digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3"

Transkripsi

1 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral seperti d atau e d Pada bab ini akan dibahas teknik-teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi yang tidak sederhana Integrasi substitusi Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat melakukan substitusi berdasarkan aturan berikut Aturan substitusi : Jika u g adalah fungsi terdiferensial dengan daerah hasil berupa selang I dan f kontinu pada I, maka f g g' d f u du Dengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan d dengan mengambil kita punyai u, sehingga diferensial u adalah du d Dengan demikian u du d d cos Contoh : Carilah d sin Untuk menyelesaikan integral di atas, substitusikan diperoleh du cos d cos du Maka integral di atas menjadi d sin ln u C u cos Dengan demikian diperoleh d ln sin C sin u C C u sin untuk kemudian

2 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Contoh : Selesaikan d Penyelesaian : misal u du d d ln u C ln du u C Contoh : Selesaikan : - d Penyelesaian : misal u - du - d - d u du u C u C C Soal latihan : Hitung integral berikut dengan substitusi yang diberikan cos d, u d, u cos d, u d u, Hitung integral tak tertentu berikut 6 d 6 d 7 cos d 8 d e d d 0 Integrasi Parsial Sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan

3 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 6 menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial Jika f dan g dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka atau d d [ f g ] f g' g f ' d f g' [ f g ] g f ' d Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing ruas dari persamaan ini, kita peroleh atau d f g f ' d d g' d [ f g ] d f g' d f g g f ' d Persamaan integral ini kita sebut rumus integrasi parsial, yang selanjutnya dengan mengambil u f dan v g rumus tersebut dapat dituliskan dengan u dv uv v du Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut Contoh : Selesaikan sin d Penyelesaian: Pilih u dan dv sin d, sehingga diperoleh du d dan v sin d cos C Oleh karena itu sin d cos C cos C d cos C sin C C cos sin C Pada ilustrasi di atas kita menambahkan konstanta C ketika mendapatkan v dari dv Tetapi pada akhirnya konstanta C tersebut akan tereliminasi Dengan demikian untuk selanjutnya tidak perlu menuliskan konstanta C ketika mendapatkan v dari dv

4 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 7 Contoh : Selesaikan ln d Penyelesaian : Misal u ln dv -d du d v Jadi : ln d u dv uv v du ln d ln d ln C Contoh : Selesaikan sin d Penyelesaian : Misal u dv sin d du v -cos sin d udv uv vdu cos cos d * Perhatikan cos d pada *, kita gunakan integral parsial lagi Misal u dv cos d du v sin cos d u dv uv - v du sin - sin d sin cos C ** Substitusi ** ke * didapat : sin d udv uv vdu cos sin cos C

5 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 8 Contoh : cos d Selesaikan e Penyelesaian : Misal u e e du e dv cos d v sin udv uv vdu e sin cos d e sin d * Perhatikan e sin d pada * Misal u e du e dv sin d v -cos e sin d u dv uv - v du - e cos e cos d ** Substitusi ** ke * didapat : e cos d e sin e cos e e cos d e cos d e cos d e cos d e sin e sin e cos C Dengan demikian e cos d e sin cos C cos C Dalam beberapa kasus, untuk mendapatkan hasil integral pada ruas kanan masih diperlukan integrasi parsial lagi Dalam situasi seperti ini, akan sangat membantu jika digunakan metode tabulasi tanda Turunkan integralkan u dv - du v

6 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 9 Anak panah diagonal menandakan bentuk yang dikalikan dalam hal ini, uv Pada baris terakhir, anak panah horisontal menunjukkan integral terakhir yang harus dicari dalam hal ini v du Sedangkan pada kolom tanda, menunjukkan urutan tanda yang dimulai dari kemudian berganti ganti -,,- dst Dengan demikian tabel di atas dapat dibaca u dv u v v du Baris pertama anak panah anak panah diagonal mendatar Contoh : Tentukan e d Solusi, Dibuat tabel sebagai berikut Tanda Turunkan integralkan e - e 0 e Dari tabel diperoleh e e e e C 0 e d C Yang terkadang membingungkan adalah bagaimana menentukan bagian mana yang harus diturunkan atau mana yang diintegralkan Untuk menentukan bentuk dv yang akan diintegralkan, digunakan aturan urutan prioritas detail, yaitu dv eksponensial trigonometri aljabar invers trigonometri logaritma

7 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 0 Pemilihan bagian yang akan diintegralkan diprioritaskan berdasarkan urutan dari atas ke bawah, sedangkan bagian yang diturunkan dari bawah ke atas Sebagai contoh, misalkan akan dicari e d Pada integrand terdapat fungsi polinomial aljabar, dan fungsi eksponensial, e Maka dipilih bagian untuk diintegralkan adalah fungsi eksponensial, yaitu diturunkan tentu saja fungsi aljabar polinomial langkah seperti dalam metode tabulasi dv e d, dan untuk u Selanjutnya dapat digunakan Soal Latihan : Selesaikan integral berikut e d e sin d arc tg d arctan d sin d 6 sin d 7 ln d 8 cos lnsin d 9 sin d 0 ln d Integral fungsi trigonometri berpangkat Pada bagian ini kita akan melihat kasus kasus integral tak tertentu dari sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, dan cosecans berpangkat n n Kasus, sin d atau cos d, dengan n bilangan ganjil Jika n bilangan ganjil, maka n adalah genap Untuk itu kita perlukan rumus identitas cos sin Contoh : Carilah sin d Penyelesaian Perhatikan bahwa

8 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Jadi sin d sin sin d cos sin d sin d sin d cos sin d Untuk integral kedua pada ruas kanan, perhatikan bahwa kita dapat mengambil substitusi u cos, sehingga du sin d Jadi cos sin d u du u C cos C Karena integral pertama pada ruas kanan adalah cos C, maka sin d cos cos C n n Kasus, sin d atau cos d, dengan n bilangan genap Jika n genap, kita gunakan identitas trigonometri berikut : sin cos cos cos Contoh : Carilah sin d Penyelesaian sin d sin d cos d cos cos d cos cos d sin sin C 8 n m Kasus, sin cos d, dimana salah satu dari n atau m ganjil Penyelasaian kasus ini sama dengan pada kasus, Contoh : Carilah sin cos d

9 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Penyelesaian sin cos d sin cos cos d 7 sin sin C 7 sin sin cos d 6 sin sin cos d sin cos d 6 sin cos d n m Kasus, sin cos d, dengan n dan m bilangan genap Penyelesaian kasus ini sama dengan kasus Contoh : Carilah sin cos d Penyelesaian sin cos d cos cos d cos cos cos cos sin 8 6 cos sin cos sin cos d sin cos sin cos d d d sin cos sin cos d cos sin cos C 6 8 n n Kasus, tan d atau cot d, dengan n bilangan bulat positif Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis

10 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari n n tan tan tan n tan sec atau n n cot cot cot n cot csc Contoh : Selesaikan tan d Penyelesaian tan d tan tan d tan sec d tan sec d tan d tan ln sec C n n Kasus 6, sec d atau csc d, dengan n bilangan genap positif Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis n n sec sec sec atau n / tan sec n n csc csc csc n / cot csc Contoh 6 : Selesaikan csc d Penyelesaian csc d csc csc d cot csc d cot csc d csc d cot cot C n n Kasus 7, sec d atau csc d, dengan n bilangan ganjil Untuk menyelesaikan kasus ini digunakan pengintegralan parsial Contoh 7 : Selesaikan csc d Penyelesaian

11 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari csc d csc csc d Dengan integral parsial kita punyai u csc, dv csc, sehingga u csc cot, v tan Dengan demikian csc d csc cot csc d csc cot lncsc cot C Soal Latihan : Selesaikan Integral berikut sin cos d sin d sec d 6 sin cos d cos d 6 sin sin d Integrasi fungsi rasional Seringkali ditemukan integral berbentuk fungsi rasional pembagian dua N polinomial, Jika derajat pangkat tertinggi fungi pembilang lebih besar M X atau sama dengan pangkat tertinggi penyebut, maka dapat dilakukan pembagian polinomial dan mengintegralkan hasil pembagian tersebut Sebagai ilustrasi, sehingga d d ln C Pecahan parsial Dalam aljabar kita telah mengenal penjumlahan bentuk pecahan dengan menemukan pembagi bersama, misalnya

12 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Dengan demikian kalau kita dihadapkan pada masalah mencari integral d, maka kita dapat menggunakan pecahan parsialnya, yaitu d d ln ln C N Proses pemisahan pecahan ke dalam jumlah pecahan dengan pembagi M X berbentuk fungsi linear atau kuadrat ini disebut dekomposisi pecahan parsial Perlu diperhatikan bahwa derajat N harus selalu kurang dari derajat M Untuk selanjutnya akan dibicarakan tiga kasus berkaitan dengan faktor dari M, yaitu : Faktor-faktornya linear berbeda akar-akarnya real berbeda Faktor-faktornya linear berulang akarnya real ada yang sama Faktor kuadrat ada akar imajiner Kasus, Faktor linear berbeda Contoh : Tentukan integral d Kita harus menemukan A,B, dan C sehingga d Penyelesaian Perhatikan bahwa d A B C Dengan menyamakan penyebut pada kedua ruas, diperoleh A B C dengan menyamakan koefisien suku-suku yang bersesuaian pada kedua ruas,diperoleh A B C A B C 6A B C yang penyelesaianya adalah A, B, dan C Dengan demikian diperoleh

13 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 6 ln ln ln C d d d 6 7 Metode Heaviside Adalah sebuah metode yang memudahkan kita untuk menemukan konstanta pada dekomposisi pecah parsial dari X M N Terlebih dahululu kita harus memfaktorkan M ke dalam bentuk faktor linear n n n r A r A r r r N M N Selanjutnya untuk menemukan konstanta A i yang berbsesuaian dengan bentuk i i r A, maka pada penyebut di ruas kanan faktor i r kita buang dan memasukkan nilai r i ke dalam pada faktor tersisa Misalnya untuk mencari nilai A pada contoh di atas, maka faktor kita buang dan memasukkan nilai - pada faktor tersisa Jadi A selanjutnya untuk mencari B, faktor yang di buang adalah, jadi 6 B sedangkan C, C Diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya Perlu dicatat bahwa metode heaviside ini hanya berlaku untuk faktor linear berbeda Kasus, Faktor linear berulang Contoh : Tentukan integral d

14 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 7 Penyelesaian d A B C D E - A B C D E - B E A 6B D E 6A B C D E A 8B 8A 7 A ; B ; C ; D ; E d 6 d d 7 d 6 d d 7 ln ln c Contoh : Selesaikan d 9 6 Penyelesaian Perhatikan bahwa 9 6 atau A B C Dengan substitusi Untuk B B jadi A B C - - 9C C 0 0 A B 6C A

15 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 8 d 9 6 d ln ln C Kasus, Faktor kuadrat d Contoh : Tentukan integral Penyelesaian Harus dicari A,B, dan C sehingga A B C atau A B C Dengan menyamakan koefisien yang bersesuaian, diperoleh 0 A B, 0 B C, A C sehingga diperoleh A, B, dan C Dengan demikian d d ln ln arc tg C Conoth : Selesaikan Penyelesaian d A B C

16 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 9 Diperoleh ; 7 ; 9 C B A Jadi : d d d d d d Maka : d d d d d ln ln 0 9 d c ln ln tan ln 0 9 Kasus, faktor kuadrat berulang Contoh 6: Selesaikan d Penyelesaian Tulis E D C B A Selanjutnya tentukan A,B,C,D, dan E sebagai latihan Soal latihan : Tentukan integral berikut : d 7 d 6 7 d d 0

17 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 0 9 d 6 d 7 Matematikawan Jerman, Karl Weiertrass mengamati bahwa substitusi u tan akan mengubah sebarang fungsi rasional dari sin dan cos menjadi fungsi rasional biasa dari t a Jika u tan, π < < π, gambarlah segitiga siku-siku atau gunakan kesamaan trigonometri untuk menunjukkan bahwa u cos, sin u u b Tunjukkan bahwa u u cos, sin u u c Tunjukkan bahwa d du u Gunakan subsitusi dalam soal 7 untuk menyelesaikan integral berikut d d 8 9 sin sin cos Integrasi fungsi irrasional Bentuk irrasional satu suku Jika integral hanya memuat bentuk irrasional dari satu macam suku, misal, maka gunakan substitusi dari pangkat-pangkat akar Contoh : d a y n, dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil

18 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari b d arc tg C Gunakan substitusi y d c Gunakan substitusi u 6 Penyelesaian : a Dengan substitusi y diperoleh y dan d y dy, sehingga d y dy y ln y C ln C y c Substitusi u 6 / 6 u 6 Sehingga : d 6 u du d u 6u du u 6u d 6 u du 6udu du u 6u 6u du 6udu du u u u 6 u u u ln u ln u u tan C ln 6 ln 6 tan C 6 u 7 u du Jika a b c adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran

19 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Jika a b c adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut : a b c a b c a a a b a b Substitusi yang digunakan adalah : u a b ac - a Contoh : d Selesaikan 6 Penyelesaian : d 6 Misal u du d d 7 d 6 u du u 7 7 u 7 du u 7 u sec C 7 7 sec C 7 7 Jika a b adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika a b adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran maka kita dapat melakukan substitusi : u a b

20 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Contoh : Selesaikan Penyelesaian : d Misal u u u u du d d u d d 0 u u du Jadi : 0u d u du du du du u u u u ln u ln u C u u u u ln C u u 6 ln C du Substitusi trigonometri Bentuk substitusi a a sint sec a a t

21 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari a a tg t Contoh Selesaikan 9 d Penyelesaian Misalkan sin t, maka d cos t dt dan 9 9 9sin t 9cos t cos t Dengan demikian kita peroleh Contoh : Buktikan Bukti : d cos t dt 9 cos t cos t dt 9 a 9 cos t dt 9 t sin t C a - d sin a C a a u a Dari gambar diatas didapat : Sin u a u arc sin a a sin u a cos u du d Jadi a d a cos ua cosu du a cos u du a a cosudu u sin u C a sin sin u cosu C a

22 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari a sin sin a a a a - a a a C C terbukti Contoh : Selesaikan 9 d Penyelesaian :Substitusi : sin θ d cos θ dθ sin θ sin θ cosθ dθ sin θ cosθ dθ sin θ cos θ d θ sin θ cot θ dθ cos ec θ dθ cot θ θ c Conoth : Selesaikan d Penyelesaian Substitusi : d tan θ sec θ dθ tan θ tan θ sec θ d sec θ sec θ dθ

23 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 6 sec θ dθ dengan inti parsial sec θ tan θ ln sec θ tan θ c Conoth : d Selesaikan Penyelesaian Substitusi : sec θ d sec θ tan θ dθ sec θ d sec θ tan θ sec θ tan θ dθ sec θ tan θ 7 cos θ dθ sec θ 7 dθ θ d 7 cos θ θ sin θ c Soal Latihan : Gunakan substitusi trigonometri untuk menunjukkan rumus-rumus berikut : d d arcsin C arc C a a sec a a a d d ln a C a C ln a a a a d a arcsin C a

24 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 7 6 a a d a ln a C 7 a a d a ln a C Selesaikan integral berikut : d d 0 6 d d d 6 d d 9 d 9 d 6 d 8 d 0 d d 9 d d 6 Pertumbuhan dan Peluruhan Salah satu penerapan integral adalah untuk menyelesaikan persamaan yang muncul pada model matematika yang melibatkan hukum pertumbuhan atau peluruhan Hukum ini muncul bila laju pertubahan jumlah suatu kuantitas terhadap waktu berbanding lurus dengan kuantitas yang ada pada saat diberikan Sebagai contoh dalam biologi, dengan kondisi tetentu, laju pertumbuhan bakteri berbanding lurus dengan jumlah bakteri yang ada pada setiap saat Di dalam reaksi kimia, sering terjadi keadaan dimana laju reaksi berbanding lurus dengan jumlah zat yang ada

25 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 8 Dalam kasus seperti di atas, jika waktu dinyatakan dengan t satuan, dan jumlah kuantitas yang ada pada setiap saat dinyatakan dengan satuan, maka d dipunyai persamaan k, dimaka k konstanta dan > 0 untuk setiap t 0 Jika dt bertambah untuk t yang bertambah, maka k > 0, dan kita peroleh hukum pertumbuhan wajar Sedangkan jika berkurang bila t bertambah, maka k < 0 dan diperoleh hukum peluruhan wajar Misalkan kita akan menyelesaikan permasalahan pada contoh berikut Contoh : Laju pertumbuhan radium berbanding lurus dengan jumlah zat yang ada setiap saat Jika 60 mg radium tersedia sekarang dan waktu paruhnya adalah 690 tahun, maka berapa jumlah radium yang ada 00 tahun kemudian Penyelesaian : Misalkan t tahun telah berlangsung sejak sekarang, dan adalah banyaknya radium d dalam t tahun Maka kita punyai persamaan k Terlebih dahulu akan kita dt selesaikan persamaan ini Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dengan d kdt Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh atau dengan C c e t ? 0 d k dt ln kt c kt c e c kt e e kt Ce

26 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 9 Selanjutnya dengan memperhatikan syarat batas yang diberikan lihat tabel, kita peroleh untuk t 0, maka Ce k 0 60 C Selanjutnya untuk t 690, kita punyai tunjukkan Diperoleh 0 60e 690k atau k - 0,000, 000t 60e 0 untuk t 00, 0, 0 60e 7, 6 Jadi 00 tahun sejak sekarang akan terdapat 7,6 mg radium Contoh : Bakteri yang berkembang dalam suatu pembiakan bertambah dengan laju berbanding lurus dengan jumlah bakteri yang ada pada saat itu Jika awalnya ada 000 bakteri, dan jumlahnya menjadi dua kali lipat dalam waktu 0 menit, berapa jumlah bakteri setelah jam? Penyelesaian : Kerjakan sebagai latihan Contoh di atas menggambarkan suatu fungsi yang dikatakan mempunyai peluruhan eksponensial Pada contoh tersebut k < 0, dan ft, kt dimana lim f t C lim e 0 Jadi pada akhirnya f t akan menuju ke nol t t Sedangkan pada contoh, akan kita peroleh k > 0, sehingga kita peroleh fungsi yang dikatakan mempunyai pertumbuhan eksponensial, karena jika k > 0, maka kt lim f t C lim e, yang berarti f t akan membesar tanpa batas t t Selanjutnya akan kita lihat jika suatu kuantiotas bertambah dengan laju berbanding lurus dengan selisih suatu bilangan positif A dengan ukuran kuantitas tersebut Jika waktu dinyatakan dengan t satuan dan jumlah kuantitas pada setiap saat d adalah satuan, maka diperoleh persamaan k A, dengan k konstanta dt

27 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari 0 positif dan < A untuk setiap t Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk d kdt Dengan mengintegralkan kedua ruas, kita peroleh A d A kdt ln A kt c ln A kt c c kt A e e kt A C e dengan A,B, dan k konstanta positif serta ft menyatakan jumlah kuantitas pada saat t Hasil ini memberikan suatu fungsi pertumbuhan terbatas, karena kt lim f t lim A Ce t t kt A C lim e t A C 0 A Dengan demikian ft akan mendekati A dari kiri lihat gambar A ft A - C kt f t A Ce 0 t Contoh : Untuk menempuh ujian, seorang mahasiswa belajar tergesa-gesa selama jam untuk menguasai 60 fakta Menurut ahli psikologi, laju ingat seseorang berbanding lurus dengan jumlah fakta yang harus diingat Jika pada mulanya tidak ada fakta yang diingat oleh mahasiswa tersebut dan mahasiswa itu mampu mengingat fakta dalam 0 menit pertama, maka :a berapa banyak fakta yang mampu diingat dalam jam? b Mampukah mahasiswa tersebut mengingat 60 fakta dalam jam?

28 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari Penyelesaian : Misalkan jumlah yang akan dihafal adalah fakta dalam t menit, maka dipunyai d persamaan k 60, dimana k konstanta positif dan < 60 untuk setiap t dt Dengan demikian kita peroleh kt 60 Ce Karena 0 saat t 0, maka diperoleh C 60 t ?? Dengan mengganti C dengan 60, kita peroleh Karena bila t 0, maka kt 60 60e sehingga diperoleh a Untuk t 60, 0k e 0k 60 60e 0, 7 0k e , 7 t 0 t e , , 87 60,, 687 Jadi dalam jam mahasiswa tersebut mampu menghafal fakta b Dalam 80 menit, k

29 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari e , , , 008, 99 Dengan demikian mahasiswa tersebut hanya mampu menghafal fakta dalam waktu jam, artinya mahasiswa tersebut tidak mampu menggingat 60 fakta dalam jam Berapa waktu yang diperlukan mahasiswa tersebut untuk dapat menghafal ke-60 fakta? k Soal Latihan 6 : Di dalam suatu pembiakan bakteri, laju pertumbuhan bakteri berbanding lurus dengan jumlah bakteri yang ada Jika mula-mula ada 000 bakteri dan jumlahnya menjadi dua kali lipat setelah 0 menit, berapa lama waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri menjadi ? Seorang pekerja baru di bagian produksi dapat melakukan tugas khusus sedemikian rupa sehingga jika diproduksi satuan tiap hari setelah t hari dalam d bagian produksi, maka k 90, dimana k suatu konstanta positif dt dan < 90 untuk semua t 0 Pada hari pekerja itu mulai bekerja telah 60 satuan diproduksi, dan setelah bertugas hari pekerja itu memproduksi 7 satuan setiap hari, maka d a Selesaikan persamaan k 90 Petunjuk : ubah persamaan dt d ke bentuk k dt, kemudian selesaikan dengan 90 mengintegral kedua ruas b Berapa satuan yang diproduksi oleh pekerja itu setiap hari setelah ia bekerja 9 hari? Petunjuk : gunakan persamaan pada jawaban a

30 Bab Teknik Pengintegralan--yudiari c Perlihatkan bahwa pekerja itu menghasilkan hampir 90 satuan setiap hari setelah bekerja selama 0 hari? Dalam kimia, hukum aksi massa memberikan suatu terapan pengintegralan penggunaaka pecahan parsial Berdasarkan syarat-syarat tertentu terbukti bahwa suatu larutan A bereaksi dengan larutan B untuk membentuk larutan C dengan cara sedemikian sehingga laju perubahan jumlah C sebanding dengan perkalian dari sisa jumlah A dan sisa jumlah B pada setiap waktu yang diberikan Singkatnya, jika adalah jumlah zat C yang terbentuk pada t satuan waktu, maka diperoleh persamaan d d k a b atau k dt, k konstanta dt a b d 0 8 b Yakinkan anda bahwa hasil no dapat dinyatakan dengan a Jika a 0 dan b 8, selesaikan integral k dt 0 kt K e A, K konstanta ingat ln A ln B ln, dan jika 8 B A A ln k maka e k Dengan demikian jika dalam 0 menit B B terbentuk gram larutan C, berapa larutan C terbentuk setelah 0 menit? Petunjuk : Terlebih dahulu substitusikan t 0, 0 untuk mendapatkan K

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar

Lebih terperinci

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL

HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 27 November 2013

Hendra Gunawan. 27 November 2013 MA0 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester I, 03/04 7 November 03 Latihan (Kuliah yang Lalu) d. Tentukan (0 ). d. Hitunglah 3 5 d. 0 a 3. Buktikan bahwa y, a, monoton. a Tentukan inversnya. /7/03 (c) Hendra

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS S- Teknik Industri Outline Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional . Integral Parsial Formula Integral Parsial : u

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:

Lebih terperinci

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Pecahan Parsial (Partial Fractions) oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

a b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40.

a b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40. Soal Babak Penyisihan OMITS 0 Soal Pilihan Ganda. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif O, M, I, T, S yang memenuhi : O + M + I + T + S = Dimana O, M 4, I 5, T 6, dan S 7, adalah... a. 80 b. 80

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu

Lebih terperinci

FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL

FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL FUNGSI FAKTORIAL Definisi n e d n! Buktikan bahwa :!! e d e d e ( ) Terbukti FUNGSI Gamma Definisi ( ) p p e d ; p > Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial (

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN. Mintarjo SMK Negeri 2 Gedangsari Gunungkidul

INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN. Mintarjo SMK Negeri 2 Gedangsari Gunungkidul INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN Mintarjo SMK Negeri Gedangsari Gunungkidul email : tarjamint@gmailcom Abstrak Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal Salah satu cabang

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU

BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN

Asimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU 1

INTEGRAL TAK TENTU 1 INTEGRAL TAK TENTU 1 Rumus umum integral b a f (x) dx F(x) =lambang integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,

dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx, 5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan

Lebih terperinci

RUMUS INTEGRAL RUMUS INTEGRAL

RUMUS INTEGRAL RUMUS INTEGRAL TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, maka kita akan mendapatkan integral tak tentu dari fungsi-fungsi yang sudah kita ketahui Beberapa yang telah kita ketahui

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

INTEGRASI Matematika Industri I

INTEGRASI Matematika Industri I INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris

Lebih terperinci

Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;

Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai; Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidangbidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif, 000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom

KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku

Lebih terperinci

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd. Disusun Oleh:. Mukhammad Rif an Alwi (070600).

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah : 1. Terdapat sebuah fungsi H yang memetakan dari himpunan bilangan asli ke bilangan asli lainnya dengan ketentuan sebagai berikut. Misalkan akan dicari nilai fungsi H jika x=38. 38 terdiri dari 3 puluhan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci