3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "3 LIMIT DAN KEKONTINUAN"

Transkripsi

1 Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini. 3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi lim f(x) = L x c dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakin dekat pula f(x) kepada L. 2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c. Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada c. Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk ke denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point) suatu himpunan. Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A R. Sebuah titik c R dikatakan titik limit A jika setiap persekitaran V δ (c) := (c δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota A selain c, atau (c δ, c + δ) A \ {c}, δ > 0. Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A. Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam A yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit. Teorema 3.1. Sebuah bilangan c A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (a n ) dalam A dengan a n c untuk setiap n N sehingga lim(a n ) = c. Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bentuk persekitaran radius δ := 1 n, yaitu V 1 (c) = (c 1 n n, c+ 1 n ). Selalu ada a n A V 1 dengan a n c. Karena berlaku n a n c < 1 n maka disimpulkan lim(a n) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan 1

2 (a n ) dalam A, a n c dan lim(a n ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(a n ) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga a n c < δ untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya a K A, a K c dan a K V δ yaitu A V δ \ {c}. Terbukti c titik limit A. Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang didenisikan sebagai Tentukan himpunan semua titik limit A. A = { 1} {x R : 0 x < 1} {2}. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x δ, x + δ) A \ {x}. Jadi setiap x [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = 1 A. Kita dapat memilih δ 1 > 0 sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A = { 1} sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A \ { 1} =, jadi x = 1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1]. Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A. Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R. Himpunan A = { 1 n : n N} hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya. Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut. Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A R dan f : A R, c titik limit A. Bilangan L dikatakan limit fungsi f di c, ditulis L = lim x c f(x) (3.1) adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku 0 < x c < δ f(x) L < ɛ. (3.2) Pada denisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ɛ yang diberikan sehingga kadangkadang ditulis sebagai δ(ɛ) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ɛ yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x) terhadap L diberikan oleh ɛ, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi 2

3 diberikan V (L) L+ L f(x)-l < L- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi (3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < x c < δ pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya f(x) L < ɛ tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak denisi limit menggunakan dot di titik x = c. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikut ini. Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A R dan f : A R, c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku x c < δ f(x) f(c) < ɛ. (3.3) Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A. Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut. Berdasarkan denisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c) harus ada atau terdenisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di c dapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikan pada Gambar 3.3. Teorema 3.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) f kontinu di c (ii) lim x c f(x) = f(c) Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut E 1 := {x A : 0 < x c < δ}, E 2 := {x A : x c < δ}. Jadi E 2 E 1. Diketahui f kontinu di c berarti x E 2 f(x) f(c) < ɛ. Misalkan x E 1 maka x E 2 atau x = c. Bila x E 2 maka (3.2) berlaku dengan 3

4 diberikan V (f(c)) f(c)+ f(c) f(x)-f(c) < f(c)- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku f(x) f(c) = f(c) f(c) = 0 < ɛ sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti lim x c f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahui lim x c f(x) = f(c) yaitu x E 1 f(x) f(c) < ɛ. Karena E 2 E 1 maka berlaku x E 2 f(x) f(c) < ɛ, yaitu f kontinu di c. Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x R. Buktikan untuk sebarang c R, berlaku lim x c b = b. Kemudian simpulkan bahwa f kontinu di c. Penyelesaian. Diberikan ɛ > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = b b = 0 < ɛ. Jadi terbukti lim x c f(x) = f(c). Karena c R merupakan titik limit maka dengan teorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c. Catatan 2. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q dimana q sudah dipastikan benar. Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c R, lim x c x = c. bahwa f(x) := x kontinu di c. Kemudian simpulkan Penyelesaian. Untuk setiap ɛ > 0 yang diberikan, ambil δ := ɛ. Diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = x c < δ = ɛ. Karena itu terbukti lim x c x = c. Karena berlaku lim x c f(x) = f(c) dan c titik limit maka disimpulkan f kontinu di c. Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x 2, x R. Buktikan f kontinu pada R. Bukti. Misalkan c R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut f(x) f(c) = x 2 c 2 = x + c x c. Karena sudah ada suku x c maka kita perlu melakukan estimasi pada suku x + c. Untuk itu diasumsikan dulu x c < 1, maka berlaku x c x c < 1 1 < x c 1 x c + 1. }{{} 4

5 Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada x + c, yaitu Secara keseluruhan diperoleh estimasi x + c x + c 2 c + 1. f(x) f(c) = x + c x c < (2 c + 1) x c. ( ) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ɛ maka haruslah x c < Agar kedua x c < 1 dan x c < ɛ 2 c + 1. ɛ 2 c +1 δ = δ(ɛ) := min ( ) dipenuhi maka diambil { } ɛ 1,. 2 c + 1 Jadi jika 0 < x c < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan f(x) f(c) < ɛ. Jadi, lim x c f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdenisi di c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x2 1 x 1, x 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidak ada. Namun, berlaku x 2 1 lim f(x) = lim x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut { x 2 1 f(x) = x 1 untukx 0 2 untuk x = Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya. Teorema 3.3. Misalkan f : A R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) lim x c f(x) = L (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, x n c untuk setiap n N, maka barisan (f(x n )) konvergen ke L. Bukti. (i) (ii). Diberikan ɛ > 0 sebarang. Karena diketahui lim x c f(x) = L, maka terdapat δ > 0 sehingga jika 0 < x c < δ berlaku f(x) L < ɛ. Misalkan lim(x n ) = c, x n c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya terdapat K N sehingga x n c < δ untuk setiap n K. Karena x n c maka dapat ditulis 0 < x n c < δ, sehingga berlaku f(x n ) L < ɛ untuk setiap n K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(x n )) konvergen ke L. (ii) (i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui lim x c f(x) L, berarti 5

6 ada ɛ 0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat x δ A, 0 < x x δ < δ tetapi f(x) x δ ɛ 0. Bila para δ > 0 tersebut diambil sebagai δ := 1 n > 0 untuk setiap n N maka terbentuk barisan (x n ) dengan sifat 0 < x n c < 1 n, x n A tetapi f(x n ) L ɛ 0 untuk setiap n N. Ini berarti barisan (f(x n )) tidak mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (x n ) dalam A, x n c tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai. Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut: (a) lim x c f(x) L bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan lim (f(x n )) L. (b) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan f(x n ) tidak konvergen. (c) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (x n ), (y n ) dalam A dengan x n, y n c, (x n ) dan (y n ) konvergen ke c tetapi lim (f(x n )) lim (f(y n )). Contoh 3.6. Buktikan lim x 0 1 x tidak ada. Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1 x. Ambil barisan (x n) dengan x n := 1 n. Jelas barisan ) ini konvergen ke 0, x n 0. Sekarang perhatikan barisan (f(x n )) = ( 1 1/n = (n) = (1, 2, 3, ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka terbukti limitnya tidak ada. Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut +1 untuk x > 0, sgn(x) : = 0 untuk x = 0, 1 untuk x < 0. Buktikan lim x 0 sgn(x) tidak ada. Bukti. Ambil dua barisan (x n ) dan (y n ) dengan x n := 1 n dan y n := 1 n. Jelas kedua barisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diperhatikan barisan (sgn(x n )) = ( sgn ( 1 n)) = (1) = (1, 1, ) konvergen ke 1, tetapi (sgn(y n )) = ( sgn( 1 n )) = ( 1) = ( 1, 1, ) konvergen ke 1. Berdasarkan kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada. Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x x untuk x 0. Dengan mengambil ( x ( n := )) ( 1)n n maka barisan (x n ) konvergen ke 0, x n 0. Tetapi (sgn(x n )) = sgn ( 1) n = ( 1) n = ( 1, +1, 1, ) divergen. n Contoh 3.8. Buktikan lim sin 1 x tidak ada. Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = sin 1 x, x 0. Ambil dua barisan (x n) dan (y n ) dimana x n := 1 nπ, y 1 n := (π/2+2πn). Maka jelas kedua barisan ini konvergen ke nol dan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan (f(x n )) = (sin nπ) = (1, 1, ) 1 (f(y n )) = (sin (π/2 + 2πn)) = (0, 0, ) 0 sehingga berdasarkan kriteria (c) maka disimpulkan limitnya tidak ada. Ilustrasi grak fungsi f(x) = sin 1 x diberikan pada Gambar 3.4. Pada gambar ini terlihat jelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [ 1, 1], semakin dekat x kepada 0 semakin cepat oskilasinya tetapi nilai f(x) tidak menuju titik apapun. 6

7 Gambar 3.4: Grak fungsi f(x) = sin(1/x) Teorema 3.4. Misalkan f : A R dan c A. ekuivalen. (i) f kontinu di c Maka kedua pernyataan berikut (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(x n )) konvergen ke f(c). Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila lim x c f(x) = f(c) dan ambil L := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit. Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut Fungsi f tidak kontinu di c jika hanya jika terdapat barisan (x n ) dalam A sehingga (x n ) konvergen ke c tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke f(c). Contoh 3.9. Beberapa fungsi tidak kontinu (a) (b) Fungsi ϕ(x) := 1/x tidak kontinu di 0 sebab ϕ(0) tidak ada. Juga, fungsi ini tidak mempunyai limit di 0. Fungsi s(x) := sgn(x) tidak kontinu di 0, karena lim x 0 s(x) tidak ada, seperti telah dibahas sebelumnya. Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada R. Contoh Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut { 1 bila x rasional f(x) := 0 bila x irrasional. Buktikan f tidak kontinu dimana-mana. Bukti. Misalkan c bilangan real sebarang. Ditunjukan f tidak kontinu di c. Bila c bilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu terdapat barisan bilangan irrasional (x n ) yang konvergen ke c. Jadi lim(x n ) = c, tetapi barisan (f(x n )) = (0, 0, 0, ) sehingga lim (f(x n )) = 0 f(c) = 1. Sebaliknya bila c bilangan irrasional maka terdapat barisan bilangan rasional (y n ) yang konvergen ke c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperoleh lim (f(x n )) = 1 f(c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c R. 7

8 3.3 Teorema tentang Limit Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatas tetapi tidak berlaku sebaliknya. Sifat yang sama berlaku pada fungsi yang mempunyai limit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal. Denisi 3.4. Misalkan f : A R, dan c R titik limit A. Fungsi f dikatakan terbatas lokal di c jika terdapat persekitaran V δ (c) dan konstanta M > 0 sehingga f(x) M untuk setiap x A V δ (c). Teorema 3.5. Bila f : A R mempunyai limit di c R maka f terbatas lokal di c. Bukti. Misalkan L := lim x c f(x), maka berdasarkan denisi untuk ɛ = 1, terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x A dengan 0 < x c < δ berlaku f(x) L < 1, yang berakibat f(x) < L + 1. Sedangkan untuk x = c maka f(x) = f(c). Dengan mengambil M := sup { f(c), L + 1} maka diperoleh f(x) M untuk setiap x A V δ (c). Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi didenisikan sebagai berikut ( ) f (f + g) (x) := f(x) + g(x), (fg) (x) := f(x)g(x), (αf) (x) := αf(x), (x) := f(x) h h(x) dimana domain fungsi-fungsi tersebut sama. h(x) 0 untuk setiap x. Khusus untuk pembagian, disyaratkan Teorema 3.6. Misalkan f, g : A R, c R titik limit A. Bila f dan g mempunyai limit di c, katakan lim x c f(x) = F dan lim x c g(x) = G maka berlaku 1. lim x c (f ± g) (x) = F ± G 2. lim x c (fg) (x) = F G 3. lim x c (αf) (x) = αf untuk suatu konstanta α. ( ) 4. lim f x c g (x) = F G asalkan G 0 dan g(x) 0 untuk setiap x. Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan denisi limit fungsi, tetapi lebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. Misalkan (x n ) suatu barisan dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c, maka berlaku Diperoleh lim (f(x n )) = F, dan lim (g(x n )) = G. lim ((f ± g) (x n )) = lim (f(x n ) ± g(x n )) = lim (f(x n )) ± lim (g(x n )) = F ± G. Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini memberikan kesimpulan bahwa lim x c (f ± g) (x) = F ± G, yang membuktikan pernyataan (i). Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi f 1, f 2,, f n dengan masing-masing lim x c f k (x) = F k maka berlaku ( ) ( ) ( ) lim (f 1f 2 f n ) (x) = lim f 1(x) lim f k(x) lim f n(x) = F 1 F 2 F n. x c x c x c x c 8

9 Lebih khusus, jika f 1 = f 2 = = f n := f maka diperoleh ( ) n lim x c (f(x))n = lim f(x) = F n. x c Jika p suatu polinomial pada R, yaitu p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 maka dengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh lim p(x) = a nc n + a n 1 c n a 1 c + a 0 = p(c). x c Selanjutnya, jika p(x) dan q(x) polinomial dan jika q(c) 0 maka berlaku p(x) lim x c q(x) = p(c) q(c). Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi f(x) terbatas dalam suatu interval, maka begitu juga nilai limitnya. Teorema 3.7. Misalkan f : A R, c R titik limit A. Bila a f(x) b untuk semua x A, x 0 dan lim x c f(x) ada maka a lim x c f(x) b. Bukti. Misalkan (x n ) suatu barisan dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c maka berlaku lim (f(x n )) = lim x c f(x). Karena a f(x n ) b untuk setiap n N maka a lim x c (f(x n )) b. Jadi, a lim x c (f(x)) b. Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A R dan c R titik limit A. Bila diketahui f(x) g(x) h(x) untuk setiap x A, x c dan lim x c f(x) = L = lim x c h(x) maka lim x c g(x) = L. Bukti. Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya menggunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan (x n ) dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c, maka berlaku f(x n ) g(x n ) h(x n ). Dengan memandang (f(x n )), (g(x n )) dan (h(x n )) sebagai tiga barisan bilangan real maka berlaku lim (g(x n )) = lim (f(x n )) = lim (h(x n )) = L, sehingga disimpulkan lim x c g(x) = L. Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dan dari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama. Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang sering muncul sebagai rumus limit. Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatas yang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus. (i) x sin x x untuk setiap x 0. (ii) 1 x2 2 cos x 1untuk setiap x 0. 9

10 (iii) x x3 6 sin x x untuk setiap x 0. Contoh Buktikan limit sebagai berikut : 1. lim x 0 sin x = 0, 2. lim x 0 cos x = 1, ( 3. lim cos x 1 ) x 0 x = 0, ( 4. lim sin x ) x 0 x = 1, 5. lim x 0 x sin ( 1 x) = 0. Bukti. Karena berlaku x sin x x untuk setiap x 0 (berdasarkan (i)) dan lim x 0 x = lim x 0 x = 0 maka dengan menggunakan teorema squeeze di peroleh 0 = lim x lim sin x lim x = 0 x 0 x 0 x 0 sehingga terbukti lim x 0 sin x = 0. Untuk lim x 0 cos x menggunakan (ii), yaitu 1 x2 2 cos x 1. Karena lim x 0 (1 x2 2 ) = lim x 0 1 = 1 maka diperoleh lim x 0 cos x = 1. Selanjutnya, dengan (ii) diperoleh x2 2 cos x 1 0, untuk x 0 Untuk x > 0 berlaku x 2 cos x 1 0 x dan untuk x < 0 diperoleh 0 cos x 1 x x 2. Bila diambil fungsi f dan h sebagai berikut { x f(x) : = 2 untuk x 0, h(x) := 0 untuk x < 0 maka untuk x 0 berlaku f(x) cos x 1 x h(x). { 0 untuk x 0 x 2 untuk x < 0 ) = 0. sin x x untuk x 0 untuk x 0. Jadi untuk x 0 berlaku Karena lim x 0 f(x) = lim x 0 h(x) = 0 maka disimpulkan lim x 0 ( cos x 1 x Untuk soal 4, dengan menggunakan (iii) berlaku x x3 6 dan x sin x x x3 6 ( ) Karena lim x 0 1 x2 6 1 x2 6 sin x x 1. = lim x 0 1 = 1 maka disimpulkan lim x 0 ( sin x x ) = 1. Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa 1 sin z 1 untuk semua bilanga real z. Dengan mengganti z = 1 x, x 0 maka diperoleh Gunakan denisi nilai mutlak. x > 0 diperoleh 1 sin 1 x 1. Kalikan ketiga ruas ekspresi terakhir ini dengan x = x x sin 1 x x = x. 10

11 Bila dikalikan dengan x < 0 diperoleh x = x x sin 1 x x = x Jadi untuk setiap x R dan x 0 berlaku x x sin 1 x x. Karena lim x 0 x = lim x 0 x = 0 maka disimpulkan lim x 0 x sin ( 1 x) = 0. Fungsi x sin 1 x berkelakuan seperti fungsi sin 1 x sebelumnya tetapi ia semakin dekat kepada nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis y = x dan y = x. Pola ini ditunjukkan pada Gambar Gambar 3.5: Grak fungsi y = x sin ( ) 1 x 3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi. Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk fungsi kontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkan fungsi penyebutnya tidak pernah nol. Sifat aljabar fungsi kontinu Teorema 3.9. Misalkan f, g : A R, c A. Bila f dan g kontinu di c maka 1. Fungsi-fungsi f ± g, fg dan αf kontinu di c. 2. Bila h : A R kontinu di c A dan h(x) 0 untuk semua x A maka fungsi kontinu di c. f h Bukti. Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri. Gunakan fakta lim x c f(x) = f(c), dan lim x c h(x) = h(c). Karena c A dan f(c) 0 maka berlaku f f(c) (c) = h h(c) = lim x c f(x) lim x c h(x) = lim f x c h (x) sehingga disimpulkan f g kontinu di c. 11

12 Contoh Bentuk-bentuk fungsi kontinu : 1. Fungsi polinomial p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 kontinu di setiap bilangan real c. 2. Bila p(x) dan q(x) fungsi rasional dan α 1, α 2,, α m akar q(x) maka fungsi rasional r(x) = p(x) q(x), x / {α 1, α 2,, α m } kontinu di setiap c yang bukan akar q(x). 3. Fungsi s(x) = sin x dan c(x) = cos x kontinu pada R. 4. Fungsi tan x, cot x, sec x dan csc x kontinu dimana mereka terdenisi. Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar Teorema Misalkan f : A R, kemudian didenisikan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar sebagai berikut f (x) := f(x), dan f(x) := f(x). 1. Bila f kontinu pada A maka demikian juga dengan f. 2. Bila f(x) 0 dan f kontinu pada A maka f kontinu pada A. Bukti. Gunakan sifat f(x) L f(x) L untuk menunjukkan berlaku sehingga diperoleh Jadi f kontinu di c. 1 f(x) L 1 f(x)+ L lim f (x) = lim f(x), x c x c lim lim f (x) = f(x) = f(c) = f (c). x c x c Untuk fungsi akar, gunakan hubungan f(x) L = L f(x) L untuk menunjukkan bahwa lim x c f(x) = limx c f(x). Selanjutnya, gunakan fakta ini untuk menunjukkan kekontinuannya. Kekontinuan fungsi komposisi Berikut diberikan syarat kontinu agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu. Teorema Bila A, B R, f : A R dan g : B R. Bila f kontinu di c A, g kontinu f(c) dan f(a) B maka komposisi g f : A R kontinu di c. Bukti. Diberikan ɛ > 0 sebarang. Karena g kontinu di f(c) maka terdapat δ 1 > 0 sehingga y B dan y f(c) < δ 1 g(y) g(f(c)) < ɛ. ( ) Karena f kontinu di c maka untuk δ 1 > 0 di atas, terdapat δ > 0 sehingga x A dan x c < δ f(x) f(c) < δ 1. ( ) 12

13 Karena f(a) f(b) maka f(x) B sehingga ruas kiri ( ) dipenuhi oleh y = f(x). Jadi ruas kanan ( ) berlaku, yaitu g(f(x) g(f(c)) = g f(x) g f(c) < ɛ. Kesimpulannya, setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga x A dan x c < δ g f(x) g f(c) < ɛ, yakni g f kontinu di c. Contoh Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar kontinu. (a) Dengan mendensikan g 1 := x maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa g 1 kontinu pada A, yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga g 1 (x) g 1 (c) = x c x c. (b) Bila f : A R sebarang fungsi kontinu pada A maka g 1 f = f kontinu pada A. Dengan mengambil g 2 (x) := x, x 0 maka g 2 dapat ditunjukkan kontinu di setiap c 0, yaitu dengan menggunakan hubungan x c = x c 1 = x c 1 x c. x + c x + c c Bila f : A R, dengan f(x) 0 sebarang fungsi kontinu pada A maka g 2 f = f kontinu pada A. Bila syarat f(a) B atau g kontinu di f(c) tidak terpenuhi maka ada kemungkinan komposisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh Misal diberikan fungsi f dan g yang didenisikan sebagai berikut { 0 bila x = 1 g(x) :=, f(x) := x + 1, x R. 2 bila x 1 Buktikan g dan f kontinu di 0 tetapi g f tidak kontinu di 0. Apakah hasil ini bertentangan dengan teorema sebelumnya? Bukti. Untuk fungsi g, lim x 0 g(x) = lim x 0 2 = 2 = g(0) yakni g kontinu di 0. Karena f berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti kontinu di 0. Sekarang bentuk komposisi g f sebagai berikut (g f) (x) = g (f(x)) = Uji kekontinuan sebagai berikut { 0 bila f(x) = 1 2 bila f(x) 1 = lim g f(x) = lim 2 = 2 g f(0) = 0, x 0 x 0 { 0 bila x = 0 2 bila x 0. sehingga disimpulkan g f tidak kontinu di 0. Diperhatikan salah satu syarat teorema adalah g kontinu di f(c). Karena f(0) = 1 dan lim x 1 g(x) = 2 g(1) = 0 maka g tidak kontinu di f(0) = 1. Karena ada syarat pada teorema tidak dipenuhi maka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema. 13

14 Eksistensi ekstrim mutlak Eksistensi nilai maksimum dan minimum mutlak sangat banyak digunakan dalam teori optimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyak digunakan dalam bidang terapan, khususnya dalam menentukan nilai yang mengoptimumkan suatu fungsi objektif. Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dan kaitannya dengan fungsi kontinu. Denisi 3.5. Sebuah fungsi f : A R dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta M > 0 sehingga f(x) M untuk semua x A. Dengan kata lain, fungsi f terbatas jika rentang (range) bayangannya merupakan himpunan terbatas. Contoh Fungsi f(x) := 1 x kontinu pada A := (0, ) tetapi tidak terbatas pada A karena setiap bilangan real α > 0 terdapat x A, misalnya x = 1 α+1 sehingga f(x) > α. Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas B := (1, ) yaitu dengan mengambil M = 1. Pada himpunan terbatas C = (0, 1], fungsi f kontinu tetapi tidak terbatas. Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebut terbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka f terbatas pada I. Bukti. Andai f tidak terbatas pada I. Maka, untuk sebarang n N terdapat bilangan x n I sehingga f(x n ) > n. Karena I terbatas maka ia memuat barisan bagian X = (x nr ) dari X = (x n ) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema Bolzano- Wierestrass). Karena I tertutup dan x nr I maka x I. Karena f kontinu di setiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f(x nr )) konvergen ke f(x). Jadi, (f(x nr )) barisan terbatas. Padahal berlaku f(x nr ) > n n r untuk setiap r N yang menyatakan bahwa (f(x nr )) tidak terbatas. Diperoleh suatu kontradiksi. Jadi, pengandaian f tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti. Denisi 3.6. Misalkan f : A R. Kita katakan f mempunyai sebuah maksimum mutlak (absolute maximum) pada A jika terdapat titik x A sehingga f(x ) f(x) untuk semua x A. Dikatakan f mempunyai minimum mutlak pada A jika terdapat titik x A sehingga f(x ) f(x) untuk setiap x A. Selanjutnya, titik x disebut titik maksimum mutlak dan x disebut titik minimum mutlak. Contoh Fungsi f(x) := 1 x tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlak pada domain A = (0, ), tetapi pada domain B = [1, 2] mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak dengan titik maksimum x = 1 dan titik minimum x = 2. Fungsi g(x) := x 2 mempunyai dua maksimum mutlak pada domain C := [ 1, 1] yaitu x = ±1 dan satu minimum mutlak dengan x = 0. Perhatikan Gambar 14

15 Gambar 3.6: Ilsutrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16 Teorema Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka f mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I. Bukti. Karena f terbatas maka range f(i) := {f(x) : x I} merupakan himpunan terbatas. Berarti ia mempunyai supremum dan inmum, katakan s = sup f(i) dan s = inf f(i). Kita tunjukkan terdapat x, x I sehingga f(x ) = s dan f(x ) = s. Karena s = sup f(i) maka untuk setiap n N, terdapat x n I sehingga s 1 n < f(x n) s. (#) Karena I terbatas maka barisan X := (x n ) terbatas, sehingga ia memuat barisan bagian X = (x nr ) yang konvergen ke suatu x I. Jadi f kontinu di x. Akibatnya, lim(f(x nr )) = f(x ). Mengikuti (#), diperoleh s 1 n r < f(x nr ) s untuk setiap r N. Karena lim(s 1 n r ) = lim(s ) = s maka dengan teorema squeeze, disimpulkan bahwa lim (f(x nr )) = f(x ) = s. Untuk eksistensi titik minimum x dibuktikan sejalan. 3.5 Limit Satu Sisi Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di 0 tidak ada. Tetapi jika domainnya dibatasi pada interval (0, ) maka limitnya ada yaitu bernilai 1. Juga, bila domainnya hanya dibatasi pada interval (, 0) maka limitnya juga ada yaitu 1. Kasus seperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri yang dimodikasi langsung dari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satu sisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi. Denisi 3.7. Misalkan A R dan f : A R. 1. Bila c R titik limit A (c, ) = {x A : x > c}, maka bilangan real L dikatakan limit kanan f di c, ditulis L = lim x c + f(x) adalah jika diberikan ɛ > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x A dengan 0 < x < c + δ maka berlaku f(x) L < ɛ. 2. Bila c R titik limit A (, c) = {x A : x < c}, maka bilangan real L dikatakan limit kiri f di c, ditulis L = lim x c f(x) adalah jika diberikan ɛ > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x A dengan c δ < x < 0 maka berlaku f(x) L < ɛ. 15

16 diberikan diberikan L+ L+ L f(x)-l < L f(x)-l < L- L- terdapat terdapat c- c c c+ Gambar 3.7: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan) Biasanya notasi L = lim x c + f(x) dibaca L adalah limit fungsi f untuk x mendekati c dari kanan. Analog untuk limit kiri. Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.7. Pada kedua denisi ini, adanya nilai f(c) tetap tidak disyaratkan. Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi, seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema Misalkan A R dan f : A R, maka berlaku pernyataan berikut: lim x c + f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (x n ) yang konvergen ke c dimana x n A dan x n > c berakibat barisan (f(x n )) konvergen ke L R. lim x c f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (x n ) yang konvergen ke c dimana x n A dan x n < c berakibat barisan (f(x n )) konvergen ke L R. Bukti. Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit dua sisi. Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi : lim x c f(x) = L bila hanya bila lim x c f(x) = lim x c + f(x) = L Contoh Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh lim sgn(x) = 1, lim x 0 + sgn(x) = 1. x 0 Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya lim x 0 sgn(x) tidak ada. Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada. Sebagai ilustrasi amati contoh berikut. Contoh Fungsi g(x) := e 1/x, x 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi limit kirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1, x 0 mempunyai limit kiri di 0 e 1/x +1 yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why???). Karena limit kiri dan kanan tidak sama maka limit dua sisinya tidak ada. 3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz 16

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN BAB 4 LIMIT DAN KEKONTINUAN Everything should made as simple as possible, but no simpler. Albert EINSTEIN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuhnya matematika

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c, BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada

BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum

Lebih terperinci

Pengantar : Induksi Matematika

Pengantar : Induksi Matematika Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI ( ) =

II. LANDASAN TEORI ( ) = II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh

BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS

Lebih terperinci

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D 1 TURUNAN, Ph.D TURUNAN 3 1 Turunan Kita mulai diskusi ini dengan memperkenalkan denisi turunan suatu fungsi Denisi 1. Misalkan I R; f : I! R dan c 2 I: Bilangan L 2 R dikatakan merupakan turunan dari

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN

BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT

CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam

Lebih terperinci

Misal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap

Misal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO PENYELESAIAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2012/2013 Mata Ujian : Analisis Real 1 Tipe Soal : Reguler Dosen : Dr. Julan HERNADI Waktu : 90 menit

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri

BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan

ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci