Bab1. Sistem Bilangan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab1. Sistem Bilangan"

Transkripsi

1 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali digunakan tentunya adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung jumlah benda yakni bilangan asli. Misalnya terdapat 0 ekor sapi yang sedang makan rumput, terdapat 5 pohon jambu. Bilangan 0 dan 5 merupakan bilangan asli. Aktivitas manusia yang terus meningkat baik dalam bidang penelitian maupun dalam bidang industri membutuhkan jenis-jenis bilangan baru yang sesuai dengan kebutuhan. Sampai saat ini, jenis bilangan yang terakhir digunakan adalah bilangan kompleks. Sangat dimungkinkan dimasa yang akan datang, dunia ilmu pengetahuan membutuhkan digunakan jenis bialngan baru untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang terus berkembang. Bagan berikut ini menunjukkan hirarki bilangan yang dipergunakan sampai saat ini. Bilangan Kompleks (C) Bilangan Riil (R) Bilangan Imajiner (Im) Bilangan Rasional (Q) Bilangan Irrasional Bilangan Bulat (Z) Bilangan Pecahan Bilangan Asli (N) Nol Bilangan Bulat Negatif

2 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Keterangan:. Bilangan asli:,,, 4, 5,.... Bilangan nol: 0. Bilangan cacah: N 0 = 0,,,, 4, 5, Bilangan bulat negatif: x x + n = 0, n N, x = -,-,-,-4,-5, Bilangan bulat Z = N 0 x x + n = n + x, nn, x = 0,, -,,-, Bilangan pecahan: m n Z m Z, n 0Z =,,,, 4, 4, 7. Bilangan rasional m n m Z, n 0 Z = 0,,,,, 8. Bilangan irrasional xx m, m Z, n 0 Z =,, π, e, n 9. Bilangan riil m n m Z, n 0 Z xx m n, m Z, n 0 Z =,,0,,, 0. Bilangan imajiner ai i =, a 0 R. Bilangan kompleks a + bi i =, a, b R

3 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Bilangan Riil Bilangan riil merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Himpunan semua bilangan riil dapat digambarkan dalam bentuk garis bilangan berikut ini: Diantara bilangan dan bilangan, tebak ada bilangan apa saja?,0;,0;,0,,0..., sepertinya banyak sekali... Tentu saja jawaban yang tepat adalah diantara bilangan dan bilangan diisi bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan jumlah yang tak berhingga. Dalam semua bab Mata Kuliah Pra Kalkulus, jenis bilangan yang dipergunakan adalah bilangan riil, sekalipun mungkin saja jika nanti mahasiswa akan menemukan jenis bilangan kompleks. Sifat-sifat aljabar suatu himpunan bilangan.tertutup terhadap penjumlahan 7.Komutatif terhadap perkalian a, b H a + b H a, b H a x b = b x a.komutatif terhadap penjumlahan a, b H a + b = b + a.asosiatif terhadap penjumlahan a, b, c H (a + b) +c = a + (b + c) 4.Keberadaan elemen zero a H, z H z + a = a + z = a 5.Keberadaan elemen invers a H, z H, v H v + a = a + v = z 6.Tertutup terhadap perkalian a, b H a x b H 8.Asosiatif terhadap perkalian a, b, c H (a x b) x c = a x (b x c) 9.Keberadaan elemen unit a H, u H u x a = a x u = a 0.Keberadaan elemen invers terhadap perkalian a elemen zero H, u elemen unit H, w H w x a = a x w = u. Distributif terhadap penjumlahan dan perkalian a, b, c H a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = a x c + b x c

4 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Pangkat Arti pangkat Untuk memahami konsep-konsep bilangan berpangkat, perhatikanlah contoh-contoh berikut:. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 dapat disederhanakan menjadi x7 x7 x7 dapat disederhanakan menjadi 7 4. x x x 5 x 5 x 5 x 5 dapat disederhanakan menjadi 5 4 Sederhanakanlah soal-soal berikut ini!. x x = x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 0 x 0 x 0 = x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 44 x 44 x 44 x 44 x 44 =... Pangkat negatif Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk pangkat begitu juga sebaliknya. Untuk memahami pangkat negatif, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 5 = 5 = 6 = 6 = 7 7 = = Ubahlah bilangan pecahan berikut menjadi bilangan berpangkat! Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bilangan pecahan!. 0 = =.... = = = = = = = =... 4

5 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Sifat-sifat bilangan berpangkat yang lain:. a xa = a Contoh:. 5 x 5 8 = 5 +8 = x 9 = = x 0 9 = = 0 4. a a = a, a 0 Contoh:. 8 8 = 8 = 8. = =. 7 7 = 7() = 7. (a ) = a 4. (axb) = a xb Contoh:. (0 ) = 0. (9 ) = 9. (5 ) = 5 Contoh:. (x) = x. (5 x6) = 5 x6. (8 x0 ) = 8x0 5. a b = a, b 0 b 6. a = a, a 0 Contoh:. 7 = = 5 9 Contoh:. 4 = 4. (x ). (9x y) = (x ) = (9x y). 0 =

6 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Latihan No -0, sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini: a a = b b =. 0m n o 5m n o. m n o 8n m o = = p p =. 9m n o 6o n m = p q p q = 4. (x y ) (x y ) = q p p q = 5. (x y ) (4x y ) = q p p q = q p p q = 6. 5x 6y x y z 5x = 7. 6y z 4xy x 0y x 5x z = m n n m = 8. x y z 6x y z x y z 5xy z = m n n m = 9. (xy) (xy) (x y x ) (x y ) = m n n m = 0. (5xy) (5 x y ) x (xy) (x y ) = No.- 40, ubahlah bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam bentuk akar. a =. (x 7) = a =. (5x + 0) =. a =. ( 8x) = 4. a = 4. 7 (x) = 5. a = 5. 9 (7x) = 6. (b) = 6. (x) (5y) = 7. (b) = 7. (6x) (y) = 8. (7ab) = = 6

7 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan 9. (5bc) = = 0. (5abc) = 40. y z = No. 4-60, ubahlah bilangan-bilangan akar berikut dalam bentuk pangkat 4. a = 4. a = a a p p = = 4. a 44. a 45. a 46. a 47. a = = = b = b = 5. q q 54. x = x 55. y 56. z 57. a a = 58. b a = 59. b c a c + (ab) = 60. y z p = = = + a = + b = c = + p x p = Menghitung akar pangkat Contoh:. x = 5 x = 5 = ±5. y = y = y = y = z 4 = 6 0z 4 = 6 z = 4 z = 6 7

8 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Latihan Selesaikan persamaan berikut. 6a =. 9b = 6. 8c = 0. r + =. s =. t = 4 4. d = 5 4. (u 7) = 9 5. e = 0 5. (x + 8) = 5 6. x + 4 = 6 6. (y + 6) = 9 7. y + = 7 7. (z ) = 6 8. z 5 = 8. (m + ) = p 4 = 6 9. (n 6) = q + = 9 0. (o 78) = 8.4 Logaritma Log suatu bilangan menunjukkan sepuluh pangkat berapa hasilnya adalah bilangan itu. Log a artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya a Log 00 artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya 00 Contoh:. log =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya, jawabannya adalah 0. Jadi log = 0.log 000 =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 000, jawabannya adalah. Jadi log 000 =. log 0,000=... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 0,000, jawabannya adalah -4. Jadi log 0,000 = log0 8 =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 0 8, jawabannya adalah 8. 8

9 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Jadi log 0,000 = -4 Jadi : log 0 a = a dan log 0 = Isilah titik-titik dibawah ini:. log 0 6 =.... log 0 5 =.... log 0-8 = log 0,00= log 0,00000=... Sifat-sifat logaritma. a Contoh: logb logb log a. log5 = log5 log. log0 = log0 log4. log = log log6 b. log a blog a Contoh:. Log 4 = log = log. Log 5 = log 5 = log5. Log 7 = log = log. log b c log b log c a a a Contoh:. Log (5) = log( x 5) = log + log5. Log 0 = log ( x 5) = log + log 5. Log (6) = log (4 x 9) = log( x ) = log + log 4. a log b a log b a log c c Contoh. log = log7 log5. log = log8 log0 = = log log( x 5) = log log log5 = log log5. log 9 = log9 log6 6 9

10 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan = log log( x ) = log log log = log log n m m a 5. a log b log b n Contoh. log =. log7 = 4 5. log = 6 9 log log log Contoh: a 6. log a. log 5 =. log =.. log 0. = 7. a log b x a log c a log c Contoh:. log5x log = log. log0x log6 = log6. log7x log6 = log6 8. a a logb Contoh b. = 6. 0 = 5. = 0 Soal-Soal Latihan. Hitunglah a. log 6 = f. log 8 log 9 = b. log 5 = g. log 64 log = c. log 64 = h. log 7 log 8 = d. log = i. log 5 log 5 = e. log 65 = i. log 96 log 7 = 0

11 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Hitunglah a. log + log 8 8 log 4 = b. log 4 + log70 log + log 5 = 5 c. log + log5 log 4 + log 5 = 4 d. log 4 + log log 4 + log 5 = 65 e. log 4 + log 8 log =. Diberikan nilai log =0.477, tentukan nilai dari algoritma berikut ini: a. log 7 b. log 00 c. log 80 d. log 0, Jika log 7 = a, nyatakanlah soal berikut dalam a. a. log 9 b. log 7 5. Hitunglah: c. log 49 a. log x log 49 b. log x log 5 c. log x log 64 Soal-Soal Tambahan 5. 0,5.. Tentukan nilai dari 7 4 5! Sederhanakan bentuk x y 4 x x x! x

12 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Nilai p q 6. Diketahui p dan q. 7. Sederhanakan bentuk a a a a a a a! 8. Bentuk sederhana dari x y y x x y y x adalah. x Nilai x yang memenuhi persamaan 5 adalah Jika x 0 dan x memenuhi x x x p x dengan p bilangan rasional, maka p.. Nilai x yang memenuhi persamaan x 4 x5 4 8 adalah.. Diberikan persamaan maka nilai x0 adalah. 4. Hitunglah 4 a. log log log6 b. x x log log 5 log log log5 log 8. log6 log 4 c. log. Jika x 0 memenuhi persamaan tersebut, d. e. f. log5 0 log 5 log log log 0 log! log 5 5 log 75 log 5 log5. log log log bc ca ab a b c

13 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan 4. Jika 4 log 5 p dan 4 log 8 q, maka 4 log Jika log,log, dan x x a b, maka nilai x. a c 6. Jika log b 4, log a, dan a, b, c bilangan positif,, a a c, maka log bc 4. a a a 7. Jika log x, log y, dan log z 4, maka a log x z y z. 8. Jika log a log a m, n, a, dan b, maka m log b log b n. 9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log 4log log log log a b a b a. x a b a b a b b. x log 7 5 a c. x log 5 a log log x d. 4 x5 log 9 log 8 0 e. x x log log log 5 log

14 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan dua hal persis sama. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan. Nilai kebenaran baik persamaan maupun pertidaksamaan tergantung nilai variabel yang ada didalamnya. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Umumnya variabel ditulis dalam bentuk hurup kecil dan berpangkat satu. Didalam persamaan terdapat lambang sama dengan =. Didalam pertidaksamaan terdapat lambang pertidaksamaan <,, >, dan. Lambang < memiliki arti lebih kecil Lambang memiliki arti lebih kecil atau sama dengan Lambang > memiliki arti lebih besar Lambang memiliki arti lebih besar atau sama dengan Persoalan yang harus dipecahkan dalam persamaan maupun pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian adalah himpunan bilangan-bilangan pengganti variabel sedemikian sehingga baik persamaan maupun pertidaksamaan bernilai benar. Contoh persamaan x = 8, jika x = 4 persamaan tersebut bernilai benar. Berarti himpunan penyelesaiannya {4}. Kadang-kadang himpunan penyelesaian dari persamaan dinamakan solusi. Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum : ax + b = 0, dimana a, b, c R dan a 0 Contoh persamaan linier satu variabel. x - 0 =. 4-a = x =7 (x + 4) Contoh bukan persamaan linier satu variabel. x + 6y =5. y - -7 =. 5sin z - = Mengapa persamaan diatas dikategorikan bukan persamaan linier satu variabel? Sifat umum persamaan adalah persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Sehingga untuk mencari 4

15 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan solusinya, dapat dilakukan operasi aritmatika yang sama pada kedua ruas sedemikian sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana. contoh : Tentukan nilai x dari persamaan x-8 = 0! x-8 +8 = (kedua ruas ditambah 8) x = 8 x 8 (kedua ruas dikali dengan ½) x = 9 contoh: Tentukan nilai x dari persamaan 5x + 5 = x + 4 5x + 5- x - 5 = x x - 5 (kedua ruas ditambah -x dan -5) x = 9 x 9 (kedua ruas dikali ) contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 5. x 4x 5 4. x 6 4 x 5. x 4x 5 (kali dengan bilangan yang habis dibagi dan 5) 5 0 x 0 4x 5 5x 4x 5 5x 0 8x 0 7x 0 0 x Jadi himpunan penyelesaian =

16 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4. x 6 4 x (kali dengan bilangan yang habis dibagi 4 dan ) 4 4 x x x 6 4 x 6x 8 8 4x 0x 0 x Jadi himpunan penyelesaian = {-} Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan berikut ini a. x + 8 = 5x- 6 b. 5( x ) = ( x + ) c. ( x 6 ) = (5- ½ x ) d. x x 6 e. x x f. x x 6 4 g. x x x 5 x 5 h. 5 4 i. x x 4x 4 j. 4 x x x 4 6 Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Bentuk umum: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0 dimana a, br dan a 0 Sifat-Sifat Pertidaksamaan. a > b ac > bc, c > 0. a > b ac < bc, c < 0. a > b a + c < a + c 4. a > b untuk a > b maka a > b 5. a < b maka a < b 6. a/b > 0 a b > 0 7. a > b, b > c a > c 6

17 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan suatu pertidaksamaan dapat diperoleh dengan cara mendapatkan bentuk setara yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat pertidaksamaan no., dan diatas yakni: Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan dibalik Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan postif atau negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap Contoh: Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:. x - 8 >. x+0 <. ( x ) x x 5 x + < 5x 9. x - 8 > x > + 8 x > x x > 7 himpunan penyelesaian = {x x > 7}. x + 0 < x < - 0 x < 8 x ( 8) x < -4 himpunan penyelesaian = {x x < -4}. ( x ) x x x x x x - x - x ( x) x - himpunan penyelesaian = {x x < -} 7

18 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4. x 5 x + < 5x 9 nya dibagi bagian: x - 5 x + x - x +5 x 8 x + < 5x 9 x - 4x < -9 -x < - x x > 4 irisan kedua hasil diatas: x 8 x > 4 = 4 < x 8, himpunan penyelesaiannya = {x 4 < x 8} Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a.5 x < 5 b.( x 4 ) > ( x ) c > x d.x e.x f.7 > -4 x g.x x+7 h. x x 5 i. x x j. x x 4 4 Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax + bx + c = 0 dimana a, b, c R dan a 0 contoh: a. x + x 4 = 0 nilai a =, b = dan c = -4 b. x - 8x + 6 = 0 nilai a =, b = -8 dan c = 6 c. x - x 5 = 0 nilai a =, b = - dan c = -5 Akar-akar persamaan kuadrat Setiap nilai x yang merupakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dinamakan akar. Ada tiga cara menentukan akar-akar persamaan:. Pemfaktoran ax + bx + c = 0 ( x x )( x x ) = 0 8

19 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Prinsipnya mencari faktor dari c sehingga c = x. x dan b = x + x Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x 8x + = 0 x 8x + = 0 (faktor dari dan jumlahnya -8 adalah -6 dan -) ( x 6 )( x ) = 0 x = 6 atau x = Jadi himpunan penyelesaian = {, 6}. Kuadrat sempurna Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan x 6x 5 = 0. x 6x 5 = 0 x 6x = 5 x 5 x = x x x 4 9 x 4 x 9 x 9 x 9 atau x 9 Himpunan penyelesaian = { 9, 9 }. Rumus abc, yaitu x = b ± b 4ac a 9

20 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x x = 0 a = 4, b = - dan c = - x, = b b 4. a. c. a x, = ( ) Latihan x, = x, = x = 8 x = himpunan penyelesaian = {, } 4. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode pemfaktoran: a. x + x = 0 b. x + x 8 = 0 c. x 9 = 0 d. x + 4x - 6 = 0 e. 5x - x 6 = 0 f. x + 7x + = 0. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode kuadrat sempurna: a. x - x 4 = 0 b. x - 7x + 0 = 0 c. x - x = 0 d. 5x - 6x + = 0 e. x - x 0 = 0 f. 4x - x = 0. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode abc: a. x + x 4 = 0 b. x - 5x + 6 = 0 c. x - x 5 = 0 d. x + x 6 = 0 e. 5x - 5x 0 = 0 f. x - 4x 7 = 0 0

21 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat b a. Penjumlahan : x x a c b. Perkalian : x x a Pembuktian: Dengan menggunakan rumus abc, akan diperoleh: x x a a b b 4ac b b 4ac a b a b a b b 4ac b b 4ac x x a a b b 4ac b b 4ac b b b 4ac b b 4ac b 4ac 4ac 4a c a 4a Jenis akar Persamaan kuadrat Ada tiga jenis akar persamaan kuadrat. Jenis ini dapat ditentukan dari nilai diskriminan (D). Nilai D = b - 4ac. Jenis akar tersebut adalah:. Real yang sama: D = 0. Real yang berbeda: D > 0. Imaginer: D < 0 Silahkan pikirkan mengapa diskriminan didefinisikan D = b - 4ac? Contoh Tentukan jenis akar dari persamaan-persamaan berikut ini. x - x - = 0. x - 4x + = 0. x - x + 5= 0

22 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan. x - x - = 0 a =, b = -, c = - D = b - 4ac = (-) -4()(-) = 8 > 0 berarti akar real berbeda. x - 4x + 4 = 0 a =, b = -4, c = 4 D = b - 4ac = (-4) - 4()(4) = 0 berarti akar real sama. x - x + 5= 0 a =, b = -, c = 5 D = b - 4ac = (-) - 4()(5) = -9 < 0 berarti akar real imaginer Rumus-rumus penting yang berkaitan dengan akar x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x untuk latihan...silahkan buktikan sendiri! Membentuk persamaan kuadrat Misalkan x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut adalah : (x - x )(x - x ) = 0 atau x - (x + x ) + x x = 0 Contoh: a. Jika x dan x merupakan akar-akar persamaan x - 4x - = 0, tentukanlah nilai x x! b. Jika dan adalah akar-akar persamaa x - 7x + = 0, berapakah nilai dan? c. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x + 4x + a - 4= 0. Jika =, tentukanlah nilai a! d. Akar-akar persamaan kuadrat 5x + b 4 = 0 adalah dan. Jika nilai, berapakah nilai b? e. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x + 8x + 0 = 0

23 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan f. Persamaan kuadrat x + (m - )x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata. Tentukanlah nilai m yang memenuhi! a. x - 4x - = 0 memiliki nilai a =, b = -4 dan c = - x x x x x x b a c a ( 4) ( ) b. x - 7x + = 0 memiliki a =, b = -7 dan c = b c b a a a ( 7) ( 7) c. x + 4x + a - 4= 0 memiliki a =, b = 4 dan c = a - 4 = b a c a = = - a 4 ( ) ( ) a 4 a 7 d. 5x + bx 4 = 0 memiliki a = 5, b = b dan c = -

24 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan b b a c c a b b e. Misal dan adalah akar-akar persamaan x + 8x + 0. Maka akar-akar persamaan yang baru adalah dan. Persamaan kuadrat baru: x - (x + x ) + (x x ) = 0 x - ( + )x + ( ) = 0 x - ( + )x + 4( ) = 0 x b c x 4 0 a a 8 0 x x 4 0 x - 6x + 40 = 0 f. x + (m - )x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata berarti D 0 b - 4ac 0 (m - ) m - 4m m - 4m - 0 (m + 4)(m - 8) 0 m - 4 atau m 8 Latihan. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -!. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan -!. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -7! 4. Akar-akar persamaan kuadrat x - 5x - = 0 adalah x dan x. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x - dan x -! 4

25 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 5. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar persamaan kuadrat x + x +5 = 0! 6. Salah satu persamaan kuadrat (a - )x + (a - )x - a = 0 adalah. Tentukanlah akar yang lainnya! 7. Tentukan nilai k agar persamaan :(k + 5)x + 6x + (k 5) = 0 memiliki akar real! 8. Tentukan nilai k agar persamaan : (k + )x + (k + b)x 5 = 0 tidak memiliki akar real. memiliki akar real! 9. Akar-akar persamaan ( k + )x - ( k - ) x + k = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Tentukanlah jumlah kedua akarnya! 0. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x - x + = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan! Pertidaksamaan Kuadrat Jika pada persamaan kuadrat tanda sama dengan = diubah dengan tanda ketaksamaan, maka akan terbentuk pertidaksamaan kuadrat Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan x - 7x + 0 > 0 x - 7x + 0 > 0 (x - ) (x - 5) > 0 Pertidaksamaan ini menunjukkan bawah ruas kiri bernilai positif. Selanjutnya gunakan garis bilangan, dengan pembuat nol: x = dan x = 5 I II III 5 Dari garis bilangan diatas, ada tiga daerah yaitu Daerah I: x <, Daerah II: < x < 5 dan Daerah III: x > 5 Gunakan uji beberapa titik: Daerah I misal x = 0 (x - )(x - 5) = 0 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +) Daerah II misal x = (x - )(x - 5) = -4 < 0 tidak memenuhi syarat (ruas kiri bernilai -) Daerah III misal x = 6 (x - )(x - 5) = 4 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +) 5

26 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Jadi daerah I dan daerah III yang memenuhi syarat. himpunan penyelesaian = { x x < atau x > 5 } Cara cepat: (x - a) (x - b) < 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: a < x < b (x - a) (x - b) > 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: x < a atau x > b Pertidaksamaan Rasional Bentuk umum : A( x) C( x) B( x) D( x) Untuk menyelesaikan bentuk-bentuk diatas, seerhanakanlah menjadi bentuk p( x) 0 g( x) 0 g( x) Jika simbol sama dengan = diubah dengan simbol ketaksamaan (<, >,, ) maka terbentuk pertidaksamaan rasional. Contoh. 8 x. x x Untuk menyelesaikan persamaan rasional, ubahlah pertidaksamaannya kedalam bentuk setaranya seperti sifat pertidaksamaan no.6: a/b > 0 a b > 0 contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian berikut ini. 8 x. x x. 8 x, x x 6

27 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 8 x 0 x x( 8 x) 0 Pembuat nol: x = 0 dan x = 8/ / Himpunan penyelesaian = { x x < 0 x 8/ } x. 0, x x x x 0 x x 0 x ( x )(x ) 0 Himpunan penyelesaian = { x x < / x } Pada penyelesaian soal no. diatas, sengaja tidak diberikan garis bilangan contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini x 4x a. 0 x 5x 5 7 b. x 7 x 5 x 4x a. 0 x 5x ( x )( x 6) 0 ( x )(x ) ( x 6) 0 (x ) (x )( x 6) 0 6 x himpunan penyelesaian = { x b. 0 x 7 x 5 x 7 x 5 6 x } 7

28 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 5( x 5) 7( x 7) 0 ( x 7)( x 5) x 74 0 ( x 7)( x 5) Himpunan penyelesaian = { x x < 5 atau 7 < x < 7 } Latihan. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 4x + 4 > 0 b. x - x - < 0 c. x + x d.x - 9x e.x - 7x f.x - 7x Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x 9 0 x x x 6 c. 0 x x x e. x x x b. 0 x 9x 4 d. x 7 x x x f. x x Persamaan Pangkat Bentuk umum : Jika a x = a y, maka x = y Jika a x = b x, maka a = b Contoh : Selesaikan persamaan pangkat berikut ini: x x6 a. b. y y 6 c. 4x x 9 8 8

29 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan a. b. x x6 x + = x 6 x + x = -6-4x = -8 x = - 6 y 4 y y y (ingat : 6 = 4 ) 4x x c. 9 8 y 4 y - = - 4y y + 4y = + 5y = 5 y = y 4x x 9 9 4x - = x - 6 4x-x = -6 + x = -4 x = - Contoh : Selesaikan persamaan eksponensial a. x x x x x x misal x = p, maka: 7 p 84 p p 8 p 0 p p 9 0 p atau p = 9 x x 9 x x himpunan penyelesaian = {-, } x = -, x =, 9

30 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini. x 0.5x7 ( x) x x x x x x x x7 7 9 x x 8 0 x x x x x x Pertidaksamaan Pangkat Bentuk umum: untuk a > untuk 0 < a < Jika a c > a d, maka c > d Jika a c > a d, maka c > < d Jika a c < a d, maka c < d Jika a c < a d, maka c < > d Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan eksponen berikut ini: a. x x b. x7 x5 7 c. x x x0 5 8 a. x x x x x + 5 x 4 -x -x x -9 b. 7 x7 x5 x - 5 x 7 x x -7 x + 5 -x -x x x -4 0

31 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan c. x x x 5 8 x x x 5 5 Latihan x x 5x5 x + x + 5x - 5 -x + x- 5x x -x x + x 8 0 (x - ) (x + 4) 0-4 x Selesaikan pertidaksamaan berikut ini:.. 5 x 4. 5 x x x x 5 6. x5 x x x x x5 8 5x 4x 4 6 x x5. 4 x x. x 4 8 x. x 9 8 x x 5 5 x Persamaan Logaritma Dalam bagian ini akan dibahas bagaimana mencari himpunan penyelesaian persamaan yang melibatkan fungsi logaritma. a log b c log d, apabila a = c maka b = d Untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan logaritma, ingatlah sifat logaritma: b a b a log b dan log b dimana b > 0, sehingga bilangan,, 4, 5 bisa dituliskan sebagai berikut: 4 log log log 4 4 log log log 4

32 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan log log log log log log 4 Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari a. log x b. x x log log 6 c. log x 5x 0 log x 5 a. log x x log x log log x + = 8 x = 6 x = jadi himpunan penyelesaian = { } b. x x log log 6, solusinya harus memenuhi x - >0 dan x + 6 >0 x x log log 6 log x x log 6 log (x - )(x + 6) = 9 x + 4x 9 = 0 x + 4x = 0 (x + 7) (x - ) = 0 x = -7 atau x = untuk x = 7 x = 7 = -9 < 0 x = 7 bukan solusi untuk x = x = = > 0 x +6 = + 6 = 9 > 0 x = adalah solusi Jadi himpunan penyelesaian = { } c. log x 5x 0 log x 5, solusinya harus memenuhi x + 5x - 0 >0 dan x + 5 >0

33 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan x + 5x - 0 = x + 5 x + 5x x 0-5 = 0 x + x 5 = 0 (x +5)(x - ) = 0 x = -5 atau x = untuk x = 5 x +5 = ( 5) + 5 = -0 < 0 x = 5 bukan solusi untuk x = x + 5x - 0 = = > 0 x + 5 = + 5 = 4 > 0 Jadi himpunan penyelesaian = { } Latihan Tentukan himpunan penyelesaian berikut ini:. logx 6 5. log x 4. log x log x x x log : log 5. log x 7 log x 6. x x log log 7. log x 4x 0 log x 6 8. log x 6x 5 log x 5 x x x8 x8 9. log x 8x 4 log 6 x 0. log x x 5 log 4 x Pertidaksamaan Logaritma a a. log b log c Jika a > maka b c Jika 0 < a < maka b c karena log a akan bernilai negatif a a. log b log c Jika a > maka b c Jika 0 < a < maka b c karena log a akan bernilai negatif

34 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan logaritma berikut ini: a. x x log 5 6 b. x x log 5 4 a. x x log 5 6 solusinya harus memenuhi syarat x x log 5 6 log x 5x 6 0 x 5x 6 x 5x 4 0 (x + 4)(x + ) > 0 x < -4 atau x > - syarat x 5x 6 0 (x + )(x + ) > 0 x < - atau x > - irisan: (x < -4 atau x > -) (x < - atau x > -) = x < -4 atau x > - himpunan penyelesaian = { x x < -4 atau x > -} a. x x log 5 4 solusinya harus memenuhi syarat x - 5x + 4 > 0 log 5 4 log x x x - 5x + 4 < 4 x - 5x < 0 x(x -5) < 0 0 < x < 5 syarat x - 5x + 4 > 0 (x -)(x - 4) > 0 x < atau x > 4 irisan: (0 < x < 5) (x < atau x > 4) = 0 < x < atau 4 < x < 5 himpunan penyelesaian = {x 0 < x < atau 4 < x < 5} 4

35 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan. x x log 5 6. x x log 5 4. log x 6x 8 4. x x log log x 9 x 8 6. x x log log( x 4) log( x 8) log(x 6) 8. log x log(x 5) log log x x log(0 x) x log log( x ) Persamaan Harga Mutlak. x, untuk x 0 Definisi harga mutlak: x = x, untuk x < 0 Dari definisi diatas, maka setiap harga mutlak suatu bilangan bernilai positif (kecuali 0). Contoh =, -5 = - (-5) = 5 Karena harga mutlak selalu bernilai positif (kecuali 0), harga mutlak dapat juga dinyatakan: x = x Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian a. 4x = b. 5x + = c. 5x - = x + 5 d. +(x -) = x - 7 a. 4x = untuk 4x 0 4x = x = ½ untuk 4x < 0-4x = x = -½ himpunan penyelesaian = { -½, ½ } b. 5x + = untuk 5x + > 0 5x + = 5x = - x 5 5

36 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan untuk 5x + < 0 -(5x + ) = -5x = + himpunan penyelesaian = 4 x 5 4, 5 5 c. 5x - = x + 5 5x x 5 5x x 5 5x x 5 5x - 0x + 9 = 9x + 0x + 5 5x - 9x - 0x - 0x = 0 6x - 60x -6 = 0 4(4x - 5x - 4) = 0 4x -5x - 4 = 0 (4x + )(x - 4) = 0 x = 4 atau x = 4 himpunan penyelesaian ={ 4, 4 } d. +(x -) = x - 7 +(x -) = x - 7 ( x -) = (x 7) 4x - 4x + = 9x - 4x x - 9x - 4x - 4x +-49 = 0-5x - 46x - 48 = 0 (kedua ruas di kali -) 5x + 46x + 48 = 0 himpunan penyelesaian ={- 6 5, -8 } (5x + 6) (x + 8) = 0 x = atau x = -8 6

37 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tentukan himpunan persamaan berikut ini: a. x = b. x + 5 = 6 c. x 6 = 9 d. 4 x = 5 e. x = 7 f. x - = x + g. x - = x + h. x -6 = x + 4 i. x - = x + 4 j. x - = x + Pertidaksamaan yang melibatkan bilangan mutlak Sifat-sifat pertidaksamaan harga mutlak. x a -a x a, a 0. x a x -a dan x a, a 0. x < a x < a 4. x 0 x dipenuhi semua harga 5. x > 0 x dipenuhi semua harga kecuali x = 0 6. x < 0 x { }, tidak ada nilai x yang memenuhi 7. x a dan a < 0, x dipenuhi semua harga 8. x + y x + y 9. x y x y 0. x - y x - z + y- z. x - y x + y Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini: a. x + > 5 b. x + < x c. x < 4 x + a. x + > 5 x + < -5 x + > 5 x < -7 x > x < -7/ x > himpunan penyelesaian ={ x x < -7/ x > } b. x + < x (x +) < (x ) 7

38 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4x + 4x + < 4x - x + 9 4x + x < 9-6x < 8 x < ½ himpunan penyelesaian ={ x x < ½ } c. x < 4 x + (x ) < 4 x + x -4x + 4 < 4 x + x - 4x - 8 < 4 x Untuk x 0 x x - 4x - 8 < 4(x ) x - 4x - 8 < 4x 8 x - 8x < 0 x(x - 8) < 0 0 < x < 8 Irisan x 0 < x < 8 = x < 8 Untuk x < 0 x < x - 4x - 8 < 4(-x+ ) x - 4x - 8 < -4x + 8 x - 6 < 0 (x - 4)(x + 4) < 0-4 < x < 4 Irisan x < -4 < x < 4 = -4 < x < digabungkan: x < 8-4 < x < = -4 < x < 8 himpunan penyelesaian = { x -4 < x < 8} Latihan Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini: a. x - < 5 b. x - 7 < - c. 4 x - < 6 d. x + < x - e. x + < x - f. x x > g. 9 - x > 4x h. x x < 0 x i. 4 j. x 7 x x 8

39 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tambahan.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan berikut ini a. x + 8 = 0 b. 5 y = 7 c. 4z - 6 = 8- z d. 5a+ 0 = a 6 e. 8m + 6 = 0(m - ) f. (n - ) + n = 5(n + ) - (n + ) g. 5(s - ) + 4s - = s + (s - ) h. 5t t i. 5 p p j. q q Tentukanlah himpunan penyelesaian pada perstidaksamaan berikut ini a. x - 8 < 5 f. x 4x + < -x + 6 b. 4y + > g. (x + )6 < /(4x + ) c. (x - ) < 4x +8 h. x x 4 d. (4x - 6) 6(x + ) i. x x x 4 5 e. -x < 5x - < x + j. 4 x x. Apabila x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x + x 0. Tentukanlah nilai dari: a. x + x b. x x c. x x e. x x x d. x x x f. 4 4 g. x x x h. x x x 4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x + 8x + 0 = 0 adalah. 5. Tentukanlah akar-akar persamaan (x + ) + = x(x )! 6. Tentukanlah nilai k, agar persamaan k + x + (k + 4)x + = 0 memiliki dua akar real yang berlainan. 7. Jika salah satu satu persamaan kuadrat7x + (a - 6)x + (a - 5) = 0 adalah, tentukanlah nilai a! 9

40 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 8. Persamaan x px + (p ) = 0 memiliki dua akar real yang sama, tentukalah nilai p! 9. Jika x dan x adalah akar-akar dari persamaan 5x x = 0, nilai dari + adalah.. 0. Jika x dan x adalah akar-akar dari persamaan 5x + 4x + 4 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x dan x adalah.... Akar-akar persamaan x + x + = 0 adalah x dan x. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x dan x adalah.... Akar-akar persamaan x 4x + 6 = 0 adalah x dan x. Berapakah nila x x?. Sebuah taman yang berbentuk persegipanjang memiliki keliling sama dengan 04 m dan luas 640 m. Lebar taman tersebut adalah.m. 4. Selama terjadi wabah flu di sebuah desa, dinas kesehatan menemukan bahwa total jumlah penderita flu (P) setelah t hari sangat mendekati rumus P = t + 6t + 06 dimana t hari. Berdasarkan rumus tersebut, maka 50 orang terjangkit flu ketika wabah telah berlangsung selama. hari. 5. Sebuah benda dijatuhkan pada ketinggian 0 m dari balon udara yang sedang naik dengan kecepatan 5 m/detik. Dengan menggunakan persamaan ketinggian benda yang bergerak vertikal, yaitu h = 5t + v t + h, maka waktu yang diperlukan oleh benda untuk mencapai tanah adalah. detik. 6. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 6x + 8 > 0 b. 4 x 5 0 x c. 6x x x 5-5x - 8 < 0 d. 0 x 9x 5 e. 56-9x - x 4x 4x 0 f. 0 x 5x g. x - x - 0 h. 4 x 5 x i. 4x x x + x - 0 j. x x 7. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini 40

41 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan x6 x4 x a. x 6x 8 x 6x 8 b. x x 4 x x 4 5 x7 6x7 x x c. x x x x d. x x x x 4 8 x x x e. x 4x 8 x 4x 8 e. x x 8 0 f. h. x x g. x x i x x 6 x x 0 8. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a. c. e. g. i. 9 x 8 b. 6 x 7 d. ( x) 5 5 f. ( x) x4 9 h. x x 5 5 j. ( x) x x x7 8 5x 4x 6 4 x x k. 4x x l. x 4 8 x m. x x 9 8 n. x x Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini a. log x b. x log c. log x log x d. x x log log e. logx 5 log x f. x x log 5 4 log g. log x 6x 7 log 0x 5 h. log x 5x 4 log 4x x x x5 x5 i. log x 0x 6 log 8 4x j. log x 8x 0 log 9 x 0. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini a. log x 4x b. x x log 5 4 4

42 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan c. log x 6x 8 d. x x log e. log x 6 x 8 f. x x log 6 68 g. log( x 4) log( x ) log(x 5) h. log( x ) log(x 5) log log x 0x 7 log(x 5) i. j. log x log(x 6). Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini: a. x = 4 b. c - 5 = 6 c. x = 7 d. 4 + d = 8 e. 5 x = 9 f. m - 5 = 4m - g. a + = a - h. n - 4 = n - 5 i. b + = b - 4 j. s - 6 = s + 5. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 4 < 5 b. y - 8 < 6 c. x + 7 d. 4y + 7 > 9 e. 7x + 8 f. z > 4 g. p + p - 5 < 5 h. z 7z - 5 < i. q 5q + > j. a - > 4 k. r + 5 < r - l. b - 6 b - 8 m. s + 7 < s - 4 n. c - 5 c + 6 o. t + > t - p. d - 8 < d - 5 4

43 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Bab. Trigonometri. Sudut Dalam bab ini kita akan mempelajari sudut-sudut yang dibatasi dua buah garis yang berada dalam bidang. Besarnya sudut dapat dinyatakan oleh satuan derajat atau satuan radian. Alat ukur sudut yang sering digunakan adalah busur derajat. Sudut yang diukur :. Derajat Satuan derajat sering juga digabungkan dengan menit ( ) dan detik( ), misalnya 0 o = 60 atau = 60 atau sehingga Beberapa ukuran sudut seperti 0 0, 90 0, 80 0 dan 60 0 ditunjukkan pada gambar dibawah ini. y y x x y y x x 4

44 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Isilah titik-titik berikut ini. 0 =.. =.. 0 = x 60 = 0 =0 x 60 = 700 Jadi 0 = 0 = = = 0x 60 Jadi 0 =. 5 0 = = = = = = ,5 0 = = = ½ 0 = = =.. 0. Radian Satu radian dinyatakan besarnya sudut yang disapu oleh jari-jari r sepanjang tali busur yang panjangnya r. Dalam penulisan, satuan sudut radian sering di singkat menjadi rad. y r rad r x rad 0 60 r rad 0 r rad (sudut satu putaran) 0 rad 80 (sudut setengah putaran) rad 90 0 (sudut seperempat putaran) 44

45 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh. Nyatakanlah sudut kedalam satuan derajat! = , Nyatakanlah sudut 70,6 0 kedalam satuan derajat menit detik! 70,6 0 = ,6 0 +0,0 0 = (0,6x60) +(0,0x600) = Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam radian a.0 0 b.45 0 a. b radian 0 0 0x radian x radian Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam derajat a. 0 rad b. 5 4 rad a. 80 rad rad x 7, 97.4 b rad x 4 4 =

46 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a b c d Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat menit detik a. 60,5 0 b. 45,6 0 c. 65,8 0 d.0, 0.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan radian a. 0 0 b c.5 0 d Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 5 rad b. 8 rad c. rad d. 8 rad.4 Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-Siku Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini. r y x Pada segi tiga siku-siku diatas: r adalah panjang sisi miring, y adalah panjang sisi tegak, x adalah panjang sisi mendatar. Berlaku hukum phytagoras: r = x + y, Jika kita buat sudut dibuat tetap maka berapapun ukuran segitiga siku-siku akan memiliki perbandingan yang tetap. Setiap perbandingan panjang antar sisi diatas memiliki nama khusus. Berikut adalah namanama khusus perbandingan tersebut. Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi miring disebut sin Perbandingan panjang sisi mendatar terhadap sisi miring disebut cos 46

47 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi mendatar disebut tan Kebalikan dari sin disebut csc Kebalikan dari cos disebut Kebalikan dari sin sin disebut csc Semua nama-nama khusus perbandingan diatas dinamakan fungsi trigonometri. = tetap y r = tetap x r = tetap y x = tetap y x = tetap y x = tetap y x = tetap Selanjutnya kita dapat tuliskan: Sin α = y r csc α = y x Cos α = x r sec α = y x tan α = y x cot α = y x Contoh Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. 4 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 47

48 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a. panjang sisi miring: r 4 = 5 b. sin, 5 4 cos, 5 tan, 5 5 csc, 5 sec, 4 cot c. 4 sin, 5 cos, 5 4 tan, 5 5 csc, 4 5 sec, 4 cot 4 Latihan. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. c a b b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. n m o b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. p q r 48

49 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 4. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. 5 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 49

50 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri.5 Sudut-sudut Istimewa Sin 0 ½ / / Cos / / ½ 0 Tan 0 /.6 Mengenal Kuadran Sumbu koordinat kartesius dapat dibagi 4 daerah atau kuadran berdasarkan sudut polarnya. Sudut polar Posisi 0 0 < < 90 0 Kuadran I 90 0 < < 80 0 Kuadran II 80 0 < < 70 0 Kuadran III 70 0 < < 60 0 Kuadran IV 90 0 Kuadran II Kuadran I y r A 80 0 O x 0 0 = 60 0 Kuadran III 70 0 Kuadran IV Titik A (x, y) berada di kuadran I. Karena nilai x dan y positif, sehingga, nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut sebagai berikut sinα = y r bernilai + cosα = x r bernilai + sinα = y x bernilai + 50

51 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Dengan cara yang sama maka dapat ditentukan nilai positif atau negatif fungsi trigonometri untuk kuadran yang lain seperti ditunjukkan dalam table berikut ini (silahkan buktikan!). Kedududukan Nilai x Nilai y Sin Cos Tan Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV Mengubah ke sudut lancip Sudut yang bernilai diantara 0 0 sampai 90 0 dinamakan sudut lancip Kuadran II Sin ( ) = Sin Cos ( ) = -Cos Tan ( ) = -tan Kuadran II Sin Cos tan Kuadran III Sin ( ) = -Sin Cos ( ) = -Cos Tan ( ) = tan Kuadran IV Sin ( ) = -Sin Cos ( ) = Cos Tan ( ) = -tan Catatan: Fungsi-fungsi trigonometri bersifat periodik. Sin(60k+) = Sin Cos(60k+) = Cos tan(80k+) = tan Contoh:. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 0 0 b.cos 45 0 c.tan50 0 a. Sin 0 0 = Sin( ) = Sin 50 0 b.cos 45 0 = Cos( ) = -Cos 5 0 5

52 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri c.tan 50 0 = tan(80-0) = -tan 0 0. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 0 0 b.cos 5 0 c.tan 50 0 a. Sin 0 0 = Sin( ) = -Sin 0 0 b.cos 5 0 = Cos( ) = -Cos 45 0 c.tan 50 0 = tan( ) = tan Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 85 0 b.cos 90 0 c.tan 0 0 a. Sin 85 0 = Sin( ) = -Sin 75 0 b.cos 00 0 = Cos( ) = Cos 60 0 c.tan 0 0 = tan( ) = -tan Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini: a.sin(-75 0 ) b.sin(-60 0 ) c.cos(-40 0 ) d.cos(-0 0 ) e.tan(-80 0 ) f.tan(-00 0 ) a. Sin(-75 0 ) = Sin( )= - Sin75 0 b. Sin(-60 0 ) = Sin( ) = Sin(00 0 ) = Sin( ) = -Sin0 0 c. Cos(-40 0 ) = Cos( ) = Cos 40 0 d.cos(-0 0 ) = Cos( ) = Cos 0 0 = Cos( ) = -Cos50 0 e.tan(-80 0 ) = tan( ) = -tan80 0 f.tan(-00 0 ) = tan( ) = -tan

53 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut menjadi sudut lancip a. Sin 0 b. tan 95 c. Cos 75 d. Sin 800 e. tan60 f. Cos 00 g. Sin0 h. tan 900 i. Cos50 j. tan 400. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip fungsi trigonometri dibawah ini: a. Sin -0 0 b. tan c. Cos d. Sin e. tan f. Cos g. Sin -0 0 h. tan i. Cos j. tan Aturan Cosinus Untuk mendapatkan aturan Cosinus pada segi tiga sembarang, perhatikanlah segitiga dibawah ini: C b a A D c B Dari gambar diatas: AB = c, BC = a, AC = b. CD adalah garis tinggi segitiga yang tegak lurus sisi AB. a = CD + BD dengan menssubtitusikan CD = b - AD dan BD= c AD ke persamaan diatas, diperoleh a = b - AD + (c-ad) a = b - AD + c -cad+ad a = b + c - cad karena AD = b Cos A, diperoleh 5

54 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a = b + c - bccos A...() dengan cara sama seperti diatas akan diperoleh: b = a + c ac Cos B...() c = a + b ab Cos C...() persamaan (), () dan () dinamakan aturan Cosinus. Aturan Cosinus a = b + c - bccos A b = a + c accos B c = a + b abcos C Contoh Diberikan segitiga ABC dengan panjang a = 4 cm dan b = 6 cm dan C=70 0.Tentukanlah panjang sisi c menggunakan aturan Cosinus! c = a + b abcos C a b abcos C Cos ,99, 6 Latihan.Tentukan panjang sisi-sisi lainnya pada segitiga ABC dengan aturan Cosinus, jika diketahui a. b = 5, c = 4 dan A = 00 0 b. a = 0, c = 4 dan B = 80 0 c. a = 6, c = dan C = 50 0 d. a = 8, c = 0 dan B =

55 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri e. b = 8, c = 0 dan A = Dalam segitiga ABC diketahui b = a + c ac, tentukanlah B!. Dalam segitiga ABC diketahui b a c ac tentukanlah A + C!.9 Aturan Sinus Untuk memahami bagaimana aturan Sinus diturunkan, perhatikanlah gambar segitiga dibawah ini: C b a A Karena CD = b Sin A dan CD = a Sin B maka b Sin A = a Sin B atau a b. Hasil Sin A Sin B lebih lengkap akan diperoleh apabila ditarik garis tingg dari B tegak lurus garis AC sehingga a b c akan didapat, Sin A Sin B SinC Aturan Sinus D c a b c R Sin A Sin b Sin C B.0 Luas segitiga sembarang L b c Sin A L ab SinC L ac Sin B Contoh.Diberikan segitiga ABC, A = 45 dan B = 80 dan a = 6, berapakah panjang b dan c? C = = 55 0, 55

56 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri panjang b: a Sin A b Sinb 6 b 0 0 Sin 45 Sin80 b 0 Sin Sin 45 0,9856 b 8,59 0,707 panjang c: c Sin C a Sin A c 6 Sin55 0 Sin Sin55 c 0 6 6,95 Sin 45. Hitunglah luas segitiga pada gambar dibawa ini C Q M 45 0 O A (a) B P (b) 5 0 R N (c) a. Luas segitiga ABC : b. Luas segitiga PQR: Sin 0,6 L Sin,7 L 0 c. Luas segitiga MNO : L 0 8 Sin 45 0 Latihan. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah panjang b dan c jika diketahui a. A = 0 0, B = 50 0 dan a = 6 b. A = 5 0, B = 0 0 dan a = 7 c. A = 0 0, B = 0 0 dan a = 8 d. A = 40 0, B = 00 0 dan a = 5 56

57 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah B, C dan panjang sisi c, jika diketahui a. a =, b = 6 dan A = 40 0 b. a = 8, b = 8 dan A = 60 0 c. a = 6, b = 5 dan A = 0 0 d. a = 9, b = 4 dan A = Tentukan panjang sisi lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a. b = 6, c = 0 dan C = 50 0 b. a = 8, b = 5 dan B = 00 0 c. b = 0, c = 0 dan B = 80 0 d. a =, c = 9 dan A = Tentukanlah luas segitiga berikut ini: I K (a) J X 7 (b) Z Y R 4 S (c) 0 0 T 5. Tentukanlah luas segitiga berikut ini: I K 0 0 (a) 8 J X 0 (b) Z Y R 50 T S (c) 57

58 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perhatikan gambar lingakaran yang berpusat di titik (0,0) berikut ini: y P (rcos, rsin) (0, r Q (rcos, rsin) x Jarak antar dua titik dalam koordinat kartesius dapat dicari menggunakan rumus phytagoras, dan dinyatakan sebagai berikut: d ( x x ) ( y y ) Dengan demikian jarak PQ dapat dicari menggunakan rumus diatas, sehingga: cos cos sin sin PQ r r r r Cara lainnya dalam menentukan jarak PQ yaitu dengan menggunakan aturan Cosinus : PQ r r rrcos melalui subtitusi diperoleh: r r rrcos rcos rcos rsin rsin Dikuadratkan kedua ruas: r r rrcos rcos rcos rsin rsin cos coscos sinsin cos cos cos sin sin 58

59 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Berapakah cos ( + )? Cos ( + ) = cos ( - (-)) cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin cos cos cos sin sin Berapakah sin ( + )? sin( ) cos 90 cos 90 cos 90 cos 90 cos sin 90 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin Berapakah sin ( - )? sin ( - ) = sin ( +( - )) sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin Untuk latihan buktikan bahwa: tan tan. tan tan tan tan tan. tan tan tan 59

60 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh. Dengan menggunakan rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, tentukan: a. cos (A+B) b. cos (5A-7B). Tentukanlah nilai a. cos5 0 b. cos75 0. Sederhanakanlah: cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ).cos(a + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(a - B) = cos A cosb + sin A sin B a. cos(a + B) = cos A cosb - sin A sin B b. cos(5a-7b) = cos 5A cos7b + sin 5A sin 7B. a. coss5 0 = cos ( ) = cos 45 0 cos sin 45 0 sin b. cos 75 0 = cos( ) = cos 45 0 cos sin 45 0 sin cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ) Ingat : cos(a + B) = cos A cos B - sin A sin B Pada soal no.: A = ( a 0 ), B = (0 0 + a 0 ) sehingga cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ) = cos

61 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Perkalian Dua Fungsi Sekarang panggil kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus cos (A + B) = cosa cosb sina sinb cos (A - B) = cosa cosb + sina sinb cos (A + B) + cos(a - B) = cosa cosb + cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B - cos (A + B) cos (A - B) = - sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B + sin (A + B) + sin (A - B) = sin A cos B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B - sin (A + B) - sin (A - B) = cos A sin B Hasil dari penurunan diatas, diperoleh sebagai berikut cos A cos B = Cos(A + B) + Cos(A - B) - sin A sin B = Cos(A + B) - Cos(A - B) sin A cos B = Sin (A + B) + Sin (A - B) cosa sin B = Sin (A + B) - Sin (A - B) 6

62 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh Ubahlah pernyataan berikut kedalam bentuk penjumlahan dan pengurangan a. 4cos (x) cos( x) b. 6cos40 0 cos 0 0 c. sin(4a) sin(a) d. 8 sin 50 0 sin 0 0 a.4cos x cos x = (cos x cos x) = (cos (x+x) + cos (x-x)) = (cos 5x + cos x) = cos 5x + cos x b.6cos 40 0 cos 0 0 = (cos ( ) cos ( )) = (cos(50 0 ) + cos (0 0 )) = cos cos 0 0 c. sin 4ASin A sin 4ASin A cos(4 A A ) cos(4 A A ) cos(7 A ) cos( A ) cos(7 A) cos( A) d. 8Sin 50 0 Sin 0 0 = -(-4 Sin 50 0 Sin 0 0 ) = -(Cos( )- Cos( ) = -Cos Cos 0 0 6

63 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan.Sederhanakanlah pernyataan dibawah ini menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan a.4sin 5a sin a c.sin 5x sin x b.0 cos a cos a d. ½ cos 6y cos y e. sin m sin m f. cin m cos 5m. Tentukan nilai dari a. 0 0 sin 45 sin5 b. 6cos 5 cos 7 c sin sin 7 e. cos 5 cos 7 7.Tunjukkan bahwa: a. cos ( x 0 ) cos (5 0 + x 0 ) = -cosx b. sin ( x 0 ) sin (5 0 + x 0 ) = cosx d sin 5 sin 7 e. cos cos 7 7. Jumlah Dua Fungsi Misal A+ B = X dan A B =Y A + B = X A+ B = X A - B = Y + A B = Y - A = X + Y B = X - Y A= ½ (X+Y) B = ½ (X - Y) Dengan mensubtitusikan A+ B = X, A - B = Y, A= ½ (X+Y) dan B = ½ (X - Y) kedalam persamaan-persamaan ini Cos(A + B) + Cos(A - B) = cosa cosb Cos(A + B) - Cos(A - B) = -sina sinb Sin (A + B) + Sin (A - B) = sina cosb Sin (A + B) - Sin (A - B) = cosa sinb akan diperoleh 6

64 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Cos X + Cos Y = cos ½ (X + Y) cos ½ (X - Y) CosX - CosY = -sin ½ (X + Y) sin½ (X - Y) Sin X + Sin Y = sin½ (X + Y) cos½ (X - Y) Sin X - Sin Y = cos½ (X + Y) sin½ (X - Y) Contoh Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari peryataan-pernyataan berikut ini: a.sin Sin 0 0 b.sin Sin40 0 c.cos Cos 0 0 d.cos Cos 5 0 Jawab a. Sin 0 Sin 0 Sin (0 0 ) C os (0 0 ) 0 0 Sin5 C os 5 Sin 60 Sin 40 Cos Sin b Cos 50 Sin0 0 0 c. Cos 50 0 Cos 0 0 Cos Cos Cos 40 Cos0 0 0 d. Cos 65 0 Cos 5 0 Sin Sin Sin50 Sin5 0 0 Latihan.Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. Sin Sin 0 0 b. Sin 0 0 Sin60 0 c. Cos Cos 40 0 d. Cos Cos

65 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri.4 Persamaan Identitas. sin a + cos a =. tan a + = sec a. cot a + = csc a 4. sin( a) = sin a 5. cos( a) = cos a 6. tan( a) = tan a 7. sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb 8. cos(a + b) = cosa cosb sina sinb 9. tan(a + b) = tana + tanb tana tanb 0. sin(a) = sina cosa. cos(a) = cos a sin a. tan(a) = tana tan a. sin a = 4. cos a = Contoh cos (a) + cos (a) Buktikan persamaan identitas berikut ini : a. Sin x= Sin x Cos x b. Cos x = Cos x - Sin x Tan c. + Cosx = (Cos x + ) (Cos x - ) d. Sin Tan a. Pembuktian Sin x = Sin x Cos x Sin x = Sin (x + x) = Sin x Cos x + Sin x Cos x = Sin x Cos x, terbukti 65

66 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri b. Pembuktian Cos x = Cos x - Sin x Cos x = Cos x - Cos x = Cos(x + x) Cos x = - Sin x = Cos x Cos x Sinx Sin x = Cos x - Sin x, terbukti = Cos x- ( - Cos x) = Cos x + Cos x = Cos x -, terbukti = ( - Sin x) - = - Sin x = - Sin x, terbukti c. Pembuktian + Cosx = (Cos x + ) (Cos x - ) + Cosx = + Cosx - = ( + Cos x) = Cos x- = 4Cos x- = (Cos x + ) (Cos x - ), terbukti tan d. Pembuktian sin tan Sin Tan Cos Tan Sin Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin 66

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan BB TRIGONOMETRI RINGKSN MTERI. Perbandingan C a B c b a proyektor b proyektum c proyeksi b a + c sin b a cos b c tan sin a cos c. Sifat-sifat Kwadran csc sec cot b sin a b cos c c tan a sin + cos tan +

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI BAB 7. A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

TRIGONOMETRI BAB 7. A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku BAB 7 TRIGONOMETRI A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Gambar disamping menunjukkan segitiga dengan besar sudut α o c a Sisi di hadapan sudut siku-siku yaitu sisi c disebut sisi miring

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

TRIGONOMETRI. B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut! Y Sin = r y Cosec = y r r y Cos = r x Sec = x r O x X Tan = x y Cotan = y x Selanjutnya nilai perbandingan

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

KISI KISI US Diberikan pernyataan majemuk berkuantor, ingkaran dari pernyataan tersebut majemuk atau pernyataan majemuk berkuantor

KISI KISI US Diberikan pernyataan majemuk berkuantor, ingkaran dari pernyataan tersebut majemuk atau pernyataan majemuk berkuantor KISI KISI US 2014 NO BAB INDIKATOR JENIS SOAL Menentukan penarikan Diketahui buah premis (ada bentuk ekuivalen) menarik kesimpulan dari buah 1 kesimpulan dari beberapa premis premis Menentukan ingkaran

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1

BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1 Standar Kompetensi BAB TRIGONOMETRI Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung

Lebih terperinci

MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II

MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II MODUL MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel http://meetabied.wordpress.com TRIGONOMETRI Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan fungsi,

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00. Diketahui premis- premis : () Jika Andi penurut maka ia disayang nenek. () Andi seorang anak penurut Ingkaran kesimpulan premis- premis tersebut adalah... Andi seorang

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Matematika

TRIGONOMETRI Matematika TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

MATEMATIKA WAJIB MATERI DAN PENJELASAN TENTANG TRIGONOMETRI

MATEMATIKA WAJIB MATERI DAN PENJELASAN TENTANG TRIGONOMETRI MATEMATIKA WAJIB MATERI DAN PENJELASAN TENTANG TRIGONOMETRI DISUSUN OLEH : 1. Jaka kanu 2. Nada putri 3. fahzlin 4. Anastasia 5. Lutfiah 6. Febi ferdiansyah PEMERINTAH KABUPATEN BANGKA BARAT DINAS PENDIDIKAN,

Lebih terperinci

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51 Perbandingan

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010 . Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

Bab 5. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri. Materi Pembelajaran: Tujuan Pembelajaran:

Bab 5. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri. Materi Pembelajaran: Tujuan Pembelajaran: Bab 5 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri Materi Pembelajaran: Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku. Hubungan Perbandingan Trigonometri Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Pengukuran

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai sec cosec cot INGAT definisi: sin depan miring cosec sin miring depan cos samping

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27

D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI NAMA : KELAS : A. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SUDUT TRIGONOMETRI 1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sin dan Cos Kegiatan 1 Perhatikan segitiga ABC di Samping! LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

Lebih terperinci

MAT. 09. Trigonometri 1

MAT. 09. Trigonometri 1 MAT. 09. Trigonometri Kode MAT.09 Trigonometri SUDUT SIN COS TAN 0 0 0 0 0 0 45 0 60 0 90 0 0 BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Trigonometri - IPA. Tahun 2005

Trigonometri - IPA. Tahun 2005 Trigonometri - IPA Tahun 5. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah sejauh 6 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah... A.

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL "We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang

Lebih terperinci

KOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.

KOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. TRIGONOMETRI KOMPETENSI SK Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah KD Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. Mengkonversi koordinat

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D0) c Fendi Alfi Fauzi alfysta@yahoo.com Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 (Pelajaran Matematika) Tulisan ini bebas dibaca

Lebih terperinci

PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA

PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA Kumpulan Soal - Soal Latihan UN Matematika IPA SMA dan MA 009. (Suprayitno) 33 PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA PETUNJUK UMUM. Kerjakan semua soal - soal ini menurut

Lebih terperinci

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal

Lebih terperinci

MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI

MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI MAKALAH MATEMATIKA TRIGONOMETRI DISUSUN OLEH : Nama Kelompok : Nurul Fadhila Larasati Nur Faizah Mujahidah Azzam Safitri Ramadhani Sitti Masyita Sitti Rabithatul Jannah Kelas Guru Mata Pelajaran : XI IPA

Lebih terperinci

TRY OUT UN MATEMATIKA SMA IPA 2013

TRY OUT UN MATEMATIKA SMA IPA 2013 TRY OUT UN MATEMATIKA SMA IPA 0 Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar!. Diketahui premis-premis berikut. Jika Yudi rajin belajar maka ia menjadi pandai. Jika

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan

Lebih terperinci

INDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y

INDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y INDIKATOR : Menyelesaikan masalah program linear. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y 8 8 X x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C.

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C. 1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 Kunci : C Persamaan fungsi : F(x)

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013 Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b 2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/2 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 09/ Nama Sekolah : SMK Diponegoro Lebaksiu Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X / Alokasi Waktu : 8 45 menit ( pertemuan) Standar Kompetensi Kompetensi

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri :

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri : SMA - TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cous dan Tangen Sin r y r y Cos r x x Tan x y Hubungan Fungsi Trigonometri :. + cos. tan 3. sec cos cos 4. cosec 5. cotan cos 6. tan + sec + cos + cos cos cos cos tan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif, 000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,

Lebih terperinci

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012 MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.

Lebih terperinci

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2009

SOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2009 1. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis diatas adalah... A. Saya giat belajar dan

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000 Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan

Lebih terperinci

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut

Lebih terperinci

SOAL PM MATEMATIKA SMA NEGERI 29 JAKARTA

SOAL PM MATEMATIKA SMA NEGERI 29 JAKARTA SOAL PM MATEMATIKA SMA NEGERI 9 JAKARTA. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 5 5 + 5 4 5 5 e. + 5 6 + 5 adalah. Persamaan x (m + ) x = 0 mempunyai akar-akar yang berlawanan, maka nilai

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Latihan Soal UN 00 Paket Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah IPA SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Dalam UN berlaku Petunjuk Umum seperti ini :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban

Lebih terperinci

TRY OUT UJIAN NASIONAL TAH SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA

TRY OUT UJIAN NASIONAL TAH SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA DOKUMEN SEKOLAH MATEMATIKA SMA/MA IPA PAKET NAMA : NO.PESERTA : TRY OUT UJIAN NASIONAL TAH TAHUN UN PELAJARAN 0/0 SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA PUSPENDIK SMAYANI SMA ISLAM AHMAD YANI BATANG 0 TRY

Lebih terperinci

MATEMATIKA SET 1 PERSAMAAN KUADRAT MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL A. BENTUK UMUM B. MENCARI AKAR/SOLUSI

MATEMATIKA SET 1 PERSAMAAN KUADRAT  MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL A. BENTUK UMUM B. MENCARI AKAR/SOLUSI 0 WWW.E-SBMPTN.COM MATERI DAN LATIHAN SOAL SBMPTN ADVANCE AND TOP LEVEL MATEMATIKA SET PERSAMAAN KUADRAT A. BENTUK UMUM a + b + c = 0, a 0 B. MENCARI AKAR/SOLUSI a. Faktorisasi b. Rumus ABC C. OPERASI

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013

Lebih terperinci

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan

Lebih terperinci

KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)

KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) 0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :

Lebih terperinci