FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

Transkripsi

1 FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa ( ) 2. Evi Mia Safitri ( ) 3. Budi Nurani ( ) 4. Jundina Amajida ( ) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SALATIGA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN TADRIS MATEMATIKA

2 FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, DAN FUNGSI LOGARITMA Jenis Fungsi Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas aitu: Fungsi aljabar (polinom, fungsirasional, akar, hargamutlak). Fungsi transenden, aitu ang bukan fungsi aljabar (FungsiTrigonometri, Fungsi Logaritma, Fungsi Eksponensial) Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai sifat-sifatna.( ) Fungsi Transenden A. Fungsi Trigonometri miring tinggi tinggi sin miring alas alas cos miring tan tinggi alas Definisi-definisi fungsi trigonometri berdasarkan sudut-sudut dan segitiga siku-siku. Sifat Dasar Sinus dan Cosinus Beberapa kenataan jelas kelihatan dari definisi ang baru saja diberikan. Pertama dan bervariasi antara -1 dan 1, sehingga sin t 1 cos t 1 Karena t dan t 2 mentukan titik, p ang sama. Sehingga Dikatakan sinus dan cosinus periodik dengan periode 2, secara lebih umum, suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan t t sin t 2 sin cos 2 cos t

3 positif p sedemikian sehingga f t p f tuntuk semuat dalam daerah asal f. Dan bilangan p terkecil ang memenuhi disebut periode f.titik p ang berpadanan dengan t dan -t simetris terhadap sumbu, sehingga koordinat -na sama dan koordinat -na hana berbeda tanda. ( Purcell,1987:63 ) Akibatna, sin cos sin cos Dengan begitu dapat dikatakan bahwa sinus adalah fungsi ganjil sedangkan cosinus adalah fungsi genap.titik p ang berpadanan dengan t dan pi/2-t simetris terhadap garis = sehingga koordinat-kooordinatna saling bertukar. Ini bererti bahwa sin cos 2 t t cos sin 2 t t Akhirna kita sebutkan sebuah kesamaan ang menghubungkan fungsifungsi sinus dan cosinus 2 2 sin tcos t 1 Kesamaan ini muncul dari kenataan bahwa 2 2 Apabila digambarkan dengan grafik maka dapat ditemukan empat hal ang berkaitan tentang grafik-grafik tersebut : 1. Sin t dan cos t keduana berkisar dari -1 sampai 1 2. Kedua grafik berulang dengan sendirina pada selang ang berdampingan panjang 2 pi 3. Grafik =sin t simetris terhadap titik asal dan =cos t terhadap sumber 4. Grafik =sin t sama seperti =cost, tetapi bergeser pi/2 satuan ke kanan. Selain sinus dan kosinus, masih ada empat fungsi trigonometri tambahan lainna, aitu: tangent, kotangen, sekan dan kosekan. 1 tan t sin t cost cost cot t sin t 1 sect cost 1 scs sin t

4 Apapun ang telah diketahu mengenai sinus dan kosinus secara otomatis akan memberikan kita pengetahuan mengenai empat fungsi baru ini. ( Purcell,1987:64-65 ) Hubungan dengan trigonometri sudut, sudut biasana diukur dalam derajat atau radian, sudut ang berpadanan terhadap satu putaran penuh berukuran 360, tetapi hana 2 radian.sedangkan sudut lurus berukuran 180 atau radian. 180 radian radian Ini menuju pada konversi biasa sehingga terlihat fakta-fakta berikut. 1 radian 57, , radian Pembagian ke dalam 2 berlatar belakang pada pemakaian radian ang umum dalam kalkulus. Khususna, perhatikan bahwa panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran radius r dengan sudut pusat t radian memenuhi, akni s t Sehingga, s rt 2r 2 Bila r = 1 maka s = t Dalam kalkulus, ketika kita menjumpai sebuah sudut ang di ukur dalam derajat, kita hampir selalu mengubahna kedalam radian sebelum melakukan perhitungan. ( Purcell,1994:66) Misalna sin 31, 6 sin(31, 6 ) 180 radian sin (0, 552)

5 Identitas Trigonometri 2 2 sin cos 1 1tan sec 2 2 1cot csc tan tan 2 2 tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan sin 2 2 sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos 2 cos sin 2 cos sin B. Fungsi Eksponensial a. Fungsi Eksponensial Asli Fungsi eksponensial natural adalah suatu fungsi ang didefinisikan oleh persamaan f() = e. Bilangan e adalah suatu bilangan real ang merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln = 1. Nilai hamparanna adalah e = 2, Definisi Fungsi eksponensial merupakan invers dari ln. dan ditulis sebgai ep, aitu = ep = ln dengan definisi itu sehingga diperoleh : i. ep(ln ) = > 0 ii. ln (ep ) = untuk semua (Purcell, 1994 : )

6 Fungsi eksponensial f() = e merupakan salah satu fungsi ang paling sering muncul dalam kalkulus dan penerapanna, karena itu sangat penting untuk akrab dengan sifat-sifat fungsi eksponensial natural ang diperoleh dari fakta bahwa ia merupakan invers dari fungsi logaritma natural (Stewart, 2001 : 475) Sifat-Sifat Eksponensial Natural Fungsi eksponensial f() = e merupakan fungsi naik ang kontinu dengan daerah asal R dan daerah nilai (0, ). Jadi e > 0 untuk setiap. Juga lim e = 0 lim e = Jadi sumbu- merupakan asimtot (*) datar dari f() = e (*) Asimtot adalah suatu garis lurus ang didekati kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga Hukum-Hukum Eksponensial Jika dan bilangan real dan rasional, maka : e + = e e e - = e e (e ) = e b. Fungsi Eksponensial Umum Kita telah mendefinisikan e 2, e, dan pangkat tak rasional e lainna dalam pasal ang terdahulu. Bagaimana dengan bilanganbilangan 2 2, π π, π e, 2 π, dan pangkat tak rasional lainna dan bilangan-bilangan bukan e? Kita hendak mendefinisikan a untuk a > 0 dan bilangan real sembarang. Apabila r = p/q bilangan rasional, maka a r = ( q a ) p. Maka diketahui bahwa : a r = ep(ln a r ) = ep (r ln a) = e r ln a

7 Definisi Untuk a > 0 dan bilangan real sembarang, a = e ln a Teorema Jika a > 0, a,, dan bilangan real sembarang, maka : 1. a + = a a 2. a - = a a 3. (a ) = a 4. (ab) = a b ( Purcell, 1994 : ) Sifat-sifat tersebut ang membuat fungsi eksponensial di anggap penting, ang di sebut hukum eksponen. Fungsi eksponensial sering muncul dalam model matematika untuk alam dan kemasarakatan. Contohna dalam pembahasaan mengenai pertumbuhan populasi dan peluruhan zat radioaktif. (Stewart, 2001 : 476) C. Fungsi Logaritma a. Fungsi Logaritma Asli ( Natural) Logarita dengan bilangan pokok e disebut logarita natural dan mempunai lambing khusus Log = In. Jika a= e dan kitaganti log e dengan In. Fungsi logaritma asli memang ada hubunganna dengan fungsi logaritma ang telah di pelajari dalam sekolah lanjutan. In = e = In (e ) = R e ln = >0 Khususna untuk = 1 kita dapatkan In e = 1. (stewart) Definisi Fungsi logaritma asli, di tulis sebagai In, didefinisikan dengan 1 dt, 0 In = 1 t Dari definisina adalah himpunan bilangan riil positif.

8 Sifat Logaritma Asli Teorema Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka In 1= 0 Inab = In a + In b In a = In a In b b In r a = r In a Logarita natural misal tentukan jika ln = 5 jadi =e 5 Jika anda berasalah dengan labang ln gantilah dengan loge. Dengan deikian persaaan enjadi loge = 5 sehingga menurut definisi logarita e 5 = catatan : log artina logritma dengan basis 10 In artina logaritma dengan basis (bilangan natural, e =2,71.) Catatan : Huruf a disebut basis logaritma atau bilangan dasar, dengan ketentuan a>0 dan a 1. Untuk a= 10, bentuk 10 log cukup ditulis. log. Logaritma dengan basis sepuluh dinamakan logaritma biasa. Jika log = berarti = 10. Sedangkan untuk a= e= 2,718, bentuk e log ditulis sebagai In ( dibaca : lon ) dan disebut logaritma natural (logaritma Napier).Logaritma natural banak dipakai dalam kalkulus.hubungan antara logaritma natural dengan logaritma biasa adalah : Log = (In ) ( In e), karena log e =0, , maka log = ( 0, ) In, dan In =( 2,302585) log. disebut numerous, aitu bilangan ang dicari logaritmana dengan sarat > 0. Y disebu thasil logaritma, nilaina bisa positif, nol atau negative. penulisan = a log kadang-kadang ditulis dalam

9 bentuk = loga. Namun dalam kesempatan sekarang ini kita mengguna kannotasi ang pertama Untuk menatakan suatu bilangan dalam notasi ilmiah, maka bilangan itu ditulis dalam bentuk : = A 10k, dengan 1 A < 10 dan k bilanganbulat. Sebab log 10 =1 k log log( A10 ) = = log A log10k log A k log10 = log A k b. Sifat Logaritma Umum Fungsi logaritma dengan bilangan a > 0 dan a 1 adalah invers dari fungsi eksponen dengan dasar (bilangan pokok) a. Fungsi eksponen g( ) a maka inversna adalah fungsi a logaritma f ( ) log dengan kata lain = a log, jika dan hana jika = a. Karena a > 0 untuk setiap real dengaan a > 0, maka haruslah > 0. Fungsi Logarita mepunai daerah asal (0,+ ) dan daerah hasil R dan kontinu karena merupakan invers dari suatu fungsi kontinu akni fungsi eksponensial.( Stewart, 2001 : ) Definisi a Jika a > 0, a 1, = log a Jadi, jika > 0, a log merupakan eksponen ang bila diterapkan pada bilangan pokok a akan memberikan. Teorema Jika a >1 fungsi f ( ) log merupakan fungsi satu-ke-satu kontinu dan naik dengan daerah asal (0, ) dan daerah nilai R. Jika,>0 dan r bilangan real sebarang maka :

10 1. a log () = a log + a log 2. a log ( r )= r a log 3. a log = a log a log ( Stewart, 2001 : 487) Penerapan Fungsi Logaritma Contoh penerapan fungsi logaritma di bidang kimia antara lain: Sifat termodinmika pada atom atau molekul persamaan model kinetic orde satu dan orde dua fungsi suhu terhadap konstanta ekuilirium ( Dwi :22) Soal : 1) Tentukan nilai ang memenuhi persamaan berikut : 1 a) a adalah sudut lancip dengan tan a, jika 2 sin( a) 0, nilai 1sin 2.. b) e 5-3 = 10 c) 2) Buktikan! log( 4) log = a) sin 2 2sin cos b) ( a ) a c) a log m p = p a log m d) a log m b b log m log a 3) Suatu kelompok bakteri bertumbuh dan laju ang sebanding dengan besarna kelompom itu. Pada awal ada dan setelah 10 hari kelompok itu terdiri atas bakteri. Berapakah banakna bakteri setelah 25 hari? 4) Konversikan ukuran berikut ke radian (gunakan π dalam jawaban anda) a) 240 b) 540 c) 18

11 d) -60 5) Periksa kebenaran kesamaan berikut 1 a) (1 + sin ) (1 sin ) = 2 sec b) Sec t sin t tan t = cos t

12 DAFTAR PUSTAKA 1. Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edisi 5.Jakarta : Erlangga 2. Stewart, James.2001.Kalkulus Jilid 1. Jakarta : Erlangga