsi tersebut tedeinisi dengan baik. Selanjutna, jika kita hana mengatakan dari ungsi adalah himpunan dari semua titik ang tidak nol dalam bidang. maka daerah deinisina Misalkan bahwa w=u+iv adalah nilai dari suatu ungsi di = +i, sehingga u+iv = (+i). Setiap bilangan real u dan v tergantung pada variabel real dan, dan dari sini bahwa () dapat diekspresikan dalam bentuk suatu pasangan dari ungsi bernilai real dari variabel dan : () ()=u(,)+iv(,). 35

2 Jika koordinat polar r dan, sebagai pengganti dari dan untuk digunakan, maka u+iv = (re i ), dimana w =u+iv dan = (re i ). Dalam kasus ini, kita tulis () ()=u (r,)+iv(r,). Contoh : Jika ()=, maka (+i)=(+i) = +i. Jadi u (,)= dan v(,)=. Jika kita menggunakan koordinat polar, (re i )= (re i ) =r e i =r cos +ir sin. Akibatna, u(r,) =r cos dan v(r,)=r sin. Jika, dalam persamaan () atau (), ungsi v adalah selalu sama dengan nol, maka bilangan () adalah selalu real. Sebagai contoh suatu ungsi ang bernilai real dari variabel kompleks adalah ()= i. Jika n = atau suatu bilangan bulat positi dan jika a, a, a,., a n adalah konstanta kompleks dengan a n, maka ungsi P()=a +a + a + +a n n adalah suatu polinom ang berderajat n. Perlu dicatat bahwa penjumlahan dari sejumlah hingga suku-suku di atas daerah deinisina adalah seluruh bidang. Pembagian P()/Q() dari polinom adalah disebut ungsi rasional disetiap titik dengan Q(). Polinom dan ungsi rasional merupakan ungsi elementer, tetapi sangat penting dalam kelas ungsi dari suatu variabel kompleks. Perumuman dari konsep ungsi adalah aturan pengaitan paling banak satu nilai dari setiap titik didaerah deinisina. Fungsi bernilai banak terjadi dalam teori ungsi dari variabel kompleks, demikian juga dalam kasus variabel real. Jika ungsi bernilai banak dipelajari, harus selalu satu dari nilai ang mungkin setiap titik ang diambil, dalam kesimetrian, dan suatu ungsi (bernilai tunggal) adalah dikonstruksi dari ungsi bernilai banak. Sebagai contoh, misalkan bahwa adalah suatu bilangan kompleks tak nol = re i. 36

3 Kita ketahui dari bahagian 7 bahwa / mempunai dua nilai aitu re, dimana adalah nilai utama (-<) dari arg. Tetapi, jika kita hana memilih nilai positi dari i r dan ditulis re (r>, -<<), terlihat bahwa ini merupakan ungsi (bernilai tunggal) adalah terdeinisi dengan baik pada daerah ang diberikan. Dimana nol adalah hana mempunai akar kuadrat nol, kita juga menulis () =. Fungsi adalah terdeinisi dengan baik pada daerah ang terdiri dari seluruh bidang kompleks kecuali sepanjang =, akni pada sumbu real negati.. PEMETAAN. Siat dari ungsi bernilai real dari variabel real adalah ungsina selalu dapat digambarkan dengan graik. Tetapi jika w =(), dimana dan w adalah bilangan kompleks, tidak selalu sederhan digambarkan dengan graik sebab setiap bilangan dan w berada dalam bidang ang lebih besar dari pada garis. Salah satu cara bagaimana menggambarkanna adalah dengan mengindikasi setiap pasang titik = (,) ang berhubungan dengan titik w = (u,v). Disini pada umumna kita menggambarkan bidang dan w secara terpisah. Jika ungsi dilakukan dengan cara ini, maka selalu dihubungkan dengan pemetaan, atau transormasi. Baangan dari titik dalam daerah deinisi S adalah titik w = (), dan himpunan semua baangan dari semua titik dalam himpunan T ang termuat dalam S disebut baangan dari T. Baangan dari seluruh daerah deinisi dari S disebut range dari. Baangan invers dari suatu titik w adalah himpunan semua titik dalam daerah deinisi dari ang mempunai pasangan baangan w. Baangan invers suatu titik boleh memuat hana satu titik, beberapa titik, atau tidak sama sekali. Kasus ini terjadi jika w bukan merupakan range dari. Bentuk translasi, rotasi, dan pencerminan adalah digunakan untuk menampaikan karateristik geometri dari pemetaan tertentu. Dalam kasus ini, kadang-kadang tepat untuk digambarkan dan w dalam bidang ang sama. Sebagai contoh, pemetaan w = + = (+) + i, i 37

4 Dimana = + i, dapat ditentukan melalui suatu translasi dari setiap titik satu satuan kekanan. Karena i = e i/, maka pemetaan w = i = r epi, dimana = re i, rotasi pada jari-jari vektor untuk setiap bilangan kompleks tak nol terus kekanan sudut titik asal ang berlawanan dengan arah jarum jam; dan pemetaan w = = i adalah transormasi setiap titik = + i kedalam pencermianan terhadap sumbu. Inormasi umum ang digunakan dalam menggambar baangan dari suatu kurva dan daerah ang lebih sederhana adalah mengindikasi baangan titikna satu persatu. Dalam contoh berikut, kita ilustrasikan ini dengan transormasi w =. Contoh. Dari contoh dalam bagian 9, pemetaan w = dapat dijelaskan melalui transormasi: () u =, v = dari bidang kebidang uv. Bentuk pemetaan ini ang akan digunakan dalam menemukan baangan dari hperbola tertentu. Mudah ditunjukkan bahwa, setiap cabang dari hperbola = c (c > ) adalah pemetaan satu-satu dan pada kegaris vertikal u = c. Kita mulai dengan mencatat persamaan () bagian ang pertama bahwa u = c jika (,) adalah suatu titik ang terletak pada salah satu cabang. Khususna, jika terletak pada cabang bagian kanan, bagian kedua dari persamaan () dapat diketahui bahwa v = c. Jadi baangan dari cabang bahagian kanan dapat dinatakan dalam bentuk parameter melalui u = c, v = c - ; dan jelas bahwa baangan dari titik (,) pada cabang dipindahkan keseluruh garis melalui jejak (,) dengan arah ke atas (lihat gambar 4). Demikian juga, dimana pasangan dari persamaan 38

5 u = c, v = c - ; melengkapi persamaan parameter untuk baangan dari cabang bahagian kiri dari hperbola, baangan dari titik bergerak turun sepanjang seluruh cabang bahagian kiri adalah terlihat dipindahkan ke atas pada seluruh garis u = c. Sebagai latihan, tunjukkan bahwa setiap cabang dari hperbola = c (c > ) adalah ditransormasi kedalam garis v = c, melalui indikasi dalam gambar 4. Kasus dimana c dan c adalah negati juga disajikan dalam latihan. v u=c > v=c > u Gambar 4. w = Contoh. Misalkan kita menggunakan persamaan () untuk menunjukkan bahwa baangan dari sebagian bidang vertikal,, ang ditunjukkan dalam gambar 5, adalah daerah semi parabola tertutup. Jika < <, titik (, ) digerakan ke atas suatu penggal garis vertikal, ang diberi nama L dalam gambar 5, melalui naik dari =. Baangan di luar jejak bidang uv menurut persamaan (), ang dinatakan dalam bentuk parameter () u =, v = (< ). 39

6 Gunakan persamaan ang kedua untuk mensubtitusi kedalam ang pertama, terlihat bahwa baangan titik-titik (u,v) harus terletak pada parabola D L L A A L L v B C D C u (3) v 4 u dengan puncak di, Gambar 5. w = ; dan okusna dititik asal. Dimana v adalah naik dengan melalui v =, menurut persamaan () bagian kedua, terlihat bahwa melalui titik (,) digerakan ke atas melalui L dari sumbu, baanganna adalah digerakan ke atas melalui sebagian parabola L dari sumbu u. Selanjutna, jika suatu bilangan lebih besar dari, tetapi lebih kecil dari, adalah ditentukan, penggal garis L mempunai baangan L aitu sebagian parabola dikanan L, melalui indikasi dalam gambar 5. Perlu dicatat bahwa baangan dari penggal garis BA didalam gambar adalah setengah parabola v = -4(u-) ang paling atas dan diberi nama dengan B A. Baangan dari penggal garis CD ang diperoleh dari persamaan () bahwa titik (,), dimana, pada CD ditransormasi kedalam titik (-,) dalam bidang uv. Juga, melalui titik ang digerakan ke atas dari titik asal sepanjang CD, baanganna digerakan kekiri dari titik asal sepanjang sumbu u. Jadi jelas bahwa penggal garis vertikal di bidang, baanganna adalah parabola dibidang uv ang turun sampai pada penggal garis C D. 4

7 Sekarang jelas bahwa baangan dari semua penggal garis dintara dan didalam CD dan BA adalah merupakan daerah semiparabola tertutup ang dibatasi oleh A B C D. Juga setiap titik dalam daerah tersebut mempunai baangan hana satu titik didalam bagian tertutup ang dibatasi oleh ABCD. Juga daerah semiparabola adalah merupakan baangan dari bagian tadi dan merupakan pemetaan ang bersiat satu-satu dan pada antara titik dalam daerah tertutup. Contoh 3. Kita kembali pada contoh di bagian 9 bahwa w = = r e i dimana = re i. Jika w = e i, kita mempunai e i = r e i ; dan akibatna r, = + n (n =,,, ). Jelas, baangan dari setiap titik tak nol adalah diperoleh dengan mengkuadratkan modulus dari dan menggandakan nilai dari arg. titik w = Selidiki bahwa titik = r e i pada lingkaran r = r adalah ditransormasikan kedalam r e i pada lingkaran r. Melalui titik pada lingkaran pertama digerakan berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu real positi ke sumbu imajiner positi, baanganna pada lingkaran kedua dipindahkan berlawanan dengan jarum jam dari sumbu real positi ke sumbu real negati (lihat gambar 6). Juga, semua nilai positi ang mungkin dari r ang dipilih, berhubungan dengan sudut dalam dan w berada dikuadran pertama dan di atas bidang masing-masing. Transormasi w = adalah pemetaan satu-satu dan pada dari kuadran pertama r, / dalam bidang pada setengah bidang, dari bidang w, melalui indikasi dalam gambar 6. Titik = adalah jelas dipetakan pada w =. Transormasi w = juga memetakan sebagian bidang atas r, / pada seluruh bidang w. Bagaimanapun, dalam kasus ini, transormasi adalah bukan satu-satu karena kedua sumbu real negati dan positi dalam bidang adalah dipetakan pada sumbu real positi dalam bidang w. 4

8 Jika n suatu bilangan bulat positi ang lebih besar dari, siat pemetaan dari transormasi w = n, atau i n in e r e adalah serupa dengan w =. Sehingga peta transormasi dari seluruh bidang pada seluruh bidang w dimana setiap titik taknol dalam bidang w adalah baangan dari n titik-titik ang berbeda dalam bidang. Lingkaran r = r adalah dipetakan pada lingkaran cakram n r, tetapi bukan satu-satu. n r ; dan sektor rr, /n adalah dipetakan pada v r r u Gambar 6. w = Latihan. Untuk setiap ungsi di bawah ini, tentukan daerah deinisina: (a). ; (b). Arg ; (c). ; (d).. Tuliskan ungsi () = dalam bentuk () = u(,) + iv(,). 3. Misalkan () = + i( ), dimana = + i. Gunakan dan untuk mengepresikan () dalam suku-suku dari, dan berikan jawaban ang paling sederhana. 4. Tuliskan ungsi, dalam bentuk () = u(r,) + iv(r,). 4

9 5. Tunjukkan bahwa setiap cabang dari hperbola = c (c >) adalah pemetaan pada garis v = c dengan transormasi w =, melalui indikasi dalam gambar Domain >, >, < terdiri dari semua titik pada cabang atas hperbola dari keluarga = c, dimana < c <. Gunakan hasil pada soal nomor 5 untuk menunjukkan bahwa baangan dari domain ini di bawah transormasi w = adalah sebagian dari bidang horiontal < v <. 7. Berdasarkan contoh bagian, dan soal no. 5 carilah suatu domain dalam bidang ang mempunai baangan di bawah transormasi w = adalah domain kuadrat dalam bidang w ang dibatasi oleh garis u =, u =, v = dan v =. 8. Cari dan gambarkan, serta tunjukkan hubungan orientasi, baangan dari hperbola = c (c < ) dan = c (c < ) dibawah transormasi w =. 9. Tunjukkan, dengan mengindikasi orientasi hubungan, pemetaan w = transormasi = c ( c > ) kedalam parabola v 4c u c ang semua titik apina di w =.. Gunakan hasil dalam soal no. 9 untuk menunjukkan bahwa transormasi w = adalah pemetaan satu-satu dari bidang ab di atas sumbu pada daerah tertutup diantara dua parabola v = 4u (u+a ) dan v = 4u (u+b ).. Bagaimana merubah bentuk dalam contoh, bagian, bahwa transormasi w = memetakan suatu bidang vertikal c, dari sembarang luas pada suatu daerah semi parabola tertutup, melalui gambar 6.b. 43

10 . Modiikasi contoh bahagian, untuk menunjukkan bahwa jika w =, baangan dari daerah segitiga tertutup dengan garis = dan = adalah daerah parabola tertutup ang dibatasi pada bahagian kiri dengan -v dari sumbu v dan bahagian kanan dibatasi oleh parabola v = -4(u-). Selidiki hubungan titik-titik pada kedua daerah tertutup dan terbatas tersebut melalui gambar Gambar daerah pada sektor r, /4 ang dipetakan oleh transormasi (a). w = ; (b). w = 3 ; (c). w = Interprestasi lain dari ungsi w = () = u(,) + iv(,) adalah suatu lapangan vektor dalam daerah deinisi. Fungsi ang mengaitkan suatu vektor w, dengan komponenkomponen u(,) dan v(,), kesetiap titik ang dideinisikan. Indikasikan graik ang dinatakan dengan lapangan vektor (a). w =i; (b)... LIMIT Misalkan suatu ungsi ang terdeinisi disemua titik dalam lingkungan penghilangan dari. Pernataan bahwa limit dari () melalui ang didekati dengan adalah suatu bilangan w, atau 44

11 () lim w mempunai arti bahwa titik w = () dapat dibuat sembarang dekat dengan w jika kita memilih ang cukup dekat dengan tetapi berbeda dengan. Kita sekarang mengekspresikan deinisi dari limit dalam bentuk ang tepat digunakan. Pernataan () mempunai arti bahwa, untuk setiap bilangan >, terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga () w asalkan -. Secara geometri deinisi ini mengatakan bahwa, untuk setiap lingkungan- w w dari w, terdapat suatu lingkungan penghilangan- dari, sedemikian sehingga untuk setiap dalam lingkungan tersebut mempunai suatu baangan w dalam lingkungan (lihat gambar 8). Perlu dicatat bahwa, meskipun semua titik dalam lingkungan penghilangan - tidak perlu semua baanganna keseluruh lingkungan w w. Jika suatu ungsi konstan ang bernilai w, maka baangan dari selalu merupakan pusat dari lingkungan. Sebagai catatan, sekali kita mendapatkan suatu, maka kita dapat mengganti dengan dengan setiap bilangan positi ang lebih kecil dari, misalna /. v w w u Gamabar 8 Deinisi () menatakan bahwa terdeinisi disemua titik dalam suatu lingkungan penghilangan. Sehingga lingkungan penghilangan selalu ada jika adalah suatu titik interior dari suatu daerah dimana terdeinisi. Kita dapat memperluas deinisi dari limit 45

12 dalam kasus dimana adalah titik batas dari daerah ang memungkin bahwa persamaan () ang pertama dipenuhi dengan hana titik terletak dikedua daerah dan domain. Contoh. Tunjukkan bahwa jika () = i/ dalam cakram buka i, maka lim Titik = terletak pada batas dari daerah deinisi. Akan diselidiki bahwa jika dalam daerah, i i i. Juga, untuk setiap dan suatu bilangan positi, i asalakan -.. Jadi sarat persamaan () dipenuhi oleh titik-titik dalam daerah jika sama dengan atau bilangan positi ang lebih kecil (lihat gambar 9). Dalam pendahuluan konsep tentang limit pada paragraph pertama bagian ini, kita dapatkan suatu siat bahwa, jika suatu limit dari suatu ungsi () ada disuatu titik, maka limitna itu adalah tunggal. Untuk membuktikan suat ini, kita memisalkan bahwa w dan lim w. lim terdapat bilangan positi dan sehingga w asalkan - Maka, untuk setiap bilangan positi, 46

13 dan w asalkan -. Jadi, jika, dimana menatakan bilangan ang paling kecil antara dan, maka w w w w Hal ini menunjukkan bahwa, w w. Tetapi w w adalah suatu konstanta non negati, dan dapat dipilih sembarang ang paling kecil. Jadi w -w =, atau w = w. Jika adalah suatu titik interior dari daerah deinisi, dan limit dari persamaan () ada, persamaan () ang pertama harus berlaku untuk setiap titik dalam lingkungan penghilangan -. Jadi simbol mengakibatkan bahwa adalah dapat mendekati dalam sembarang arah, tanpa dari suatu arah ang khusus. Contoh berikut menggunakan cara ini. Contoh. Jika, maka (4) lim tidak ada. Jika limitna ada, maka kita dapat menemukan limitna dengan memisalkan titik = (,) mendekati titik asal dari berbagai arah. Tetapi jika = (,) adalah titik tak nol pada sumbu real, i ; i dan jika = (,) adalah titik tak nol pada sumbu imajiner, i. i Jadi, dengan memisalkan mendekati titik asal sepanjang sumbu real, kita peroleh limitna adalah. Pada hal lain, didekati sepanjang sumbu imajiner diperoleh limitna sama dengan. Dari ketunggalan limit, kita simpulkan bahwa limit pada persamaan (4.) tidak ada. 47

14 . TEOREMA-TEOREMA PADA LIMIT Teorema. Misalkan bahwa () = u(,) + iv(,), = + i, dan w = u + iv. Maka () lim w jika dan hana jika () lim,, u, u dan lim,, v, v Untuk membuktikan teorema di atas, kita asumsikan bahwa limit pada () benar dan akan dibuktikan limit pada (). Limit pada persamaan () bagian diketahui bahwa, untuk setiap positi terdapat bilangan positi dan sehingga (3) u u asalkan - dan v v -. asalkan (4) Misalkan menatakan bilangan ang paling kecil antara dan. Karena dan u iv u iv u u iv v u u v v - i i. i Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh asalkan u iv u iv i i. Jadi, limit pada () benar. Misalkan sekarang mulai mengasumsikan bahwa limit () benar. Dengan asumsi ini kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positi, terdapat bilangan positi sehingga (5) u iv u iv (6) i i asalkan.. 48

15 Tetapi dan u u u u iv v u iv u iv u u iv v u iv u v v. iv i i i -. Jadi dari sini persamaan (5) dan (6) memberikan bahwa u asalkan u dan v v i i. Ini menunjukkan bahwa limit () telah dibuktikan, dan bukti teorema telah lengkap. Teorema. Misalkan bahwa (7) lim wo dan lim F Wo maka (8) lim F wo Wo (9) lim F wo Wo dan, jika W, maka () lim F w W o o., Teorema ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menggunakan deinisi limit dari ungsi bernilai kompleks. Tetapi dengan teorema, pembuktian lebih mudah. Sebagai contoh, kita buktikan (9), dan kita tulis u, iv,, F U, iv,, = + i, w = u + iv, W = U + iv. Maka dari hipotesis persamaan (7) limit (,) mendekati (, ) dari ungsi u, v, U, dan V ada dan mempunai limit u, v, U, dan V masing-masing. Jadi komponen real dan 49

16 imajinerna dari perkalian ()F() = (uu vv) + i(vu + uv) mempunai limit u U v V dan v U + u V, masing-masing, dengan (,) mendekati (, ). Jadi dengan menggunakan teorema, ()F() mempunai limit (u U v V ) + i( v U + u V ) dengan mendekati ; dan ini sama dengan w W. Siat (9) buktina telah diberikan, dan untuk siat (8) dan () dapat dibuktikan dengan cara serupa. Sebagai akibat dari teorema adalah lim c c untuk setiap konstanta kompleks c = a + bi dan setiap. Juga, lim ; dan dari siat (9) dan induksi matematika, bahwa n n lim (n =,, ). Juga, dalam siat (8) dan (9), limit dari suatu polinom P() = a + a + a + + a n n Dengan mendekati adalah nilai dari polinom dititik, akni : () lim P P Selain itu siat dari limit adalah () Jika lim w, maka lim w. Siat ini mudah dibuktikan dengan menggunakan deinisi dari limit dan kenataan bahwa (lihat bagian 4) w w. 3. LIMIT DITITIK TAK HINGGA Terkadang cukup baik untuk memasukkan titik di ketakhinggaan dalam bidang kompleks, ang dinotasikan dengan, dan menggunakan limit ang memuatna. Bidang kompleks bersama-sama dengan titik takhingga ini disebut bidang kompleks perluasan. Untuk memvisualisasi titik diketakhinggaan, salah satu ang dapat dipikirkan dari bidang 5

17 kompleks misalna perputaran suatu titik mengelilingi suatu permukaan bola menurut garis katulistiwa dengan pusat titik = (gambar ). Setiap titik di bidang mempunai hubungan dengan tepat satu titik P pada permukaan bola. Titik P ditentukan oleh garis ang melalui titik dan kutub utara N dari bola dengan permukaanna. Dengan cara demikian, setiap titik P pada permukaan bola, ang lainna pada kutub utara N, terdapat hubungan dengan tepat satu titik di bidang. Dengan memisalkan titik N dari bola ang berhubungan dengan titik tak hingga, diperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bola dan titik-titik pada bidang kompleks perluasan. Bola tersebut dikenal sebagai bola Riemann, dan hubunganna disebut proeksi stereograik. N P Gambar Perhatikan bagian luar dari lingkaran satuan ang berpusat pada titik asal bidang kompleks ang berhubungan dengan belahan bumi bagian atas di mana katulistiwa dan titik N dihilangkan. Selanjutna, untuk setiap bilangan positi kecil, titik-titik tersebut di bidang kompleks di luar lingkaran = / berhubungan dengan titik-titik pada bola dekat ke N. Kita sebut himpunan ini > / suatu lingkungan, atau lingkungan dari. Perlu disepakati bahwa, berkenaan dengan titik, kita artikan suatu titik di bidang hingga. Selanjutna, jika titik diketakhinggaan dipertimbangkan, maka akan dijelaskan secara khusus. Artina sekarang kita siap memberikan pernataan 5

18 lim ( ) w jika salah satu atau w, atau mungkin keduana diganti dengan titik takhingga. Dalam deinisi limit pada bagian, kita mengganti lingkungan dari dan w dengan lingkungan dari. Pernataan lim terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga () asalkan -, mempunai arti bahwa untuk setiap bilangan positi,. Jadi, titik w = () terletak dalam lingkungan- w dari asalkan terletak dalam lingkungan penghilangan dari, -. Pernataan pada persamaan () dapat ditulis dari sini terlihat bahwa () lim Contoh. Selanjutna, i 3 lim karena lim asalkan - w jika dan hana jika lim i 3, lim. mempunai arti bahwa, untuk setiap positi, terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga (3) w asalkan. Dengan mengganti pada persamaan (3) dengan /, maka diperoleh 5

19 Ini berarti bahwa, w (4) lim w asalkan -. jika dan hana jika lim w Contoh. Berdasarkan pernataan pada persamaan (4), i lim karena lim Terakhir, pernataan lim / / i i lim. mempunai arti bahwa untuk setiap bilangan positi, terdapat bilangan positi sedemikian sehingga (5) asalkan. Jika diganti dengan /, pernataan ini dapat ditulis dalam bentuk jadi, (6) Contoh 3. 3 lim, karena asalkan - ; lim lim jika dan hana jika lim 3 lim KEKONTINUAN Suatu ungsi adalah kontinu di titik jika memenuhi ketiga sarat berikut : () lim () ada 53

20 () ( ) ada (3) lim () = ( ) Pernataan pada persamaan (3) jelas memuat pernataan pada persamaan () dan (), karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernataan pada persamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan positi, terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga (4) asalkan. Suatu ungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu dalam daerah R jika ungsi tersebut kontinu disetiap titik dalam R. Jika dua ungsi, g adalah kontinu di suatu titik, maka + g dan.g juga kontinu di suatu titik; demikian juga /g kontinu di suatu titik asalkan g tidak nol. Hal ini merupakan akibat dari teorema bagian. Berdasarkan deinisi pada persamaan (4) diperoleh bahwa komposisi dari ungsiungsi kontinu adalah kontinu. Untuk menunjukkan ini, kita misalkan w = () adalah suatu ungsi ang terdeinisi pada setiap dalam lingkungan dari titik ; dan misalkan pula g(w) suatu ungsi ang mempunai daerah deinisi memuat baangan (lihat bagian ) dari lingkungan. Sekarang, anggaplah kontinu di dan g kontinu di titik w = ( ). Dari kekontinuan g di titik w, kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positi, terdapat bilangan positi sedemikian sehingga g asalkan g. tetapi, berhubungan dengan, terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga ketaksamaan kedua dipenuhi asalkan. Ini berarti, bahwa kekontinuan dari g[()] di telah dibuktikan. Berdasarkan deinisi pada persamaan (4) dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa jika suatu ungsi () adalah kontinu dan tidak nol disuatu, maka () untuk setiap 54

21 dalam suatu lingkungan dari. Untuk itu, jika ( ) dan bilangan positi, maka berdasarkan ketaksamaan (4) terdapat suatu bilangan positi sedemikian sehingga asalkan -. Jika terdapat suatu titik dalam lingkungan - sehingga () =, maka kontradiksi dengan. Dari teorema, bagian, diperoleh bahwa suatu ungsi dari variabel kompleks adalah kontinu di titik = (, ) jika dan hana jika ungsi komponen u dan v kontinu di titik = (, ). Contoh. Fungsi cos cosh i sin sinh adalah kontinu dimana-mana dalam bidang kompleks, karena komponen real dan imajiner dari adalah kontinu disetiap titik (,). Kekontinuan dari ungsi-ungsi komponen adalah akibat dari kekontinuan dari polinom dalam dan melalui kekontinuan dari ungsi trigonometri dan hiperbolik. Berbagai siat ungsi kontinu dari variabel kompleks dapat diturunkan melalui hubungan dari ungsi kontinu bernilai real dengan dua peubah real. Sebagai contoh, ungsi () = u(,) + iv(,) ang kontinu dalam daerah R adalah tertutup dan terbatas. Fungsi, v, u adalah kontinu di R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana dalam R. Jadi, adalah terbatas pada R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana dalam R. Atau secara tepatna dikatakan terbatas dalam R, jika terdapat bilangan real non negati M sehingga (5) M untuk setiap dalam R Hasil lain ang dapat diturunkan dari hubungan ungsi bernilai real dari dua variabel real, bahwa ungsi ang kontinu dalam suatu daerah R ang tertutup dan terbatas 55

22 adalah kontinu seragam. Yaitu, suatu nilai dari, tidak tergantung dari, jadi dapat dipilih sehingga sarat pada persamaan (4.4) adalah dipenuhi untuk setiap titik dalam R. LATIHAN. Misalkan a, b, c dan menatakan suatu konstanta kompleks. Gunakan deinisi limit pada persamaan () bagian untuk membuktikan bahwa (a). lim c c ; b. lim a b a b a ; c. lim c c d. lim Re Re ; e. lim ;. lim i i i; g. lim. i. Misalkan n suatu bilangan bulat positi dan misalkan pula P() dan Q() adalah polinom, dengan Q( ). Gunakan teorema bagian, untuk menentukan limit berikut ini i a. lim, ; b. lim ; c. n i 3 P lim Q 3. Gunakan siat (9) bagian dari limit dan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa n n lim dimana n suatu bilangan bulat positi. 4. Tunjukkan bahwa lim tidak ada. Kerjakan soal ini dengan memisalkan titik tak nol = (,) dan = (,) mendekati nol. 5. Buktikan pernataan pada persamaan (8) bagian teorema, gunakan (a). Teorema bagian, dan siat limit ungsi bernilai real dari dua variabel real; (b). Deinisi () bagian dari limit. 56

23 6. Misalkan dan tunjukkan bahwa lim w jika dan hana jika lim w 7. Tunjukkan bahwa lim g jika lim dan jika terdapat suatu bilangan positi M sedemikian sehingga g M untuk setiap dalam suatu lingkungan dari. 8. Buktikan siat () bagian dari limit. 9. Dengan menggunakan siat (), (4) dan (6) bagian 3 dari limit, tunjukkan bahwa a. lim 4 4; b. lim ; c. lim 3. Gunakan siat (), (4) dan (6) bagian 3 dari limit untuk menunjukkan bahwa jika T a b c d ad - bc, maka (a). limt jika c =. b. lim T a dan lim T c. jika c. d c. Gunakan deinisi () dan (3) bagian 3 dari limit di ketakhinggaan untuk menunjukkan bahwa lim dan lim. Pandang suatu ungsi ang dideinisikan pada bidang perluasaan dengan persamaan perluasan. jika jika. Tunjukkan bahwa kontinu dimana-mana dalam bidang jika 3. Tunjukkan bahwa limit di titik tak hingga adalah tunggal. 4. Tunjukkan bahwa himpunan S adalah tak terbatas (bagian 8) jika dan hana jika setiap lingkungan dari titik tak hingga memuat paling sedikit sati titik di S. 57

24 5. TURUNAN Misalkan suatu ungsi dengan daerah deinisina memuat lingkungan dari suatu titik. Turunan dari di, ditulis, adalah dideinisikan dengan () lim asalkan limitna ada. Fungsi dikatakan terdierensiabel di jika turunanna di ada. Dengan mengubah pada persamaan () dalam bentuk variabel kompleks ang baru =, maka kita dapat menuliskan deinisi di atas menjadi () lim Sebagai catatan, karena terdeinisi pada suatu lingkungan dari, bilangan, adalah selalu terdeinisi untuk ang cukup kecil (lihat gambar ). Jika pada persamaan () dari deinisi turunan, kita akan mengganti dengan dan kita misalkan bilangan w Gambar menatakan perubahan nilai dari ang berkaitan dengan perubahan dihitung. Maka, jika kita menulis dw d untuk, persamaan () menjadi pada titik dimana 58

25 (3) dw d w lim. Contoh. Misalkan bahwa () =. Disetiap titik, karena w lim lim adalah suatu polinom dalam Contoh. Pandang suatu ungsi Jika limit dari dalam bidang w w. Jadi, lim dw. d. Jadi atau ada, maka kita memisalkan titik dalam berbagai arah. Khususna, jika,., mendekati titik asal mendekati titik asal sepanjang horiontal melalui titik, pada sumbu real (gambar ), maka kita dapatkan. Jadi jika limit dari w ada, kita peroleh sepanjang vertikal melalui titik-titik,. Selanjutna, jika mendekati titik asal pada sumbu imajiner, juga diperoleh, dan limitna harus sama dengan asalkan limitna ada. Karena limit suatu ungsi adalah tunggal, maka diperoleh bahwa dw =, atau =, asalkan ada. d (, ) (,), Gambar 59

26 Jadi dw ada hana dititik =. d Contoh menunjukkan bahwa suatu ungsi dapat terdierensialkan di suatu titik tertentu tetapi tidak dalam lingkungan titik itu. Karena bagian real dan imajiner dari adalah (4) (,) = + dan v(,) =, hal ini menunjukkan bahwa komponen real dan imajiner dari ungsi bernilai kompleks adalah mempunai turunan parsial ang kontinu dari setiap pasang titik, tetapi ungsi tersebut tidak terdierensial. Fungsi adalah kontinu disetiap titik dalam bidang karena komponen (4) adalah kontinu disetiap titik. Jadi kekontinuan dari suatu ungsi di suatu titik tidak mengakibatkan ungsi tersebut mempunai turunan di titik itu. Tetapi keberadaan turunan suatu ungsi di suatu titik mengakibatkan ungsi kontinu disuatu titik tersebut. Untuk membuktikan pernataan ini, kita asumsikan bahwa lim lim lim dari sini diperoleh bahwa lim Ini menunjukkan bahwa kontinu di (lihat bagian 4). 6. RUMUS DIFFERENSIAL ada dan kita tulis. Deinisi turunan dalam bagian 5 adalah serupa dengan turunan dari ungsi bernilai real dari suatu variabel real. Kenataan ini, dijadikan dasar untuk memberikan rumus dierensial ang diturunkan dari deinisi, bersama-sama dengan teorema-teorema pada limit, dengan cara ang sama digunakan dalam kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari 6

27 ungsi di suatu titik adalah dinotasikan dengan salah satu pada mana notasi ini digunakan. d d, tergantung Misalkan c suatu konstanta kompleks, dan suatu ungsi ang mempunai turunan di suatu titik. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa d d d d. d d () c,, c c Juga, jika n bilangan bulat positi, () d d n n n. Rumus ini juga benar untuk n suatu bilangan bulat negati, asalkan. Jika turunan dari dua ungsi dan F ada di suatu titik d d (3) F F d d (4) F F F dan, jika F(), (5) d d F F ; F F Penurunan rumus (4) diperoleh dengan cara merubah ()F() menjadi F F F F F Jika kedua sisi dibagi dengan menunjukkan turunan F. dan kita misalkan menuju nol, maka rumus di atas Terdapat juga aturan rantai untuk dierensial ungsi komposisi. Misalkan bahwa mempunai turunan di dan g mempunai turunan di ( ). Maka ungsi F[] = g[()] mempunai turunan di, dan (6) F g. Jika kita tulis w = () dan W = F(), juga W = F(), dari aturan rantai 6

28 dw dw dw. d dw d Contoh. Untuk mencari turunan dari ( + i) 5, kita tulis w = + i dan W = w 5. Maka d d 5 4 i 5w 4 i 4. Kita mulai membuktikan rumus (6), pilih titik sehingga ada. Tulis w = ( ) dan juga asumsikan bahwa w g ada. Maka terdapat suatu lingkungan w w dari w sehingga, untuk setiap titik w dalam lingkungan, kita mendeinisikan suatu ungsi ang mempunai nilai (7) w w = dan w gw g g w w Sebagai catatan bahwa, dari deinisi turunan (8) lim w ww Jadi adalah kontinu di w. Selanjutna dari persamaan (7) diperoleh (9) w gw gw w. w jika w w w w w - w g adalah benar jika w = w ; karena. ada maka kontinu di. Kita dapat memilih bilangan positi sedemikian sehingga titik () terletak dalam lingkungan w w dari w jika terletak dalam lingkungan dari. Jadi dengan menggati variabel w dalam (9) dengan () jika suatu titik dalam lingkungan. Dengan substitusi w = ( ), persamaan (9) diperoleh g () dimana. g g -, 6

29 LATIHAN. Gunakan hasil dalam bagian 6 untuk mencari jika : (a). () = 3 + 4; b. 4 3 ; c. ; d.. Gunakan hasil dalam bagian 6, untuk menunjukkan bahwa (a). suatu polinom P n a a a... a n (a n ) ang berderajat n (n) adalah n terdierensialkan dimana-mana, dengan turunanna (b). koeisien dari polinom P() dalam bagian (a) dapat ditulis a n P P,..., an.! n! P a a... a na n P P, a,! 3. Gunakan deinisi (3) bagian 5 dari turunan untuk memberikan bukti langsung bahwa jika. 4. Misalkan bahwa ( ) = g( ) = dan dan g ada, dimana g. Gunakan deinisi () bagian 5 dari turunan untuk menunjukkan bahwa lim g g. 5. Buktikan rumus (3) bagian 6 untuk turunan dari jumlah dua ungsi. 6. Buktikan persamaan () bagian 6 untuk turunan n jika n suatu bilangan bulat positi dengan menggunakan : (a). Induksi matematika dan rumus (6.4), untuk turunan dari perkalian dua buah ungsi. (b). deinisi (3) bagian 5 dari turunan dan rumus Binomial (soal 4 bagian 6). 7. Buktikan bahwa persamaan () bagian 6 untuk turunan n adalah benar jika n adalah suatu bilangan bulat negati (n = -, -, ), jika. 8. Gunakan metode dalam contoh bagian 5, untuk menunjukkan bahwa disetiap titik jika :. a ; (b). () = Re ; (c). () = Im. tidak ada 63

30 9. Misalkan menatakan suatu ungsi dengan nilai jika. Tunjukkan jika w bahwa jika =, maka untuk setiap titik tak nol pada sumbu real dan imajiner w. Tunjukkan bahwa dalam bidang atau, disetiap titik tak nol, pada garis dalam bidang. Kesimpulan dari hasil penelidikan adalah tidak ada. 7. PERSAMAAN CAUCHY-RIEMANN Dalam bagian ini, kita memperoleh pasangan dari persamaan turunan parsial orde pertama ungsi komponen u dan v dari ungsi () u, iv, harus memenuhi di suatu titik = (, ) jika turunan dari ada di titik = (, ). Kita juga tunjukkan bagaimana menulis Misalkan bahwa turunan () lim ada. Tulis = + i dan (3) Re (4) Im dimana (5) lim Re,, lim Im,, dalam suku-suku dari turunan parsialna. i, maka dari teorema bagian, kita mempunai u, u, iv, v, i i 64

31 Persamaan ini sangat penting untuk memikirkan bahwa persamaan (3) dan (4) benar untuk, menuju (,) dalam sembarang arah ang kita pilih. Khususna, misalkan, menuju (,) sepanjang horiontal melalui titik-titik,, dengan indikasi pada gambar (bagian 5). Ini berarti bahwa persamaan (5), dan kita peroleh bahwa Jadi, Re Im lim lim u v, u,, v,, (6) u, iv dimana, dan v u, dari ungsi u dan v di,., dalam menatakan turunan parsial orde pertama dari variabel Kita dapat memisalkan, meunju nol sepanjang garis vertikal,. Dalam hal ini, dalam persamaan (5); dan diperoleh (7) v, iu, Ini menunjukkan bahwa dinatakan dalam bentuk turunan parsial orde pertama dari u dan v terhadap variabel. Sebagai catatan bahwa persamaan (7) dapat juga ditulis i u, iv, Persamaan (6) dan (7) tidak hana memberikan dalam bentuk turunan parsial dari ungsi komponen u dan v, tetapi juga merupakan sarat perlu untuk keberadaan. Pada persamaan bagian real dan imajiner pada bagian kanan persamaan di atas, kita peroleh bahwa keberadaan dari memerlukan bahwa (8) u, v, dan u, v, Persamaan (8) ini disebut Persamaan Cauch-Riemann (C-R) Sebagai ringkasan dari hasil di atas, kita natakan dalam teorema berikut ini 65

32 Teorema. Misalkan bahwa dan u, iv, ada di titik = +. Maka turunan parsial orde pertama dari u dan v harus ada di titik (, ), dan memenuhi persamaan Cauch-Riemann (9) u v dan u v Juga dapat ditulis () u iv dimana turunan parsialna dihitung pada (, ). Contoh. Dalam contoh bagian 5, terlihat bahwa ungsi i adalah terdierensiabel dimana-mana dan. Akan diselidiki bahwa persamaan C- R dipenuhi dimana-mana. Kita catat bahwa u, dan v, u v, u v. Selanjutna, dari persamaan (), i i.. Jadi Karena persamaan C-R adalah merupakan sarat perlu untuk keberadaan dari turunan suatu ungsi di titik, maka persamaan C-R selalu dapat digunakan untuk mengetahui dititik mana tidak mempunai turunan. Contoh. Jika, kita mempunai u, dan v,. Misalkan persamaan C-R benar di suatu titik (, ), dari sini bahwa = dan =, atau = =. Akibatna, tidak ada disetiap titik tak nol, dan ini telah kita ketahui pada contoh dalam bagian 5. Perlu dicatat bahwa teorema di atas tidak menjamin keberadaan dari. Pada teorema dalam bagian berikut ini akan dibahas sarat cukup dari suatu ungsi ang terdierensiabel. 66

33 8. SYARAT CUKUP UNTUK KETERDIFFERENSIALAN Sarat dari persamaan C-R dititik = (, ) adalah tidak cukup untuk menjamin keberadaan turunan dari suatu ungsi () di titik = (, ). (lihat latihan 6, bagian 9). Tetapi, dengan sarat kekontinuan, sangat bermanaat dan dinatakan dalam teorema berikut. Teorema. Misalkan u, iv, terdeinisi pada suatu lingkungan dari suatu titik = + i. Misalkan pula bahwa turunan parsial orde pertama dari ungsi u dan v terhadap dan ada dimana-mana dalam lingkungan tersebut dan kontinu di titik ( persamaan C-R u v dan u di (, o ), maka v ada. Kita mulai membuktikan, dengan menulis w. Jadi w u iv, dimana () u u v v, u,,, v,,, o ). Jika turunan parsialna memenuhi i, dimana, dan Sekarang, dari kekontinuan turunan parsial orde pertama u dan v di titik (, ), (.) u u v v, u,, v,, dimana dan menuju melalui, mendekati (,) dalam bidang. Jadi, (3) w u i v, u,, v,. 67

34 Keberadaan dari persamaan () untuk ungsi dua variabel real dengan kekontinuan turunan parsial orde pertama dapat diperoleh pada kalkulus lanjut dan hubunganna dengan dierensial. Dari asumsi bahwa persamaan C-R dipenuhi di (, ), kita dapat mengganti u dengan dan v dengan, v, dan semuana dibagi dengan w,, untuk memperoleh (4) u, iv i Tetapi,, dan juga. u, dalam persamaan (3) Juga + i menuju asalkan, mendekati (,). Jadi bentuk terakhir bagian kanan dari persamaan (4) menuju melalui variabel limit dari bagian kiri persamaan (4) ada dan. (5) u, iv Contoh. Misalkan bahwa, e cos i sin, i dimana adalah menatakan radian jika cos dan sin dihitung. Maka Dimana u v u, e cos dan v, e sin dan. u v menuju. Ini berarti bahwa dimana dan setiap turunanna adalah kontinu, maka sarat dalam teorema adalah dipenuhi disemua titik dalam bidang kompleks. Jadi dimana-mana, dan u iv e cos i sin Sebagai catatan bahwa = (). Contoh. Dari teorema di atas juga ungsi ada, ang mempunai komponen u, dan v, mempunai turunan di =. Kenataanna bahwa, 68

35 i (bandingkan dengan contoh, bagian 5). Kita ketahui dalam contoh, bagian 7, ungsi ini tidak mempunai turunan disetiap titik tak nol karena persamaan C-R tidak dipenuhi. 9. KOORDINAT POLAR Jika, teorema dalam bagian 8 adalah diberikan dalam koordinat polar dengan arti bahwa transormasi koordinat (bagian 5) () = r cos, = r sin bergantung pada bagaimana kita menulis = + i atau = re i ( ) jika w = (), bagian real dan bagian imajiner dari w = u + iv adalah dinatakan dalam bentuk salah satu variabel dan atau r dan. Misalkan bahwa turunan parsial orde pertama dari u dan v terhadap dan ada dimana-mana dalam suatu lingkungan titik tak nol ang diberikan dan kontinu dititik tersebut. Turunan parsial orde pertama terhadap r dan juga mempunai siat ang sama, dan dengan aturan rantai untuk dierensial ungsi bernilai real dari dua variabel real dapat digunakan untuk mendapatkan suku-sukuna terhadap variabel dan. Karena u u u u u u,, r r r dan dapat ditulis () u u cos u sin, u u r sin u r cos, dengan cara serupa r (3) v v cos v sin, v v r sin v r cos. r Jika turunan parsial terhadap dan juga memenuhi persamaan C-R (4) u v dan u v di, persamaan (3) memberikan (5) v u cos u sin, v u r sin u r cos r 69

36 dititik. Hal ini jelas bahwa dari persamaan () dan (5) (6) ur v, u vr r r dititik. Jika, pada hal lain, persamaan (6) diketahui benar dititik, untuk selanjutna tunjukan (soal no. 7) bahwa persamaan (4) juga benar. Persamaan (6) adalah merupakan suatu alternati dari bentuk persamaan C-R pada (4). polar. Kita dapat mengulangi teorema dalam bagian 8 dengan menggunakan koordinat Teorema. Misalkan ungsi ur, ivr, terdeinisi pada suatu lingkungan dari titik tak nol = r ep(i ). Misalkan pula bahwa turunan parsial orde pertama dari ungsi u dan v terhadap r dan ada dimana-mana dalam lingkungan tersebut dan kontinu dititik (r, ). Jika turunan parsial pertama memenuhi persamaan C-R dalam bentuk koordinat polar di (r, ), maka turunan Turunan dapat ditulis (soal no. 8) i (7) e u iv r r, dimana sisi bagian kanan dihitung pada (r, ). Contoh. Pandang ungsi dimana u re i cos sin,. r r r dan vr, Sarat dalam teorema di atas adalah dipenuhi disetiap titik tak nol = re i dalam bidang. Juga turunan dari ada disana, dan dari persamaan (7), ada. 7

37 Latihan e i cos sin i r r i re. Gunakan teorema dalam bagian 8 untuk menunjukkan bahwa titik jika. tidak ada disetiap i (a). ; b. ; c. i ; e d e. Gunakan teorema dalam bagian 8 untuk menunjukkan bahwa ada dimana-mana, dan carilah jika:.. dan turunan i a. i ; b e e. ; (c). () = 3 ; (d). () = cos cosh isin sinh. 3. Dari hasil ang termuat dalam bagian 7 dan 8, tentukan dimana ada carilah nilaina jika (a). ; (b). () = + i ; (c). () = Im. 4. Gunakan teorema dalam bagian 9 untuk menunjukkan setiap ungsi berikut adalah terdierensial dalam daerah deinisina, dan gunakan persamaan (9.7) untuk mencari : i (a). ; b. e r,- 4 r ; i c e cosln r ie sinln r r,.. 5. Tunjukkan bahwa 3 i 3 mempunai turunan u iv 3 hana jika = i. 6. Misalkan u dan v menatakan komponen bagian real dan imajiner dari ungsi ang dideinisikan dengan persamaan persamaan C-R u, jika, jika. Selidiki bahwa v dan u v adalah dipenuhi pada titik asal = (,). 7

38 7. Selesaikan persamaan () bagian 9 untuk u dan u dan untuk menunjukkan bahwa u u r cos u sin, r u u r sin u cos. Maka gunakan persamaan ini dan r cara serupa untuk v dan v untuk menunjukkan bahwa, dalam persamaan (4) bagian 9 adalah dipenuhi di suatu titik jika persamaan (6) bagian 9 adalah dipenuhi. Selengkapna selidiki bahwa (6) bagian 9 adalah persamaan C-R dalam bentuk polar. 8. Misalkan bahwa suatu ungsi () = u + iv adalah terdierensiabel disuatu titik tak nol = r ep(i ). Gunakan u dan v dalam soal no. 7, bersama-sama dengan koordinat polar (6) bagian 9 dari persamaan C-R, untuk menunjukkan bahwa i ditulis e u iv r r, dimana u r dan v r dihitung pada (r, ). dapat 9. (a). Dengan menggunakan bentuk polar (6) bagian 9, dari persamaan C-R, turunkan i bentuk u iv dari (b). Gunakan bentuk dalam soal no. 8. ang didapatkan dalam bagian (a) untuk mrnunjukkan bahwa turunan dari ungsi. dalam contoh bagian 9 adalah. (a). Ingat kembali (bagian 3) bahwa jika = + i, maka dan. i Dengan menggunakan rumus aturan rantai dalam kalkulus untuk ungsi F(,) dari dua variabel, untuk menhitung (b). Deinisikan operator F F F F F i. i, dengan menggunakan bagian (a), untuk menunjukkan bahwa turunan parsial orde pertama bagian real dan imajiner dari suatu ungsi () = u(,) + iv(,) memenuhi persamaan C-R, maka 7

39 u v iv u persamaan C-R.. Jadi penurunan bentuk kompleks dari. FUNGSI ANALITIK Pada bagian ini akan dipelajari pendahuluan dari suatu ungsi analitik. Suatu ungsi dari variabel kompleks adalah analitik dalam suatu himpunan buka jika ungsi mempunai turunan disetiap titik dalam himpunan tersebut. Jika suatu ungsi adalah analitik dalam suatu himpunan S ang tidak buka, maka adalah analitik dalam suatu himpunan buka ang memuat S. Khususna, adalah analitik di suatu titik jika itu analitik dalam lingkungan. Sebagai catatan, bahwa ungsi bidang hingga. Tetapi ungsi adalah analitik disetiap titik tak nol dalam adalah tidak analitik disetiap titik karena turunanna hana ada di = dan tidak pada seluruh lingkungana. (lihat contoh. bagian 5). Suatu ungsi dikatakan entire jika ungsi tersebut adalah analitik disetiap titik dalam suluruh bidang hingga. Sebagai contoh turunan dari ungsi polinom ada dimana-mana, maka setiap ungsi polinom adalah suatu ungsi entire. Jika suatu ungsi tidak analitik disuatu titik tetapi analitik pada beberapa titik pada setiap lingkungan dari, maka maka disebut titik singular atau singularitas dari. Titik = adalah jelas merupakan suatu titik singular dari ungsi tidak mempunai titik singular sebab tidak analitik dimana-mana.. Fungsi Sarat perlu, tetapi bukan sarat cukup, suatu ungsi analitik dalam suatu domain D adalah kontinu pada seluruh D. Persamaan C-R adalah juga sarat perlu, tetapi bukan sarat cukup. Sarat cukup untuk analitik dalam domain D adalah dijelaskan pada teorema dalam bagian 8 dan 9. 73

40 Selanjutna, kita akan selalu menggunakan sarat cukup dari rumus dierensial ang termuat dalam bagian 6. Turunan jumlah dan perkalian dua ungsi ada asalkan turunan dari masing-masing ungsi tersebut ada. Jadi, jika dua ungsi analitik dalam domain D, maka jumlah dan perkalianna adalah analitik dalam domain D. Dengan hal serupa, hasil bagina adalah analitik dalam domain D asalkan penebutna tidak bernilai nol disetiap titik dalam D. Khususna, hasil bagi dalam setiap domain Q. P Q dari dua polinom adalah analitik Dari aturan rantai untuk turunan dari suatu ungsi komposisi, kita peroleh bahwa komposisi dari dua ungsi analitik adalah analitik. Sebagai bukti, misalkan bahwa suatu ungsi () adalah analitik dalam domain D dan baanganna (bagian ) dari D oleh transormasi w = () adalah termuat dalam daerah deinisi ungsi g(w). Maka komposisi g[()] adalah analitik dalam D, dan turunanna d d g g Teorema. Jika dimana-mana dalam suatu domain D, maka pada seluruh D. harus konstan di D, Untuk membuktikan ini, kita tulis () = u(,) + iv(,). Karena maka u + iv = ; dan, dari persamaan C-R, v - iu =. Akibatna, u = u = v = v = disetiap titik dalam D.. PRINSIP REFLEKSI Dalam dua bagian terakhir dari bab ini, kita akan mengembangkan siat ang penting dari ungsi analitik, sebagai tambahan ang sangat berguna dalam aplikasi. Teorema dalam bagian ini ditampilkan berdasarkan kenataan dari beberapa ungsi analitik ang mempunai siat bahwa untuk semua dalam daerah tertentu dan ang lainna tidak. Sebagai contoh + dan memenuhi siat tersebut jika D adalah 74

41 seluruh bidang hingga; tetapi tidak benar untuk + i dan i. Teorema ini diketahui melalui prinsip releksi, ang ditentukan dengan jalan memprediksi ungsi () dalam sumbu real ang berhubungan dengan pencerminan dari. Theorema. Misalkan bahwa ungsi adalah analitik dalam suatu domain D ang memuat segmen sumbu dan simetri terhadap sumbu. Maka () untuk setiap titik dalam domain jika dan hana jika () adalah real disetiap titik pada segmen. Kita mulai membuktikan dengan asumsi bahwa () adalah real disetiap titik pada segmen. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa () F adalah analitik di D, dengan menggunakan asumsi ang termuat dalam persamaan (.). Untuk menelidiki keanalitikan dari F(), kita tulis () = u(,) + iv(,), F() = U(,) + iv(,) dan dari persamaan () diperoleh (3) u iv,,, sehingga komponen dari F() dan () dihubungkan oleh persamaan (4) U(,) = u(,t) dan V(,) = -v(,t), dimana t = -. Karena ( + it) adalah suatu ungsi analitik dari + it, turunan parsial orde pertama dari ungsi u(,t) dan v(,t) adalah kontinu diseluruh D dan memenuhi persamaan C-R (5) u = v t, u t = -v. Selanjutna, dari persamaan (4), U dt u, V vt vt ; d dan dari sini dan persamaan (5) bagian ang pertama bahwa U = V. Dengan cara serupa, U dt ut ut, V v ; d 75

42 dan dari persamaan (5) ang kedua diperoleh bahwa U = -V. Sebab melalui turunan parsial orde pertama dari U(,) dan V(,) memenuhi persamaan C-R dan turunanna adalah kontinu, kita peroleh bahwa ungsi F() adalah analitik dalam D. Selanjutna, karena () adalah real pada segmen dari sumbu real ang terletak dalam D, v(,) = pada segmen, dan dari persamaan (4), ini berarti bahwa F() = U(,) + iv(,) = u(,) - iv(,) = u(,) Jadi, (6) F() = () Disetiap titik = pada segmen. Kita sekarang merujuk pada hasil ang termuat dalam Bab 6 (bagian. 58). Sebutlah, suatu ungsi bahwa analitik dalam domain D adalah tunggal ang ditentukan dengan nilai sepanjang setiap segmen garis ang terletak dalam D. Jadi persamaan (6) adalah benar untuk seluruh D. Sebab dari deinisi (.) dari ungsi F(), maka, (7) ; adalah sama melalui persamaan (). Untuk membuktikan sebalikna dari teorema di atas, kita asumsikan bahwa persamaan () adalah benar, dan dari (3), (7) persamaan () dapat ditulis u(, -) - iv(, -) = u(, ) + iv(, ) Khususna, jika (,) adalah titik pada segmen dari sumbu real ang terletak dalam D, u(, ) - iv(,) = u(,) + iv(, ) ; dan, dengan menamakan bagian imajinerna, kita peroleh bahwa v(, ) =. Jadi () adalah real pada segmen dari sumbu real ang terletak dalam D. Contoh. Dari pernatan pada awal teorema di atas, kita catat bahwa dan untuk setiap dalam bidang hingga. Dari teorema di atas, diketahui bahwa ini benar, dimana + dan adalah real jika adalah real. Kita juga mencatat bahwa + i dan i tidak memenuhi siat releksi pada seluruh bidang, dan kita ketahui bahwa + i dan i adalah bukan real jika adalah real. 76

43 . FUNGSI HARMONIK Suatu ungsi bernilai real H dari dua variabel real dan dikatakan harmonik dalam suatu domain ang diberikan dari bidang jika turunan parsialna orde pertama dan kedua adalah kontinu dan memenuhi persamaan dierensial parsial () H, H, persamaan () disebut persamaan Laplace Fungsi harmonik adalah sangat penting dalam aplikasi matematika. Sebagai contoh, ungsi temperatur T(, ) dalam plat ang terletak dalam bidang adalah selalu harmonik. Suatu ungsi V(,) adalah harmonik jika menatakan suatu potensial listrik ang berubahubah dengan dan dalam daerah ruang tiga dimensi adalah bebas. sin Contoh. Mudah untuk ditunjukkan bahwa ungsi T, e adalah harmonik pada setiap domain dari bidang dan khususna, daerah < <, >. T, T,,, T, T T, sin, lim T, T = T + T = T = T = sin Gambar 3 Teorema. Jika suatu ungsi () = u(,) + iv(,) adalah analitik dalam domain D, maka ungsi komponen u dan v adalah harmonik dalam domain D. 77

44 Untuk membuktikan teorema ini kita membutuhkan suatu hasil bahwa, jika ungsi dari suatu variabel kompleks adalah analitik di suatu titik, maka komponen bagian real dan imajiner mempunai turunan parsial ang kontinu pada sumua pasangan titik. Asumsikan bahwa analitik dalam D, kita mulai menghitung turunan parsial orde pertama dari komponen ungsi harus memenuhi persamaan Cauch-Riemann sepanjang D; () u = v, u =- v Dierensialkan kedua ruas persamaan (.) terhadap, kita mempunai (3) u = v, u =- v Dengan cara serupa, dierensialkan juga terhadap dan diperoleh (4) u = v, u =- v Sekarang, berdasarkan teorema dalam kalkulus lanjut, kekontinuan dari turunan parsial dari u dan v harus memenuhi u = u dan v = v. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh bahwa u + u = dan v + v = Jadi u dan v harmonik dalam D. Contoh. Fungsi () = e - sin ie - cos adalah entire (latihan (c)). Juga ungsi temperatur T(,) = e - sin dalam contoh harmonik dalam setiap domain dari bidang. Contoh 3. Fungsi g() = = ( + i) = + i adalah entire, juga perkalian ungsi ()g(), dengan () adalah sama pada contoh (). Fungsi Re[()g()] = e - [( - ) sin + cos ] juga harmonik sepanjang bidang. Jika diberikan ungsi u dan v harmonik dalam domain D dan turunan parsial orde pertama memenuhi persamaan Cauch-Riemann (.) sepanjang D, v disebut harmonik conjugate dari u. Arti kata conjugate disini tidak sama dengan conjugate dalam bagian 3. Teorema. Suatu ungsi () = u(,) +iv(,) adalah analitik dalam domain D jika dan hana jika v merupakan harmonik conjugate dari u. Contoh 4. Misalkan bahwa u(,) = dan v(,) =. 78