BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara"

Transkripsi

1 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad ke sembilanbelas disebut aljabar klasik, sedangkan aljabar sesudah abad ke sembilanbelas (hingga sekarang) disebut aljabar medern.. Aljabar Klasik Teknik memasukkan suatu simbol, misalnya xx, untuk melambangkan (mempresentasikan) suatu bilangan yang tidak diketahui di dalam menyelesaikan berbagai permasalahan sudah diketahui sejak abad ke-7. Simbol tersebut dapat dimanipulasi sebagai simbol-simbol aritmatik hingga diperoleh suatu solusi yang diinginkan. Aljabar klasik mempunyai ciri (karakteristik) bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Oleh karenanya, pada abad ke-7 dan abad ke-8, ahli-ahli matematik tidak memahami benar tentang akar pangkat dua dari bilangan negatif. Hal tersebut berlangsung hingga abad ke-9 dan pada permulaan 4 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

2 5 (awal) aljabar modern barulah diperoleh penjelasan yang baik tentang bilangan kompleks yang telah diketahui. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu persamaan polinom. Aljabar klasik berhasil memberikan algoritma-algoritma (aturan-aturan) untuk menyelesaikan semua permasalahan persamaan polinom dengan satu variabel dengan derajat tidak lebih dari empat.. Aljabar modern Pada abad ke-9, secara berangsur-angsur ternyata bahwa simbolsimbol matematika tidak perlu menyatakan suatu bilangan, pada kenyataannya simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja. Dari kenyataan tersebut maka muncullah apa yang disebut aljabar modern. Sebagai contoh misalnya simbol-simbol tersebut dapat melambangkan kesimetrian dari suatu benda/bangun, dapat melambangkan posisi dari suatu jaringan, dapat melambangkan instruksi dari suatu mesin, atau dapat melambangkan suatu rancangan/desain dari sebuah eksperimen statistik. Simbol-simbol tersebut dapat digunakan untuk memanipulasi sebarang aturan dari bilangan-bilangan. Misalnya, polinom 3xx + xx dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan polinom-polinom lainnya, tanpa menginterpretasikan bahwa xx sebagai suatu bilangan. (Wahyudin, 989) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

3 6 3. Operasi Aljabar Diberikan aa, bb, cc, dd, xx RR maka berlaku : a. Penjumlahan aaaa + bbbb = (aa + bb)xx aaaa + bb + cccc + dd = (aa + cc)xx + (bb + dd) b. Pengurangan aaaa bbbb = (aa bb)xx aaaa bb cccc dd = (aa cc)xx (bb + dd) c. Perkalian ) Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar aa(bbbb + cccc) = aaaaaa + aaaaaa ) Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar d. Pembagian aaaa(bbbb + cccc) = aaaa xx + aaaaaaaa aaaa(bbbb + cccc) = aaaaaaaa + aaaa yy (xx + aa)(xx + bb) = xx + bbbb + aaaa + aaaa (aaaa + bbbb): cc = aaaa + bbbb cc e. Pangkat Bentuk Aljabar (aaaa) nn = aa nn xx nn = cc (aaaa + bbbb) = aa cc xx + bb cc yy Contoh II.A. : Hitunglah perkalian bentuk aljabar berikut : (3xx + yy)(xx yy) = Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

4 7 Jawab : (3xx + yy)(xx yy) = 3xx. xx + (3xx. yy) + yy. xx + (yy. yy) = 3xx + ( 6xxxx) + xxxx + ( yy ) = 3xx yy 5xxxx Contoh II.A. : Hitunglah penjumlahan bentuk aljabar berikut : + = (xx ) (xx+3) Jawab : (xx ) + (xx + 3) = (xx + 3) (xx )(xx + 3) + (xx ) (xx )(xx + 3) = = (xx + 3) + (xx ) (xx )(xx + 3) xx + (xx )(xx + 3) B. Bilangan Transcendental Definisi II.B.: Bilangan Transcendental (Leithold, 99:4) Bilangan Transcedental (transcendental number) adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari fungsi polinom pp(xx) berkoefisien bilangan rasional. Akar fungsi polinom adalah suatu bilangan yang merupakan solusi dari fungsi polinom yang dimaksud. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

5 8 Misalkan ada fungsi polinom pp(xx) = aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn 3 xx nn aa 0 dengan aa nn, aa nn, aa nn, aa nn,, aa 0 adalah bilangan rasional. Berapapun derajat pp(xx) yang diambil asalkan bukan nol dan apapun bilangan rasional yang dipilih sebagai koefisien maka bilangan transcendental bukanlah akar nya. Lawan dari bilangan transcendental adalah bilangan aljabar (algebraic number). Bilangan ee merupakan bilangan transcendental, karena tidak dapat dinyatakan sebagai akar dari suatu polinom dengan koefisien bilangan rasional. Pembuktikan bahwa ee merupakan bilangan transcendental dilakukan oleh Charles Hermit pada tahun 873. Dimana nilai dari bilangan ee sampai dengan tujuh desimal adalah,7888. Contoh lain bilangan tt transcendental adalah ππ, tt( tt, tt ) untuk tt RR-{,}. Contoh II.B. : Termasuk bilangan aljabar atau bilangan transcendental kah? Jawab : Kareana merupakan akar dari polinomial bentuk xx = 0, maka bukan merupakan bilangan transcendental. Contoh II.B. : Termasuk bilangan aljabar atau bilangan transcendental kah? Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

6 9 Jawab : Karena tidak ditemukan bentuk polinomial yang merupakan akarnya maka, adalah bilangan transcendental. C. Fungsi Definisi II.C.: Fungsi (Martono,999:9) Diberikan himpunan AA, BB RR, fungsi ff: AA BB adalah suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur xx AA dengan tepat satu unsur yy BB. Unsur yy yang berkaitan dengan unsur xx diberi lambang yy = ff(xx), yang dinamakan aturan fungsi. Di sini xx dinamakan peubah bebas, dan yy yang nilainya bergantung pada xx dinamakan peubah tak bebas. Jika terdapat y = f(x), x A, maka daerah asal fungsi f adalah himpunan AA, ditulis AA = DD ff, dan daerah nilai fungsi ff adalah himpunan RR ff = {yy yy = ff(xx), xx AA}. Jika yang diketahui hanya yy = ff(xx), maka daerah asal dan daerah nilai fungsi ff adalah : DD ff = {xx RR ff(xx) RR} dan RR ff = {ff(xx) RR xx DD ff } fungsi ini dinamakan fungsi real. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

7 0 f R R x D f f R f f(x) Gambar II.C.: Gambar fungsi real yy = ff(xx) Contoh II.C.: Diberikan ff: RR RR dengan aturan ff(xx) = + xx Agar ff(xx) RR, syaratnya adalah xx 0 xx 0 xx xx Sehingga daerah asal fungsi f adalah DD ff = {xx RR xx } Karena untuk setiap xx DD ff berlaku xx 0, maka ff(xx) = + xx Sehingga daerah nilai fungsi ff adalah RR ff = {yy RR yy } Fungsi digolongkan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

8 Definisi II.C.: Fungsi aljabar (Martono,999:33) Fungsi aljabar adalah suatu fungsi yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan ff(xx) = kk dan fungsi identitas gg(xx) = xx. Operasi yang dilakukan terhadap kedua fungsi ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar ke-nn, untuk nn =,3,. Jenis-jenis fungsi aljabar :. Fungsi konstan (fungsi tetap), fungsi konstan adalah fungsi ff(xx) yang dinyatakan dalam rumus ff(xx) = cc, dengan cc suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya sumbu xx merupakan garis yang sejajar dengan sumbu xx.. Fungsi identitas, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku ff(xx) = xx, atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. 3. Fungsi linear, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh ff(xx) = aaaa + bb, di mana aa 0, aa dan bb bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. 4. Fungsi kuadrat, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh ff(xx) = aaxx + bbbb + cc, di mana aa 0 dan aa, bb, dan cc bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

9 5. Fungsi Polinomial, fungsi Polinomial adalah fungsi ff(xx) yang dinyatakan dalam bentuk : ff(xx) = aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn 3 xx nn aa 0. Jika nn = maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus). Jika nn = maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola). 6. Fungsi bilangan bulat terbesar, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi bilangan bulat terbesar apabila setiap elemen domain dikawankan dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan eleman tersebut. Fungsi bilangan bulat terbesar dinyatakan dalam bentuk ff(xx) = [xx]. 7. Fungsi modulus, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Fungsi modulus dinyatakan dalam bentuk ff(xx) = xx. Definisi II.C.3: Fungsi Transenden (Martono,999:33) Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Jenis-jenis fungsi transenden :. fungsi eksponensial : ff(xx) = aa xx dimana aa 0 aaaaaaaa.. Fungsi logaritmik: ff(xx) = log aa xx, dimana aa 0 aaaaaaaa. Fungsi ini adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial. Jika aa = ee =,788, Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

10 3 yang dinamakan basis alami dari logaritma maka penulisan ff(xx) = log aa xx = log ee xx = ln xx, yang dinamakan logaritma alami dari xx. 3. Fungsi trigonometrik : sin xx, cos xx, tan xx = cot xx = cos xx = tan xx sin xx sin xx cos xx, csc xx = sin xx, sec xx = cos xx, Variabel xx umumnya dinyatakan di dalam radian (ππ radian = 80 0 ). Untuk nilai xx yang real, maka sin xx dan cos xxterletak diantara dan. 4. Fungsi hiperbolik : didefinisikan dalam fungsi eksponensial sebagai berikut : a. sinh xx = ee xx ee xx b. cosh xx = ee xx +ee xx c. tanh xx = sinh xx = ee xx ee xx cosh xx ee xx +ee xx d. sech xx = cosh xx = ee xx +ee xx e. csch xx = sinh xx = ee xx ee xx f. coth xx = cosh xx = ee xx +ee xx sinh xx ee xx ee xx 5. Fungsi ganjil dan fungsi genap, fungsi ff(xx) disebut fungsi ganjil apabila berlaku ff( xx) = ff(xx), dan disebut fungsi genap apabila ff( xx) = ff(xx). (spiegel,997) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

11 4 Definisi II.C.4 : Fungsi Terbatas (Martono,999:38) Fungsi ff(xx) dikatakan fungsi terbatas jika terdapat MM > 0 sehingga ff(xx) MM untuk setiap xx DD ff. Contoh II.C.4 :. Fungsi ff(xx) = sin xx terbatas karena ff(xx) = sin xx untuk setiap xx DD ff.. Fungsi ff(xx) = tidak terbatas pada selang (0, ) karena untuk sebarang xx MM > 0, terdapat xx 0 = > 0 sehingga ff(xx MM 0 ) = MM > MM. Definisi II.C.5 : Fungsi ff(xx) dikatakan :. Monoton naik pada selang I : uu < vv ff(uu) < ff(vv) uu, vv II.. Monoton tak turun pada selang I : uu < vv ff(uu) ff(vv) uu, vv II. 3. Monoton turun pada selang I : uu < vv ff(uu) > ff(vv) uu, vv II. 4. Monoton tak naik pada selang I : uu < vv ff(uu) ff(vv) uu, vv II. Sifat-sifat Fungsi :. Fungsi Injektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi injektif atau satu-satu jika setiap anggota himpunan A mempunyai bayangan berbeda di B.. Fungsi Surjektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi surjektif jika setiap anggota himpunan B mempunyai prapeta di A. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

12 5 3. Fungsi Bijektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi bijektif jika fungsi tersebut injektif dan bijektif. D. Limit Fungsi Definisi II.D. : Limit (Martono,999:49) Diberikan fungsi ff(xx) yang terdefinisi pada selang terbuka II yang memuat cc, kecuali mungkin di cc sendiri. Limit fungsi ff(xx) di cc adalah LL, (ditulis lim xx cc ff(xx) = LL, atau ff(xx) LL bila xx cc) jika εε > 0, δδ > 0 sehingga 0 < xx cc < δδ ff(xx) LL < εε. Contoh II.D. : Buktikan lim x (5x + ) = 3 Jawab : Diberikan εε > 0, akan ditentukan δδ > 0 sehingga memenuhi 0 < xx + < δδ (5xx + ) + 3 < εε, (5xx + ) + 3 = 5xx + 5 = 5 xx + jika 0 < xx + < δδ 5 xx + < 5δδ 5δδ = εε δδ = εε 5 Agar (5xx + ) + 3 < εε, dipilih δδ = εε 5, maka untuk 0 < xx + < δδ (5xx + ) + 3 < εε Terbukti bahwa lim xx (5xx + ) = 3 karena εε > 0, δδ = εε 5 > 0 sehingga Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

13 6 0 < xx ( ) < δδ (5xx + ) ( 3) < εε. Sifat-sifat Limit Jika : lim xx cc ff(xx) = LL dan lim xx cc gg(xx) = MM maka:. lim xx cc [ff(xx) ± gg(xx)] = LL ± MM. lim xx cc. ff(xx) =. LL 3. lim xx cc [ ff(xx). gg(xx)] = LL. MM 4. lim xx cc ff(xx) gg(xx) = LL MM ; MM 0 5. Untuk n bilangan asli: a. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn b. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn = nn, LL 0 LL c. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn nn = LL ; nn 0, n bilangan genap Definisi II.D. : Limit Menuju Tak Hingga Positif (Purcell,003:85) Diberikan fungsi ff yang didefinisikan pada [cc, ) untuk beberapa bilangan cc. lim xx ff(xx) = LL jika untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan MM yang bersesuaian sedemikian sehingga xx > MM ff(xx) LL < εε. Definisi II.D.3 : Limit Menuju Tak Hingga Negatif (Purcell,003:86) Diberikan fungsi ff yang didefinisikan pada (, cc] untuk beberapa bilangan cc. lim xx ff(xx) = LL jika untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan MM yang bersesuaian sedemikian sehingga xx < MM ff(xx) LL < εε. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

14 7 Contoh II.D. : Tunjukkan lim xx xx kk = 0 Jawab : Akan ditunjukkan lim xx xx kk = 0 Diberikan εε > 0, akan ditentukan MM sehingga memenuhi xx > MM 0 =< εε xxkk xx kk 0 = xx kk = xx kk Jika xx > MM xx kk > MM kk xx kk < MM kk Agar xx kk 0 = xx kk < εε dapat diambil MMkk = εε atau MM kk = εε kk MM = εε Terbukti bahwa lim xx kk = 0 karena untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan xx kk MM = εε yang bersesuaian sedemikian sehingga xx > MM kk 0 < εε. xx Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

15 8 Bentuk Limit dari ee Fungsi ff(xx) = ln xx terdiferensialkan untuk xx > 0 dengan ff (xx) = xx, sehingga untuk xx =, ff (xx) = = ln ee. Berdasarkan turunan fungsi ff(xx), dan sifat xx ln aa = ln aa xx, dan kekontinuitasan fungsi ff(xx), karena fungsi logaritma natural satu-satu, maka diperoleh bentuk llimit dari ee yaitu : ln ee = ff () = lim h 0 ff( + h) ff() h = lim h 0 ln( + h) h = ln lim h 0 ( + h) h ee = lim h 0 ( + h) h Dengan menggantikan nn =, maka dapat diperoleh bentuk limit lainnya dari h ee yaitu : ee = lim nn + nn nn, atau ee = lim nn + nn nn (Martono, 999) E. Kontinuitas Definisi II.E.: Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik (Leithold,99:8) Fungsi ff(xx) dikatakan kontinu di suatu titik aa jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi:. lim xx aa ff(xx) ada. ff(aa) ada Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

16 9 3. lim xx aa ff(xx) = ff(aa) Jika satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak di penuhi di titik aa, maka fungsi ff(xx) dikatakan tak kontinu di aa. Contoh II.E. : Buktikan bahwa fungsi : ff(xx) = xx, xx 3 3 xx xx 9, xx < 3 Kontinu di xx = 3. Jawab : i. ff(3) =.3 = 6 ii. lim xx 3 ff(xx) = lim = lim = lim xx 3 ff(xx) = xx 3 xx 9 xx 3 (xx 3)(xx+3) 6 lim xx 3 + ff(xx) = lim = xx 3 + xx 6 3 xx 3 xx lim xx 3 ff(xx) = 6 iii. lim xx 3 ff(xx) = 6 = ff(3) Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa ff(xx) kontinu di xx = 3 Definisi II.E.: Kekontinuan Fungsi pada Suatu Selang (Leithold,99:8) Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang terbuka jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu di setiap titik pada selang terbuka tersebut. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

17 0 Definisi II.E.3: Kontinuitas Bagian Demi Bagian (Finizio,988:75) Suatu fungsi ff(xx) dikatakan kontinu bagian demi bagian pada suatu selang I, jika f(x) dapat dibagi menjadi jumlah berhingga selang-selang bagian, di dalam selang-selang bagian itu f(x) kontinu dan mempunyai limit kiri dan kanan yang berhingga. f(x) a x x x b x Gambar II.E.:Gambar fungsi f(x) kontinu bagian demi bagian F. Fungsi Eksponen. Fungsi Eksponen Natural Definisi II.F.: Fungsi Eksponen Natural (Martono, 999:9) Invers dari fungsi logaritma natural dinamakan fungsi eksponen natural, dan dinyatakan dengan ee xx. Terdapat relasi : xx = ee yy yy = ln xx, dimana xx > 0 dan yy RR sehingga diperoleh : e ln x = xx, xx > 0 dan ln ee yy = yy, yy RR Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

18 Karena fungsi logaritma natural monoton naik, dan fungsi ini satu-satu akibatnya, persamaan ln xx = mempunyai jawaban tunggal, sebutlah jawabnya bilangan ee. Disini dapat didefinisikan bilangan ee adalah bilangan real yang memenuhi ln ee =. Untuk xx = ee, e ln e = ee = ee Nilai hampiran untuk bilangan irrasional ee adalah,788 Sifat grafik fungsi eksponen natural ff(xx) = ee xx adalah : - Kontinu pada RR - Monoton naik pada RR - Cekung ke atas pada RR - lim xx ee xx = 0 dan lim xx ee xx = Grafik fungsi eksponen natural adalah sebagai berikut : y yy = ff(xx) = ee xx 0 x Gambar II.F. : Grafik fungsi eksponen natural Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

19 . Fungsi Eksponen dengan Bilangan Dasar aa > 0 Definisi II.F.: Fungsi Eksponen dengan Bilangan Dasar aa > 0 (Martono, 999:9) Fungsi ff(xx) = aa xx, dimana aa > 0 dan aa dinamakan fungsi eksponen dengan bilangan dasar aa. Sifat fungsi ff(xx) = aa xx, aa > 0 dan aa - Daerah asal dan daerah hasil fungsi ff adalah DDDD = RR dan RRRR = (0, ). - Fungsi ff kontinu pada RR. - Fungsi ff naik untuk aa > dan monoton turun untuk 0 < aa < - Fungsi ff selalu cekung ke atas pada daerah asalnya. Grafik fungsi ff(xx) = aa xx untuk aa > diperlihatkan pada Gambar II.F... y ff(xx) = aa xx, aa > 0 0 x Gambar II.F.. : fungsi ff(xx) = aa xx, aa > 0 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

20 3 y ff(xx) = aa xx, 0 < aa < 0 x Gambar II.F.. : fungsi ff(xx) = aa xx, 0 < aa < G. Persamaan Eksponensial Definisi II.G. : Persamaan eksponensial adalah persamaan yang eksponennya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah variabel. Teorema II.G. : Diberikan xx, yy RR dan aa, bb > 0 maka berlaku :. aa xx. aa yy = aa xx+yy. aa xx aayy = aaxx yy 3. (aaaa) xx = aa xx. bb xx 4. aa 0 = 5. (aa xx ) yy = aa xx.yy (Margha, 985) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

21 P 4 Bentuk-bentuk Persamaan Eksponensial :. aa ff(xx) = Jika aa ff(xx) = dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = 0. aa ff(xx) = aa pp Jika aa ff(xx) = aa pp dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = pp 3. aa ff(xx) = aa gg(xx) Jika aa ff(xx) = aa gg(xx) dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = gg(xx) 4. aa ff(xx) = bb ff(xx) dimana aa bb Jika aa ff(xx) = bb ff(xx) dengan aa, bb > 0 dan aa bbp, maka ff(xx) = 0 5. aa ff(xx) = bb gg(xx) Jika aa ff(xx) = bb gg(xx) dengan aa, bb > 0 dan aa, bb dapat diselesaikan dengan logaritma, yaitu: log aa ff(xx) = log bb gg(xx) 6. (UU(xx)) ff(xx) = (UU(xx)) gg(xx) P atau f(x) log a = g(x) log b Jika (UU(xx)) ff(xx) = (UU(xx)) gg(xx) maka nlai x diperoleh dari : a. ff(xx) = gg(xx) b. UU(xx) = c. UU(xx) = 0, jika nilai xx memenuhi syarat ff(xx) 0 dan gg(xx) > 0 d. UU(xx) =, jika nilai xx memenuhi syarat ff(xx) dan gg(xx) keduaduanya ganjil atau kedua-duanya genap. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

22 5 7. AA aa ff(xx) + BB aa ff(xx) + CC = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen AA aa ff(xx) + BB aa ff(xx) + CC = 0 dengan (aa > 0 dan aa, AA, BB, dan CC bilangan real dan AA 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat. Contoh II.G. : Carilah himpunan penyelesaian dari xx. xx + 3 = 0 Jawab : xx. xx + 3 = 0 ( xx ). ( xx ) + 3 = 0 dimisalkan xx = yy, maka persamaan ( xx ). ( xx ) + 3 = 0 dapat dituliskan menjadi yy yy + 3 = 0 (yy 4)(yy 8) = 0 yy = 4 atau yy = 8 untuk yy = 4, didapat xx = 4 xx = xx = untuk yy = 8, didapat xx = 8 xx = 3 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

23 6 xx = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {,3} Contoh II.G. : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut : (xx 5xx + 5) xx 7xx 6 = (xx 5xx + 5) xx +xx+3 Jawab : (xx 5xx + 5) xx 7xx 6 = (xx 5xx + 5) xx +xx+3 ) xx 7xx 6 = xx + xx + 3 xx 8xx 9 = 0 (xx + )(xx 9) = 0 xx = atau xx = 9 ) xx 5xx + 5 = xx 5xx + 4 = 0 (xx )(xx 4) = 0 xx = atau xx = 4 3) xx 5xx + 5 = 0 xx, = ( 5) ± ( 5) 4()(5) () xx, = 5 ± 5 0 xx, = 5 ± 5 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

24 7 xx = 5+ 5 atau xx = 5 5 Untuk xx = 5+ 5 gg(xx) = xx 7xx 6 gg = gg = 6 gg = gg = h(xx) = xx + xx + 3 h = untuk gg(xx) dan h(xx) hasilnya positif, berarti xx = 5+ 5 merupakan anggota himpunan penyelesaian. Untuk xx = 5 5 gg(xx) = xx 7xx 6 gg 5 5 = gg = 6 gg 5 5 = Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

25 8 gg 5 5 = untuk gg(xx) hasilnya negatif, berarti xx = 5 5 bukan merupakan anggota himpunan penyelesaian. 4) xx 5xx + 5 = xx 5xx + 6 = 0 (xx )(xx 3) = 0 xx = atau xx = 3 xx = gg() = () 7() 6 = = h() = () + () + 3 = 9 gg(xx) dan h(xx) keduanya tidak ganjil atau genap, berarti xx = bukan merupakan himpunan penyelesaian. xx = 3 gg(3) = (3) 7(3) 6 = 8 6 = 9 h(3) = (3) + (3) + 3 = 5 gg(xx) dan h(xx) keduanya ganjil, berarti xx = 3 merupakan himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah,,3, 5+ 5, 4,9 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431

PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431 PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS DAN TEKNOLOGI SBMPTN 203 KODE 43. Persamaan lingkaran dengan pusat (,) dan menyinggung garis 3xx 4yy + 2 0 adalah Sebelum menentukan persamaan lingkarannya, kita tentukan

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Rangkuman Suku Banyak

Rangkuman Suku Banyak Rangkuman Suku Banyak Oleh: Novi Hartini Pengertian Suku banyak Perhatikan bentuk aljabar dibawah ini i. Suku banyak xx 2 + 4xx + 9 berderajat 2, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 2 ii. Suku banyak

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dikemukakan teori-teori yang mendukung pembahasan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan menggunakan metode fungsi green antara lain: persamaan

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini, akan diuraikan definisi-definisi dan teorema-teorema yang

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini, akan diuraikan definisi-definisi dan teorema-teorema yang BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan diuraikan definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan digunakan sebagi landasan pembahasan untuk bab III. Materi yang akan diuraikan antara lain persamaan diferensial,

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI. f : x y

BAB 3 FUNGSI. f : x y . Hubungan Relasi dengan Fungsi FUNGSI Relasi dari himpunan P ke himpunan Q disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur pada himpunan P berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur pada

Lebih terperinci

INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE

INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE Ikram Hamid Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT In this paper, we discuss a Riemann-type

Lebih terperinci

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

APA ITU FUNGSI? x f : x y atau y=f(x) f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2. Imajinasi : bermain golf

APA ITU FUNGSI? x f : x y atau y=f(x) f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2. Imajinasi : bermain golf FUNGSI TEP FTP UB APA ITU FUNGSI? Imajinasi : bermain golf x f f : x y atau y=f(x) y Sebuah fungsi adalah transformasi dari input x pada output y = f(x). f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2 Fungsi adalah hubungan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN

Aljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul

Lebih terperinci

BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN

BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan

Lebih terperinci

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716

MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. glide/refleksi geser, grup simetri, frieze group, graphical user interface (GUI) dijelaskan mengenai operasi biner.

BAB II KAJIAN PUSTAKA. glide/refleksi geser, grup simetri, frieze group, graphical user interface (GUI) dijelaskan mengenai operasi biner. BAB II KAJIAN PUSTAKA Secara umum, pada bab ini membahas mengenai kajian teori yang digunakan dalam penelitian yaitu, grup, transformasi, translasi, refleksi, rotasi, glide/refleksi geser, grup simetri,

Lebih terperinci

PTE 4109, Agribisnis UB

PTE 4109, Agribisnis UB MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan

Lebih terperinci

FUNGSI. Matematika Dasar 9/18/2013. TEP-FTP-UB MatDas_Meet 2 APA ITU FUNGSI? DOMAIN, KODOMAIN, RANGE. x f : x y / y=f(x) f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2

FUNGSI. Matematika Dasar 9/18/2013. TEP-FTP-UB MatDas_Meet 2 APA ITU FUNGSI? DOMAIN, KODOMAIN, RANGE. x f : x y / y=f(x) f : x y y=f(x) y=f(x)=x 2 APA ITU FUNGSI? FUNGSI Imajinasi : bermain golf f f : / =f() TEP FTP UB Sebuah fungsi adalah transformasi dari input pada output = f(). f : =f() =f()= DOMAIN, KODOMAIN, RANGE Fungsi adalah hubungan antara

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye

Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol.7 No.2 (2013) Hal. 12-19 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER MELALUI DIAGONALISASI MATRIKS Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye Program

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

Herlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat

Herlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINIER ORDE 2 DALAM BENTUK POLINOMIAL TAYLOR Herlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA

Lebih terperinci

Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta

Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. Institut Sains dan Teknologi AKPRIND Yogyakarta 1 RELASI Oleh: Mega Inayati Rif ah, S.T., M.Sc. 2 RELASI Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B.

FUNGSI. Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI Fungsi atau Pemetaan dari A ke B adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan setiap x Є A dipasangkan tepat dengan satu y Є B. FUNGSI KOMPOSISI Daerah asal alami f : A B adalah semua unsur

Lebih terperinci

Penyelesaian : Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. 3 x

Penyelesaian : Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. 3 x Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. y 3 x 9 3. Hubungan dua buah garis Letak dua buah garis y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 dalam satu bidang

Lebih terperinci

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1

atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1 i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=

Lebih terperinci

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab:

BAB. VI. FUNGSI. Contoh 2. Dari diagram panah diatas tentukan: a. Domain b.kodomain. d.himpunan pasangan berurutan jawab: A. FUNGSI I. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) yaitu relasi khusus, dimana setiap anggota daerah asal mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota daerah kawan A B BAB. VI. FUNGSI Keterangan: A=Daerah

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1

FUNGSI. range. Dasar Dasar Matematika I 1 FUNGSI Pada bagian sebelumnya telah dibahas tentang relasi yaitu aturan yang menghubungkan elemen dua himpunan. Pada bagian ini akan dibahas satu jenis relasi yang lebih khusus yang dinamakan fungsi Suatu

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO

PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO Ermawati i, Puji Rahayu ii,, Faihatus Zuhairoh iii i Dosen Jurusan Matematika FST UIN Alauddin

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT PEMETAAN BILINEAR

SIFAT-SIFAT PEMETAAN BILINEAR SIFAT-SIFAT PEMETAAN BILINEAR Mustafa A.H. Ruhama Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT Let UU, VV and WW are vector

Lebih terperinci

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika

FUNGSI. Matematika FTP UB. Matematika FUNGSI FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Memproses Bilangan Sebuah fungsi adalah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Tinjauan Mata Kuliah

Tinjauan Mata Kuliah i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah

Lebih terperinci

FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015

FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif,

Lebih terperinci

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus Himpunan bilangan riil (R) dengan diberikan opersai max dan plus dengan mengikuti definisi berikut : Definisi II.A.1: Didefinisikan εε dan ee 0, dan untuk himpunan

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 2014 Vol. 8 No. 1 METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 2014 Vol. 8 No. 1 METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 204 Vol. 8 No. METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR Bayu Prihandono, Meilyna Habibullah, Evi Noviani Program Studi

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI Program Studi Agribisnis

MATEMATIKA EKONOMI Program Studi Agribisnis MATEMATIKA EKONOMI Program Studi Agribisnis Dosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Email : asyahza@yahoo.co.id Website: http://almasdi.unri.ac.id HUBUNGAN FUNGSIONAL Pengertian dan unsur-unsur

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK PARAMETER PROPORSI PADA DISTRIBUSI BINOMIAL

PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK PARAMETER PROPORSI PADA DISTRIBUSI BINOMIAL PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK PARAMETER PROPORSI PADA DISTRIBUSI BINOMIAL Jainal, Nur Salam, Dewi Sri Susanti Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci