: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil

Transkripsi

1 BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh [( t + ) + it ] +. b ( x ( dx + i y( dx. Sebagai b Masalah kita adalah bagaimana menghitung a a b a d, dimana fungsi f : D dengan D. Misalkan f () fungsi kompleks pada sub himpunan dari himpunan bilangan kompleks dan lintasan yang dinyatakan dengan ( x( + iy(, a t b, b maka pendefinisian dari a riil pada suatu interval. d sama dengan pendefinisian pada integral fungsi b n a n 6

2 Misal P menyatakan partisi pada lintasan terbuka, yaitu * P { a,,..., n b} dan k [ k, k ], k,,..., n, maka jumlah Riemann yang bersesuaian dengan pariosi P adalah n S( P) f ( k k, dengan k k k. k * ) Jika terdapat bilangan kompleks L sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan ε > terdapat sebuah partisi Pε dari lintasan sehingga berlaku S ( P) L < ε, maka fungsi f() dikatakan terintegral pada lintasan dengan nilai integralnya adalah L. Dengan kata lain lim S( P) L. n Nilai limit ini dinamakan integral garis f() sepanjang kurva, ditulis f ) d L (. Jika tertutup biasa ditulis dengan d. Sifat-sifat integral kompleks :. Linier, yaitu + kg( )] d k d + [ k k g( ) d. Jika terdiri dari dua bagian kurva dan maka, ( ) d d + f d.. Jika dan adalah ujung-ujung lintasan, maka d d 4. Jika f() terbatas, M dengan M bilangan positif, maka d d ML dengan L adalah panjang kurva. 7

3 4. Menghitung integral kompleks Integral bergantung lintasan Misalkan ( :[ α, β ]. Lintasan dapat dipartisi dengan mempartisi inteval [ α, β ] menjadi n buah sub interval α t < t <... < tn b. Dengan demikian a ( α), (, ( t ),..., ( β ) b} merupakan partisi dari lintasan. Jumlah { Riemann yang bersesuaian dengan lintasan adalah S( P) n k f ( ( t * k ))( ( t k ) ( t yang dapat ditulis dalam bentuk n k * ( ( tk ) ( tk )) S ( P) f ( ( tk )) ( tk tk ). t t k k k Untuk n diperoleh * ( ( tk ) ( tk )) lim S( P) lim f ( ( tk )) ( tk tk ) n n t t β α n )) k k k f ( ( ) '( Jadi integral f() pada lintasan dapat dinyatakan dengan β d f ( ( ) '(. α Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut :. Nyatakan lintasan dalam ( x( + iy(, a t b. ari turunan, (.. Substitusikan ( ke dalam f(). 4. Integralkan. ontoh. Tentukan d jika ( x + y) + iy dari ke + i, jika adalah : a. Garis lurus yang menghubungkan ke + i. 8

4 b. Parabola y x. c. Ruas garis dari ke, kemudian dari ke + i. Penyelesaian. a. Dalam kasus ini lintasan adalah ( t + it, t dan '( + i. Dengan demikian integral menjadi d f ( t + i( + [ t + it] + i. i) [t + it]( + i) b. Dalam kasus ini lintasan adalah ( t + it, t, ' ( + ti, dan ) f ( ( ) ( t + t + it. Dengan demikian integral menjadi d [( t + t ) + it ]( + [ t + i( t + t 7 + i. 6 ) i) 9

5 c. Dalam kasus ini lintasan terdiri dua bagian, katakan : ( t, t dan : ( + it, t. Pada, '(, dan f ( ( ) t. Dengan demikian integral menjadi d t. Pada, ' ( i, dan f ( ( ) ( t + i. Dengan demikian integral menjadi Jadi d ( t + i + i. d d + d i. Selanjutnya misalkan ingin ditentukan batas atas nilai mutlak integral, maka perlu dicari bilangan M sehingga M untuk semua dan panjang lintasan L. Misalkan untuk pada kasus (a) kita punyai dan L d d. sehingga Dari contoh di atas terlihat bahwa nilai integral akan berbeda untuk lintasan yang berbeda. Integral bebas lintasan Terdapat suatu keadaan khusus, bahwa integral lintasan tidak bergantung terhadap bentuk lintasannya, artinya nilai integral akan sama walaupun lintasanya berbeda asalkan ujung-ujungnya sama. Dalam hal ini integral dikatakan bebas lintasan, yang akan dijelaskan sebagai berikut. 4

6 Misalkan D merupakan sub himpunan dari himpunana bilangan riel dan fungsi ( : D terdiferensial di t. Selanjutnya misalkan fungsi g ( ) u( x, y) + iv( x, y) terdiferensial di (. Selanjutnya perhatikan bahwa g ( ( ) u( x(, y( ) + iv( x(, y( ) dan d [ g( ( )] du dx du dy dv dx + + i + dx dy dx Dengan menerapkan persamaan auchy Riemann, diperoleh d[ g( ( )] du dx dv dy dv dx + i + dx dx dx du dv dx dy + i + i dx dx g'( ( ) '(. du dy dy dv dy dy. enyataan di atas dapat digunakan untuk menghitung integral lintasan sebagai berikut. Misalkan F : D dengan F '( ) di D. Misalkan juga a dan b di dalam D dan D kontur/lintasan dari a ke b. Maka β d f ( ( ) '(, dimana ( :[ α, β ], α ( x( + iy( merupakan representasi lintasan. Telah diketahui bahwa d F( ( ) F'( ( ) '( f ( ( ) '(, sehingga β d f ( ( ) '( α β α d F( ( ) F( ( β )) F( ( α)) F( b) F( a). Perhatikan bahwa integral hanya bergantung pada titik a dab b dan tidak peduli pada bentuk lintasan. Integral ini dinamakan integral bebas lintasan (path 4

7 independen. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa integral suatu fungsi analitik untuk suatu litasan di dalam pada domain terhubung sederhana D dari titik a ke titik b adalah dengan F '( ) untuk di D. d F( b) F( a) Dengan demikian jika adalah lintasan tertutup maka d. ontoh. Tentukan d, jika adalah kurva y x dari + i ke + 4i. Penyelesaian. ita tahu bahwa adalah fungsi seluruh, jadi analitik untuk semua dan F ( ). Jadi d [( + 4i) ( + i) ] 4 + 8i. Soal latihan : Tentukan d jika. y x ix, garis dari ke + i., parabola y x dari ke + i.., lingkaran jari-jari pusat arah positif (berlawanan arah jarum jam). 4. +, lintasan dari ke kemudian dari ke + i. 5. +, lingkaran jari-jari pusat arah positif. 4

8 6. e, garis dari ke + i , parabola y x dari ke + i. 8. cos, setengah lingkaran π dari πi ke πi. 9. sin, sebarang lintasan dari ke πi.. sin, setengah lingkaran π dari πi ke πi. 4. Teorema auchy - Goursat Pada bagian sebelumnya telah dibahas bahwa integral garis fungsi kompleks f() bergantung pada ujung-ujung dan bentuk lintasannya. Tetapi jika f() analitik maka pada domain terhubung sederhana D maka integral tidak akan bergantung pada bentuk lintasannya dan nilainya nol jika lintasannya tertutup. Pada bagian ini akan dibahas untuk lintasan tertutup. Integral pada lintasan tertutup sederhana sering disebut dengan integral kontur. Ada beberapa definisi yang akan sering digunakan dalam pembahsan ini. - Lintasan tertutup sederhana, adalah lintasan yang tidak memotong atau menyinggung dirinya sendiri (gambar ) (a) (b) (c) Gambar. Lintasan tertutup, (a) sederhana, (b) sederhana, (c) tidak sederhana - Domain terhubung sederhana, adalah jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam domain tersebut melingkungi hanya titik-titik dalam domain. Sedangkan domain yang lainna disebut domain terhubung berganda (Gambar ) 4

9 (a) (b) (c) Gambar. Domain terhubung, (a) sederhana, (b) ganda dua, (c) ganda tiga Teorema auchy Goursat. Jika f() analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D berlaku d. D Gambar. lintasan tertutup sederhana di dalam D Dengan kata lain integral kontur fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang dilewatinya. ontoh. d untuk sebarang lintasan tertutup jika f () adalah fungsi ontoh 4. Tentukan seluruh, misal f () sin, f () positif. d jika Penyelesaian. Titik singular dari Jadi e. dan linngkaran satuan arah + 4 adalah ± i terletak di luar. + 4 analitik pada dan di dalam, sehingga d

10 Teorema auchy-goursat pada domain berganda Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk domain terhubung ganda dua, terdiri dari dua kurva tertutup, dan ( Gambar 4a). Jika arah kontur dibalik, hasil integral akan menjadi negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi. Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur fungsi kompleks. (a) (b) Gambar 4. Lintasan integrasi ganda dua Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4 integral dengan kontur masing-masing, Γ, Γ, dan (+ didefinisikan searah dengan ). ontur adalah kontur setelah terbelah oleh celah lintasan Γ dan Γ yang masuk dan keluar di antara dan. Demikian pula kontur adalah kontur sesudah diberi celah tersebut di atas (Gambar 4). elah harus dibuat sedemikian kecil agar dan. Nilai integral ini adalah d d + d + d + ' Γ ' Γ d Jika diamati jelaslah bahwa Γ - Γ sehingga kedua integralnya saling menghilangkan.untuk f() yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku teorema auchy-goursat : d d + d. ' arena dan,maka diperoleh ' 45

11 ) d f ( d. (Dalam hal ini perhatikan bahwa lintasan dan memiliki arah yang sama). Jadi di dalam daerah analitiknya, kontur tertutup integral kompleks boleh mengecil tanpa mengubah nilai integral itu sendiri. Sifat ini dapat diperluas pengertiannya jika anulusnya memiliki banyak lubang, katakanlah lubang,,..., n (Domain berganda n), sehingga diperoleh d d + d n d. + ontoh. Hitunglah d, dengan lingkaran pusat, berjari-jari arah + positif. Penyelesaian. + Perhatikan bahwa fungsi tidak analitik di + + dan. edua titik tersebut dibuang dengan membentuk lingkaran dengan pusat di titik tersebut (gambar 5). - Gambar 5. 46

12 Dengan demikian f() analitik di dalam domain yang dibatasi oleh,, sehingga diperoleh + d + + d + + d d d + d + +. Menurut teorema auchy Goursat maka integral suku pertama dan keempat di ruas kanan adalah nol. Sehingga diperoleh + d 4πi + 6πi πi. + Soal Latihan. Buktikan teorema auchy-goursat.. Misalkan daerah persegi dengan titik titik sudut x ±, y ± arah positif. Tentukan d.. Tentukan d, dengan sebarang lingkaran berpusat di arah positif. 4. Tentukan d, dengan sebarang lingkaran berpusat di arah + positif. 5. Tentukan d, dengan ellips 4x + y 6 arah positif. 6. Tentukan d, dengan lingkaran x x + y arah positif Tentukan d, dengan lingkaran ( + )( ) arah positif. 47

13 4.4 Rumus integral auchy Misalkan fungsi f() analitik di dalam suatu daerah yang memuat lintasan tertutup sederhana arah positif, dan misalkan titik interior. arena f analitik maka f kontinu di sehingga untuk setiap bilangan positif ε > terdapat δ > sehingga jika < maka f ) f ( ) < ε. Misalkan ( ρ > sedemikian sehingga ρ < δ dan lingkaran { : ρ } berada di dalam. ρ Fungsi f ( Perhatikan bahwa Gambar 5. Integral auchy ) analitik di daerah antara dan. Maka menurut teorema auchy d d lim d. π ρ if ( ) it f ( + ρe ) it iρe it ρe π π if ( ). Jadi atau d d π if ( ). 48

14 atau d π if ( ) f ( f ( ) π ) i d. yang biasa disebut Rumus Integral auchy. ontoh 6. Tentukan d, Jika : arah positif. ( )( + 4) Penyelesaian. Perhatikan bahwa integran tidak analitik di dan di 4. Dari kedua titik ini, yang berada di dalam adalah. Jadi merupakan titik interior dari, sehingga integran dapat ditulis dengan. + 4 Sekarang fungsi f() ini analitik pada dan di dalam lintasan, sehingga dengan menggunakan rumus integral auchy, diperoleh 4 d d if () i. ( )( + 4) π π 5 Turunan fungsi analitik Secara umum, jika adalah titik interior pada maka bentuk integral auchy menjadi f ( ) d dengan di dalam. π i Selanjutnya rumus tersebut dapat diperumum dengan mencari turunannya hingga tingkat ke-n. Dalam rumus integral auchy, turunan fungsi f di titik adalah f ' ( ) d. (tunjukkan!) πi ( ) Turunan keduanya adalah 49

15 f! ' ' ( ) πi Hingga diperoleh turunan ke-n adalah f ( n) Yang biasa ditulis dalam bentuk n! ( ) πi ( ) n+ ( ) d. n+ ( ) πi d f n! ( n) ( d. Uraian di atas dapat dnyatakan dalam teorema berikut Teorema. Jika f() analitik pada dan di dalam suatu kurva tertutup sederhana, ). ( ) f n ( maka ) ada untuk setiap bilangan bulat n, dan dinyatakan dalam rumus f ( n) n! ( ) πi n+ ( ) d. Hal ini mengakibatkan jika suatu fungsi analitik di suatu titik maka turunan untuk semua tingkatnya, f, f,..., juga analitik di titik tersebut. + ontoh 7. Tentukan ( ) Penyelesaian. d, jika : arah positif. Dalam hal ini +,, dan n. Dengan menggunakan rumus integral auchy yang telah diperumum, diperoleh, + ( ) πi d f ' ' () π i. Soal Latihan. Hitunglah g( ) d, jika sin a. g ( ), : arah positif + + 5

16 b. ( ) g, : ( + 9). c. g ( ), :.. Hitunglah d (, jika seperti pada gambar berikut. + 4) (a) (b). Jika adalah kontur tertutup dalam arah positif dan g( ) d. ( ) Hitunglah g ) jika (a). di dalam dan (b). di luar ( e 4. Jika a bilangan ral positif, hitung integral + a jika a. : a b. : ai a. d dalam arah positif, 5