Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
|
|
|
- Suhendra Kartawijaya
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
2 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
3 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
4 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
5 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
6 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
7 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
8 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
9 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
10 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
11 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
12 Garis singgung? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
13 Pendekatan dinamis Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
14 Gradien y = x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
15 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
16 Definisi turunan Definisi turunan Slope (kemiringan ) kurva y = f(x) di x = c adalah bilangan real f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c x c h 0 h (jika limit ini ada). Garis singgung kurva di (c, f(c)) adalah garis yang melalui titik (c, f(c)) dengan slope (gradien) m. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
17 Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x di titik (1, 1) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
18 Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x Solusi : di titik (1, 1) f(1+h) f(1) lim h 0 h = lim h 0 = lim h h 1 1 h = lim h (1+h) 1+h h 1+h = 1 = lim h 0 = lim h h 1+h 1+h h h h(1+h) Jadi persamaan garisnya adalah y = ( 1)(x 1) + 1 = 2 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
19 Problem Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 1 x Solusi : di titik (1, 1) f(1+h) f(1) lim h 0 h = lim h 0 = lim h h 1 1 h = lim h (1+h) 1+h h 1+h = 1 = lim h 0 = lim h h 1+h 1+h h h h(1+h) Jadi persamaan garisnya adalah y = ( 1)(x 1) + 1 = 2 x Problem 2: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x di (1,2). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
20 Laju Sesaat Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
21 Laju Sesaat Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah Gradien garis singgung dan laju sesaat melatarbelakangi suatu gagasan dasar : yaitu laju perubahan fungsi terhadap perubahan dalam domainnya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
22 Laju sesaat Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
23 Turunan fungsi Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f dengan f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
24 Turunan fungsi Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f dengan f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Jika limit ada maka f dikatakan terturunkan/ dapat diturunkan (differentiable) di x. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
25 Turunan Sepihak Seperti halnya limit sepihak, karena turunan adalah limit yang khusus, maka kita juga dapat membangun konsep turunan sepihak : Definisi 1 Turunan kiri dari f(x) di c adalah jika limit ini ada. D x f(c) = lim h 0 f(c + h) f(c) h 2 Turunan kanan dari f(x) di c adalah jika limit ini ada. D + x f(c) = lim h 0 + f(c + h) f(c) h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
26 Turunan Turunan f (c) ada jika dan hanya jika turunan kiri dan turunan kanan f(x) di c sama dan berhingga. f (c) ada D x f(c) = D + x f(c) (< ) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
27 Nonexistence of Derivatives 1 D x f(c) D + x f(c). Keduanya ada. 2 + = D x f(c) D + x f(c) = Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
28 Differentiability implies continuity f f(x) f(c) h=x c f(c + h) f(c) (c) = lim = lim x c x c h 0 h Differentiability implies Continuity : Jika suatu kurva y = f(x) mempunyai garis singgung di (c, f(c), maka kurva tersebut tidak akan meloncat atau berosilasi di c. Teorema Jika f (c) ada, maka f(x) kontinu di x = c. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
29 Garis singgung Turunan Fungsi f(x) = 3 x mempunyai garis singgung (vertikal) di x = 0 sekalipun f (0) tidak ada. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
30 Turunan Fungsi nilai mutlak, f(x) = x, tidak mempunyai turunan di x = 0. h 0 lim h 0 + h = h 0 lim h 0 + h = 1 h 0 lim h 0 h = h 0 lim h 0 h = 1 Fungsi floor,f(x) = x, tidak mempunyai turunan di tiap bilangan bulat n+h n lim h 0 + h = n n lim h 0 + h = 0 n+h n lim h 0 h = n 1 n lim h 0 h = Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
31 Problem Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut : 1 f(x) = x f(x) = 1 x 3 f(x) = x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
32 Notasi Leibniz Perubahan f(x) oleh karena x berubah menjadi x + x adalah Maka rasio perubahan adalah y = f(x + x) f(x) y f(x + x) f(x) = x x yang memberikan kemiringan garis secant yang melalui titik (x, f(x)) dan (x + x, f(x + x)). Kemiringan /slope/gradien garis singgung f(x) di x adalah dy dx = lim y x 0 x = lim f(x + x) f(x) = f (x) x 0 x Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
33 Problem Tentukan manakah grafik fungsi f(x) dan manakah grafik turunannya f (x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
34 Answer Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
35 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
36 Aturan Turunan Menentukan turunan fungsi langsung melalui proses limit dalam definisi f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h biasanya tidak mudah dan memerlukan waktu. Maka akan ditentukan cara untuk memudahkannya sehingga proses penentuan menjadi sangat mudah dan cepat. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
37 Aturan Turunan 1. Turunan fungsi konstan : Jika f(x) = k fungsi konstan, maka f (x) = 0 f f(x + h) f(x) k k (x) = lim = lim h 0 h h 0 h 0 = lim h 0 h = 0 2. Turunan fungsi identitas: Jika f(x) = x, fungsi identitas, maka f (x) = 1 f f(x + h) f(x) x + h x h (x) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
38 Aturan Turunan 3. Turunan fungsi pangkat: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
39 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
40 Turunan Sebagai Operator Linear Karena turunan bekerja pada fungsi, maka untuk memudahkan diperkenalkan operator D x : Contoh: D x k = 0, D x x=1, D x f(x) = f (x) D x x n = nx n 1 Aturan Pangkat D x merupakan operator linear: D x (kf(x)) = kd x f(x) D x (f(x) + g(x)) = D x f(x) + D x g(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
41 Operator Linear 1. D x kf(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
42 Operator Linear 2. D x (f(x) + g(x)) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
43 Aturan Perkalian dan Pembagian Aturan Perkalian: Jika u dan v dapat diturunkan, maka atau (u v) = u (x) v(x) + v (x) u(x) D x (u v)(x) = (D x u(x)) v(x) + u(x) D x v(x) Aturan Pembagian: Jika u dan v dapat diturunkan dan v(x) 0, maka ( ) u (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v v 2 (x) atau D x ( u v Aturan Pangkat ) (x) = (D xu(x)) v(x) u(x) D x v(x) v 2 (x) D x x n = nx n 1 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
44 Problems 1 Tentukan D x f(x) jika a. f(x) = (x 2 + 1)(x 1) b. f(x) = 3 x x 1 x 2 +1 c. f(x) = x2 +x+5 x 4 4x+8 2 Tentukan semua titik pada kurva y = x 3 x 2 dimana garis singgungnya mendatar. 3 Tentukan semua titik pada y = 100 dimana garis singgungya tegak x 5 lurus garis y = x. 4 Radius sebuah semangka tumbuh dengan laju 2cm/minggu. Tebal kulitnya selalu 1/9 radius. Tentukan laju pertumbuhan voume kulit pada minggu ke-5. Asumsikan r(0) = 0. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
45 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
46 D x sin(x) Misalkan f(x) = sin(x) f (x) = f(x+h) f(x) sin(x+h) sin(x) lim h 0 h = lim h 0 h = lim sin(x) cos(h)+cos(x) sin(h) sin(x) h 0 h [ sin(x) cos(h) sin(x) h + = lim h 0 = lim h 0 [ sin(x) ( ( = lim sin(x) lim h 0 h 0 ( = sin(x) lim h 0 cos(h) 1 h cos(h) 1 h cos(h) 1 h = sin(x) 0 + cos(x) 1 = cos(x). cos(x) sin(h) h ) ] + cos(x) sin(h) h ) sin(h) + lim cos(x) lim h 0 h 0 h ] ) sin(h) + cos(x) lim h 0 h Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
47 Turunan Fungsi Trigonometri Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan D x cos(x) = sin(x) D x tan(x) = sec 2 (x) D x cot(x) = csc 2 (x) D x sec(x) = sec(x) tan(x) D x csc(x) = csc(x) cot(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
48 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
49 Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
50 Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
51 Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f(x) g(x) = f(g(x)). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
52 Chain Rule Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 y = sin 2 (x 3 ) ( ) 5 1+x g(x) = y = cos 2 (sin(x 2 + x 2)) 1 x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f(x) g(x) = f(g(x)). Misal pada f(x) = (2x 2 + 5x + 6) 100 kita bisa tulis dalam bentuk y = f(u) = u 100 dengan u = 2x 2 + 5x + 6. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
53 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
54 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100., Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
55 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
56 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
57 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 dy dx = dy du du dx = 100u99 (4x + 5), Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
58 Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f(u) adalah dy dx = dy du du dx Contoh: Tentukan dy dx dari y = f(x) = (2x2 + 5x + 6) 100. Misal u = 2x 2 + 5x + 6, Jadi y = f(x) = f(u) = u 100 atau dy dx = dy du du dx = 100u99 (4x + 5), dy dx = 100(2x2 + 5x + 6) 99 (4x + 5) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
59 Chain Rule Aturan Rantai (Chain Rule) Jika g fungsi terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di g(x), maka fungsi komposisi F = f g dengan F (x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x dengan F (x) = f (g(x)).g (x) dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dengan u = g(x) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka dy dx = dy du du dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
60 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
61 Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
62 Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
63 Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4,..., ke-n dari f. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
64 Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan pertama dari f. Kemudian jika kita turunkan fungsi f (x) maka kita dapatkan fungsi lain f (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4,..., ke-n dari f. Contoh: Jika f(x) = 2x 3 4x 2 + 7x 8 maka f (x) = 6x 2 8x + 7 f (x) = 12x 8 f (x) = 12 f (4) (x) = 0 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
65 Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
66 Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
67 Turunan Orde Tinggi Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f(x) ada tiga yaitu: f (x) D x y dy dx yang dinamakan dengan notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz. Notasi Leibniz untuk turunan ke-2, ke-3 dan seterusnya menggunakan fakta bahwa y = (y ) = dy dx = d ( dy ) dx dx = d2 y dx 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
68 Turunan Orde Tinggi Notasi Turunan y = f(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
69 Aplikasi dalam bidang Fisika Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
70 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
71 Turunan Implisit Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh atau secara umum y = f(x). y = x atau y = sin(x) Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
72 Turunan Implisit Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh atau secara umum y = f(x). y = x atau y = sin(x) Akan tetapi ada fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit, misalnya x 2 + y 2 = 25 atau x 3 + y 3 = 6xy Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
73 Turunan Implisit Pada persamaan x 2 + y 2 = 25 kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu y = 25 x 2 atau y = 25 x 2 kemudian dicari turunan y. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
74 Turunan Implisit Pada persamaan x 2 + y 2 = 25 kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu y = 25 x 2 atau y = 25 x 2 kemudian dicari turunan y. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
75 Turunan Implisit Namun pada persamaan x 3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
76 Turunan Implisit Namun pada persamaan x 3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas. Persamaan ini dinamakan Folium of Descartes yang grafiknya sebagai berikut Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
77 Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
78 Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f(x)). Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
79 Turunan Implisit Untuk mencari dy dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit. Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f(x)). Sehingga dy dx dari x2 + y 2 = 25 adalah x 2 + y 2 = 25 2x + 2y dy dx = 0 dy dx = x y Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
80 Turunan Implisit Hasil yang sama ditunjukkan apabila kita gunakan fungsi eksplisit y = 25 x 2 dy dx = 1 2x 2 25 x 2 dy dx = x y Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
81 Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
82 Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
83 Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
84 Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 dy dx (3y2 6x) = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
85 Turunan Implisit Dengan cara yang sama dy dx dari x3 + y 3 = 6xy adalah x 3 + y 3 = 6xy 3x 2 + 3y 2 dy dx = 6y + 6x dy dx 3y 2 dy dy dx 6x dx = 6y 3x 2 dy dx (3y2 6x) = 6y 3x 2 Dadang Amir Hamzah Matematika dy I 6y 3x 2 Semester I / 61
86 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
87 Related Rates Pada bagian ini akan dibahas mengenai permasalahan sehari-hari, yang dapat diselesaikan dengan turunan. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
88 Related Rates Sebagai contoh, apabila kita meniupkan udara kedalam balon, maka volume dan jari-jari balon akan berubah ( bertambah ) dan perubahan keduanya saling berkaitan, yakni volume berubah seiring dengan perubahan jari-jari, atau sebaliknya. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
89 Related Rates Permasalahan dalam Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu kuantitas yang diakibatkan oleh laju perubahan kuantitas yang lain. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
90 Related Rates Langkah pemecahan masalahnya adalah, pertama kita nyatakan hubungan suatu kuantitas dengan kuantitas yang lain, kemudian gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
91 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
92 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
93 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
94 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
95 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Jawab : Volume bola adalah V = 4 3 πr3 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
96 Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm 3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : Laju perubahan volume : dv dt = 100 cm3 /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt? Jawab : Volume bola adalah V = 4 3 πr3 jadi, dv dt = 4 3 π 3r2 dr dt Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
97 Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
98 Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
99 Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt dr dt = 1 25π Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
100 Related Rates Substitusi dv dt = 100 dan r = 25, didapat 100 = 4 3 π 3 (25)2 dr dt dr dt = 1 25π Jadi laju perubahan jari-jari bola adalah 1 25π cm/s. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
101 Related Rates Contoh 2: Sebuah tangga sepanjang 10 Ft bersandar pada suatu tembok vertikal. Apabila bagian bawah tangga bergeser menjauhi tembok dengan laju 1 Ft/s, tentukan seberapa cepat bagian atas tangga bergeser ke bawah ketika bagian bawah tangga berada 6 Ft dari dinding. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
102 Related Rates Contoh 3: Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (lihat gambar) mempunyai jari-jari 2 m dan tinggi 4 m. JIka air dipompa masuk kedalam tangki dengan laju 2 m 3 /menit, tentukan laju perubahan tinggi air ketika ketinggian air dalam tangki 3 m. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
103 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
104 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
105 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
106 Outline 1 Garis Singgung 2 Definisi Turunan 3 Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear 4 Turunan Fungsi Trigonometri 5 Aturan Rantai ( Chain Rule ) 6 Turunan Orede Tinggi 7 Turunan Implisit 8 Laju yang berkaitan (Related Rates) 9 Referensi Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
107 Referensi [1] E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore [2] J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York [3] Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB [4] R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Matematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Matematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
DERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri
Turunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15
Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15 Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Hendra Gunawan. 25 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.
APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6
MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Persamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 015-016 XI IPS Semester Tahun Pelajaran 015 016 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP
A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.
Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami
Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
BAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Jurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Fungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :
KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
Geometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
Kalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1A4 KALKULUS 1 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini
Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
KALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI
MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI Nama : Syifa Robbani NIM : 125100301111002 Dosen Kelas : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc : L Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
SRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Hendra Gunawan. 8 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 8 November 013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4 1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva. Jumlah Riemann dan Integral Tentu 3. Teorema
Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan
Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)
160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan