MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV"

Transkripsi

1 MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 203

2 DAFTAR ISI I Barisan Bilangan Real I. Konvergensi Barisan I. 2 Sifat-sifat Barisan Konvergen I. 3 Barisan Monoton dan Terbatas I. 4 Barisan Divergen I. 5 Barisan Cauchy I. 6 Soal-soal Latihan Barisan II Deret Bilangan Real 5 II. Deret Tak Hingga II. 2 Teorema-teorema tentang Deret II. 3 Uji Deret Positif (Tak Negatif) II. 4 Deret Berayun II. 5 Deret Kuasa II. 6 Deret Taylor dan Deret Mac Laurin II. 7 Operasi pada Deret Kuasa II. 8 Soal Latihan Deret i

3 BAB I Barisan Bilangan Real I. Konvergensi Barisan Definisi Barisan Tak Hingga Barisan bilangan real tak hingga (real infinite sequence) adalah fungsi yang mengaitkan setiap bilangan asli dengan sekumpulan bilangan real. Selanjutnya barisan bilangan real tak hingga dalam modul ini disebut dengan barisan. Jadi barisan adalah f : N R f : k f(k) = a k Notasi: {a k } k= = {a k} = (a k ) k= = (a k) = a,a 2,a 3,... Pola suatu barisan dapat diketahui dari penyajiannya. Barisan dapat disajikan dengan menuliskan suku-sukunya, atau dengan memberikan rumus eksplisitnya atau dengan memberikan rumus rekursifnya. Perhatikan contoh berikut.. Bila diberikan rumus eksplisit untuk a k adalah a k = 4k maka barisan {a k } = 3,7,,5, Bila diberikan rumus rekursif untuk a k adalah a = 3,a k = a k + 4 maka barisan {a k } = 3,7,,5,9...

4 2 Modul Kalkulus IV Definisi sub barisan Misalkan (a k ) R adalah barisan bilangan real. Sub barisan dari (a k ) adalah hasil komposisi fungsi f g dengan g : N N dan g monoton naik. Subbarisan dari (a k ) dinotasikan sebagai (a ki ) (a k ). Contoh: Misalkana k = 2+ ( )k k makaf(k) = a k = 2+ ( )k k dan(a k ) =, 5 2, 5 3, 9 4, 9 5, 3 6, 3 7,... Jikag(i) = 3i 2makag(i)monotonnaikdansubbarisanyangdihasilkanadalah(f g)(i) = f(g(i)) = f(3i 2) = a 3i 2 = 2 + ( )3i 2 3i 2, sehingga diperoleh sub barisan (a 3i 2 ) i= = a,a 4,a 7,a 0,... =, 9 4, 3 7, 2 0,... Dalam contoh ini k i = g(i) = 3i 2. Berikut ini diberikan rumus eksplisit dan barisan yang dihasilkannya No. Rumus Eksplisit Barisan i. a k = + 2 3,2, 5, 6, 7, 8, 9,... k ii. b k = 2+ ( )k k, 5 2, 5 3, 9 4, 9 5, 3 6, 3 7,... iii. c k = 2 k 2,4,8,6,32,64,28,... iv. d k = 3 3,3,3,3,3,3,3,3,... Selain mengenali pola barisan, hal menarik yang selalu ditanyakan bila kita menghadapi barisan adalah pertanyaan mengenai perilaku suku-suku barisan bila k membesar terus menerus menuju tak hingga. Untuk menjawab pertanyaan tersebut dipelajari konsep kekonvergenan barisan. Definisi Konvergensi Barisan Barisan {a k } dikatakan konvergen jika terdapat suatu bilangan real L, sedemikian sehingga pernyataan berikut ini berlaku: untuk setiap bilangan positif ǫ terdapat bilangan asli n 0 sehingga a k L < ǫ, untuk setiap k n 0. Jika hal tersebut terjadi maka dikatakan bahwa (a k ) ke L. Notasi: lim a k = L.

5 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 3 Barisan yang tidak konvergen menuju suatu bilangan berhingga L dikatakan divergen. Beberapa jenis kedivergenan dibahas secara khusus pada sub bab barisan divergen. Perhatikan bahwa konsep kekonvergenan barisan serupa dengan konsep limit fungsi f(x) bila x, yang telah dipelajari pada kuliah Kalkulus I. Untuk mengilustrasikan hal tersebut, perhatikan grafik barisan a k = + 2 dan grafik fungsi a(x) = + 2 berikut ini. k x Dapatkah saudara melihat perbedaannya? Pada gambar I. terlihat bahwa kedua grafik Gambar I.: Kaitan ǫ dan n 0 dalam definisi kekonvergenan barisan dan fungsi menuju garis y =. Dengan demikian diduga bahwa (a k ) konvergen menuju. Akan dibuktikan menggunakan definisi kekonvergenan barisan, bahwa lim a k = lim + 2 k =. Menurut definisi, harus dibuktikan bahwa ǫ > 0, n 0 N a k L < ǫ, k n 0. Di sini a k = + 2 k dan L =. Karena harus berlaku ǫ > 0 maka kita ambil sebarang ǫ > 0. Selanjutnya, harus ditentukan n 0 N sehingga + 2 k < ǫ, k n0. Untukmemperolehnilain 0 kitalakukanlangkahmundur. Yangdiinginkanadalah + 2 k = 2 = 2 < ǫ. Pertaksamaan terakhir terpenuhi bila k > 2. Dengan demikian harus dipilih k k ǫ n 0 N dengan n 0 > 2 ǫ.

6 4 Modul Kalkulus IV Jadi telah terbukti bahwa ǫ > 0, n 0 N dengan n 0 > 2 a ǫ k L = + 2 k = 2 k = 2 < 2 k k 0 < 2 2 = ǫ, k n 0. Sesuai definisi telah terbukti bahwa lim + 2 =. k ǫ Untuk mengilustrasikan eksistensi nilai n 0 pada pembuktian tersebut kita akan mencoba dengan mengambil sebarang ǫ. Misalkan diambil ǫ =, maka n 0 N dengan n 0 > 2 = 2. ǫ Jadi untuk ǫ =, n 0 = 3 sehingga + 2 k = 2 k = 2 < 2 < = ǫ, k 3. Sekarang k 3 misalkan diambil ǫ = 0.0 maka n 0 > = 200. Artinya, suku-suku barisan a k berada pada jarak kurang dari 0.0 setelah suku ke-200. Anda dapat mencoba sebarang nilai ǫ > 0 yang lain. Apa yang dapat anda simpulkan? Catatan Berdasarkan definisi konvergensi barisan tersebut, untuk memeriksa kekonvergenan suatu barisan terlebih dahulu kita harus mempelajari perilaku suku-suku barisan (a k ) bila k membesar menuju tak hingga, sehingga dapat ditebak nilai L. Hal ini tidak selalu mudah, apalagi bila ekspresi (a k ) cukup rumit. Untuk itu dapat kita gunakan sifat berikut sehingga kita mungkin dapat menggunakan dalil L Hospital. Sifat: Jika lim x f(x) = L maka lim f(k) = L Contoh Soal. Buktikan bahwa lim 3 = 3 Jawab: Jelas bahwa ǫ > 0, n 0 = a k 3 = 3 3 = 0 < ǫ, k n 0. Terbukti. 2. Buktikan bahwa lim 2k k+4 k = 2 Jawab: Harus dibuktikan bahwa ǫ > 0, n 0 N 2k k +4 k 2 < ǫ, k n 0. Karena harus berlaku ǫ > 0 maka kita ambil sebarang ǫ > 0. Selanjutnya, harus diten- 2k tukan n 0 N sehingga k+4 2 k < ǫ, k n0.

7 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 5 2k Untukmemperolehnilain 0 kitalakukanlangkahmundur. Yangdiinginkanadalah k+4 2 k = 2k k = 8 k = 8 k k k < ǫ. Pertaksamaan terakhir terpenuhi k+4 2k+8 k k+4 k k+4 k k+4 < 8 = 8 k k bila k > 64. Dengan demikian harus dipilih n ǫ 2 0 N dengan n 0 > 64. ǫ 2 Jadi telah terbukti bahwa ǫ > 0, n 0 N dengan n 0 > 64 2k a ǫ 2 k L = k+4 2 k = 2k k+4 2k+8 k k k+4 = 8 k k k+4 = 8 k k k+4 < 8 k = 8 k k k < 8 k0 < 8 64 = ǫ, k n 0. Sesuai definisi ǫ 2 2k telah terbukti bahwa lim k+4 = 2. k 3. Buktikan bahwa barisan (a k ) dengan a k = k divergen Jawab: Andaikan (a k ) konvergen maka terdapat suatu bilangan L R sehingga lim a k = lim k = L. Berarti ǫ > 0, n 0 N k L < ǫ, k n 0. Akibatnya < k L <, yang ekivalen dengan +L < k < L+, k n 0. Berarti bahwa himpunan bilangan asli N terbatas. Hal ini tidak benar sehingga pengandaian salah. Jadi seharusnya (a k ) tidak konvergen. 4. Buktikan bahwa barisan (a k ) dengan a k = ( ) k divergen Jawab: Andaikan (a k ) konvergen maka terdapat suatu bilangan L R sehingga lim a k = lim ( ) k = L. Berarti ǫ > 0, n 0 N ( ) k L < ǫ, k n 0. Jika diambil ǫ = 2 maka n 0 N ( ) k L <, k n 2 0. Untuk k genap maka diperoleh L <, 2 sedangkan untuk k ganjil maka diperoleh L = (+L) = (+L) <. Akibatnya 2 = + = L++L L + +L < + = sehingga 2 <, dan hal ini mustahil. Pengandaian kita tidak benar. Jadi seharusnya (a k ) tidak konvergen. Soal latihan. Tentukan n 0 agar 4k k+ 4 < 5, k n 0. Dengan menggunakan definisi kekonvergenan barisan, buktikan bahwa: 2. lim k+ = 0

8 6 Modul Kalkulus IV 3. lim 3k k+7k 2 = 0 4. lim 2k k+3 = 2 5. lim 3k k+7 k = 3 I. 2 Sifat-sifat Barisan Konvergen Teorema: Barisan tak negatif Jika (a k ) barisan tak negatif dan lim a k = L maka L 0 Bukti: Diketahui a k 0, k N. Andaikan L < 0 maka untuk ǫ = L terdapat n 2 0 N sehingga a k L < L, k n 2 0. Khususnya untuk k = n 0 maka diperoleh a k0 L < L. Akibatnya a k0 L < L, sehingga a 2 k 0 2 < L < 0. Dengan demikian n 2 0 N sehingga a k0 < 0. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu bahwa a k 0, k N. Oleh karena itu pengandaian salah. Jadi haruslah L 0. Teorema terbukti Teorema: Ketunggalan limit Jika (a k ) barisan bilangan real yang konvergen, maka nilai limitnya tunggal. Dengan perkataan lain, jika lim a k = L dan lim a k = M maka L = M. Bukti: Andaikan L M. Diketahui lim a k = L dan lim a k = M. Berarti ǫ > 0, n N a k L < ǫ, k n dan ǫ > 0, n 2 N a k M < ǫ, k n 2. Ambil ǫ = L M 4 > 0 maka n N a k L < L M 4, k n dan n 2 N a k M < L M 4, k n 2. Misalkan n 0 = max{k,n 2 }, maka a k L < L M 4 dan a k M < L M 4, k n 0. Khususnya untuk k = n 0 maka a k0 L < L M 4 dan a k0 M < L M 4. Perhatikan bahwa L M = L a k0 +a k0 M L a k0 + a k0 M = a k0 L + a k0 M < L M 4 + L M 4 = L M 2. Dengan demikian diperoleh L M < L M 2. Mustahil bahwa terdapat bilangan positif yang nilainya kurang dari setengah nilai bilangan tersebut. Berarti pengandaian bahwa L M tidak benar. Jadi seharusnya L = M. Teorema terbukti.

9 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 7 Teorema: Ketunggalan limit sub barisan Jika (a k ) barisan bilangan real yang konvergen ke L, maka SETIAP sub barisan (a ki ) dari (a k ) juga konvergen ke L. Akibatnya, semua sub barisan dari suatu barisan yang konvergen akan konvergen ke nilai limit yang sama. Memperlihatkan kekonvergenan suatu barisan secara langsung menggunakan definisi kekonvergenan barisan tidak selalu mudah, apalagi bila diberikan rumus a k yang rumit. Untuk mengatasinya, dapat digunakan teorema-teorema berikut. Teorema: Sifat-sifat Limit Barisan Misalkan a k dan b k adalah barisan-barisan yang konvergen dan k adalah suatu konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut.. lim k = k 2. lim ka k = k lim a k 3. lim (a k ±b k ) = lim a k ± lim 4. lim (a k b k ) = lim a k lim b k a 5. lim k b k = lim a k lim b k b k asalkan lim b k 0 Coba buktikan kelima sifat tersebut dengan menggunakan definisi kekonvergenan barisan. Selain menggunakan kelima sifat limit barisan tersebut, kekonvergenan barisan dapat pula diperiksa dengan menggunakan teorema berikut, yang sering disebut dengan prinsip apit atau sandwich theorem. Teorema: Prinsip APIT Misalkan a k dan c k adalah barisan-barisan yang konvergen menuju L dan a k b k c k untuk k K, maka b k juga konvergen menuju L. Jika kita menghadapi barisan yang suku-sukunya berubah tanda maka teorema berikut

10 8 Modul Kalkulus IV ini dapat digunakan untuk memeriksa kekonvergenannya dengan memandang barisan nilai mutlaknya. Teorema: konvergensi barisan berubah tanda: Jika lim a k = 0 maka lim a k = 0. Soal latihan. Jika (a k ) barisan real dengan (a k ) M, k N dan diketahui lim a k = L, buktikan bahwa L M. 2. Jika L R, M R dan L M +ǫ, ǫ > 0, buktikan bahwa L M 3. Gunakan sifat a b a b untuk membuktikan bahwa: Jika (a k ) konvergen ke L maka ( a k ) konvergen ke L. 4. Berikan contoh barisan (a k ) yang bersifat ( a k ) konvergen tetapi (a k ) tidak konvergen. ( k ) 5. Tentukan lim k + k. 6. Jika lim a k a k + = 0 buktikan bahwa lim a k =. I. 3 Barisan Monoton dan Terbatas Pada bagian ini dibahas teorema-teorema yang dapat digunakan untuk memeriksa kekonvergenan suatu barisan dengan memanfaatkan sifat kemonotonan dan keterbatasan barisan tersebut. Definisi Barisan Monoton Barisan {a k } disebut barisan tak turun bila a k a k+, k. Sebaliknya, barisan {a k } disebut barisan tak naik bila a k a k+, k. Bila barisan {a k } tak naik atau tak turun maka barisan {a k } disebut barisan monoton.

11 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 9 Sebelum membahas barisan terbatas, perlu diperkenalkan terlebih dahulu definisi-definisi, teorema, dan aksioma mengenai keterbatasan suatu himpunan karena konsep-konsep tersebut diperlukan dalam pembuktian teorema-teorem mengenai barisan monoton dan terbatas. Definisi Himpunan Terbatas Suatu himpunan A R dikatakan Terbatas di Atas jika terdapat bilangan real M sehingga a M, a A. Sebaliknya, A dikatakan Terbatas di Bawah jika terdapat bilangan real m sehingga a m, a A. Dalam hal ini M disebut batas atas dari A dan m disebut batas bawah dari A. Himpunan A R dikatakan Terbatas jika A terbatas di atas dan terbatas di bawah. Dengan perkataan lain, himpunan A R terbatas jika dan hanya jika terdapat bilangan real m dan M sehingga A [m,m]. Perhatikan bahwa batas atas atau batas bawah suatu himpunan tidak tunggal. Definisi Supremum Misalkan A R adalah himpunan yang terbatas di atas. Bilangan α disebut Supremum atau Batas Atas Terkecil dari A jika (i) α adalah batas atas dari A (ii) α M, untuk setiap M batas atas dari A Notasi: α = supa Definisi Infimum Misalkan A R adalah himpunan yang terbatas di bawah. Bilangan β disebut Infimum atau Batas Bawah Terbesar dari A jika (i) β adalah batas bawah dari A (ii) β m, untuk setiap m batas bawah dari A Notasi: β = infa Dua teorema berikut dapat digunakan untuk menggantikan definisi supremum dan infimum suatu himpunan.

12 0 Modul Kalkulus IV Teorema Supremum Misalkan A R adalah himpunan yang terbatas di atas. Maka α = supa jika dan hanya jika (i) α adalah batas atas dari A (ii) ǫ > 0 a A sehingga a > α ǫ Teorema Infimum Misalkan A R adalah himpunan yang terbatas di bawah. Maka β = infa jika dan hanya jika (i) β adalah batas bawah dari A (ii) ǫ > 0 a A sehingga a < β +ǫ Aksioma berikut merupakan aksioma yang hanya dimiliki oleh himpunan bilangan real. Aksioma Eksistensi Supremum Infimum Misalkan A R adalah himpunan bilangan real yang terbatas di atas maka A memiliki supremum di R. Sebaliknya, jika A R adalah himpunan bilangan real yang terbatas di bawah maka A memiliki infimum di R. Definisi Barisan Terbatas Barisan {a k } dikatakan terbatas di atas bila terdapat bilangan M R sedemikian sehingga a k M untuk setiap k N. Barisan {a k } dikatakan terbatas di bawah bila terdapat bilangan m R sedemikian sehingga a k m untuk setiap k N. Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan tersebut terbatas di atas dan terbatas di bawah. Dengan perkataan lain, barisan {a k } R dikatakan terbatas jika m,m R a k [m,m], k N. Dapat pula dikatakan bahwa barisan {a k } R dikatakan terbatas jika M R a k M, k N. Teorema berikut dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa suatu barisan TIDAK konvergen yaitu dengan memperlihatkan bahwa barisan tersebut tidak terbatas.

13 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Teorema: Barisan terbatas Jika barisan {a k } konvergen maka {a k } terbatas Bukti: Diketahui {a k } konvergen. Misalkan lim a k = L. Berarti ǫ > 0, n 0 N a k L < ǫ, k n 0. Akibatnya a k = a k L+L a k L + L < ǫ + L, k n 0. Jika dimisalkan P = ǫ + L maka diperoleh a k < P, k n 0. Misalkan Q = max{ a k k < n 0 } maka a k Q, k < n 0. Misalkan M = max{p,q} maka a k M, k N. Jadi telah terbukti bahwa {a k } terbatas. Perhatikan bahwa menurut teorema tersebut, barisan yang terbatas tidak selalu konvergen. Sebagai contoh, barisan {a k } =,,,,,,,,... merupakan barisan terbatas, namun {a k } tidak konvergen. Yang dapat disimpulkan dari teorema tersebut adalah bahwa barisan yang tak terbatas pasti tidak konvergen, sehingga teorema tersebut berguna untuk memperlihatkan kedivergenan. Namun demikian, Bolzano dan Weierstrass berhasil menurunkan suatu teorema yang menyatakan implikasi suatu barisan terbatas, seperti dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema Bolzano-Weierstrass Setiap barisan bilangan real yang terbatas pasti memiliki sub barisan yang konvergen. Teorema berikut menyatakan hubungan antara kemonotonan dan keterbatasan suatu barisan dengan kekonvergenan, sehingga diperoleh cara lain untuk memperlihatkan kekonvergenan barisan tanpa menggunakan definisi, melainkan cukup dengan memeriksa kemonotonan dan keterbatasan barisan saja. Teorema: barisan monoton Jika barisan {a k } terbatas di atas dan monoton tak turun maka barisan {a k } konvergen. Demikian pula, jika barisan {a k } terbatas di bawah dan monoton tak naik maka barisan {a k } konvergen. Akibatnya, barisan yang monoton dan terbatas pasti konvergen

14 2 Modul Kalkulus IV I. 4 Barisan Divergen Definisi Barisan divergen menuju ke tak hingga Barisan bilangan real (a k ) dikatakan divergen menuju tak hingga jika M > 0,M R n 0 N a k M, k n 0. Notasi: lim a k =. Definisi Barisan divergen menuju ke minus tak hingga Barisan bilangan real (a k ) dikatakan divergen menuju minus tak hingga jika M > 0,M R n 0 N a k M, k n 0. Notasi: lim a k =. Definisi Barisan berosilasi Jika barisan bilangan real (a k ) divergen namun tidak menuju tak hingga maupun minus tak hingga maka barisan (a k ) disebut barisan berosilasi. I. 5 Barisan Cauchy Pada bagian ini diperlihatkan bahwa dengan menggunakan suatu kriteria, yang disebut kriteria Cauchy, kita dapat menentukan konvergensi suatu barisan bilangan real tanpa perlu menentukan nilai L sebagai nilai limitnya terlebih dahulu. Definisi: Barisan Cauchy Barisan bilangan real (a k ) disebut barisan Cauchy jika ǫ > 0, n 0 N a k a m < ǫ, k,m n 0. Kriteria konvergensi Cauchy Barisan bilangan real (a k ) konvergen jika dan hanya jika (a k ) adalah barisan Cauchy Bukti: Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa: jika (a k ) konvergen maka (a k ) adalah barisan Cauchy. Misalkan lim a k = L. Berarti ǫ > 0, n 0 N a k L < ǫ 2, k n 0.

15 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 3 Akibatnya a k a m = a k L+L a m a k L + L a m < ǫ + ǫ = ǫ, k,m n Terbukti bahwa (a k ) adalah barisan Cauchy. Pembuktian pernyataan sebaliknya, yaitu jika (a k ) adalah barisan Cauchy maka (a k ) konvergen, dilakukan dengan menggunakan teorema Bolzano-Wierstrass. I. 6 Soal-soal Latihan Barisan. Pada soal-soal berikut, diberikan rumus eksplisit untuk a k. Tulislah suku-suku barisan (a k ) dan tentukan apakah barisannya konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan lim a k. a. a k = 4k+5 k b. a k = 6k2 2 3k+ c. a k = k 2 + d. a 4k+3 k = kcos(kπ) 6k+5 e. a k = e k sink f. a k = e2k 4 k g. a k = ( ) k 4 +3 k/2 h. a k = k00 e k i. a k = ln(/k) 2k j. a k = (2k) /2k 2. Pada soal-soal berikut, tentukan rumus eksplisit untuk setiap barisan. Tentukan apakah barisannya konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan lim a k. a. (a k ) = 2 2, 2 2 3, 3 2 4, 4 2 5,... b. (a k ) =,,,, c. (a k ) = 2 3 4,,,, d. (a k ) =, 4, 9, 6, e. (a k ) = 2, 2 3, 3 4, 4 5, Pada soal berikut tunjukkan bahwa (a k ) konvergen, dengan menggunakan teorema kemonotonan. a. a k = k k+ ( 2 k 2 ) b. a k = + 2! + 3! + 4! k! c. a =,a k+ = + 2 a k

16 4 Modul Kalkulus IV ( d. a = 2,a k+ = a 2 k + 2 e. a k = ( k ) k + k ( k3 f. a k = k ) k 3 a k ) 4. Misalkan (a k ) = Buktikan bahwa barisan (a k+ a k ) konvergen ke 0 tetapi (a k ) bukan barisan Cauchy.

17 BAB II Deret Bilangan Real II. Deret Tak Hingga Misalkan diberikan barisan {a n } = a,a 2,a 3,... Misalkan S = a, S 2 = a +a 2 = 2 a n, S 3 = a +a 2 +a 3 = 3 a n, S 4 = a +a 2 +a 3 +a 4 = 4 a n,..., S k = a +a 2 +a 3 +a a k = k a n maka terbentuklah barisan {S k } = S,S 2,S 3,... Di sini S k disebut jumlah parsial ke k, dan a n = a +a 2 +a 3 +a disebut DERET TAK HINGGA atau secara singkat hanya disebut deret. Definisi Konvergensi Deret Deret a n dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsial {S k } konvergen menuju S. Notasi: a n = lim k a n = lim S k = S. Sebaliknya, bilabarisan{s k }divergenmakaderet a n dikatakandivergendantidakmempunyai jumlah. 5

18 6 Modul Kalkulus IV Contoh:. Deret geometri adalah deret yang terbentuk dari barisan {ar n }, dengan a 0, yaitu ar n = a+ar+ar 2 +ar Dapat diperlihatkan bahwa deret geometri adalah deret yang konvergen dengan jumlah S = a r bila r <, namun divergen bila r. 2. Dapat diperlihatkan bahwa deret harmonik adalah deret yang divergen. n = II. 2 Teorema-teorema tentang Deret Teorema Uji DIVERGENSI Jika deret a n konvergen maka lim a n = 0. n Perlu diperhatikan bahwa jika lim a n = 0, maka belum tentu deret a n konvergen. n Sifat yang ekivalen dengan teorema tersebut adalah jika lim a n 0, maka deret a n n divergen. Oleh karena itu, teorema tersebut sangat bermanfaat untuk menguji apakah suatu deret divergen, yaitu cukup dengan memeriksa lim n a n. Contoh: deret 2n 3 + n 4n 3 +n divergen sebab lim n a n = lim 2n 3 + n n 4n 3 +n = 2 0. Sifat-sifat kelinieran deret konvergen Jika a n dan b n konvergen dan c adalah suatu konstanta, maka deret (a n +b n ) dan deret c a n juga konvergen, dan berlaku

19 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 7 (i) c a n = c a n (ii) (a n +b n ) = a n + b n. Teorema: Jika a n divergen maka c a n juga divergen. Teorema Jika deret a n konvergen maka suku-suku dalam deret tersebut boleh dikelompokkan dengan sebarang cara dan deret yang dihasilkan dari pengelompokan suku-suku deret tersebut akan konvergen dengan jumlah yang sama dengan deret semula. Soal Latihan. Buktikan bahwa: jika a + a 2 + a 3 + a 4... konvergen ke s maka a 2 + a 3 + a 4... konvergen ke s a 2. Buktikan bahwa deret konvergen n(n+) 3. Untuk nilai x berapakah deret ( x)+(x x 2 )+(x 2 x 3 )+... konvergen? 4. Apakah deret log ( + n) konvergen? 5. Buktikan bahwa: deret a n konvergen jika dan hanya jika ǫ > 0 n 0 N sehingga n k=m+ a k < ǫ, n > m n 0 6. Apakah deret berikut konvergen? n+ a. n+2 b. n+ 0 0 (n+2) 7. Buktikanbahwa: jika a n konvergenkeamaka (a 2 +a 2 )+ (a 2 2+a 3 )+ (a 2 3+a 4 )+... juga konvergen. Tentukan jumlah untuk deret ke dua.

20 8 Modul Kalkulus IV 8. Berikancontohderet a n yangbersifat: (a +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 5 +a 6 )+(a 7 +a 8 )+... konvergen tetapi a +a 2 +a 3 +a divergen II. 3 Uji Deret Positif (Tak Negatif) Dalam sub bab ini dibahas mengenai beberapa uji yang dapat digunakan untuk menentukan kekonvergenan suatu deret dengan suku-suku tak negatif atau positif. Teorema Deret a n, dengan a n 0 akan konvergen jika dan hanya jika jumlah-jumlah parsialnya terbatas di atas, yaitu S n M untuk suatu bilangan positif M. Teorema: uji integral Misalkan f(x) adalah fungsi yang kontinu, bernilai positif, dan monoton tak naik pada selang [, ], dan andaikan a n = f(n), k N. Maka deret tak hingga a n konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar f(x) dx konvergen. Teorema tersebut sering dinyatakan pula sebagai berikut. Deret f(n) dan integral tak wajar f(x) dx konvergen atau divergen secara bersamaan. Teorema: uji banding biasa Misalkan 0 a n b n, n N, untuk suatu N. (i) Jika b n konvergen, maka demikian pula halnya dengan a n (ii) Jika a n divergen, maka demikian pula halnya dengan b n. Teorema: uji banding limit Misalkan a n 0,b n 0, dan a n lim = L. n b n

21 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 9 (i) Jika 0 < L < maka a n dan b n sama-sama divergen atau sama-sama konvergen (ii) Jika L = 0 dan b n konvergen, maka a n konvergen. Teorema: uji rasio Misalkan a n adalah deret dengan suku-suku positif dan (i) Jika ρ < maka deret tersebut konvergen (ii) Jika ρ > maka deret tersebut divergen ρ = lim n a n+ a n. (iii) Jika ρ = maka kekonvergenan deret tersebut tak dapat ditentukan. Teorema: uji akar Misalkan a n adalah deret dengan suku-suku positif dan ρ = lim n n a n. (i) Jika ρ < maka deret tersebut konvergen (ii) Jika ρ > maka deret tersebut divergen (iii) Jika ρ = maka kekonvergenan deret tersebut tak dapat ditentukan. II. 4 Deret Berayun Dalam sub bab ini dipelajari deret berayun, yaitu deret yang nilainya berubah-ubah dari negatif ke positif dan sebaliknya. Deret berayun sering pula disebut deret berganti tanda. Bentuk umum deret berganti tanda adalah ( ) n+ a n = a a 2 +a 3 a 4 +a 5 a

22 20 Modul Kalkulus IV Teorema: uji deret berayun Misalkan ( ) n+ a n adalah deret berayun dengan a n > a n+ > 0. Jika lim a n = 0, maka n deret berayun ( ) n+ a n konvergen. Definisi Konvergen Mutlak Deret u n disebut konvergen mutlak jika u n konvergen. Teorema: uji konvergensi mutlak: Jika u n konvergen maka u n konvergen. Dengan perkataan lain, teorema tersebut menyatakan bahwa deret yang konvergen mutlak pasti konvergen. Teorema: uji rasio mutlak Misalkan u n adalah deret dengan suku-suku tak nol dan ρ = lim n u n+ u n. (i) Jika ρ < maka deret tersebut konvergen mutlak (sehingga konvergen) (ii) Jika ρ > maka deret tersebut divergen (iii) Jika ρ = maka kekonvergenan deret tersebut tak dapat ditentukan. Definisi Konvergen Bersyarat Deret u n disebut konvergen bersyarat jika u n konvergen namun u n divergen. Contoh: deret harmonik berayun merupakan contoh deret yang konvergen bersyarat. Teorema:Jika deret u n konvergen mutlak maka suku-suku dalam deret tersebut boleh diubah susunannya tanpa mengubah nilai konvergensi maupun jumlah deretnya.

23 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 2 II. 5 Deret Kuasa Pada sub bab - sub bab sebelumnya, deret yang kita bahas adalah deret dengan suku-suku konstan, yaitu u n, dengan u n berupa konstanta. Kini akan dibahas deret dengan suku- suku berupa fungsi, yaitu deret berbentuk u n (x). Lebih khusus lagi, dalam sub bab ini dibahas deret fungsi u n (x), dengan u n (x) berupa fungsi pangkat dalam x. Deret yang demikian disebut deret pangkat atau deret kuasa (power series). Bentuk umum deret kuasa dalam x adalah a n (x c) n = a 0 +a (x c)+a 2 (x c) 2 +a 3 (x c) , dengan c adalah suatu konstanta tertentu yang disebut pusat deret kuasa. Bila c = 0 maka diperoleh deret kuasa yang sederhana yaitu a n x n = a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x Bila kita ganti x dengan suatu bilangan, maka akan diperoleh deret konstanta yang dapat dikaji kekonvergenannya. Dengan demikian sangat masuk akal bila muncul dua pertanyaan berikut.. Untuk nilai x berapakah deret kuasa akan konvergen? 2. Bila deret kuasa tersebut konvergen, akan menuju ke fungsi S(x) yang bagaimanakah? Definisi: himpunan semua nilai x yang membuat suatu deret kuasa menjadi konvergen disebut himpunan konvergensi atau daerah kekonvergenan atau selang kekonvergenan deret kuasa tersebut. Teorema: Daerah kekonvergenan deret kuasa a n (x c) n pasti merupakan salah satu dari tiga kemungkinan berikut. (i) Titik tunggal x = c. Pada kasus ini dikatakan bahwa jari-jari konvergensinya adalah 0

24 22 Modul Kalkulus IV (ii) Selang (c R,c + R), ditambah kemungkinan salah satu atau kedua titik ujungnya. Pada kasus ini dikatakan bahwa jari-jari konvergensinya adalah R (iii) Seluruh garis bilangan real. Pada kasus ini dikatakan bahwa jari-jari konvergensinya adalah. Untuk menentukan daerah kekonvergenan dan jari-jari konvergensi, digunakan uji rasio mutlak,yaitu a n (x c) n a konvergenjikaρ = lim n+(x c)n+ a n a n(x c) <. Akibatnya, x c lim n+ n n a n < a. Pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika x c < lim n.misalkanr n a n+ = lim a n, n a n+ dapat disimpulkan bahwa deret kuasa berpusat di x = c konvergen bila x c < R yang ekivalen dengan mengatakan x (c R,c+R). Dalam hal ini R disebut JARI-JARI KON- VERGENSI dan selang (c R,c+R) disebut SELANG KONVERGENSI atau DAERAH KONVERGENSI deret kuasa. PERLU DIINGAT bahwa boleh jadi, pada ujung-ujung selang, yaitu untuk x = c R dan x = c+r deret kuasa a n (x c) n juga konvergen. Oleh karena itu, harus selalu diperiksa apakah deret kuasa konvergen di kedua titik tersebut. PEMERIKSAAN DI KEDUA TITIK UJUNG PASTI GAGAL BILA MENGGUNAKAN UJI RASIO, SEHINGGA HARUS DIGUNAKAN UJI DERET YANG LAIN. Untuk menentukan jari-jari konvergensi, dapat pula digunakan uji akar, yaitu a n (x c) n konvergen jika lim n a n (x c) n <. Akibatnya x c lim n a n <. Pertaksamaan n n terakhir akan terpenuhi jika x c < lim n n an. Jadi, dengan menggunakan uji akar diperoleh cara lain menentukan jari-jari konvergensi, yaitu R = lim. n n an II. 6 Deret Taylor dan Deret Mac Laurin Deret Taylor dan Deret Mac Laurin merupakan contoh deret kuasa. Pada kuliah Kalkulus I telah dipelajari teorema Taylor yang menyatakan suatu fungsi sebagai deret kuasa. Teorema Taylor Jika f(x) dapat diturunkan tak berhingga kali di suatu titik x = c yang terletak pada

25 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 23 domain f(x) maka Deret Taylor dari f(x) di sekitar x = c adalah f(x) = n=0 f n (c) (x c) n, n! dengan f n (c) = dn f dx n x=c. Khususnya jika c = 0 maka diperoleh deret Mac Laurin n=0 f(x) = n=0 f n (0) x n n! Sebagai contoh, telah kita pelajari deret Taylor atau Mac Laurin dari fungsi-fungsi berikut.. sinx = ( ) n x 2n+ = x x3 + x5 x (2n+)! 3! 5! 7! 2. cosx = n=0 3. sinx = 4. e x = n=0 n=0 5. ln(x) = ( ) n x 2n (2n)! = x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8!... ( ) n (x π 2 )2n (2n)! = (x π 2 )2 2! (x π 2 )4 4! + (x π 2 )6 6!... x n n! = +x+ x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! ln(x+) = ( ) n+ (x ) n n 7. ln( x) = ( ) n+ x n n x n n = x (x )2 2 + (x )3 3 (x ) = x x2 2 + x3 3 x = x x2 2 x3 3 x Tugas: tentukan jari-jari dan selang konvergensi ketujuh deret kuasa tersebut. II. 7 Operasi pada Deret Kuasa Teorema: penjumlahan deret kuasa Pada daerah konvergensinya, dua deret kuasa dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku demi suku Contoh: Tentukan deret Mac Laurin untuk f(x) = ln ( +x Jawab: ln ( ) +x x = ln(+x) ln( x) = 2x+2 x x5 5 +2x7 7 +2x x).

26 24 Modul Kalkulus IV Teorema: turunan deret kuasa Pada daerah konvergensinya, turunan dari deret kuasa dapat ditentukan dengan menurunkannya suku demi suku. Contoh: Deret Mac Laurin untuk cosinus dapat diperoleh dengan menurunkan deret Mac Laurin untuk sinus suku demi suku. cos(x) = d dx (sin(x)) = d dx (x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9!... = x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8!... ) Teorema: integral deret kuasa Pada daerah konvergensinya, integral dari deret kuasa dapat ditentukan dengan mengintegralkannya suku demi suku. Contoh Deret Mac Laurin untuk sin(x) dapat diperoleh dengan mengintegralkan deret Mac Laurin untuk cos(x) suku demi suku. cos(x) = = x 0 x 0 cos(t) dt ( t2 2! t4 4! + t6 6!... ) dx = x x3 3! + x5 5! + x7... = sin(x). 7! II. 8 Soal Latihan Deret. Dengan menentukan rumus untuk a n, tentukan kekonvergenan deret berikut. a. ln ln ln ln

27 Wuryansari Muharini Kusumawinahyu 25 b c d Dengan menggunakan sifat-sifat deret yang telah dipelajari, periksalah apakah deretderet berikut konvergen n a. b. 5n 2 3 c. d. (n 2) 2 e. n f. 2 +9n g. n h. n+ i. 2n+ j. n 2 n! k. l. n 00 m. n ( n 3) n. ( o. n n) p. n q. r. 2+n5 n s. t. (ln(n)) ln(n) u. v. (ln(n)) 4 ln(n) w. x. n 2 2 y. n z. n 20 n 2 n (n+) 3n 2 n 3 2n 2 + n n 2 +2n+3 3n+ n n n! 5 n n 5 2+sin 2 n 5 2n n! ln (n+)2 n(n+2) ( ) 2 ln(n) n n ( cos n 3. Periksalah apakah deret berikut konvergen, atau konvergen mutlak, atau divergen a.! + 2! 3! + 4! 5! +... b c d e f ( ) ( ) g. ( 2) n n! n! n n ( ) ( ) )

28 26 Modul Kalkulus IV h. i. ( ) n+ n 2n n + ( )n n

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio. Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang

Lebih terperinci

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan 4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,

DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga, DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR

Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205

Lebih terperinci

Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: DERET TAK HINGGA Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u 3 + + u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

BAB IV DERET FOURIER

BAB IV DERET FOURIER BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the

Lebih terperinci

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II Oleh Ayundyah Kesumawati, S.Si., M.Si. (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 26 Daftar Isi Daftar Isi iv Daftar

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB

Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011

Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB   September 26, 2011 (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum

Lebih terperinci

Deret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14

Deret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14 Deret Binomial Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII June 25, 2015 Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, 2015 1 / 14 Pendahuluan Deret Binomial Kita telah mengenal Rumus Binomial. Untuk bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009 0 A. Identitas Mata

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai

Lebih terperinci

PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA

PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA Eksakta Vol 8 No Oktober 07 http://eksaktappjunpacid E-ISSN : 549-7464 P-ISSN : 4-374 PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA Prodi Matematika Jurusan Matematika FMIPA

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut

Lebih terperinci

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya

Lebih terperinci

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA A. MATA KULIAH RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA Nama Mata Kuliah : Matematika II Kode/sks : MAS 4116/ 3 Semester : III Status (Wajib/Pilihan) : Wajib (W) Prasyarat : MAS 4215

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah

Lebih terperinci

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan

Lebih terperinci

) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =

) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X = Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen

MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH 1 Kalkulus Lanjut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2010 BARISAN DAN

Lebih terperinci

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas

Lebih terperinci

Pengantar : Induksi Matematika

Pengantar : Induksi Matematika Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian

Lebih terperinci

Deret Harmonik. Wono Setya Budhi. October 16, Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, / 20

Deret Harmonik. Wono Setya Budhi. October 16, Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, / 20 Wono Setya Budhi October 16, 2014 Wono Setya Budhi October 16, 2014 1 / 20 1 Misalkan kita mempunyai barisan {f n } n=1 dengan f n = 1 n Wono Setya Budhi October 16, 2014 2 / 20 1 Misalkan kita mempunyai

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T. DESKIPSI MATA KULIAH EL-121 Matematika Teknik I: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

MATEMATIKA 2. DERET Series ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG

MATEMATIKA 2. DERET Series ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG MATEMATIKA DERET Series ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG BARISAN VS DERET BARISAN (Sequences) Himpunan besaran u 1, u, u 3, yang

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

Dwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET

Dwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret   1. KONVERGENSI DERET 1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 536 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Nilai p agar vektor 2i + pj + k dan i 2j 2k saling tegak lurus adalah... a) 6

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B

Lebih terperinci

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan

Lebih terperinci

CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)

CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS) CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( KALKULUS II ) Pengesahan. Nama Dokumen : SATUAN ACARA PERKULIAHAN KALKULUS II

SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( KALKULUS II ) Pengesahan. Nama Dokumen : SATUAN ACARA PERKULIAHAN KALKULUS II Pengesahan Nama Dokumen : KALKULUS II No Dokumen : No ISO 91:28/IWA 2 1dari 6 Diajukan oleh Imelda Saluza, S.Si.,M.Sc (Dosen Pengampu) Diperiksa oleh Ir. Dedi Hermanto, MT (GPM) Disetujui oleh Lastri Widya

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL II (PAM 34 )

ANALISIS RIIL II (PAM 34 ) RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) ANALISIS RIIL II (PAM 34 ) PENGAMPU MATA KULIAH Dr. MUHAFZAN & HARIPAMYU, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS ANDALAS

Lebih terperinci

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi

4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi 8 Hendra Gunawan 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus

Lebih terperinci