SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
|
|
|
- Suparman Jayadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik
2 BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran (skalarnya) tidak terukur secara menyeluruh. Bilangan kompleks terdiri dari 2 komponen : Komponen bilangan nyata (riel) ; terukur Komponen bilangan khayal (imajiner) ; tak terukur Bilangan kompleks merupakan fasor( vektor yang arahnya ditentukan oleh sudut fasa) Bilangan kompleks dapat diekspresikan dalam 4 bentuk : Bentuk Rektangular Bentuk Polar Bentuk Trigonimetri Bentuk Eksponensial Bentuk Hiperbolik Bentuk Logaritma AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 2
3 1.2. BILANGAN IMAJINER Bilangan bertanda positip di bawah tanda akar disebut bilangan irasional. Contoh : 3, 5, 6, dst Bilangan (positip atau negatip) bila dikuadratkan hasilnya akan selalu positip. Contoh : (3) 2 = 9 ; (-4) 2 = 16 ; (-5) 2 = 25 dst. Bilangan bertanda negatif di bawah tanda akar disebut bilangan imjiner. Contoh : (-6) ; (-9) ; (-12) ; (-16) dst Bilangan imajiner (-9) = [ (-1)] (9) = [ (-1)] 3 (-5) = [ (-1)] (5) = [ (-1)] Bila (-1) = i atau (-1) = j maka (-9) = = i3 atau (-9) = j3 i atau j disebut operator AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 3
4 Sehingga i 2 = [ (-1)].[ (-1)] = -1 i 3 = (i 2 ). i = [ (-1)] 2. i = -i i 4 = (i 2 ) 2 = (-1) 2 = 1 i 5 =(i 4 ). i = i 1.3. BILANGAN KOMPLEKS Bentuk Rektangular + i Z2 Z1 β -r α + r δ ϕ Z3 Z4 Gbr 1. Bidang Kompleks -i AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 4
5 Bentuk Umum Z = R + ix ( 1-1 ) R = Re(Z) = Komponen Bilangan Riel (Nyata) X = Im(Z) = Komponen Bilangan Khayal (Imajiner) Contoh : 1. Z 1 = 3 + i4 ; Re(Z 1 ) = 3 ; Im(Z 1 ) = 4 2. Z 2 = -3 + i4 ; Re(Z 2 ) = -3 ; Im(Z 2 ) = 4 3. Z 3 = -4 i3 ; Re(Z 3 ) = -4 ; Im(Z 3 ) = Z 4 = 4 i4 ; Re(Z 4 ) = 4 ; Im(Z 4 ) = -4 Harga besaran (skalar) Z : Ž = Z = (R 2 + X 2 ) ( 1-2 ) Ž disebut harga mutlak (absolut) atau disebut juga modulus Z, ditulis Z. Sudut arah diukur terhadap sumbu X positif dan disebut sebagai argumen Z. Arg Z = θ = Arc tan (X/R) = Arc sin (R/Z) ( 1-3 ) = Arc cos (X/Z) AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 5
6 Contoh : 1. Z 1 = 3 + i4 2. Z 2 = -3 + i4 3. Z 3 = -4 i3 4. Z 4 = 4 i Bentuk Polar Lihat persamaan-persamaan : ( 1-1 ) : Z = R + ix ( 1-2 ) : Ž = Z = (R 2 + X 2 ) ( 1-3 ) : Arg Z = θ θ = Arc tan (X/R) θ = Arc sin (R/Z) θ = Arc cos (X/Z) Bentuk Umum Bilangan Kompleks dalam bentuk Polar : Z = Ž θ ( 1-4 ) AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 6
7 Contoh : 1. Z 1 = 3 + i4 ; Ž 1 = ( ) = 5 α = Arc tan (4/3) = o Z 1 = o 2. Z 2 = -3 + i4 ; Ž 2 = [(-3) ] = 5 β = Arc tan (4/-3) = o = o Z 2 = o ; Z 2 = o 3. Z 3 = -4 - i3 ; Ž 3 = [(-4) 2 +(-3) 2 ] = 5 δ = Arc tan (-3/-4) = o Z 3 = o 4. Z 4 = 4 - i4 ; Ž 4 = (4 2 + (-4) 2 )= 5.66 ϕ = Arc tan (4/-4) = -45 o = 315 o Z 4 = 5-45 o ; Z 4 = o 5. Z 5 = -i4 ; Ž 5 = (-7 2 ) = 7 θ = Arc tan (-7/0) = -90 o = 270 o Z 5 = 7-90 o ; Z 5 = o 6. Z 6 = 9 ; Ž 6 = (9 2 ) = 9 θ = Arc tan (0/9) = 0 o Z 6 = 9 0 o Catatan : i = 90 o ; i 2 = 180 o = -90 o ; i 3 = 270 = -90 o i 4 = 1 = 360 o = 0 o ; i n = n x 90 o AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 7
8 Bentuk Trigonometri + ix P(R,iX) Z -R α + R 0 -ix Gbr 2. Bidang compels utk bentuk trigonometri Bila Z = R + ix (lihat pers 1-1), maka : R = ž cos α dan X = ž sin α Sehingga : Z = ž cos α + i ž sin α Z = Ž ( cos θ + i sin θ ) ( 1-5 ) Contoh 1. Z 1 = 3 + i4 ; Ž 1 = 5 ; α = o Z 1 = o Z 1 = 5 ( cos o + i sin o ) AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 8
9 2. Z 2 = -3 + i4 ; Ž 2 = 5 ; β = o = o Z 2 = o ; Z 2 = o Z 2 = 5 ( cos o + i sin o ) Z 2 = 5 ( cos o + i sin o ) 3. Z 3 = -4 - i3 ; Ž 3 = 5 ; δ = o Z 3 = o Z 3 = 5 ( cos o + i sin o ) 4. Z 4 = 4 - i4 ; Ž 4 = 5.66 ; ϕ = -45 o = 315 o Z 4 = o Z 4 = 5.66 ( cos -45 o - i sin -45 o ) Bentuk Eksponensial Bentuk fungsi eksponensial sejati : (e x ) 1 = e x e (x1+x2) = e x1.e x2 dan bila e (x + i R) = e x.e ir AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 9
10 Menurut Deret MacLaurin : 2 3 x x x e = 1 + x ( 1-6 ) 2! 3! bila Z = R + ix dapat dituliskan dalam bentuk : e Z = e R ( cos X + i sin X ) ( 1-7 ) Didefinisikan sebagai fungsi positif Menurut Rumus Euler (perhatikan pers. 1-7) : e ix = cos x + i sin x ( 1-8 ) Didefinisikan sebagai fungsi imajiner Sehingga bentuk bilangan kompleks : Z = R + i X = Ž ( cos θ + i sin θ ) Z = Ž e iθ ( 1-9 ) Karena e ix = (cos 2 X + sin 2 X) = 1 AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 10
11 Contoh 1. Z 1 = 3 + i4 ; Ž 1 = 5 ; α = o Z 1 = o Z 1 = 5 ( cos o + i sin o ) Z 1 = 5 e i 53.13o 2. Z 2 = -3 + i4 ; Ž 2 = 5 ; β = o Z 2 = o Z 2 = [5 ( cos o + i sin o )] Z 2 = 5 e i o 3. Z 3 = -4 - i3 ; Ž 3 = 5 ; δ = o (kuadran 3) ; δ = o Z 3 = o Z 3 = 5 ( cos o + i sin o ) Z 3 = 5 e i o 4. Z 4 = 4 - i4 ; Ž 4 = 5.66 ; ϕ = -45 o = 315 o Z 4 = 5-45 o ; Z 4 = o Z 4 = 5 ( cos 315 o + i sin 315 o Z 4 = 5 e i 315o AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 11
12 Fungsi Hiperbolik Bila e iθ = cos θ + i sin θ dan e-iθ = cos θ -i sin θ maka didapatkan : dan 1 iθ θ i cos θ= (e + e ) 2 1 iθ θ i sin θ= (e e ) 2i ( 1-10 ) Sedangkan secara kalkulus: tan sec θ= θ= sin θ cos θ 1 cos θ cot csc θ= θ= cos θ sin θ 1 sin θ cos -θ= cos θ sin -θ = sin θ cot -θ= cos θ tan -θ = tan θ cos( θ± 2n π ) = cos θ sin( θ ± 2n π ) = sin θ tan( θ± n π ) = tan θ cot( θ ± n π ) = cot θ n = 0,1,2,3... AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 12
13 cos (Z 1 + Z 2 ) = cos Z 1 cosz 2 sinz 1 sinz 2 sin (Z 1 + Z 2 ) = sin Z 1 cosz 2 + cos Z 1 sin Z 2 Menurut Euler : e iz = cos Z + i sin Z Sehingga didapatkan : cos (R + ix) = cos R cos ix sin R sin ix sin (R + ix) = sin R cos ix cos R sin ix Sedangkan menurut definisi hiperbolikus : 1 θ θ cos i θ= (e + e ) = cosh θ 2 1 θ θ sin i θ= (e e ) = isinh θ 2i Sehingga diperoleh bentuk hiperbolikus bilangan kompleks : cos (R + ix) = cos R cosh X i sin R sinh X sin (R + ix) = sin R cosh X + I cos R sinh X + ( 1-11 ) AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 13
14 Bentuk Umum fungsi hiperbolikus bilangan kompleks adalah : cosh Z = cos (iz) ; sinh Z = -i sin(iz) ( 1-12 ) tanh Z = sinh Z cosh Z cosh θ ; coth θ= ( 1-13 ) sinh θ sech Z = 1 cosh Z 1 ; csch Z = ( 1-14 ) sinh Z Bentuk Logaritma Bila Z = R + ix dilogaritmakan biasa diubah menjadi ln Z atau log Z. Logaritma merupakan inverse dari bentuk eksponensial Bila didefinisikan w = ln Z, maka : e w = Z ( 1-15 ) dengan Z 0 AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 14
15 Misalkan ditentukan w = u + i v dan Z = Z e iθ maka : e w = e (u+iv) = e u e iv = Z e iθ e u e iv = memiliki harga absolute bila v adalah real, sedangkan e iv = 1, sehingga : e u = Z atau u = ln Z dan v = θ = arg Z Karena itu ln Z = ln Z + i arg Z = ln (R2+X2) + i arg(r+ix) ( 1-16) Bila Z merupakan perkalian 2π, maka : π < arg Z < π Disebut nilai prinsipal (principal value). Maka nilai ln Z dalam bentuk lain adalah : Untuk nilai Z real positif : ln z = Ln Z + 2nπI n = 1,2,3... ( 1-17 ) Untuk nilai Z real negatif : Ln z = ln Z + πi AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 15
16 1.4. OPERASI ARITMATIK Penjumlahan/Pengurangan Bentuk Umum Σ Z i = Σ Re(Z i ) + i.σ Im(Z i ) ( 1-18 ) Bila Z 1 = a + ib ; Z 2 = m + in dan Z = X + Y maka Z = Z 1 + Z 2 = ( a + ib ) + (m + in) = ( a + m ) + i( b + n ) Contoh 1. Z 1 + Z 2 bila Z 1 = 4 + i6 ; Z 2 = -8 i3 Jawab : Z 3 = Z 1 + Z 2 = (4 + i6)+(-8 i3) = (4-8) + i(6-3) = -4 + i3 = o = o = 5 ( cos o + i sin o ) = 5 [ cos ( } + i sin( )] = 5 e i143.13o = 5 e i-36.87o Cara lain Z 1 = 4 + i6 Z 2 = -8 i3 + Z 3 = Z 1 + Z 2 = -4 + i3 AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 16
17 2. Hitung Z 1 + Z 2, bila Z 1 = 6.403e i38.66o dan Z 2 = 6.708e i-63.43o Jawab : Z 1 = 6.403e i38.66o = o Z 1 = ( cos o + i sin o ) Z 1 = 5 + i4 Z 2 = e i-63.43o = o Z 2 = ( cos o + i sin o ) Z 2 = 3 i6 Z 1 +Z 2 = (5+3) + i(4-6) = 8 i2 Catatan Operasi penjumlahan/pengurangan bilangan kompleks lebih mudah bila persamaan dalam bentuk rektangular. AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 17
18 Perkalian A. Perkalian Bentuk Rektangular X = a + ib Y = p + iq X.Y = (a+ib)(p+iq) = ap + iaq + ibp - bq X.Y = (ap bq)+ i(aq+bp) B. Perkalian Bentuk Polar X = β ;Y = ϕ X X.Y = (. ) ( β + ϕ) X Y Y C. Perkalian Bentuk Eksponensial X = e iβ ; Y = e iϕ X Y X.Y = ( ) e i( β + ϕ ) X Y AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 18
19 D. Perkalian Bentuk Trigonometri X = X (cos β + i sin β ) Y = Y (cos ϕ + i sin ϕ ) X.Y =[ (cos β + i sin β)] [ (cos ϕ + i sin ϕ)] X Contoh 1. Hitung Z 1 x Z 2 bila Z 1 = 5 + i4 ; Z 2 = 3 i6 Jawab Z 1 x Z 2 = (5 + i4)(3 i6) = ( i4 5. i6 + i4. -i6 ) = ( ) + i(12-30) = 39 i18 2. Hitung Z 1 x Z 2, bila Z 1 = ( cos o + i sin o ) Z 2 = ( cos o + i sin o ) Jawab : Z 1 = 6.403e i38.66o = o Z 2 = e i-63.43o = o Y AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 19
20 Z 1 x Z 2 = 6.403e i38.66o e i-63.43o = (6.403 x 6.708) e i( ) = e i(-24.78) atau = (cos o + i sin o ) Z 1 x Z 2 = 39 i18 ; θ = o Z 1 x Z 2 = (6.403)(6.708) (38.66 o o ) = o = (cos o + i sin o ) = 39 i18 Catatan : Operasi perkalian lebih mudah dilakukan dalam bentuk polar atau eksponensial Pembagian A. Pembagian Bentuk Rektangular X = a + ib Y = p + iq X/Y = (a+ib)/(p+iq) X/Y = [(a+ib)/(p+iq] [(p-iq)/(p-iq)] = [(a+ib)(p-iq)]/[(p+iq)(p-iq)] = [(a+ib)(p-iq)]/ (p 2 +q 2 ) AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 20
21 X/Y= [(ap bq)+i(bp-aq)]/(p 2 +q 2 ) B. Pembagian Bentuk Polar dan Eksponensial Z 1 = Ž 1 β dan Z 2 =Ž 2 ϕ Z 1 / Z 2 = (Ž 1 /Ž 2 ) ( β - ϕ ) Z 1 = Ž 1 e iβ dan Z 2 =Ž 2 e iϕ Z 1 / Z 2 = (Ž 1 /Ž 2 ) e i(β-ϕ) Contoh 1. Hitung Z 1 /Z 2 bila Z 1 = 5 + i4 ; Z 2 = 3 i6 Jawab : Z 1 /Z 2 = (5+i4)/(3-i6) = [(5+i4)/(3-i6)][(3+i6)/(3+i6)] = [(5+i4)(3+i6)]/( ) = [(15-24)+i(12+24)]/(9+36) = i0.933 AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 21
22 2. Hitung Z 1 /Z 2 bila Polar Z 1 = ,66 o dan Eksponensial Z 2 = o Z 1 = e i38,66o Z 2 = e i-63.43o Jawab : Z 1 /Z 2 = (6.403/6.708) [38,66 o -( o )] Z 1 /Z 2 = (0.955) o Z 1 /Z 2 = (6.403/6.708)ei[38,66o- (-63.43o)] Z 1 /Z 2 = (0.955) e i102.10o Catatan : Operasi pembagian lebih mudah bila dilakukan dalam bentuk polar atau eksponensial. AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 22
23 Sifat Utama Dalam Operasi Aritmatik 1. Komutatif Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 Z 1.Z 2 = Z 2.Z 1 2. Asosiatif (Z 1 + Z 2 ) + Z 3 = Z 1 + (Z 2 + Z 3 ) (Z 1. Z 2 ) Z 3 = Z 1 ( Z 2. Z 3 ) 3. Distributif Z 1 (Z 2 + Z 3 ) = Z 1 Z 2 + Z 1 Z Z = Z + 0 = Z Z+(-Z) = (-Z) + Z = 0 Z.1 = Z 1.5. KONJUGASI Pengertian Dasar Konjugasi adalah bayangan cermin bilangan nyata (riel) dalam sistem bilanganh kompleks. Tanda pada komponen imajiner berubah (berlawanan). Konjugasi dituliskan dengan tanda * AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 23
24 Cara Penulisan Bentuk Konjugasi 1. Rektanguler Z = R + ix Z* = R ix 2. Polar Z = Ž β Z* = Ž -β 3. Trigonometri Z = Ž(cos β + i sin β) Z* = Ž(cos β-isinβ) 4. Eksponensial Z = Ž e iβ Z* = Ž e -iβ Sifat-sifat Utama Konjugasi ( Z* )* = Z (Z 1 + Z 2 )* = Z 1 * + Z 2 * (Z 1.Z 2 )* = Z 1 *. Z 2 * (Z 1 / Z 2 )* = Z 1 * / Z 2 * AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 24
25 SOAL-SOAL LATIHAN 1. (R + ix) 4 + ( R-iX ) 4 2. (1-i 3) 5 + ((-3 + i3) (cos 12 o + i sin12 o ) + 4(cos 78 o + i sin 78 o ) 4. 12(cos 138 o + i sin 138 o ) - 6(cos 93 o + i sin 93 o ) 5. 3(cos 38 o + i sin 38 o ) x 4(cos 82 o -i sin 82 o ) 6. 4(cos 69 o i sin 69 o ) x 5(cos 35 o + i sin35 o ) 7. 12(cos 138 o + i sin 138 o )/4(cos 69 o i sin 69 o ) 8. 6(cos 93 o -i sin 93 o )/ 3(cos 38 o + i sin 38 o ) 9. Bila Z 1 =12(cos i sin 125) ; Z 2 = (3 i 5) 3 Hitung : a. Z 1 * + Z 1 Z 2 *, b. 2Z 1 * x Z 2 *, c. Z 1 * x (Z 2 *) Soal sama dengan No. 9, tetapi Hitung : a. Z 1 */ Z 2 *, b. 2Z 1 * / Z 2 *, c. (Z 2 *) 2 / 2Z 1 * 11.Carilah solusi kompleks dari fungsi-fungsi berikut : a. cos z = 5, b. sin Z = 1000, c. cosh Z = 0 d. sinh Z = 0, e. cosh Z = 0.5, f. sin Z = i sinh 1 AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAs INDONESIA 25
Bab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Fungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS 1. Bilangan-Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan real yang dapat menempati seluruh titik pada garis lurus, hal ini dinamakan garis bilangan real seperti pada Gambar 1. Operasi penjumlahan,
Bab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
ANALISA KOMPLEKS. 1. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut. z = a + ib (1)
ANALISA KOMPLEKS. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan () berikut = a + ib () dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular - a : bilangan nyata
Bab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Teknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z
MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan
CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
FUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
A B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Bilangan dan Fungsi Kompleks
Bab 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,
FT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
FUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Sistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
DASAR-DASAR MATLAB. Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya.
DASAR-DASAR MATLAB Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya. Dalam pemrograman MATLAB dikenal hanya dua tipe data, yaitu Numeric
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013 Daftar Isi 1 Logika Matematika, Himpunan, Relasi, dan Pemetaan 3 1.1 Logika Matematika................................ 3 1.2 Formalisme Himpunan..............................
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Modul I Dasar Bilangan Kompleks
Modul I Dasar Bilangan Kompleks Tujuan : 1. Mahasiswa dapat memahami asal bilangan kopleks dan pangkat j. Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompeks kedalam bentuk grafis 3. Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk
Bab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
FUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I
SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
I N T E G R A L (Anti Turunan)
I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.
Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB
BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB Pada bagian 1 ini, akan diuraikan tentang bagaimana mendefinisikan data, operasi data dan teknik mengakses data pada Matlab. Untuk lebih memahami, pembaca sebaiknya mecobanya
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
FUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Kalkulus II Intgral Fungsi Transndn Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. www.kopujiyanto.wordprss.com kop003@yahoo.com 08 78 399 Matri Intgral Fungsi Logaritma dan Eksponn Intgra Invrs Fungsi Trigonomtri Intgra
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,
Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai : Bilangan kompleks Operasi bilangan kompleks Aplikasi bilangan kompleks dalam
BILANGAN KOMPLEKS 1 Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai : Bilangan kompleks Operasi bilangan kompleks Aplikasi bilangan kompleks dalam rangkaian elektronika Tegangan, arus
TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi
Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =
PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1
PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)
BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Matematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
Penerapan Bilangan Kompleks pada Rangkaian RLC
Penerapan Bilangan Kompleks pada Rangkaian RLC Hishshah Ghassani - 354056 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 0 Bandung 403, Indonesia
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
BAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
MATEMATIKA DASAR TAHUN 1981
MATEMATIKA DASAR TAHUN 98 MD-8-0 Jika A = {bilangan asli} dan B = {bilangan prima} maka A B adalah himpunan... bilangan asli bilangan cacah bilangan bulat bilangan prima kosong MD-8-0 Pada diagram Venn
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) Kalkulus Vektor Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering
Hendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik
Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia
FUNGSI TRIGONOMETRIK
FUNGSI TRIGONOMETRIK MAKALAH Untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si Oleh: Kelompok V M. Sihabudin 309312422750 Rino Kitanto 309312426745
PRAKTIKUM 2 PENGENALAN PROGRAM APLIKASI MATEMATIKA MAPLE 7
PRAKTIKUM PENGENALAN PROGRAM APLIKASI MATEMATIKA MAPLE 7. MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, E-LEARNING. SOFTWARE : MAPLE. TUJUAN Mahasiswa dapat: Menggunakan konstanta, bilangan kompleks, bilangan dasar (basis),
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
(a) (b) Gambar 1. garis singgung
BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis
A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi
sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan
Hendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
BAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK
BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
a b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40.
Soal Babak Penyisihan OMITS 0 Soal Pilihan Ganda. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif O, M, I, T, S yang memenuhi : O + M + I + T + S = Dimana O, M 4, I 5, T 6, dan S 7, adalah... a. 80 b. 80
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ;
4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan
Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri :
SMA - TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cous dan Tangen Sin r y r y Cos r x x Tan x y Hubungan Fungsi Trigonometri :. + cos. tan 3. sec cos cos 4. cosec 5. cotan cos 6. tan + sec + cos + cos cos cos cos tan
Bab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,
000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar
2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
= = =
= + + + = + + + = + +.. + + + + + + + + = + + + + ( ) + ( ) + + = + + + = + = 1,2,, = + + + + = + + + =, + + = 1,, ; = 1,, =, + = 1,, ; = 1,, = 0 0 0 0 0 0 0...... 0 0 0, =, + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0....
VI. FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA
VI. FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA 6. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi eksponen; 2. menggambar grafik fungsi eksponen;
Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;
Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang
Daya Rangkaian AC [2]
![Daya Rangkaian AC [2]](/thumbs/60/44142592.jpg "Daya Rangkaian AC [2]")
Daya Rangkaian AC [2] Slide-11 Ir. Agus Arif, MT Semester Gasal 2016/2017 1 / 16 Materi Kuliah 1 Nilai Efektif Tegangan & Arus Efektif Nilai Efektif Gelombang Berkala Nilai RMS Gelombang Sinusoidal Nilai
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan