Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Transkripsi

1 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

2 Daftar Isi 1 Teknik Pengintegralan Aturan Dasar Pengintegralan Integrasi Substitusi Integrasi Parsial Latihan Soal Integrasi Parsial Beberapa Integral Trigonometri Jenis 1 ( sin n x dx dan cos n x dx) Jenis 2 ( sin m x cos n x dx) Jenis 3 ( sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx) Jenis 4 ( tan n x dx dan cot n x dx) Jenis 5 ( tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx) Latihan Soal Integral Trigonometri Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

3 Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswa memiliki kejelian melihat bentuk soal. sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang diinginkan. Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda InsyaAllah akan menuai kesuksesan. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

4 Aturan Dasar Pengintegralan Fungsi - fungsi yang telah kita ketahui bersama adalah fungsi - fungsi Elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan eksponen, trigonometri, dan fungsi invers, serta fungsi yang kita peroleh dari hasil penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi - fungsi tersebut. jadi f (x) = ex + e x 2 = cosh x adalah fungsi elementer. Integrasi (anti diferensiasi) adalah persoalan yang berbeda dengan diferensiasi/turunan. Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal. dan perlu diingat hasilnya tidak selalu berupa fungsi elementer. misalnya anti turunan dari e x2 bukan fungsi elementer. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

5 Aturan Dasar Pengintegralan Dua Teknik dasar untuk integrasi adalah substitusi dan integrasi parsial. metode substitusi telah kita kenal pada bab sebelumnya. tetapi yang perlu diingat teknik ini juga banyak digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk Baku. Penggunaan secara efektif metode substitusi bergantung ketersediaan daftar integral - integral yang sudah dikenal. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

6 Beberapa bentuk Integral Baku Konstanta dan pangkat k du = ku + C u r+1 u r du = r + 1 +C ln u +C r = 1 r = 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

7 Beberapa bentuk Integral Baku Konstanta dan pangkat k du = ku + C u r+1 u r du = r + 1 +C ln u +C r = 1 r = 1 Eksponensial e x dx = e x + C a x dx = ax ln a + C, a = 1, a > 0 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

8 Beberapa bentuk Integral Baku Konstanta dan pangkat k du = ku + C u r+1 u r du = r + 1 +C ln u +C r = 1 r = 1 Eksponensial e x dx = e x + C a x dx = ax ln a + C, a = 1, a > 0 Fungsi Trigonometri cos u du = sin u + C sec 2 u du = tan u + C sin u du = cos u + C csc 2 u du = cot u + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

9 Review Integral Substitusi Teknik pengintegralan ini sudah kita kenal dalam bab sebelumnya. berikut teorema yang mendasari teknik integral substitusi, Teorema (Substitusi dalam integral tak tentu) Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan misalkan F adalah anti turunan f. Maka, jika u = g(x), f (g(x))g (x) dx = f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

10 Contoh Integral Substitusi Contoh Carilah x cos x 2 dx. Di dalam pikiran kita, substitusikan u = x 2 sehingga du = 2xdx. Sehingga diperoleh x cos x 2 dx = 1 cos x 2 (2x dx) = 1 cos x 2 dx 2 = sin x2 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

11 Contoh Integral Substitusi Contoh Hitunglah t t 2 4 dt. Misalkan u = t 2 4, sehingga du = 2t dt, sehingga diperoleh t t 2 4dt = 1 (t 2 4 ) 1 2 2t dt = 1 u 1 2 du 2 2 = u C = 3 u u + C = 1 ( t 2 4 ) t C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

12 Integrasi Parsial Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, kita mungkin saja menggunakan substitusi ganda (double substitusion), yang lebih dikenal sebagai integrasi Parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasil kali dua fungsi. Misalkan u = u(x) dan v = v(x), maka D x [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) atau u(x)v (x) = D x [u(x)v(x)] u (x)v(x) dengan mengintegrasi kedua ruas persamaan diperoleh u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx dengan dv = v (x) dx dan du = u (x) dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

13 Bentuk rumus Integrasi Definisi Misalkan u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integrasi parsial adalah u dv = uv v du yang perlu diperhatikan adalah pemilihan yang tepat untuk u dan dv, kecakapan dan ketepatan dapat diasah melalui banyak berlatih mengerjakan soal latihan. Catatan : Ketentuan bahwa biasanya u adalah fungsi yang mudah jika diturunkan dan dapat habis diturunkan terhadap x, dv adalah bagian yang mudah diintegralkan. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

14 Integrasi Parsial Contoh Carilah x cos x dx. Kita dapat menuliskan x cos x dx = u dv. Salah satu kemungkinan ialah dengan memisalkan u = x dan dv = cos x dx. Kemungkinan sudah tepat, (ingat dengan ketentuan pada halaman sebelumnya). Karena u = x maka du/dx = 1 diperoleh du = dx dan untuk dv = cos x dx jika diintegralkan kedua ruas diperoleh dv = v = cos x dx = sin x. Ringkasannya sebagai berikut, u = x du = dx Rumus integrasi parsial memberikan }{{} x cos }{{ x dx } = }{{} x sin }{{} x u dv u v dv = cos x dx v = sin x sin x }{{} v }{{} dx = x sin x + cos x + C du Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

15 Integrasi Parsial Contoh Carilah ln x dx. Kita buat substitusi sebagai berikut. (ingat dengan ketentuan pada halaman sebelumnya) maka u = ln ( x ) 1 du = dx x dv = dx v = x ln x dx = x ln x = x ln x x 1 x dx dx = x ln x x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

16 Integrasi Parsial Contoh Carilah x 2 sin x dx. Misalkan maka u = x 2 du = 2x dx dv = sin x dx v = cos x x 2 sin x dx = x 2 cos x + 2 x cos x dx Setelah ini lakukan lagi integrasi parsial pada bagian yang masih harus diintegralkan. karena telah diperoleh pada contoh sebelumnya, maka x 2 sin x dx = x 2 cos x + 2(x sin x + cos x + C) = x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

17 Integrasi Parsial Perhatikan contoh soal berikut, hal ini menarik karena hasil integrasi seperti terus berulang. Contoh Carilah e x sin x dx. Gunakan u = e x dan dv = sin x dx. Maka du = e x dx dan v = cos x. Jadi, e x sin x dx = e x cos x + e x cos x dx } {{ } i) Perhatikan bagian i) harus diselesaikan dengan cara yang sama dengan memisalkan u = e x dan dv = cos x dx. Maka du = e x dx dan v = sin x. Maka e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx } {{ } i) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

18 Integrasi Parsial Jika kita substitusikan lagi bagian i) maka kita peroleh e x sin x dx = e x cos x + e x sin x e x sin x dx dengan memindahkan suku terakhir ke ruas kiri dan menggabungkan suku - sukunya, maka diperoleh 2 e x sin x dx = e x cos x + e x sin x + C e x sin x dx = 1 2 ex sin x 1 2 ex cos x + K perhatikan bahwa integral yang hendak kita cari muncul seperti berulang di ruas kanan. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

19 Latihan Soal Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini. 1 xe 3x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

20 Latihan Soal Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini. 1 xe 3x dx. 2 x sin 2x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

21 Latihan Soal Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini. 1 xe 3x dx. 2 x sin 2x dx. 3 ln 3x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

22 Latihan Soal Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini. 1 xe 3x dx. 2 x sin 2x dx. 3 ln 3x dx. 4 t 3 2t + 7 dt. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

23 Latihan Soal Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini. 1 xe 3x dx. 2 x sin 2x dx. 3 ln 3x dx. 4 t 3 2t + 7 dt. 5 π/2 π/6 x csc 2 x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

24 Beberapa Integral Trigonometri Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul. 1 sin n x dx dan cos n x dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

25 Beberapa Integral Trigonometri Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul. 1 sin n x dx dan cos n x dx 2 sin m x cos n x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

26 Beberapa Integral Trigonometri Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul. 1 sin n x dx dan cos n x dx 2 sin m x cos n x dx. 3 sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

27 Beberapa Integral Trigonometri Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul. 1 sin n x dx dan cos n x dx 2 sin m x cos n x dx. 3 sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx 4 tan n x dx dan cot n x dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

28 Beberapa Integral Trigonometri Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul. 1 sin n x dx dan cos n x dx 2 sin m x cos n x dx. 3 sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx 4 tan n x dx dan cot n x dx 5 tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

29 Beberapa Identitas Trigonometri Beberapa identitas yang perlu diingat dan berguna, antara lain : Identitas Pythagoras sin 2 x + cos 2 x = 1 sec 2 x tan 2 x = 1 csc 2 x cot 2 x = 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

30 Beberapa Identitas Trigonometri Beberapa identitas yang perlu diingat dan berguna, antara lain : Identitas Pythagoras sin 2 x + cos 2 x = 1 sec 2 x tan 2 x = 1 csc 2 x cot 2 x = 1 Identitas Setengah Sudut sin 2 x = cos 2 x = 1 cos 2x cos 2x 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

31 Jenis 1 Pada bentuk sin n x dx dan cos n x dx, pertama perhatikanlah untuk n adalah bilangan bulat positif ganjil. setelah mengeluarkan salah satu faktor sin x atau cos x dan selanjutnya gunakan identitas. Contoh (n Ganjil) Carilah sin 5 x dx. sin 5 x dx = (1 sin 4 x sin x dx = cos 2 x ) 2 sin x dx ( ) = 1 2 cos 2 x + cos 4 x sin x dx ( ) = 1 2 cos 2 x + cos 4 x ( sin x dx) = cos x cos3 x 1 5 cos5 x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

32 Untuk n genap gunakan identitas setengah sudut Contoh (n Genap) Carilah sin 2 x dx dan cos 4 x dx 1 cos 2x 1 sin 2 cos 2x x dx = dx = dx = 1 dx 1 cos 2x(2 dx) 2 4 = 1 2 x 1 sin 2x + C 4 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

33 ( ) 1 + cos 2x 2 cos 4 x dx = dx = 1 (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x ) dx 2 4 = 1 dx + 1 cos 2x(2 dx) + 1 (1 + cos 4x) dx = 3 dx + 1 cos 2x(2 dx) + 1 cos 4x(4 dx) = 3 8 x sin 2x + sin 4x + C 4 32 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

34 Jenis 2 Perhatikan bentuk sin m x cos n x dx.jika salah satu dari m atau n adalah bilangan bulat positif ganjil sedangkan yg lainnya sembarang, kita faktorkan sin x atau cos x dan gunakan identitas. Contoh (m atau n ganjil) Carilah sin 3 x cos 2 x dx. sin 3 x cos 2 x dx = (sin 2 x) ( cos 2 x ) (sin x) dx = (1 cos 2 x) ( cos 2 x ) (sin x) dx ( ) = cos 2 x cos 4 x ( sin x dx) = 1 3 cos3 x cos5 x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

35 Jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif genap, maka gunakanlah identitas setengah sudut. Contoh (m dan n genap) Carilah sin 2 x cos 4 x dx. ( ) ( ) 1 cos 2x 1 + cos 2x 2 sin 2 x cos 4 x dx = dx 2 2 = 1 8 (1 + cos 2x cos 2 2x cos 3 2x ) dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

36 = 1 [ 1 + cos 2x 1 ] 8 2 (1 + cos 4x) (1 sin2 2x) cos 2x = 1 [ cos 4x + sin2 2x cos 2x] dx = 1 [ x 1 8 sin 4x + 1 ] 6 sin3 2x + C dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

37 Jenis 3 Integral jenis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali. 1 sin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m n)x]. 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

38 Jenis 3 Integral jenis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali. 1 sin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m n)x]. 2 2 sin mx sin nx = 1 [cos(m + n)x cos(m n)x]. 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

39 Jenis 3 Integral jenis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali. 1 sin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m n)x]. 2 2 sin mx sin nx = 1 [cos(m + n)x cos(m n)x]. 2 3 cos mx cos nx = 1 [cos(m + n)x + cos(m n)x] 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

40 Bentuk pertama Contoh Carilah sin 2x cos 3x dx. sin 2x cos 3x dx = 1 [sin(5)x + sin( 1)x] dx 2 = 1 sin 5x (5 dx) 1 sin x dx 10 2 = 1 10 cos 5x cos x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

41 Bentuk Kedua Contoh Carilah sin 3u sin u du. sin 3u sin u du = 1 2 = 1 8 [cos(4)u cos(2)u] du cos 4u (4 du) + 1 cos 2u (2 du) 4 = 1 8 sin 4u + 1 sin 2u + C 4 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

42 Bentuk Ketiga Contoh Carilah cos t cos( 2t) dt. cos t cos( 2t)dt = 1 2 = 1 2 [cos( 1)t + cos(3)t] dt cos t dt + 1 cos 3t (3 dt) 6 = 1 2 sin t + 1 sin 3t + C 6 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

43 Jenis 4 Pada Bentuk tan n x dx dan cot n x dx ini, sesungguhnya serupa dengan jenis 1. Namun alat yang diperlukan adalah identitas sec 2 x 1 = tan 2 x dan csc 2 x 1 = cot 2 x. Contoh Carilah cot 4 x dx. cot 4 x dx = cot 2 x ( csc 2 x 1 ) dx = cot 2 x csc 2 x dx cot 2 x dx = (csc cot 2 x ( csc 2 x dx) 2 x 1 ) dx = 1 3 cot3 x + cot x + x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

44 Jenis 4 Untuk bentuk tan n x dx, cobalah cari tan 2 x dx dan tan 5 x dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

45 Jenis 5 Pada jenis terakhir ini yaitu tan m x sec n x dx dan cot m x csc n x dx serupa dengan bentuk pada jenis 2. sekali lagi ingatlah dengan identitas sec 2 x tan 2 x = 1 dan csc 2 x cot 2 x = 1. Contoh (m sembarang bilangan, n genap) Carilah tan 3/2 x sec 4 x dx. ( (1 tan 3/2 x sec 4 x dx = tan x) 3/2 + tan 2 x ) sec 2 x dx ( ) = tan 3/2 x sec 2 x dx+ ( ) + tan 1/2 x sec 2 x dx = 2 tan 1/2 x tan3/2 x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

46 Contoh (m ganjil, n Sebarang Bilangan) Carilah tan 3 x sec 1/2 x dx. (tan tan 3 x sec 1/2 x dx = 2 x ) ( sec x) 3/2 (sec x tan x) dx (sec = 2 x 1 ) ( sec x) 3/2 (sec x tan x dx) = sec 1/2 x (sec x tan x dx) + sec 3/2 x (sec x tan x dx) = 2 3 sec3/2 x + 2 sec 1/2 x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

47 Latihan Soal Integral Trigonometri Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 cos 3 θ dθ Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

48 Latihan Soal Integral Trigonometri Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 cos 3 θ dθ 2 sin 4 6x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

49 Latihan Soal Integral Trigonometri Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 cos 3 θ dθ 2 sin 4 6x dx. 3 π/2 0 cos 5 θ dθ. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

50 Latihan Soal Integral Trigonometri Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 cos 3 θ dθ 2 sin 4 6x dx. 3 4 π/2 0 cos 5 θ dθ. sin 2 3x cos 3 3x dx. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

51 Latihan Soal Integral Trigonometri Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 cos 3 θ dθ 2 sin 4 6x dx π/2 0 cos 5 θ dθ. sin 2 3x cos 3 3x dx. cos y cos 4y dy. im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

52 Latihan Soal Integral Trigonometri Kerjakanlah sebagai latihan dan tugas nomor - nomor ganjil dari no. 17 s.d 29 pada buku Purcell edisi 9, jilid 2 Bab 7 Teknik Pengintegralan, hal 17) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

53 Daftar Pustaka Varberg, Purcell, Rigdon, Calkulus Ninth Edition, Pearson Education, im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36

54 Daftar Pustaka Varberg, Purcell, Rigdon, Calkulus Ninth Edition, Pearson Education, Azka, M, 2 3 statistic, 2017 im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 36