Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks"

Transkripsi

1 Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan Penafsiran secara geometris. (2) Pertemuan II: Bentuk kutub, Pangkat, dan Akar. (3) Pertemuan III: Pengertian-pengertian topologis. Di dalam Kalkulus telah diperkenalkan sistem bilangan real R beserta operasioperasi hitung dan relasi urutan yang berlaku di dalamnya. Karena untuk setiap x R, x 2 0, maka mudah dipahami bahwa persamaan x = 0 (1.1) tidak mempunyai penyelesaian di dalam R. Dari permasalahan ini, kemudian muncul pemikiran untuk mengkonstruksikan suatu sistem bilangan yang lebih besar dari R sehingga persamaan (1.1) mempunyai penyelesaian. Sistem bilangan yang dimaksud selanjutnya dikenal dengan nama sistem bilangan kompleks. Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifatsifat aljabar dan sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R. 1.1 Pengertian Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan z = (x, y) (1.2) dengan x, y R, masing-masing dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari z, dan ditulis Re(z) = x dan Im(z) = y 1

2 Selanjutnya, himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi, C = {(x, y) : x, y R} Ada korespondensi 1-1 antara R dengan {(x, 0) : x R} C. Oleh karena itu, sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C. Bilangan kompleks berbentuk (0, y) disebut bilangan imajiner (khayal) murni. 1.2 Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi, (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 y 1 = y 2 Selanjutnya, diberikan dua bilangan kompleks z 1 = (x 1, y 1 ) dan z 2 = (x 2, y 2 ). O- perasi penjumlahan z 1 +z 2 dan operasi perkalian z 1 z 2, masing-masing didefinisikan sebagai berikut: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (1.3) (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (1.4) Khususnya, (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0) (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0), yaitu operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real. Mudah dipahami bahwa (x, y) = (x, 0) + (0, y) (1.5) Karena R C, maka setiap k R dapat dinyatakan sebagai (k, 0) = k. Sehingga untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y) dan k R, berlaku k(x, y) = (k, 0)(x, y) = (kx, ky) 2

3 Selanjutnya, apabila dinotasikan (0, 1) = i, maka berdasarkan persamaan (1.5) bilangan kompleks z = (x, y) dapat pula dituliskan sebagai z = (x, y) = x + iy Seperti halnya di dalam R, di dalam sistem bilangan kompleks C disepakati pula z 2 = zz, z 3 = zz 2, z 4 = zz 3, dst. Selanjutnya, diperoleh i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0), yaitu i 2 = 1. Sebagai informasi tambahan, dalam bidang teknik elektro biasa digunakan notasi j untuk bilangan imajiner i. Apabila dicermati, ternyata semua sifat penjumlahan dan perkalian pada bilangan kompleks sama dengan sifat penjumlahan dan perkalian pada bilangan real. Beberapa di antaranya, dapat dibuktikan langsung berdasarkan definisi, diberikan di dalam pernyataan berikut ini. Sifat Untuk sebarang z, z 1, z 2, z 3 C berlaku i. Hukum komutatif: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 dan z 1 z 2 = z 2 z 1. ii. Hukum assosiatif: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) dan (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). iii. Hukum distributif: z(z 1 + z 2 ) = zz 1 + zz 2. Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y), berlaku: (0, 0) + (x, y) = (x, y), dan (1.6) (1, 0)(x, y) = (x, y) (1.7) Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0, 0) = 0, dan ada elemen identitas terhadap perkalian, yaitu (1, 0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z C, z + 0 = z dan z.1 = z 3

4 Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya. Selanjutnya, untuk sebarang (x, y) C, maka ( x, y) C dan berlaku (x, y) + ( x, y) = (0, 0) Jadi, untuk sebarang z C terdapat (dengan tunggal) z C sehingga z + ( z) = 0 (1.8) Berdasarkan (1.8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan kompleks, yaitu z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ) (1.9) Jadi, apabila z 1 = (x 1, y 1 ) dan z 2 = (x 2, y 2 ), maka z 1 z 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) = (x 1 x 2 (+i(y 1 y 2 ) Sampai di sini belum dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Oleh karena itu, persamaan z 2 2z + 2 = 0 tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi ruas kiri. Namun demikian, dengan hanya menggunakan operasioperasi yang telah dibicarakan sebelumnya, penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan. Untuk itu, perhatikan contoh di bawah ini. Contoh Tentukan penyelesaian persamaan z 2 2z + 2 = 0. Penyelesaian: Misalkan z = (x, y), maka z 2 2z + 2 = 0 (x, y)(x, y) 2(x, y) + 2 = 0 (x 2 y 2 2x + 2, 2xy 2y) = 0 x 2 y 2 2x + 2 = 0 (I) dan 2xy 2y = 0 (II) Dari (II) diperoleh x = 1 atau y = 0. Untuk y = 0, maka (I) menjadi x 2 2x + 2 = 0 4

5 Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian karena diskriminannya negatif. Sedangkan untuk x = 1, maka (I) menjadi Jadi, z = (1, 1) atau z = (1, 1). 1 y 2 = 0 y = ±1 Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y) 0, maka ( berlaku x (x, y)( x 2 + y, y ) = (1, 0) 2 x 2 + y2 x, x 2 +y 2 y x 2 +y 2 ) C, dan Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan kompleks z 0 terdapat (dengan tunggal) z 1 C sehingga zz 1 = 1 (1.10) Selanjutnya, operasi perbagian pada bilangan kompleks dapat diturunkan berdasarkan (1.10), yaitu z 1 z 2 = z 1.z 1 2, z 2 0 (1.11) Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam pernyataan berikut. Sifat Untuk sebarang z 1, z 2 C: z 1 z 2 = 0 jika dan hanya jika z 1 = 0 atau z 2 = 0. Bukti:( ) : Diketahui z 1 z 2 = 0. Apabila z 1 0, maka terdapat z 1 1 C sehingga z 1 1 z 1 = 1. Selanjutnya, diperoleh ( ) : Mudah ditunjukkan. z 2 = 1.z 2 = (z 1 1 z 1 )z 2 = z 1 1 (z 1 z 2 ) = z = 0 Dengan adanya Sifat 1.2.3, maka Contoh dapat diselesaikan dengan cara melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut. 5

6 Apabila di dalam (1.11) diambil z 1 = 1, maka diperoleh sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai 1 z 2 = z 1 2 (1.12) z 1 z 2 = z 1 ( 1 z 2 ), z 2 0 Karena untuk sebarang z 1, z 2 0 berlaku (z 1 z 2 )(z 1 1 z 2 2 ) = (z 1 z 1 1 )(z 2 z 2 2 ) = 1 maka (z 1 z 2 ) 1 = (z 1 1 z 2 2 ). Berdasarkan persamaan (1.12) diperoleh Selanjutnya, mudah dipahami 1 z 1 z 2 = ( 1 z 1 )( 1 z 2 ), z 1, z 2 0 (1.13) z 1 + z 2 z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 ; z 1 z 2 z 3 z 4 = ( z 1 z 3 )( z 2 z 4 ), z 3, z 4 0 Contoh ( 2 i )( i ) = 1 (2 i)(3 + 2i) = i 1 = ( 8 + i )(8 i 8 i ) = 8 i 65 = i Latihan 1. Nyatakan bilangan-bilangan kompleks berikut ini ke dalam a + ib: a. (1 + i)(2 3i) b. (3 + i)(2 i)( i) 5 10 c. 1+2i 1 d. 4 3i 1+3i e. (1 + i) 4 f. 1+2i + 2 i 3 4i 5i 5 g. (i 1)(2 i) h. (1 i)(3 i) 6

7 2. Tunjukkan: 5 a. (2, 1)(1, 3) = (5, 5) b. = 4 + 3i 4 3i c. (2 2i) 4 = 64 d. 2 i = 5i 1+i 2 e. 2i 1+i 2 i = 1 + i f. = 3 4i 2+i 5 3. Tunjukkan: (z + 1) 2 = z 2 + 2z Tunjukkan bahwa perkalian pada bilangan kompleks memenuhi sifat komutatif. 5. Tunjukkan bahwa z = ( 1 2, ± 3 2 ) merupakan akar-akar persamaan z2 + z + 1 = Jika zz 1 = zz 2 dengan z 0, maka tunjukkan z 1 = z Dengan induksi matematika tunjukkan, apabila z 1 z 2... z n = 0 maka terdapat i, i = 1, 2,..., n, sehingga z i = Tunjukkan: a. Re(iz) = Im(z); b. 1 1/z = z (z 0); c. ( 1)z = z 9. Tunjukkan bahwa elemen netral dan elemen identitas tunggal adanya, masingmasing adalah 0 dan Penyajian Secara Geometris Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan dengan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat disajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y). 7

8 Gambar 1.1 Karena sebarang bilangan kompleks z = x+iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x, y), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu real dan sumbu imajiner. Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2. Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z 1 + z 2 dapat disajikan dengan titik (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) atau dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Dengan demikian z 1 + z 2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z 1 dan vektor z 2. Demikian pula, vektor z 1 z 2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z 1 dengan vektor z 2. Gambar 1.2 Modulus (atau nilai mutlak) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z, didefinisikan sebagai z = x 2 + y 2 (1.14) Sebagai contoh, 3 4i = 5, 1 + i 3 = 2, 2 3i = 13, dan seterusnya. Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z C, z 0 dan z = 0 z = 0 8

9 Gambar 1.3 Dari (1.14) dan Gambar 1.3, z secara geometris dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x, y), atau panjang vektor posisi z. z = x, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R. Apabila y = 0, maka Untuk dua bilangan kompleks sebarang z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2, z 1 z 2 secara geometris adalah jarak antara titik z 1 dan titik z 2. Hal ini dapat diterangkan pula dengan persamaan (1.14), yaitu z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Gambar 1.4 9

10 Dari persamaan (1.14) pula diperoleh hubungan antara z, Re(z), dan Im(z), yaitu sebagai berikut: z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 Akibatnya, Re(z) Re(z) z, Im(z) Im(z) z (1.15) Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z, adalah bilangan kompleks x iy. Jadi z = x iy (1.16) Dari (1.16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x, y), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x, y) terhadap sumbu real. Gambar 1.5 Selanjutnya, dapat ditunjukkan sifat-sifat berikut ini. Sifat Untuk sebarang z, z 1, z 2 C berlaku: i. (z) = z dan z = z, ii. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, iii. z 1 z 2 = z 1 z 2, ( z 1 z 2 ) = z 1 z 2, z 2 0, 10

11 iv. z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z) Untuk sebarang z = x + iy C, zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2 (1.17) Berdasarkan persamaan (1.17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan z 1 z 2, yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z 2. Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini. Contoh i 2 3i = 2 + i 2 3i 2 + 3i 2 + 3i = 1 + 8i 13 = i Selanjutnya, mudah ditunjukkan sifat berikut ini. Sifat Untuk sebarang z 1, z 2 C berlaku: i. z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 0, ii. Ketaksamaan segitiga: z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 + z 2. Bukti: Akan dibuktikan pertidaksamaan pertama pada ii, yang lain dipersilahkan para pembaca untuk mencobanya. Berdasarkan (1.17), z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = z1 2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) + z2 2 = z1 2 + Re(z 1 z 2 ) + z2 2 z1 2 + z 1 z 2 + z2 2 = z1 2 + z 1 z 2 + z2 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 Karena modulus tidak negatif, maka z 1 + z 2 z 1 + z 2. Selanjutnya, menggunakan hasil ini berturut-turut akan diperoleh 11

12 a. z 1 = z 1 z 2 + z 2 z 1 z 2 + z 2 z 1 z 2 z 1 z 2. b. z 2 = z 2 z 1 + z 1 z 1 z 2 + z 1 z 2 z 1 z 1 z 2. Dari (a) dan (b) diperoleh: z 1 z 2 z 1 + z 2. Latihan 1. Gambar bilangan-bilangan kompleks berikut: a. (2 3i) b. (3 + i) 1 c. (1 + 2i()4 3i) d. 1+3i e. (1 i) 4 f. 1+2i + 2 i 3 4i 5i 5 g. (i 1)(2 i) h. (1 i)(3 i) 2. Tentukan z jika diketahui a. z = (4 3i) b. z = (3 + i) c. z = ( 5 + 2i()4 3i) d. z = 1 1+3i e. z = (1 i) 4 f. z = 1+2i 2 i 3 4i 5i g. z = (i 3 1)( 2 i 5 2) h. z = (1 i)(3 4i) 3. Tunjukkan: a. z R jika dan hanya jika z = z. b. z merupakan bilangan real atau imajiner murni jika dan hanya jika (z) 2 = z Tunjukkan bahwa Re(z) + Im(z) 2 z. 5. Tunjukkan bahwa a. z 1 z 2 z 3... z n = z 1 z 2... z n b. z n = (z) n, n Z. 6. Tunjukkan Sifat

13 7. Jika z 3 z 4, maka tunjukkan z 1 + z 2 z 3 + z 4 z 1 + z 2 z 3 z 4 8. Tunjukkan bahwa z z 0 = r, r > 0, merupakan persamaan lingkaran dengan pusat z 0 dan jari-jari r. 9. Jika z = 1, maka tunjukkan z 2 + z Jika z i < 1 2, maka tunjukkan bahwa z Secara geometris, z 1 z 2 dapar diartikan sebagai jarak titik z 1 dan titik z 2. Berikan gambaran geometris dari a. z 2i + z + 2i = 5 b. z 3i = z + 3i 12. Jika z = 2, maka tunjukkan 1.4 Bentuk Kutub 1 z 4 4z Seperti telah dijelaskan pada Bagian 1.2, bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan dengan titik (x, y) di dalam bidang-xy. Selanjutnya, sebarang bilangan kompleks tak nol z = x + iy atau z = (x, y), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan dengan (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam. Karena maka z dapat pula dinyatakan sebagai x = r cos θ dan y = r sin θ z = r(cos θ + i sin θ) (1.18) Pernyataan (1.18) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z. Berbeda dengan di dalam kalkulus, di dalam sistem bilangan kompleks ini r tidak diperkenankan 13

14 bernilai negatif. Sedangkan θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) nilainya, termasuk negatif. Bilangan r adalah modulus (panjang) bilangan kompleks z, yaitu r = x 2 + y 2 = z sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z. Secara geometris arg z menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian. Apabila θ merupakan arg z, maka θ + 2kπ, k Z, juga merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, arg z tidak didefinisikan. Sedangkan untuk z 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus atau θ = arctan( y x ), x 0 (1.19) θ = arcsin( y r ) = arccos(x r ) (1.20) Apabila menggunakan rumus (1.19), maka kuadran yang memuat z harus diperhatikan. Perlu diperhatikan pula bahwa berdasarkan keterangan tersebut di atas, apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimaksudkan z 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit. Gambar 1.6 Nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z, adalah suatu nilai arg z (tunggal) sehingga π < arg z π. 14

15 Contoh Untuk bilangan kompleks z = 1 i 3, arg z = 4π 3 + 2kπ, k Z tetapi Arg z = 2π 3 Diberikan dua bilangan kompleks sebarang: z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) dan z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) maka diperoleh z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 {(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 )} = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) Jadi, z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) (1.21) Dengan demikian diperoleh suatu persamaan arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg z 2 (1.22) Apabila θ 1 dan θ 2 masing-masing adalah nilai arg z 1 dan arg z 2, maka berdasarkan (1.22) θ 1 +θ 2 merupakan suatu nilai arg z 1 z 2. Sebaliknya, diberikan sebarang nilai arg z 1 dan nilai arg z 1 z 2, misalkan masing-masing adalah arg z 1 = θ 1 + 2kπ, n Z, dan arg z 1 z 2 = (θ 1 + θ 2 ) + 2nπ, n Z Karena (θ 1 + θ 2 ) + 2nπ = (θ 1 + 2kπ) + (θ 2 + 2(n k)π) 15

16 maka persamaan (1.22) akan dipenuhi apabila nilai arg z 2 = θ 2 + 2(n k)π. Jadi, sebarang arg z 1 z 2 sama dengan suatu arg z 1 ditambah suatu arg z 2. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z 1 z 2 tidak sama dengan sebarang arg z 1 ditambah sebarang arg z 2. Demikian pula, Arg z 1 z 2 belum tentu sama dengan Arg z 1 ditambah Arg z 2 Perhatikan contoh berikut ini. Contoh Diberikan z 1 = 1 dan z 2 = 1 + i 3, maka z 1 z 2 = 1 i 3. Berturut-turut diperoleh: arg z 1 = π + 2kπ, k Z, Arg z 1 = π arg z 2 = 2π 3 + 2kπ, k Z, Arg z 2 = 2π 3, arg z 1 z 2 = π 3 + 2kπ, k Z, Arg z 1z 2 = π 3. Selanjutnya, apabila diberikan z k = r k (cos θ k + i sin θ k ), k = 1, 2,..., n, maka secara induktif dapat ditunjukkan z 1 z 2... z n = r 1 r 2... r n (cos(θ 1 + θ θ n ) + i sin(θ 1 + θ θ n ))(1.23) Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ), maka mudah ditunjukkan bahwa Demikian pula 1 z = 1 (cos( θ) + i sin( θ)) (1.24) r z = r(cos( θ) + i sin( θ)) (1.25) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (1.21) dan (1.24), maka untuk dua bilangan kompleks sebarang: berlaku z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) dan z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) z 1 z 2 = ( r 1 r 2 )(cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) (1.26) 16

17 Jadi, seperti halnya pada (1.22), dari (1.26) dapat dikatakan bahwa sebarang arg( z 1 z 2 ) sama dengan suatu arg z 1 dikurangi suatu arg z 2. Apabila pada persamaan (1.23), z k = z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2,..., n, maka diperoleh z n = (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (1.27) Selanjutnya, berdasarkan (1.24) dan (1.27), maka untuk n N diperoleh z n = 1 z n = 1 (cos nθ + i sin nθ) Jadi, dari (1.27) dan (1.28) diperoleh = cos( n)θ + i sin( n)θ (1.28) (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (1.29) untuk setiap n Z. Persamaan (1.29) ini dikenal dengan nama rumus De Moivre. Contoh Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z = (1 i 3) 2 (1+i 3) 6 (1+i) 6. Penyelesaian: Berdasarkan (1.29), (1 i 3) 2 = {2(cos( π 3 ) + i sin( π 3 ))}2 = 2 2 (cos( 2π 3 ) + i sin( 2π 3 )) (1 + i 3) 6 = {2(cos( π 3 ) + i sin(π 3 ))}6 = 2 6 (cos 2π + i sin 2π) sehingga (1 + i) 6 = { 2(cos( π 4 ) + i sin(π 4 ))}6 = 2 3 (cos( 3π 2 ) + i sin(3π 2 )) 2 2 (cos( 2π 3 z = ) + i sin( 2π)) (cos 2π + i sin 2π)2 3 (cos( 3π) + i sin( 3π)) = 2 7 (cos( π 6 ) + i sin( π 6 )) = 2 7 ( ) Jadi, Re(z) = dan Im(z) = Akar Bilangan Kompleks Diberikan bilangan kompleks z dan n N. Bilangan kompleks w dikatakan merupakan akar pangkat n dari z jika w n = z. Selanjutnya, akar pangkat n dari z 17

18 ditulis dengan notasi z 1 n. Misalkan z = r(cos θ+i sin θ) dan w = R(cos φ+i sin φ). Karena w n = z, maka berdasarkan rumus de Moivre sehingga R n (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r(cos θ + i sin θ) R n cos(nφ) = r cos θ dan R n sin(nφ) = r sin θ (1.30) Karena R 0 maka dengan menyelesaikan (1.30) diperoleh R = r 1 n dan φ = θ + 2kπ, k calz (1.31) n Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang periodik dengan periode 2π maka (1.31) menjadi R = r 1 n dan φ = θ + 2kπ, k = 0, 1, 2,..., n 1 (1.32) n Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ) dan n N, maka akar pangkat n dari z adalah bilangan-bilangan kompleks z k = r 1 n (cos( θ + 2kπ n ) + i sin( θ + 2kπ )), k = 0, 1, 2,..., n 1 (1.33) n Dari (1.33) dapat diketahui bahwa akar pangkat n merupakan fungsi bernilai sebanyak n (tidak tunggal). Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai real yang selalu bernilai tunggal. Namun demikian, apabila yang diperhatikan salah satu cabangnya saja, yaitu untuk satu nilai n tertentu, maka akar pangkat n merupakan fungsi bernilai tunggal. Apabila pada (1.33) diambil π < arg z k π, maka z k terkait dinamakan cabang utama dari z 1 n. Contoh Tentukan ( 8 8i 3) 1 4. Penyelesaian: Karena z = 8 8i 3 = 16(cos( 4π) + sin( 4π )), maka menurut 3 3 (1.33) akar pangkat 4 dari z = 8 8i 3 adalah bilangan-bilangan kompleks 4π z k = (16) + 2kπ 1 4 (cos( 3 4 4π ) + i sin( kπ 4 )), k = 0, 1, 2, 3

19 atau z 0 = 1 + i 3, z 1 = 3 + i z 2 = 1 i 3, z 3 = 3 i Latihan 1. Nyatakan ke dalam bentuk kutub a. 2 2i 3 b. 1 + i c. 2i d. 3 i e. i(1 i 3)( 3 + i) f. (1 i) 9 g. 2i 1+i 3 h. ( 3+i) 12 (1 i 3) Tentukan Arg z jika diketahui a. z = 2 2i 3 b. z = i 1+i c. z = (2 + 2i) 5 d. z = 3 i e. z = i (1 i 3)( 3+i) g. z = 2+2i 1+i 3 h. f. z = i(1 i) 9 ( 3+i) 12 (1 i)(1 i 3) Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari bilangan-bilangan a. z = (2 + 2i) 5 b. z = ( 1+i)7 (1+i) 2 c. z = (2 + 2i 3) 1 4 d. z = ( 3 i) 37 (1 i) 3 4. Tentukan a. (8 8i 3) 1 4 b c. ( 16) 1 4 d. (4 + 4i 3) Tentukan z jika a. z = (1 i 3) 4 b. z = (3 + i 3) 10 19

20 c. z = (3 i 3) 5 ( 1 + i) 7 d. z = ( 3+3i) 4 6. Tentukan semua nilai z sehingga z 4 + 8(1 + i 3) = Jika Re(z 1 ) > 0 dan Re(z 2 ) > 0, maka tunjukkan (1+i) 10 Arg z 1 z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 8. Tunjukkan cos( π 7 ) cos( 2π 7 ) + cos( 3π 7 ) = Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 1, maka tunjukkan 1 + z + z 2 + z z n 1 = Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 1, maka tentukan 1 + 2z + 3z 2 + 4z nz n Jika sin( θ ) 0, tunjukkan cos θ + cos 2θ cos nθ = sin(n )θ 2 sin θ Daerah (Region) di Dalam Bidang Kompleks Di dalam bagian ini akan dibicarakan himpunan dan titik di dalam bidang kompleks, serta hubungan antara titik dan titik atau antara titik dan bidang di dalam bidang kompleks. Untuk sebarang z 0 C dan bilangan real r > 0, himpunan N(z 0, r) = {z C : z z 0 < r} disebut persekitaran (neighborhood) z 0 dengan jari-jari (radius) r. Selanjutnya, berdasarkan pengertian persekitaran didefinisikan pengertian beberapa titik dan himpunan di dalam bidang kompleks. Titik z 0 A C disebut titik dalam (interior point) A jika terdapat r > 0 sehingga N(z 0, r) A. Titik z 0 A C disebut titik luar (exterior point) A 20

21 jika z 0 titik dalam A c. Titik z 0 disebut titik batas (boundary point) A C jika z 0 bukan titik dalam dan bukan titik luar A. Dengan kata lain, z 0 disebut titik batas A C jika untuk setiap r > 0 berlaku N(z 0, r) A dan N(z 0, r) A c. Himpunan A C dikatakan terbuka (open) jika setiap titiknya merupakan titik dalam. Teorema Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka. Bukti: Diambil sebarang z 0 C dan bilangan real r > 0. Akan ditunjukkan N(z 0, r) terbuka. Diambil sebarang z 1 N(z 0, r), artinya z 1 z 0 < r, maka terdapat bilangan real p > 0 sehingga z 1 z 0 = p < r. Didefiniskan r 1 = r p maka r 1 > 0. Jika diambil sebarang z N(z 1, r 1 ), maka z z 0 z z 1 + z 1 z 0 < r 1 + p = r Jadi, z N(z 0, r). Karena berlaku untuk z N(z 1, r 1 ), maka N(z 1, r 1 ) N(z 0, r). Bukti selesai. Diberikan himpunan A C. Titik z 0 C disebut titik limit (limit point) A jika untuk setiap bilangan real r > 0, N(z 0, r) A {z 0 }. Himpunan A C dikatakan tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitnya. Himpunan A C dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik berbeda z 1, z 2 A dapat dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen (penggal) garis yang kesemuanya berada di dalam A. Himpunan terbuka yang terhubung disebut domain. Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan domain. Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua titik batasnya disebut daerah (region). Himpunan A C dikatakan terbatas (bounded) jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga z M untuk setiap z A. Jadi, A terbatas jika ada lingkaran z = R sehingga setiap z A berada di dalam lingkaran tersebut. 21

22 Latihan 1. Diberikan A = {z C : 1 x 1, 1 y 1} {2 + i}. Tentukan a. semua titik dalam A. b. semua titik limit A. c. semua titik batas A. 2. Jika E = {z C : 2 x 2, 1 y 1}, maka tunjukkan E tidak terbuka tetapi tertutup. 3. Selidiki apakah himpunan yang tidak terbuka pasti tertutup. 4. Tunjukkan A tertutup jika dan hanya jika A c terbuka. 5. Jika z 0 bukan titik dalam dan bukan titik luar himpunan A, maka tunjukkan bahwa z 0 merupakan titik batas A. 6. Jika A tidak terbuka, maka tunjukkan bahwa A memuat suatu titik batasnya. 7. Jika A tidak tertutup, maka tunjukkan terdapat titik batas A yang tidak termuat di dalamnya. 8. Tunjukkan bahwa A = {z 1, z 2,..., z n } tidak mempunyai titik limit. Dengan demikian A tertutup. 9. Tunjukkan bahwa setiap titik di dalam suatu domain merupakan titik limit domain tersebut. 22

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad 4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

Bab I. Bilangan Kompleks

Bab I. Bilangan Kompleks Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan

Lebih terperinci

MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS

MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ;

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ; 4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4) BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................

Lebih terperinci

Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4) BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI

MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.

CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)

Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Bab II Fungsi Kompleks

Bab II Fungsi Kompleks Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER SISTEM BILANGAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 03 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember SISTEM BILANGAN 1 Sistem Bilangan

Lebih terperinci

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama. Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

Materi Aljabar Linear Lanjut

Materi Aljabar Linear Lanjut Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Xpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05

Xpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05 Xpedia Matematika Kapita Selekta Set 05 Doc. Name: XPMAT9705 Doc. Version : 0-07 halaman 0a Garis singgung pada kurva y=x -x + akan sejajar dengan sumbu x di titik yang absisnya... x = x = 0 x = 0 dan

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2. Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

KALKULUS UNTUK STATISTIKA

KALKULUS UNTUK STATISTIKA Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Modul I Dasar Bilangan Kompleks

Modul I Dasar Bilangan Kompleks Modul I Dasar Bilangan Kompleks Tujuan : 1. Mahasiswa dapat memahami asal bilangan kopleks dan pangkat j. Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompeks kedalam bentuk grafis 3. Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP

HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP WAHIDA A. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahyuni Abidin Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahdaniah Info: Jurnal

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan

Lebih terperinci

DESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA

DESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c

Lebih terperinci

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b 2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang

Lebih terperinci

BAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi

BAB II MATRIKS POSITIF. Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi BAB II MATRIKS POSITIF Pada bab ini akan dibahas mengenai Teorema Perron, yaitu teori hasil kontribusi dari seorang matematikawan German, Oskar Perron. Perron menerbitkan tulisannya tentang sifat-sifat

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS 1. Bilangan-Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan real yang dapat menempati seluruh titik pada garis lurus, hal ini dinamakan garis bilangan real seperti pada Gambar 1. Operasi penjumlahan,

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci