KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL"

Transkripsi

1 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative dari fungsi berturut-turut diberikan oleh Dimana dan seterusnya. Kita juga telah diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua variable atau lebih. Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan oleh dst, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan Pengertian: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan fungsi yang tidak di ketahui dan turunan-turunannya. Definisi 1: Misalkan mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu interval [ ]. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivative dari. Definisi 2: Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi derivative yang termuat dalam persamaan itu. Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana menentukan derivative (turunan) dari suatu fungsi. Misalkan, jika Ingat!!! maka

2 Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk dengan konstanta, kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk memperoleh. Misalkan dipunyai fungsi implisit Maka akan diperoleh Atau Persamaan (1) dan (2) diatas merupakan contoh persamaan diferensial. (2) B. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut: Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :

3 BENTUK PDB : dy dx f x y di mana solusi atau penyelesaian dari eksplisit. Bentuk PDB orde n : y n n 1 f x y y y y PD tersebut merupakan suatu fungsi (3) yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas x dan peubah tak bebas y beserta turunan-turunannya dalam bentuk persamaan yang identic nol. Beberapa buku menuliskan persamaan ini dalam bentuk : Order dari persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan yang ada dalam persamaan. Misalkan Adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan Merupakan persamaan diferensial order dua. PENYELESAIAN PDB Masalah kita selanjutnya adalah bagaimana menemukan penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi yang memenuhi PDB tersebut. Definisi : suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu interval disebut penyelesaian PDB jika secara identic memenuhi persamaan (3) pada interval yang diberikan. Contoh 1:Fungsi adalah penyelesaian persamaan diferensial pada interval, karena. Jadi jika disubstitusikan ke dalam persamaan diperoleh berlaku untuk semua x., yang

4 Tidak semua penyelesaian PDB dapat disajikan secara eksplisit seperti contoh 1. Beberapa kasus ditemukan penyelesaian yang disajikan dalam bentuk implisit, seperti pada contoh 2 berikut : Contoh 2 : Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial Jawab : Jadi penyelesaian dari adalah jadi solusi umum PDB adalah MASALAH NILAI AWAL Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari dari PDB orde satu Yang memenuhi Contoh : a. Jawab :

5 .,ingat karena syarat awal maka sehingga solusi umum PDB dengan syarat awal : ( ) b. Latihan : 1. Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini: a. Jawab

6 Integral dari : Misal : u = 1-y Jadi penyelesaian PD diatas adalah b. Jawab :

7 y t dy Misal : u y t du dy du dy Sehingga : y t dy u du u C y t C 2. Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial : Jawab :

8 ( ) Jawab : Syarat awal, maka

9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde satu. Untuk PDB orde satu yang berbentuk, dimana fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesainnya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu Bentuk umum :...(1) Dimana fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan PDB orde satu ada beberapa langkah : 1. PD dengan peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita peroleh fungsi Persamaan (1) berubah menjadi Atau dapat di tulis Sehingga maka akan ditemukan solusi umum PD tersebut Contoh 1: Selesaikan Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya Integralkan kedua ruas:

10 Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah latihan Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah. a. Jawab : b. Ingat!!! Jawab : x x dx Misalkan : u cos x du dx du sin x sin x dx Sehingga : sin x cos x dx u du u C cos x C

11 c. Jawab: Langkah 1. Memisahkan variabelnya Ingat : x e x dx Langkah 2. Kedua ruas diintegralkan Misalkan : u x du dx x du xdx du x dx Sehingga x e x dx e u du e u C Sehingga solusi PD diatas adalah e x C d. e. Lanjutkan sebagai latihan mahasiswa

12 2. Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif (2.1) dengan f kontinu pada domain dan. Masalah mencari penyelesaian yang terdefinisi pada interval I yang memuat dari persamaan (2.1) dan memenuhi syarat awal disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut : Contoh 1: Selesaikan masalah syarat awal PD biasa berikut ini: Penyelesaian : Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum..(1)

13 Dengan memberikat syarat maka diperoleh syarat awalnya disubstitusikan pada penyelesaian umum, atau c 2 = 25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah Teorema 2.1. Jika persamaan diferensial (2.2) memenuhi : a. Fungsi f kontinu pada domain b. Derivatif partial kontinu pada domain D. dan, maka terdapat penyelesaian tunggal dari persamaan (2.2) yang terdefinisi pada suatu interval [ ] dimana h cukup kecil dan memenuhi syarat. Contoh 2: Pandang masalah syarat awal Dari masalah ini diperoleh dan kontinu pada domain Karena syarat awal berarti titik (1,3) pasti termuat pada domain D tadi. Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal dari persamaan diferensial yang terdefinisi pada interval [1-h, 1+h] dan memenuhi Contoh 3: Jawab : Langkah 1. Kita pisahkan variable-variabelnya

14 Langkah 2. Bersama-sama diintegralkan ( ) Karena syarat awal, maka Jadi solusi umum PD diatas dengan masalah syarat awalnya : Contoh 4: Jawab : Karena syarat awal :

15 Maka : Jadi solusi umum PD Biasa orde satu dengan masalah syarat awal : Contoh 5: ( ) Selesaikan PDB orde satu dengan masalah syarat awal berikut ini: Penyelesaian : Bentuk penyelesaian integral : Dengan syarat awal maka Sehingga solusi umum PD dengan syarat awal adalah :

16 LATIHAN 1. Selesaikan PDB dengan masalah MNA berikut a. b. c. d. e. ( ) f. 2. Solve the initial value problem And determine where the solution attains its maximum value.

17 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI a. Persamaan Diferensial Eksak Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang mempunyai derivatif partial orde satu kontinu pada Domain D. Diferensial total df dari fungsi F di definisikan : df x y F x y x dx F x y y dy Untuk setiap Contoh : Misal F fungsi dua variabel dengan rumus : Maka mempunyai diferensial total : Bentuk persamaan diferensial eksak : M x y dx N x y dy Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat fungsi dua variabel F sehingga diferensial diatas merupakan diferensial total F untuk setiap. Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga dan. Jika orde satu merupakan diferensial eksak maka persamaan diferensial disebut persamaan diferensial eksak. Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial (persamaan 2.3).Jika dan mempunyai derivatif parsial orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial (2.3) eksak pada D jika dan hanya jika M x y y N x y x

18 Bukti : Jika persamaan diferensial (2.3) adalah eksak, maka terdapat suatu fungsi diferensial sehingga [ ]. Dipunyai dan. Sebagai suatu syarat keeksakan. (sebagai latihan mahasiswa) Contoh : Persamaan Diferensial Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh ( ( )) (1.1) ( ) Sehingga Karena maka Persamaan diferensial (1.1) memenuhi persamaan diferensial eksak. Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial eksak pada D fungsi dua variabel F memenuhi : dan untuk setiap, maka penyelesaian umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah dan C konstanta sembarang. Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan PD Eksak adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Tuliskan PD dalam bentuk diferensial : Langkah 2 : Tes ke-eksakan PD ; apakah

19 Langkah 3 : jika eksak, integralkan terhadap atau terhadap. Misal dipilih, maka : Langkah 4 : Turunkan terhadap y dan samakan hasilnya dengan ( ) Langkah 5 : integralkan untuk memperoleh Langkah 6 : tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit : Langkah 7 : tentukan nilai jika diberikan masalah syarat awal Contoh : Selesaikan PD Penyelesaian : Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah Langkah 2. PD ini eksak, karena Langkah 3. Misal kan dipilih untuk diintegralkan, maka:

20 Langkah 4. Samakan dengan ( ) Langkah 5 : integralkan untuk memperoleh ( ) ( ) Langkah 6 : tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit : Langkah 7 : tentukan nilai jika diberikan masalah syarat awal, maka Maka solusi umum PD eksak dengan masalah syarat awal : atau

21 Latihan soal : 1. Persamaan diferensial Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya, maka selesaikan persamaan diferensial tersebut Jawab : Karena Maka bukan PD eksak. ( )

22 2. Selesaikan persamaan diferensial 3. Selesaikan masalah syarat awal : dengan y(0) = 2 4. Selesaikan PD 5. Tentukan masalah syarat awal berikut:, y(0) = 1 b. Persamaan Diferensial Non Eksak Dalam persamaan diferensial bentuk...(1) yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan diferensial eksak tidak terpenuhi, dimana M x y dy N x y dx Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di sebut dengan faktor integrasi μ x e P x dx, dimana P x 1 M x y ( N x y x M x y y ) atau P x 1 N x y ( M x y y N x y x ) Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi: Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak. Contoh 1 : Selesaikan persamaan diferensial berikut...(1) Answer:

23 Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan diferensial eksak bentuk: Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memnuhi syarat awal 1 dan 2 karena maka perlu adanya faktor integrasi dimana sehingga sehingga persamaan (1) di ubah menjadi: Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak atau bukan. (bukti sebagai latihan mahasiswa) Contoh 2 Selesaikan persamaan diferensial Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak? a. Jika ya tentukan solusi umumnya b. Jika tidak carilah faktor integrasinya. c. Tentukan solusi umum dari PD di atas. Jawab : a. dan karena maka perlu adanya faktor integrasi b. Factor integrasi :

24 c. Faktor integrasi dikalikan ke bentuk persamaan diferensial awal : Diteruskan sebagai latihan mahasiswa Latihan soal 1. Kerjakan nomor 10 untuk x> 0 2. Nomor 19 dimana pada buku Elementary Differential Equations & boundary value Problems hal 100. PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN HOMOGEN A. Persamaan Diferensial Separabel Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:...persamaan (4.1) F x G y dx f x g y dy disebut persamaan separabel. Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi yang jelas yaitu: sehingga persamaan (4.1) menjadi...(4.2) Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial eksak karena

25 ( ) ( ) Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan y dapat dipisahkan sehingga mengelompok. Oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial (4.1) adalah...(4.3) Contoh : Selesaikan persamaan diferensial Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel dengan mengkalikan diperoleh Ingat definisi integral : ( )

26 Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum Latihan. Selesaikan persamaan dengan syarat awal Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel karena dengan membagi diperoleh Dengan mengintegralkan diperoleh Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah Dengan memberikan dan diperoleh C= 2. Jadi penyelesaian masalah syarat awalnya Latihan soal a. Selesaikan masalah syarat awal,

27 b. Selesaikan masalah syarat awal, Selesaikan. B. Persamaan Diferensial Homogen. Definisi. Persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk derivatif disebut homogen jika, maka terdapat fungsi g sehingga. Contoh 1. Persamaan diferensial ditulis dalam bentuk derivatif =0 homogen, karena apabila ( ) ( ) Yang ruas kanan berbentuk fungsi. Contoh 2. Persamaan diferensial ( ) homogen, karena apabila ditulis dalam bentuk derivatif ( )

28 ( ) ( ) ( ) Yang ruas kanan berbentuk fungsi ( ) Teorema. Jika persamaan diferensial...(5.1) Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persamaan diferensial (5.1) berubah menjadi persamaan diferensial separabel. Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial =0 Penyelesaian Telah ditunjukkan bahwa persamaan tersebut homogen dan dapat ditulis dalam bentuk derivatif ( ) ( ) Misalkan, di peroleh dan ( ) sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh

29 Di kembalikan ke variabel semula diperoleh ( ) Jika dapat ditulis menjadi Contoh : Selesaikan persamaan diferensial ( ) Dengan syarat awal Penyelesaian : ( ) Misalkan, sehingga diperoleh Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh

30 Dikembalikan ke variabel semula diperoleh ( ) Jika syarat awal untuk, maka diperoleh. Jadi penyelesaian masalah syarat awal adalah C. Persamaan Teorema 6. Misal persamaan diferensial Dengan konstanta di R...(6.1) 1. Jika, maka dengan transformasi Dimana (h,k)merupakan penyelesaian dari sistem: Persamaan (6.1) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut: 2. Jika, maka dengan transformazi persamaan (6.1) menjadi persamaan separabel dalam variabel x dan z 3. Jika, maka persamaan (6.1) merupakan persamaan diferensial dengan penyelesaian, untuk sembarang konstanta C. Contoh: Selesaikan persamaan diferensial...(6.2) Penyelesaian Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian dari sistem

31 Adalah dengan transformasi, persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif menjadi ( ) Misalkan dan diperoleh Sehingga ( ) ( )

32 Ingat peyelesaian integral dengan substitusi fungsi trigonometri atau metode substitusi Misal maka Latihan 1. Selesaikan persamaan diferensial Dengan syarat awal y(-2) = 2 2. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : a. dengan syarat awal. b.

33 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel tak bebas y dan variabel bebas x, dapat di tulis dalam bentuk : dy dx P x y Q x Contoh : persamaan Dapat ditulis menjadi ( )

34 Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis dalam bentuk diferensial menjadi Sehingga di peroleh ( ) Maka Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan persamaan diferensial eksak dan karena pada persamaan terakhir memuat hanya variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya tergantung x saja, misalkan, maka diperoleh ( ) Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh [ ( )] Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel yang penyelesaiannya adalah Jelas, sehingga merupakan faktor integral dari persamaan diferensial linier orde satu sehingga ( )

35 Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut : Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu Mempunyai faktor integral Penyelesaian umum persamaan diferensialnya Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai berikut : Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut dalam bentuk standar Langkah 2. Tentukan faktor integralnya. Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan dan integralkan Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum Atau Contoh : 1. Selesaikan PD dibawah ini

36 Penyelesaian : Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut dalam bentuk standar dengan dibagi x Dimana dan Langkah 2. Tentukan faktor integralnya. Dimana Sehingga Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan dan integralkan Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum ( ( ) ) 2. Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial

37 Penyelesaiannya : Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh Dan bentuk persamaan diferensialnya ( ) Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya Cara I : Kalikan dengan dan integralkan, sehingga diperoleh Jadi penyelesaian umumnya adalah = atau Cara II : Diperoleh persamaan diferensial eksaknya Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode pengelompokkan Latihan : Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut a. ( )

38 b. c.. Selesaikan Masalah Nilai Awal berikut a. b. c. ( ) PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNAULLI DAN RICCATI A. Persamaan Diferensial Bernaulli Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk Disebut persamaan diferensial bernaulli. Teorema Apabila, maka dengan transformasi persamaan bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu Dengan penyelesaian umum berbentuk

39 Contoh : Selesaikan Dimana dan Penyelesaian Dengan substitusi diperoleh Sehingga penyelesaian umumnya adalah Dimana ( ) Sehingga diperoleh ( ( )) ( ). ( ) Jadi penyelesaian umum PD adalah ( ) Latihan : a. b. c.

40 d. e. B. Persamaan Diferensial Riccati Persamaan Riccati berbentuk Jika adalah fungsi yang memenuhi persamaan Riccati, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi akan diperoleh PD linier tingkat satu [ ] Dengan penyelesaian umum berbentuk [ ] Atau Secara jelas, jika, maka persamaan menjadi persamaan Bernoulli. Jika, penyelesaian umum dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah 1. Jika satu penyelesaian khusus yang sudah diketahui, misal, dank arena itu dipunyai Langkah 2. Disubstitusikan dengan derivatifnya ( ) Kepersamaan Riccati diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

41 ( ) Diperoleh persamaan diferensial tingkat satu z : ( ) Langkah 3. Disubstitusikan penyelesaian z ke Contoh : Selesaikan PD Riccati dibawah ini Penyelesaian : Jika, maka dengan substitusi diperoleh Sehingga penyelesaian umumnya adalah Latihan : Selesaikan Persamaan Riccati berikut :

42 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN 1. Persamaan Diferensial Homogen Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika, pemodelan matematika yang melibatkan Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangatlah membantu kita untuk mencari solusinya. Bentuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 : pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c konstan, maka Pers.1 menjadi

43 Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana ruas kanannya sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0 maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial inhomogen orde 2. Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v adalah fungsi x yang menjadi dua solusi dari persaman dan tambahkan Persamaan (3) dan (4) dimana ( ) ( ) dan jadi dapat ditulis maka substitusikan (gantikan) y = u+v dan y = u+v jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde satu (PDL01)

44 dimana integralkan persamaan diatas kita dapatkan kita gantikan -k dengan m, maka Pers.(5) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa menjadi solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana Pers.2 dapat ditulis bagi dengan kita dapat...(6)

45 yang merupakan persamaan kuadrat, yang akar-akar kuadratnya dan dimana kita sudah lihat jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika dan, maka solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dapat ditulis +...(7) persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan (Auxiliary Equation) solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akarakar persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2, yaitu : a. Akar real dan berbeda (Determinan > 0) b. Akar real dan sama (Determinan = 0) c. Akar kompleks (Determinan < 0) Dimana determinan D b ac jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah + a. Akar real dan Berbeda. Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah + Contoh : persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas m = -2 dan m = -3

46 maka akarnya real dan berbeda. Jadi homogen orde 2 kita adalah + solusi untuk persamaan diferensial b. Akar real dan sama Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah Contoh : + persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas dan maka akarnya sama atau kembar jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah atau + c. Akar kompleks/imaginer Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat tanda negativ. Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini. Persamaan tambahannya adalah

47 persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran. Maka digunakan rumus ABC sebagai solusinya maka α=-2 dan β= maka solusinya adalah coba kerjakan contoh ini sebagai latihan di samping 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk khusus Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Ada dua bentuk khusus yaitu maka solusinya y = A Cosh nx + B Sinh nx maka solusinya Contoh : y = A Cos nx + B Sin nx

48 maka solusinya Latihan soal PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 NON HOMOGEN Definisi : Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen Jika maka substitusi + akan membuat sisi kiri diatas sama dengan nol. Maka : +, X = fungsi tambahan. + fungsi komplementer integral khusus Contoh : Selesaikan persamaan diferensial Penyelesaian :

49 - Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0 Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3 Sehingga - Integral khusus fungsi derajat dua Misal Substitusikan ke persamaan Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus = Jika Menentukan nilai-nilai konstanta Asumsikan atau atau Latihan soal

50 1. Selesaikan persamaan diferensial 2. Tentukan nilai A dan B jika dan PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN. Bentuk Persamaan diferensial orde dua ( ) Dimana f adalah suatu fungsi, sehingga persamaan diferensial (1) merupakan persamaan diferensial linier orde dua 1. Metode Penyelesaian a. Metode Koefisien tak tentu b. Metode Variasi Parameter. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI Pada Bab ini, dibicarakan beberapa tipe persamaan diferensial linier orde tinggi dan beberapa metode untuk menyelesaikannya. Hal-hal yang dibahas adalah

51 reduksi order, persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan, metode variasi parameter, dan persamaan Cauchy- Euler. Untuk membahas ini semua diperlukan beberapa teori dasar tentang persamaan diferensial linier orde tinggi, yang akan disajikan tanpa disertai bukti. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL TRANSFORMASI LAPLACE. KONTRAK BELAJAR NO KOMPONEN PERSENTASE KETERANGAN (%) 1 Kehadiran 10 2 Ujian Sisipan 10 Sifat ujian close book dilakukan 2 kali (1 kali sebelum UTS dan 1 kali sesudah UTS) 3 Tugas 25 4 kali (pertemuan ke 4, 6, 10, 12) 4 UTS 25 Sifat ujian close book 5 UAS 30 Sifat ujian open book Jumlah 100

52

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.

Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1. Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap

TINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan

Lebih terperinci

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan : BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36

Lebih terperinci

BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL Bila persamaan diferensial linear homogen memiliki koefisien constant maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda aljabar (seperti yang

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk

Lebih terperinci

PROSIDING ISBN :

PROSIDING ISBN : P-5 JENIS-JENIS KESALAHAN DALAM MENYELESAIKAN SOAL PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA (PDB) STUDI KASUS PADA MAHASISWA SEMESTER V PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO Budiyono

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( ) II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan

Lebih terperinci

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang

Lebih terperinci

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta

Lebih terperinci

TINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif

TINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif iii Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... xiii MODUL 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1.1 Pengertian PD Orde Satu dan Solusinya... 1.2 Latihan... 1.7 Rangkuman... 1.9 Tes Formatif 1..... 1.10 PD Variabel

Lebih terperinci

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA Ver.1.0 : Desember 2015 1. Nama Mata kuliah Persamaan Biasa Semester/Kode/SKS IV / MAM2201 / 3 2. Silabus Mata kuliah ini berisi teori tentang diferensial. Solusi diferensial orde satu dan dua homogen

Lebih terperinci

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen, suatu variabel dependen, dan satu atau lebih turunan dari

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD-045315 Mingg u Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub-pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Diferensial Definisi 2.1 Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran

Lebih terperinci

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Persamaan Diferensial Febrizal, MT Pendahuluan Persamaandiferensial i merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka

Lebih terperinci

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap

Lebih terperinci

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya

Lebih terperinci

Persamaan Differensial Biasa

Persamaan Differensial Biasa Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan

Lebih terperinci

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.

Lebih terperinci

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT

PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LAPLACE. Matematika Lanjut 2. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

TRANSFORMASI LAPLACE. Matematika Lanjut 2. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Definisi: Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA A. MATA KULIAH RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER(RPS) PROGRAM STUDI STATISTIKA Nama Mata Kuliah : Matematika II Kode/sks : MAS 4116/ 3 Semester : III Status (Wajib/Pilihan) : Wajib (W) Prasyarat : MAS 4215

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.

Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,

Lebih terperinci

TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017

TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017 A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.

Lebih terperinci

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

BAB I PENGERTIAN DASAR

BAB I PENGERTIAN DASAR BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.

Lebih terperinci

Pengantar Persamaan Differensial (1)

Pengantar Persamaan Differensial (1) Program Studi Modul Mata Kuliah Kode MK Disusun Oleh Sistem Komputer 01 Persamaan Differensial MKK103 Albaar Rubhasy, S.Si, MTI Pengantar Persamaan Differensial (1) Materi Pembahasan: Deskripsi Perkuliahan

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai. I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan

Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan Pengantar Metode Perturbasi Bab 1. Pendahuluan Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 454 KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TERAPAN II Semester Ganjil 2016/2017 Review Teori Dasar Terkait

Lebih terperinci

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU Tujuan Instruksional: Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde-1 dg integrasi langsung, pemisahan variael. Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan

Lebih terperinci

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode

Lebih terperinci

FMIPA UNIVERSITAS NEGERI MALANG JURUSAN MATEMATIKA SEMESTER GASAL 2014/2015 RENCANA PERKULIAHAN SEMESTER (RPS)

FMIPA UNIVERSITAS NEGERI MALANG JURUSAN MATEMATIKA SEMESTER GASAL 2014/2015 RENCANA PERKULIAHAN SEMESTER (RPS) FMIPA NIVERSIAS NEGERI MALANG JRSAN MAEMAIKA SEMESER GASAL 2014/2015 RENCANA PERKLIAHAN SEMESER (RPS) A. IDENIAS MAAKLIAH 1. Matakuliah : Persamaan Diferensial Biasa 2. Sandi : MAI466 3. Kredit/jam semester

Lebih terperinci

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL BAB IV HITUNG DIFERENSIAL (Pertemuan ke 5 s/d 8) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi

Lebih terperinci

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus

Lebih terperinci

SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK

SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH Sugimin Jurusan Matematika FMIPA UT ugi@mail.ut.ac.id ABSTRAK Suatu persamaan vektor berbentuk x & = f (x dengan variabel bebas t yang tidak dinyatakan

Lebih terperinci

MASALAH SYARAT BATAS (MSB)

MASALAH SYARAT BATAS (MSB) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL

METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Agung Christian

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL 1. Pendahuluan : Pemodelan Arus Panas Satu Dimensi Y Bahan penyekat (insulator) A Batang 0 L X Z Misalkan bila ada batang yang dapat menghantarkan panas. Batang tersebut

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui

II. TINJAUAN PUSTAKA. iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk menuju ketahap pembahasan mengenai keberadaan dan ketunggalan dari iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui beberapa bagian dari persamaaan

Lebih terperinci