Bilangan dan Fungsi Kompleks

Transkripsi

1 Bab 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika. 5. Bagian Real dan Imajiner Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian yaitu bagian real dan bagian imajiner. Misalnya bilangan kompleks yang dinyatakan dengan 5+3i maka angka 5 merupakan bagian real sedangkan angka 3 disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut. Dalam penulisan bilangan kompleks i = atau i =. Perlu diperhatikan bahwa bagian imajiner suatu bilangan kompleks bukanlah imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai pasangan antara bagian real dan bagian imajinernya. Jadi misalnya 5 + 3i dapat dituliskan sebagai (5,3). 5. Bidang Kompleks Karena bilangan kompleks biasa dituliskan dalam bentuk pasangan bilangan sebagaimana pasangan titik dalam sistem koordinat xy, maka sebuah bilangan kompleks dapat juga digambarkan sebagai titik dalam bidang kompleks. Bidang kompleks sering disebut diagram Argand. Sumbu mendatar (sumbu x) menggambarkan bagian real sedangkan sumbu tegak (sumbu y) menggambarkan bagian imajiner sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 5.. Ini mirip dengan representasi titik dalam sistem koordinat kartesian. Sebagaimana diketahui bahwa suatu titik dalam bidang xy juga dapat dinyatakan dalam ungkapan polar, maka bilangan kompleks juga dapat direpesentasikan dalam bentuk polar yaitu (r, θ). Hubungan antara x dan y 93

2 94 Bilangan dan Fungsi Kompleks (5,3) z = 5 + 3i ( 8, 6) z = 8 6i Gambar 5.: Bidang kompleks. dengan r dan θ adalah x = rcosθ y = rsinθ Jadi suatu bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam representasi z = x+iy = r(cosθ+isinθ) = re iθ (5.) r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z dan θ (dalam radian) disebut sudut dari z. 5.3 Aljabar Kompleks Menjadikan bentuk x+iy Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x + iy. ontoh (+i) = (+i)(+i) = +i+i = +i = i

3 5.3 Aljabar Kompleks 95 ontoh +i 3 i = +i +i 3 i3+i = 6+5i+i = 5+5i 9 i 0 = + i cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 ontoh 3 Nyatakan z = (cos30 +isin30 ) Karena 30 = π/6 rad maka z = dalam bentuk x+iy. (cos30 +isin30 ) = ( cos π +isin ) = π e = iπ/6 e iπ/6 6 6 = (cosπ/6 isinπ/6) = ( 3 4 i 4 Konjugat kompleks (omplex conjugate) Konjugat dari suatu bilangan kompleks z = x+iy dinyatakan dengan z = x iy. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan bagian imajinernya dengan. ontoh Nilai mutlak z = 3i i+4 = z = +3i i+4 Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan kompleks z = x + iy menggambarkan jarak titik yang direpresentasikan dengan (x, y) dengan pusat koordinat di bidang kompleks. Dengan demikian dinyatakan dalam bentuk ) z = r = x +y = z z (5.) Persamaan Kompleks Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan kompleks pertama sama dengan bagian real bilangan kompleks kedua dan bagian imajiner bilangan kompleks pertama sama dengan bagian imajiner bilangan kompleks kedua. Misalnya jika x+iy = +3i maka berarti x = dan y = 3.

4 96 Bilangan dan Fungsi Kompleks ontoh Tentukan x dan y jika (x+iy) = i (x+iy) = x +ixy y = i Dengan demikian diperoleh hubungan Selanjutnya diperoleh x y = 0 = y = ±x xy = x = atau x = Karenaxharusrealmakax tidakmungkinnegatif,dengandemikiandidapat x = dan y = x. Sehingga solusi persamaan tersebut adalah x = y = atau x = y =. 5.4 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri Karena z = x+iy, maka dapat dituliskan bentuk berikut e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y +isin y) (5.3) Sedangkan telah ditunjukkan sebelumnya dalam persamaan 5. bahwa bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial (yang disebut sebagai rumus Euler) yaitu e iθ = cosθ+isinθ (5.4) Dengan menggunakan rumus Euler tersebut dapat diperoleh bentuk e iθ = cosθ isinθ (5.5) Bila persamaan 5.4 dan persamaan 5.5 dijumlahkan maka akan diperoleh ungkapan untuk cos θ, sedangkan bila persamaan 5.4 dikurangi dengan persamaan 5.5 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk sin θ sebagai berikut sinθ = eiθ e iθ i cosθ = eiθ +e iθ (5.6)

5 5.5 Fungsi Hiperbolik Fungsi Hiperbolik Dengan menggunakan rumusan Euler, maka dapat pula diperoleh ungkapan yang lebih umum untuk bilangan kompleks z, yaitu cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 sinz = eiz e iz i cosz = eiz +e iz (5.7) Tinjau suatu bilangan kompleks yang murni imajiner z = iy, maka dapat dinyatakan sinz = ei(iy) e i(iy) i cosz = ei(iy) +e i(iy) = e y e y i = e y +e y = i ey e y = ey +e y (5.8) Persamaan 5.8 memberikan definisi tentang fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh), yang secara umum dituliskan dalam bentuk sinhz = ez e z coshz = ez +e z (5.9) Beberapa fungsi hiperbolik lainnya dapat diperoleh sebagaimana fungsi trigonometri biasa, yaitu tanhz = sinhz coshz, cothz = tanhz sech z = coshz, csch z = sinhz Dari persamaan 5.8 dapat juga dituliskan bahwa siniy = isinhy cosiy = coshy (5.0) (5.) 5.6 Logaritma Misalkan suatu bilangan kompleks z dan w di mana hubungannya dinyatakan dengan z = e w yang berarti w = lnz. Kemudian jika z = re iθ, maka diperoleh w = lnz = ln(re iθ ) = lnr+lne iθ = lnr+iθ (5.)

6 98 Bilangan dan Fungsi Kompleks ontoh Tentukanlah ln( ). Dalam ungkapan koordinat polar sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, z = dapat dinyatakan dengan bentuk eksponensial dengan r = dan θ = π, π,3π, 3π,... sehingga ontoh Tentukan ln( + i). ln( ) = ln()+iθ = 0+i(π ±nπ) = iπ, iπ,3iπ,... Dengan menggunakan ungkapan dalam koordinat polar dapat diperoleh bahwa untuk z = +i berarti r = dan θ = π/4±nπ. Dengan demikian ln(+i) = ln( ( π ) )+i 4 ±nπ 5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika Berikut ini diberikan beberapa contoh penggunaan bilangan kompleks dalam persoalan fisika. Kinematika Sebagaimana sistem koordinat kartesian dua dimensi, bidang kompleks dapat digunakan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda. Jika z menyatakan posisi suatu benda, maka jika posisinya berubah tiap saat maka dapat dinyatakan bahwa z(t). Misalkan posisi benda tiap saat dinyatakan dengan z = 5e iωt di mana ω suatu konstanta. Tentukan laju, besar percepatan dan deskripsi gerak benda tersebut. Laju gerak benda adalah v = dz dt = d dt 5eiωt = 5iωe iωt = iωz Percepatan gerak benda adalah a = dv dt = d dt (5iωeiωt ) = 5ω e iωt = ω z

7 5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika 99 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Gambar 5.: Rangkaian seri RL dengan sumber tegangan bolak-balik. Terlihat dari percepatan gerak benda, bahwa percepatan gerak benda sama dengan suatu konstanta dikalikan dengan posisi benda dan hal ini menyatakan suatu gerak harmonik. Rangkaian A Dalam rangkaian arus bolak-balik dengan komponen R (resistor), L (induktor) dan (kapasitor), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5., misalnya arus total yang mengalir pada rangkaian dinyatakan dengan bentuk fungsi harmonik I = I 0 sinωt. Jika V R adalah beda tegangan pada kaki-kaki resistor R dan I adalah kuat arus yang mengalir pada hambatan tersebut, maka berdasarkan hukum Ohm dapat dinyatakan V R = IR (5.3) sedangkan hubungan antara tegangan pada induktor L dengan kuat arus dinyatakan dengan V L = L di dt (5.4) dan tegangan pada kapasitor dinyatakan dengan dv dt = I = V = Idt (5.5)

8 00 Bilangan dan Fungsi Kompleks Bentuk arus setiap saat tersebut bila dinyatakan dengan bilangan kompleks adalah I = I 0 sinωt = I 0 e iωt, maka V R = RI = RI 0 e iωt = RI (5.6) V L = L di dt = Ld(I 0e iωt ) = iωli 0 e iωt = iωli (5.7) dt V = I 0 e iωt dt = iω I 0e iωt = iω I (5.8) Tegangan total jika ketiga komponen tersusun seri adalah V = V R +V L +V = RI +iωli + iω I [ ( = R+i ωl )] I (5.9) ω = ZI ( di mana Z = R + i ωl ) dinamakan sebagai impedansi (kompleks) ω pada rangkaian RL seri. Hambatan efektif pada komponen induktor dinamakan reaktansi induktif X L yaitu X L = V L = iωl (5.0) I sedangkan hambatan efektif pada komponen kapasitor dinamakan reaktansi kapasitif X yaitu X = V I = iω = i (5.) ω Pada rangkaian RL seri, impedansi (kompleks) dapat diperoleh dengan konsep yang sama dengan susunan seri tiga hambatan(resistor) yang masingmasing dinyatakan dengan R = R, R = X L = iωl dan R 3 = X = i/(ω) sehingga hambatan total (yaitu impedansi total) diperoleh sebagaimana telah diungkapkan di atas yaitu Z = R +R +R 3 = R+X L +X = R+iωL i ( ω = R+i ωl ) ω Selanjutnya dapat diperoleh besar impedansi sebagaimana nilai absolut dari Z, yaitu ( Z seri = Z Z = R + ωl ) (5.) ω

9 5.7 Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Persoalan Fisika 0 Suatu kondisi di mana Z sepenuhnya real (berarti bagian imajinernya sama dengan nol) dinamakan kondisi resonansi. Demikian pula halnya jika ketiga komponen (resistor, induktor dan kapasitor) disusun paralel, maka impedansi totalnya dapat diperoleh sebagaimana susunan paralel tiga buah hambatan yaitu R = R, R = X L = iωl dan R 3 = X = i/(ω). Hambatan (impedansi) kompleks total pada susunan paralel adalah cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Sehingga diperoleh ontoh Z = + + R R R 3 = R + + = X L X R + iωl + = R i ωl +iω = R +i Z = ( R +i ) ωl +ω Z paralel = Z Z = i/(ω) ( ) ωl +ω ( ) +( R ωl +ω ) (5.3) Pada rangkaian yang terdiri dari hambatan R yang tersusun seri dengan induktor L kemudian keduanya diparalel dengan kapasitor, sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 5.3, tentukanlah impedansi rangkaian tersebut. Impedansi total rangkaian tersebut adalah Z total = Z + Z = Z +Z Z Z = Z total = Z Z Z +Z

10 0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Gambar 5.3: Gambar susunan komponen untuk contoh. di mana Z = R+iωL dan Z = i. Dengan demikian ω ( (R+iωL) i ) Z total = ω ( R+i ωl ) ω ir = ω + L ( R i ωl ) ( R+i ωl ) ω ( R i ωl ) ω ω ( ) R +i ( R ω = ω ω L + L ) ω ( R + ωl ) ω 5.8 Fungsi Kompleks Fungsi dengan variabel kompleks dinyatakan misalnya dalam bentuk f(z) dengan z adalah bilangan kompleks. Secara umum fungsi dengan variabel kompleks mempunyai bagian real dan imajiner yang juga merupakan fungsi. Misalkan f(z) = z, karena z = x+iy maka z = (x+iy) = (x y )+i(xy) (5.4) Bagian real dan bagian imajiner suatu fungsi kompleks secara umum merupakan fungsi dari variabel x dan y. Bagian real dinyatakan dengan u(x, y) dan bagian imajiner dinyatakan dengan fungsi v(x, y). Jadi suatu fungsi

11 5.9 Fungsi Analitik 03 kompleks f(z) = u(x,y) + i v(x,y). Dengan demikian untuk fungsi kompleks di atas yang dinyatakan dengan f(z) = z, maka u(x,y) = x y dan v(x,y) = xy. ontoh Tentukan bagian real dan bagian imajiner fungsi kompleks f(z) = dengan z = x+iy. z z + cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 x+iy f(z) = (x+iy) + = x+iy (x y +)+ixy ( )( ) x+iy (x y +) ixy = (x y +)+ixy (x y +) ixy = x3 y 3 +x+xy (x y +) 4x y +i x y y 3 +y (x y +) 4x y Dengan demikian bagian real dan imajinernya adalah u(x,y) = x3 y 3 +x+xy (x y +) 4x y v(x,y) = 5.9 Fungsi Analitik x y y 3 +y (x y +) 4x y Suatu fungsi f(z) dikatakan analitik dalam suatu daerah pada bidang kompleks bila fungsi tersebut mempunyai turunan yang tunggal (unik) pada setiap titik dalam daerah tersebut. Jika f(z) analitik di titik z = a berarti bahwa f(z) mempunyai turunan pada setiap titik dalam lingkaran kecil di sekitar z = a. Fungsi yang tidak memenuhi batasan tersebut disebut sebagai fungsi non-analitik. Beberapa definisi berkaitan dengan fungsi analitik: Titik regular (regular point) dari fungsi f(z) adalah titik di mana f(z) bersifat analitik Titik singular (singular point atau singularity) dari fungsi f(z) adalah titik di mana f(z) tak analitik Beberapa teorema yang digunakan dalam analisa fungsi variabel kompleks:

12 04 Bilangan dan Fungsi Kompleks Teorema I Jika suatu fungsi kompleks f(z) = u(x,y)+iv(x,y) merupakan suatu fungsi analitik dalam suatu daerah, maka dalam daerah itu berlaku u x = v y, dan v x = u y (5.5) Teorema ini disebut juga kondisi auchy-riemann untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan fungsi analitik atau bukan. ontoh Misalkan f(z) = y +ix. Apakah f(z) merupakan fungsi analitik? Dalam hal ini u = y dan v = x, sehingga u/ x = 0, v/ y = 0, v/ y = dan u/ y =. Karena tidak memenuhi kondisi auchy-riemann, maka fungsi f(z) tersebut bukanlah fungsi analitik. ontoh Misalkan f(z) = x+iy. Apakah f(z) merupakan fungsi analitik? Karena u x = = v y dan maka berarti f(z) adalah fungsi analitik. Teorema II v x = 0 = u y Jika u(x,y) dan v(x,y) dan turunan parsialnya terhadap x dan y kontinyu serta memenuhi syarat auchy-riemann dalam daerah tersebut maka f(z) analitik pada semua titik dalam daerah tersebut. Teorema III Perhatikan gambar 5.4. Jika f(z) adalah fungsi analitik dalam daerah tertentu (R) maka f(z) mempunyai turunan orde berapapun pada titik-titik dalam daerah tersebut dan f(z) dapat diekspansikan sebagai deret Taylor di sekitar titik z 0 dalam daerah tersebut. Deret pangkat tersebut konvergen di dalam daerah berbentuk lingkaran yang berpusat di z 0 hingga mencapai titik singular terdekat (disebut sebagai daerah lingkaran konvergensi atau disk of convergence).

13 5.9 Fungsi Analitik 05 R z 0 titik singular cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 ontoh Gambar 5.4: Daerah untuk penjelasan Teorema III. Tentukanlah daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f(z) = ln( z). Fungsi f(z) = ln( z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 (uraian Maclaurin), yaitu ln( z) = z z z3 3 z Kemudian untuk memperoleh titik singular dari fungsi tersebut adalah titik di mana fungsi f(z) tersebut tidak mempunyai turunan. Dalam hal ini titik singular yang dimaksud adalah z =. Dengan demikian daerah lingkaran konvergensi dari fungsi tersebut adalah lingkaran berpusat di pusat koordinat dengan jari-jari. Teorema IV Jika f(z) = u + iv merupakan fungsi analitik dalam suatu daerah, maka u dan v memenuhi persamaan Laplace ( u = 0 dan v = 0) dalam daerah tersebut (artinya u dan v merupakan fungsi harmonik). Fungsi sembarang u (atau v) yang memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah adalah bagian real atau imajiner dari suatu fungsi analitik f(z). ontoh Suatufungsiu(x,y) = x y adalahbagianrealdarifungsikompleksz. Tentukan bentuk bagian imajiner fungsi kompleks tersebut agar bersifat analitik.

14 06 Bilangan dan Fungsi Kompleks Karena u = u x + u y = = 0 maka berarti u(x,y) memenuhi persamaan Laplace atau dalam kata lain u(x, y) adalah fungsi harmonik. Kemudian dengan menggunakan persamaan auchy-riemann dapat diperoleh v y = u x = x Maka dengan mengintegralkan terhadap y dapat diperoleh bentuk fungsi v(x, y), yaitu v(x,y) = xdy = xy +g(x) dengan g(x) adalah fungsi dalam x yang merupakan konstanta integrasi. Selanjutnya dengan menggunakan kembali syarat auchy-riemann maka dapat diperoleh v x = x (xy +g(x)) = y +g (x) = u y = y sehingga berarti g (x) = 0 atau g = const. Jadi diperoleh bentuk fungsi v(x, y) = xy + const. Dengan demikian diperoleh bentuk fungsi kompleks z adalah f(z) = u+iv = x y +ixy +const = z +const 5.0 Integral Kontur Selain keempat teorema yang berkaitan dengan pengertian dan batasan fungsi analitik, terdapat pula beberapa teorema lainnya yang berkaitan dengan penggunaan fungsi kompleks. Teorema V: Teorema auchy Misalkan adalah suatu kurva tertutup sederhana dengan lengkungan yang halus kecuali beberapa titik tertentu yang jumlahnya terbatas, maka jika f(z) adalah fungsi analitik di dalam dapat dinyatakan dengan f(z)dz = 0 (5.6) sekeliling Persamaan yang diungkapkan dalam integral garis (teorema auchy) tersebut dinamakan integral kontur.

15 5.0 Integral Kontur 07 Teorema VI: Perumusan Integral auchy Jika f(z) adalah fungsi analitik pada dan di dalam suatu kurva sederhana, maka nilai f(z) di suatu titik z = a yang berada di dalam kurva adalah f(a) = f(z) dz (5.7) πi z a ontoh cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Hitunglah integral sinz z π dz, dengan adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan z = Integral tersebut dapat dituliskan menjadi sinz z π dz = sinz z π/ dz Kurva yang digunakan adalah berbentuk lingkaran berjari-jari dalam bidang kompleks. Bentuk f(z) adalah f(z) = sinz, dengan a = π/. Karena f(z) = sinz berarti f(z) bersifat analitik di dalam kurva, sehingga dapat digunakan Teorema VI. Maka diperoleh ontoh Hitunglah integral sinz dz = πisin(π/) = πi z π/ sinz z π dz, dengan adalah lingkaran pada bidang kompleks dengan z = Integral tersebut dapat dituliskan menjadi sinz z π dz = sinz z π/ dz

16 08 Bilangan dan Fungsi Kompleks Karena adalah lingkaran berjari-jari dan menggunakan f(z) = sinz/(z π/), maka berarti f(z) adalah fungsi analitik dalam kurva, sehingga bila menggunakan Teorema V (Teorema auchy) dapat dinyatakan: ontoh 3 Hitung integral sinz z π/ dz = 0 e 3z z ln dz jika adalah bujur sangkar yang titik sudutnya pada (,0), (,0), (0,i) dan (0, i) Fungsi kompleks f(z) berbentuk f(z) =, titik singularnya adalah z ln pada z = ln. Karena titik singular tersebut berada di dalam daerah yang dibatasi oleh kurva, maka dapat digunakan rumusan integral auchy f(a) = f(z) f(z) dz = dz = πif(a) πi z a z a Dengan demikian diperoleh e 3z z ln dz = πie3ln = 6πi Teorema VII: Teorema Laurent Misalkan dan adalah dua buah lingkaran yang pusatnya pada titik z 0 dan f(z) adalah suatu fungsi analitik dalam daerah R di antara kedua lingkaran tersebut maka f(z) dapat diuraikan menjadi bentuk deret yang konvergen dalam R, yaitu f(z) = a 0 +a (z z 0 )+a (z z 0 ) + + b b (5.8) z z 0 (z z 0 ) dengan koefisien a n dan b n adalah a n = πi b n = πi e3z f(z)dz (z z 0 ) n+ f(z)dz (z z 0 ) n+ (5.9)

17 5. Teorema Residu dan Aplikasinya 09 dengan adalah adalah sembarang kurva tertutup sederhana yang mengelilingi z 0 dan terletak pada daerah R. Beberapa pengertian yang terkait dengan teorema Laurent ini: Jika semua koefisien b sama dengan nol maka f(z) bersifat analitik pada z = z 0 dan z 0 disebut sebagai titik regular. cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Jika b n = 0 tapi kemudian nilai b setelah b n sama dengan 0 maka f(z) dikatakan mempunyai kutub orde n pada z = z 0. Jika n = maka f(z) mempunyai kutub sederhana (simple pole). Jika terdapat takhingga banyaknya koefisien b yang tidak sama dengan nol maka f(z) dikatakan mempunyai essential singularity pada z = z 0 Koefisien b dari ontoh (z z 0 ) dinamakan residu dari f(z) pada z = z 0. Misalkan sebuah deret e z = +z + z! + z3 3! +... Karena deret ini tidak mempunyai koefisien b (semua b n = 0) maka deret tersebut analitik pada z = 0. Karena b = 0 maka berarti residu dari e z pada z = 0 adalah sama dengan 0. Misalkan sebuah deret ez z 3 = z 3 + z + z!z + 3! + z 4! +... Bagian utama deret tersebut adalah z + 3 z + z!z yang berarti b = /; b = ; b 3 = 0 sedangkan b n untuk n > 3 sama dengan 0. Maka deret tersebut mempunyai kutub orde 3 sedangkan residu dari ez pada z = 0 adalah z3! =. 5. Teorema Residu dan Aplikasinya Teorema residu sangat berguna untuk menghitung integral. Teorema residu dinyatakan dalam bentuk f(z)dz = πi (jumlah residu dari f(z) di dalam ) (5.30) Integral tersebut dihitung dengan arah berlawanan jarum jam pada kurva.

18 0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Metode Penentuan Residu Yang menjadi penting adalah bagaimana cara menemukan residu? Ada beberapa cara penentuan residu suatu fungsi kompleks sebagaimana yang akan diuraikan berikut ini. Deret Laurent Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, uraian deret Taylor dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan nilai residu fungsi tersebut di suatu titik z = z 0. ontoh Suatu fungsi kompleks f(z) = e z /(z ). Tentukan residu dari f(z) di z =. Bila fungsi e z diekspansikan dalam deret pangkat (z ) maka diperoleh e z z = e ez z = e ] (z ) [+(z ) z! = e z +e+... Karena residu pada z = diperoleh dari koefisien R() = e. z maka berarti Kutub tunggal (Simple Pole) Jika fungsi kompleks f(z) mempunyai kutub sederhana pada z = z 0 maka residu pada titik tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan f(z) dengan (z z 0 ) kemudian hitung nilainya pada z = z 0. Perumusannya secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: R(z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z) (5.3) ontoh Hitunglah R( ) dan R(5) untuk fungsi kompleks yang dinyatakan dengan f(z) = z (z +)(5 z). Untuk menghitung residu di titik z =, maka fungsi f(z) tersebut dikalikan dengan (z + ), diperoleh ( z + ) ( f(z) = z + ) z (z +)(5 z) = z (5 z)

19 5. Teorema Residu dan Aplikasinya Kemudian hitung nilainya dengan mensubstitusi z =, diperoleh R( ) = (5+ ) = cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 ara yang sama juga dilakukan untuk menghitung residu di titik z = 5 z (z 5)f(z) = (z 5) (z +)(5 z) = z z + R(5) = z = 5 z + z=5 Kutub ganda (Multiple Poles) Jika f(z) mempunyai kutub dengan orde n, maka dapat digunakan langkah sebagai berikut untuk memperoleh nilai residu pada z = z 0 : kalikan f(z) dengan (z z 0 ) m, di mana m adalah bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan orde n, kemudian differensialkan hasilnya m kali, lalu dibagi dengan (m )! dan hitung hasil akhirnya dengan mensubstitusi z = z 0. ontoh Tentukan residu dari f(z) = (zsinz)/(z π) 3 di titik z = π. Gunakan m = 3 untuk mengeliminasi penyebut, artinya kalikan f(z) dengan (z π) 3 sehingga diperoleh (z π) 3 f(z) = (z π) 3 zsinz (z π) 3 = zsinz kemudian differensialkan kali dan selanjutnya dibagi dengan! sehingga diperoleh d R(π) = z=π! dz (zsinz) = [ zsinz +cosz] z=π = Teorema Residu untuk menghitung integral Sebagaimana telah disinggung sebelumnya bahwa teorema residu dapat digunakan untuk menghitung integral tertentu. Berikut ini beberapa contohnya. ontoh Hitunglah integral I = π 0 dθ 5+4cosθ

20 Bilangan dan Fungsi Kompleks Jika digunakan variabel baru yaitu z = e iθ, maka dz = ie iθ dθ atau dθ = iz dz dan cosθ = eiθ +e iθ = z + z. Sedangkan batas integral dalam variabel θ yaitu dari θ = 0 hingga θ = π akan berubah menjadi lingkaran satuan dalam bidang kompleks dengan z = dan arahnya berlawanan dengan arah jarum jam. Dengan demikian integral tersebut dapat dinyatakan sebagai integral kontur. Dengan variabel yang baru tersebut integral yang dimaksud dapat dituliskan kembali dalam bentuk I = dz iz 5+(z +/z) = i dz 5z +z + = dz i (z +)(z +) dengan adalah kurva yang berupa lingkaran berjejari dan berpusat di titik pusat koordinat pada bidang kompleks. Terlihat bahwa integran (yaitu fungsi yang diintegralkan) berbentuk f(z) = yang berarti (z +)(z +) mempunyai kutub pada z = dan pada z =. Karena kurva adalah berupa lingkaran berjejari, maka berarti dari kedua kutub tersebut hanya kutub z = saja yang berada di dalam daerah yang dibatasi kurva, sedangkan kutub z = berada di luar daerah yang dibatasi oleh kurva. Residu dari f(z) pada z = dapat dihitung menggunakan metode kutub sederhana (simple pole) yaitu (z +)(z +) R( ) = lim (z + ) z z= = 3 Selanjutnya dengan menggunakan teorema residu dapat diperoleh bahwa I = i πir( ) = π( 3 ) = π 3 Sehingga diperoleh π 0 dθ 5+4cosθ = π 3 ontoh Hitungkah integral I = + dx +x

21 5. Teorema Residu dan Aplikasinya 3 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Untuk menghitung integral I tersebut, tinjau integral kontur berbentuk dz +z dengan adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran dan kuadran ) dengan jejari sembarang ρ >. Integran pada integral kontur tersebut berbentuk f(z) = +z = (z i)(z +i). Berarti f(z) mempunyai kutub pada z = i dan pada z = i. Di antara kedua kutub ini hanya kutub pada z = i saja yang berada dalam daerah yang dibatasi oleh kurca tertutup (ingat bahwa berbentuk setengah lingkaran pada kuadran dan ). Kemudian nilai residu f(z) pada z = i dapat diperoleh menggunakan metode kutub sederhana (simple pole) yaitu R(i) = lim(z ) = z i (z i)(z +i) z=i i Dengan demikian dari teorema residu diperoleh dz +z = πir(i) = π Integral kontur dengan lintasan berupa kurva tersebut dapat dinyatakan sebagai integral garis (integral lintasan) dengan lintasan pertama berupa garis lurus sepanjang sumbu datar (sumbu x) dari ρ hingga +ρ dan lintasan kedua berupa lintasan setengah lingkaran yang dinyatakan dengan persamaan z = ρe iθ dengan θ dari 0 hingga π: dz +z = +ρ ρ dx +x + π 0 ρie iθ dθ +ρ e iθ Telah dihitung sebelumnya bahwa integral kontur yang dimaksud hasilnya adalah π dan hasil ini tidak bergantung pada berapapun nilai ρ yang digunakan. Perhatikan bahwa asalkan kurva yang digunakan dalam penghitungan integral kontur adalah setengah lingkaran pada kuadaran dan, maka berdasarkan teorema residu nilai integralnya tetap sama. Artinya bila diambil ρ, maka dapat dituliskan kembali [ dz +ρ +z = π = lim dx π ] ρ ρ +x + ρie iθ dθ 0 +ρ e iθ + dx = +x +0

22 4 Bilangan dan Fungsi Kompleks Maka diperoleh hasil integral yang dimaksud yaitu ontoh 3 I = + dx +x = π Hitunglah integral I = 0 cosx +x dx Tinjau suatu integral kontur yang berbentuk e iz dz +z dengan adalah kurva tertutup setengah lingkaran pada bidang kompleks (kuadran dan kuadran ) dengan jejari sembarang ρ > sebagaimana pada ontoh. Integran pada integral kontur tersebut mempunyai bentuk f(z) = eiz yang berarti terdapat dua kutub pada z = i dan z = i. Nilai +z residu di dalam kurva adalah e iz R(i) = lim(z ) = z i (z i)(z +i) z=i ie Selanjutnya dengan teorema residu dapat dihitung integral kontur yang dimaksud yaitu e iz dz +z = πir(i) = π e Sedangkan integral kontur tersebut dapat dituliskan dalam dua integral lintasan sesuai dengan kurva tertutup yang digunakan(lihat kembali ontoh di atas) e iz dz +ρ +z = ρ e ix dx +x + lintasan dengan z=ρe iθ Dengan demikian diperoleh bahwa + e ix +x dx = π e e iz dz +z

23 5. Teorema Residu dan Aplikasinya 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Kemudian bila diambil bagian real dari kedua ruas tersebut maka dapat dinyatakan [ + ] e ix [ π Re +x dx = Re e] 0 + cosx +x dx = π e cosx Selanjutnya karena fungsi adalah fungsi genap, maka integral dari +x hingga + sama dengan dua kali integral dari 0 hingga +, sehingga diperoleh + cosx +x dx = + cosx +x dx = π e

24 6 Bilangan dan Fungsi Kompleks