Bab1. Sistem Bilangan

Transkripsi

1 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali digunakan tentunya adalah bilangan-bilangan yang digunakan untuk menghitung jumlah benda yakni bilangan asli. Misalnya terdapat 0 ekor sapi yang sedang makan rumput, terdapat 5 pohon jambu. Bilangan 0 dan 5 merupakan bilangan asli. Aktivitas manusia yang terus meningkat baik dalam bidang penelitian maupun dalam bidang industri membutuhkan jenis-jenis bilangan baru yang sesuai dengan kebutuhan. Sampai saat ini, jenis bilangan yang terakhir digunakan adalah bilangan kompleks. Sangat dimungkinkan dimasa yang akan datang, dunia ilmu pengetahuan membutuhkan digunakan jenis bialngan baru untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang terus berkembang. Bagan berikut ini menunjukkan hirarki bilangan yang dipergunakan sampai saat ini. Bilangan Kompleks (C) Bilangan Riil (R) Bilangan Imajiner (Im) Bilangan Rasional (Q) Bilangan Irrasional Bilangan Bulat (Z) Bilangan Pecahan Bilangan Asli (N) Nol Bilangan Bulat Negatif

2 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Keterangan:. Bilangan asli:,,, 4, 5,.... Bilangan nol: 0. Bilangan cacah: N 0 = 0,,,, 4, 5, Bilangan bulat negatif: x x + n = 0, n N, x = -,-,-,-4,-5, Bilangan bulat Z = N 0 x x + n = n + x, nn, x = 0,, -,,-, Bilangan pecahan: m n Z m Z, n 0Z =,,,, 4, 4, 7. Bilangan rasional m n m Z, n 0 Z = 0,,,,, 8. Bilangan irrasional xx m, m Z, n 0 Z =,, π, e, n 9. Bilangan riil m n m Z, n 0 Z xx m n, m Z, n 0 Z =,,0,,, 0. Bilangan imajiner ai i =, a 0 R. Bilangan kompleks a + bi i =, a, b R

3 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Bilangan Riil Bilangan riil merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, sedangkan bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Himpunan semua bilangan riil dapat digambarkan dalam bentuk garis bilangan berikut ini: Diantara bilangan dan bilangan, tebak ada bilangan apa saja?,0;,0;,0,,0..., sepertinya banyak sekali... Tentu saja jawaban yang tepat adalah diantara bilangan dan bilangan diisi bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan jumlah yang tak berhingga. Dalam semua bab Mata Kuliah Pra Kalkulus, jenis bilangan yang dipergunakan adalah bilangan riil, sekalipun mungkin saja jika nanti mahasiswa akan menemukan jenis bilangan kompleks. Sifat-sifat aljabar suatu himpunan bilangan.tertutup terhadap penjumlahan 7.Komutatif terhadap perkalian a, b H a + b H a, b H a x b = b x a.komutatif terhadap penjumlahan a, b H a + b = b + a.asosiatif terhadap penjumlahan a, b, c H (a + b) +c = a + (b + c) 4.Keberadaan elemen zero a H, z H z + a = a + z = a 5.Keberadaan elemen invers a H, z H, v H v + a = a + v = z 6.Tertutup terhadap perkalian a, b H a x b H 8.Asosiatif terhadap perkalian a, b, c H (a x b) x c = a x (b x c) 9.Keberadaan elemen unit a H, u H u x a = a x u = a 0.Keberadaan elemen invers terhadap perkalian a elemen zero H, u elemen unit H, w H w x a = a x w = u. Distributif terhadap penjumlahan dan perkalian a, b, c H a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (a + b) x c = a x c + b x c

4 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Pangkat Arti pangkat Untuk memahami konsep-konsep bilangan berpangkat, perhatikanlah contoh-contoh berikut:. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 dapat disederhanakan menjadi x7 x7 x7 dapat disederhanakan menjadi 7 4. x x x 5 x 5 x 5 x 5 dapat disederhanakan menjadi 5 4 Sederhanakanlah soal-soal berikut ini!. x x = x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 0 x 0 x 0 = x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 44 x 44 x 44 x 44 x 44 =... Pangkat negatif Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk pangkat begitu juga sebaliknya. Untuk memahami pangkat negatif, perhatikanlah contoh-contoh berikut: 5 = 5 = 6 = 6 = 7 7 = = Ubahlah bilangan pecahan berikut menjadi bilangan berpangkat! Ubahlah bilangan berpangkat berikut menjadi bilangan pecahan!. 0 = =.... = = = = = = = =... 4

5 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Sifat-sifat bilangan berpangkat yang lain:. a xa = a Contoh:. 5 x 5 8 = 5 +8 = x 9 = = x 0 9 = = 0 4. a a = a, a 0 Contoh:. 8 8 = 8 = 8. = =. 7 7 = 7() = 7. (a ) = a 4. (axb) = a xb Contoh:. (0 ) = 0. (9 ) = 9. (5 ) = 5 Contoh:. (x) = x. (5 x6) = 5 x6. (8 x0 ) = 8x0 5. a b = a, b 0 b 6. a = a, a 0 Contoh:. 7 = = 5 9 Contoh:. 4 = 4. (x ). (9x y) = (x ) = (9x y). 0 =

6 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Latihan No -0, sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini: a a = b b =. 0m n o 5m n o. m n o 8n m o = = p p =. 9m n o 6o n m = p q p q = 4. (x y ) (x y ) = q p p q = 5. (x y ) (4x y ) = q p p q = q p p q = 6. 5x 6y x y z 5x = 7. 6y z 4xy x 0y x 5x z = m n n m = 8. x y z 6x y z x y z 5xy z = m n n m = 9. (xy) (xy) (x y x ) (x y ) = m n n m = 0. (5xy) (5 x y ) x (xy) (x y ) = No.- 40, ubahlah bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam bentuk akar. a =. (x 7) = a =. (5x + 0) =. a =. ( 8x) = 4. a = 4. 7 (x) = 5. a = 5. 9 (7x) = 6. (b) = 6. (x) (5y) = 7. (b) = 7. (6x) (y) = 8. (7ab) = = 6

7 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan 9. (5bc) = = 0. (5abc) = 40. y z = No. 4-60, ubahlah bilangan-bilangan akar berikut dalam bentuk pangkat 4. a = 4. a = a a p p = = 4. a 44. a 45. a 46. a 47. a = = = b = b = 5. q q 54. x = x 55. y 56. z 57. a a = 58. b a = 59. b c a c + (ab) = 60. y z p = = = + a = + b = c = + p x p = Menghitung akar pangkat Contoh:. x = 5 x = 5 = ±5. y = y = y = y = z 4 = 6 0z 4 = 6 z = 4 z = 6 7

8 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Latihan Selesaikan persamaan berikut. 6a =. 9b = 6. 8c = 0. r + =. s =. t = 4 4. d = 5 4. (u 7) = 9 5. e = 0 5. (x + 8) = 5 6. x + 4 = 6 6. (y + 6) = 9 7. y + = 7 7. (z ) = 6 8. z 5 = 8. (m + ) = p 4 = 6 9. (n 6) = q + = 9 0. (o 78) = 8.4 Logaritma Log suatu bilangan menunjukkan sepuluh pangkat berapa hasilnya adalah bilangan itu. Log a artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya a Log 00 artinya sepuluh pangkat berapa hasilnya 00 Contoh:. log =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya, jawabannya adalah 0. Jadi log = 0.log 000 =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 000, jawabannya adalah. Jadi log 000 =. log 0,000=... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 0,000, jawabannya adalah -4. Jadi log 0,000 = log0 8 =... Artinya 0 pangkat berapa supaya hasilnya 0 8, jawabannya adalah 8. 8

9 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Jadi log 0,000 = -4 Jadi : log 0 a = a dan log 0 = Isilah titik-titik dibawah ini:. log 0 6 =.... log 0 5 =.... log 0-8 = log 0,00= log 0,00000=... Sifat-sifat logaritma. a Contoh: logb logb log a. log5 = log5 log. log0 = log0 log4. log = log log6 b. log a blog a Contoh:. Log 4 = log = log. Log 5 = log 5 = log5. Log 7 = log = log. log b c log b log c a a a Contoh:. Log (5) = log( x 5) = log + log5. Log 0 = log ( x 5) = log + log 5. Log (6) = log (4 x 9) = log( x ) = log + log 4. a log b a log b a log c c Contoh. log = log7 log5. log = log8 log0 = = log log( x 5) = log log log5 = log log5. log 9 = log9 log6 6 9

10 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan = log log( x ) = log log log = log log n m m a 5. a log b log b n Contoh. log =. log7 = 4 5. log = 6 9 log log log Contoh: a 6. log a. log 5 =. log =.. log 0. = 7. a log b x a log c a log c Contoh:. log5x log = log. log0x log6 = log6. log7x log6 = log6 8. a a logb Contoh b. = 6. 0 = 5. = 0 Soal-Soal Latihan. Hitunglah a. log 6 = f. log 8 log 9 = b. log 5 = g. log 64 log = c. log 64 = h. log 7 log 8 = d. log = i. log 5 log 5 = e. log 65 = i. log 96 log 7 = 0

11 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Hitunglah a. log + log 8 8 log 4 = b. log 4 + log70 log + log 5 = 5 c. log + log5 log 4 + log 5 = 4 d. log 4 + log log 4 + log 5 = 65 e. log 4 + log 8 log =. Diberikan nilai log =0.477, tentukan nilai dari algoritma berikut ini: a. log 7 b. log 00 c. log 80 d. log 0, Jika log 7 = a, nyatakanlah soal berikut dalam a. a. log 9 b. log 7 5. Hitunglah: c. log 49 a. log x log 49 b. log x log 5 c. log x log 64 Soal-Soal Tambahan 5. 0,5.. Tentukan nilai dari 7 4 5! Sederhanakan bentuk x y 4 x x x! x

12 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan. Nilai p q 6. Diketahui p dan q. 7. Sederhanakan bentuk a a a a a a a! 8. Bentuk sederhana dari x y y x x y y x adalah. x Nilai x yang memenuhi persamaan 5 adalah Jika x 0 dan x memenuhi x x x p x dengan p bilangan rasional, maka p.. Nilai x yang memenuhi persamaan x 4 x5 4 8 adalah.. Diberikan persamaan maka nilai x0 adalah. 4. Hitunglah 4 a. log log log6 b. x x log log 5 log log log5 log 8. log6 log 4 c. log. Jika x 0 memenuhi persamaan tersebut, d. e. f. log5 0 log 5 log log log 0 log! log 5 5 log 75 log 5 log5. log log log bc ca ab a b c

13 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan 4. Jika 4 log 5 p dan 4 log 8 q, maka 4 log Jika log,log, dan x x a b, maka nilai x. a c 6. Jika log b 4, log a, dan a, b, c bilangan positif,, a a c, maka log bc 4. a a a 7. Jika log x, log y, dan log z 4, maka a log x z y z. 8. Jika log a log a m, n, a, dan b, maka m log b log b n. 9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log 4log log log log a b a b a. x a b a b a b b. x log 7 5 a c. x log 5 a log log x d. 4 x5 log 9 log 8 0 e. x x log log log 5 log

14 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan dua hal persis sama. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan. Nilai kebenaran baik persamaan maupun pertidaksamaan tergantung nilai variabel yang ada didalamnya. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Umumnya variabel ditulis dalam bentuk hurup kecil dan berpangkat satu. Didalam persamaan terdapat lambang sama dengan =. Didalam pertidaksamaan terdapat lambang pertidaksamaan <,, >, dan. Lambang < memiliki arti lebih kecil Lambang memiliki arti lebih kecil atau sama dengan Lambang > memiliki arti lebih besar Lambang memiliki arti lebih besar atau sama dengan Persoalan yang harus dipecahkan dalam persamaan maupun pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian adalah himpunan bilangan-bilangan pengganti variabel sedemikian sehingga baik persamaan maupun pertidaksamaan bernilai benar. Contoh persamaan x = 8, jika x = 4 persamaan tersebut bernilai benar. Berarti himpunan penyelesaiannya {4}. Kadang-kadang himpunan penyelesaian dari persamaan dinamakan solusi. Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum : ax + b = 0, dimana a, b, c R dan a 0 Contoh persamaan linier satu variabel. x - 0 =. 4-a = x =7 (x + 4) Contoh bukan persamaan linier satu variabel. x + 6y =5. y - -7 =. 5sin z - = Mengapa persamaan diatas dikategorikan bukan persamaan linier satu variabel? Sifat umum persamaan adalah persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Sehingga untuk mencari 4

15 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan solusinya, dapat dilakukan operasi aritmatika yang sama pada kedua ruas sedemikian sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana. contoh : Tentukan nilai x dari persamaan x-8 = 0! x-8 +8 = (kedua ruas ditambah 8) x = 8 x 8 (kedua ruas dikali dengan ½) x = 9 contoh: Tentukan nilai x dari persamaan 5x + 5 = x + 4 5x + 5- x - 5 = x x - 5 (kedua ruas ditambah -x dan -5) x = 9 x 9 (kedua ruas dikali ) contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 5. x 4x 5 4. x 6 4 x 5. x 4x 5 (kali dengan bilangan yang habis dibagi dan 5) 5 0 x 0 4x 5 5x 4x 5 5x 0 8x 0 7x 0 0 x Jadi himpunan penyelesaian =

16 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4. x 6 4 x (kali dengan bilangan yang habis dibagi 4 dan ) 4 4 x x x 6 4 x 6x 8 8 4x 0x 0 x Jadi himpunan penyelesaian = {-} Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan berikut ini a. x + 8 = 5x- 6 b. 5( x ) = ( x + ) c. ( x 6 ) = (5- ½ x ) d. x x 6 e. x x f. x x 6 4 g. x x x 5 x 5 h. 5 4 i. x x 4x 4 j. 4 x x x 4 6 Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Bentuk umum: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0 dimana a, br dan a 0 Sifat-Sifat Pertidaksamaan. a > b ac > bc, c > 0. a > b ac < bc, c < 0. a > b a + c < a + c 4. a > b untuk a > b maka a > b 5. a < b maka a < b 6. a/b > 0 a b > 0 7. a > b, b > c a > c 6

17 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan suatu pertidaksamaan dapat diperoleh dengan cara mendapatkan bentuk setara yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat pertidaksamaan no., dan diatas yakni: Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan dibalik Apabila kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan postif atau negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap Contoh: Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:. x - 8 >. x+0 <. ( x ) x x 5 x + < 5x 9. x - 8 > x > + 8 x > x x > 7 himpunan penyelesaian = {x x > 7}. x + 0 < x < - 0 x < 8 x ( 8) x < -4 himpunan penyelesaian = {x x < -4}. ( x ) x x x x x x - x - x ( x) x - himpunan penyelesaian = {x x < -} 7

18 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4. x 5 x + < 5x 9 nya dibagi bagian: x - 5 x + x - x +5 x 8 x + < 5x 9 x - 4x < -9 -x < - x x > 4 irisan kedua hasil diatas: x 8 x > 4 = 4 < x 8, himpunan penyelesaiannya = {x 4 < x 8} Latihan Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a.5 x < 5 b.( x 4 ) > ( x ) c > x d.x e.x f.7 > -4 x g.x x+7 h. x x 5 i. x x j. x x 4 4 Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax + bx + c = 0 dimana a, b, c R dan a 0 contoh: a. x + x 4 = 0 nilai a =, b = dan c = -4 b. x - 8x + 6 = 0 nilai a =, b = -8 dan c = 6 c. x - x 5 = 0 nilai a =, b = - dan c = -5 Akar-akar persamaan kuadrat Setiap nilai x yang merupakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dinamakan akar. Ada tiga cara menentukan akar-akar persamaan:. Pemfaktoran ax + bx + c = 0 ( x x )( x x ) = 0 8

19 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Prinsipnya mencari faktor dari c sehingga c = x. x dan b = x + x Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat : x 8x + = 0 x 8x + = 0 (faktor dari dan jumlahnya -8 adalah -6 dan -) ( x 6 )( x ) = 0 x = 6 atau x = Jadi himpunan penyelesaian = {, 6}. Kuadrat sempurna Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan x 6x 5 = 0. x 6x 5 = 0 x 6x = 5 x 5 x = x x x 4 9 x 4 x 9 x 9 x 9 atau x 9 Himpunan penyelesaian = { 9, 9 }. Rumus abc, yaitu x = b ± b 4ac a 9

20 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x x = 0 a = 4, b = - dan c = - x, = b b 4. a. c. a x, = ( ) Latihan x, = x, = x = 8 x = himpunan penyelesaian = {, } 4. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode pemfaktoran: a. x + x = 0 b. x + x 8 = 0 c. x 9 = 0 d. x + 4x - 6 = 0 e. 5x - x 6 = 0 f. x + 7x + = 0. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode kuadrat sempurna: a. x - x 4 = 0 b. x - 7x + 0 = 0 c. x - x = 0 d. 5x - 6x + = 0 e. x - x 0 = 0 f. 4x - x = 0. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut menggunakan metode abc: a. x + x 4 = 0 b. x - 5x + 6 = 0 c. x - x 5 = 0 d. x + x 6 = 0 e. 5x - 5x 0 = 0 f. x - 4x 7 = 0 0

21 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat b a. Penjumlahan : x x a c b. Perkalian : x x a Pembuktian: Dengan menggunakan rumus abc, akan diperoleh: x x a a b b 4ac b b 4ac a b a b a b b 4ac b b 4ac x x a a b b 4ac b b 4ac b b b 4ac b b 4ac b 4ac 4ac 4a c a 4a Jenis akar Persamaan kuadrat Ada tiga jenis akar persamaan kuadrat. Jenis ini dapat ditentukan dari nilai diskriminan (D). Nilai D = b - 4ac. Jenis akar tersebut adalah:. Real yang sama: D = 0. Real yang berbeda: D > 0. Imaginer: D < 0 Silahkan pikirkan mengapa diskriminan didefinisikan D = b - 4ac? Contoh Tentukan jenis akar dari persamaan-persamaan berikut ini. x - x - = 0. x - 4x + = 0. x - x + 5= 0

22 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan. x - x - = 0 a =, b = -, c = - D = b - 4ac = (-) -4()(-) = 8 > 0 berarti akar real berbeda. x - 4x + 4 = 0 a =, b = -4, c = 4 D = b - 4ac = (-4) - 4()(4) = 0 berarti akar real sama. x - x + 5= 0 a =, b = -, c = 5 D = b - 4ac = (-) - 4()(5) = -9 < 0 berarti akar real imaginer Rumus-rumus penting yang berkaitan dengan akar x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x untuk latihan...silahkan buktikan sendiri! Membentuk persamaan kuadrat Misalkan x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut adalah : (x - x )(x - x ) = 0 atau x - (x + x ) + x x = 0 Contoh: a. Jika x dan x merupakan akar-akar persamaan x - 4x - = 0, tentukanlah nilai x x! b. Jika dan adalah akar-akar persamaa x - 7x + = 0, berapakah nilai dan? c. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x + 4x + a - 4= 0. Jika =, tentukanlah nilai a! d. Akar-akar persamaan kuadrat 5x + b 4 = 0 adalah dan. Jika nilai, berapakah nilai b? e. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x + 8x + 0 = 0

23 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan f. Persamaan kuadrat x + (m - )x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata. Tentukanlah nilai m yang memenuhi! a. x - 4x - = 0 memiliki nilai a =, b = -4 dan c = - x x x x x x b a c a ( 4) ( ) b. x - 7x + = 0 memiliki a =, b = -7 dan c = b c b a a a ( 7) ( 7) c. x + 4x + a - 4= 0 memiliki a =, b = 4 dan c = a - 4 = b a c a = = - a 4 ( ) ( ) a 4 a 7 d. 5x + bx 4 = 0 memiliki a = 5, b = b dan c = -

24 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan b b a c c a b b e. Misal dan adalah akar-akar persamaan x + 8x + 0. Maka akar-akar persamaan yang baru adalah dan. Persamaan kuadrat baru: x - (x + x ) + (x x ) = 0 x - ( + )x + ( ) = 0 x - ( + )x + 4( ) = 0 x b c x 4 0 a a 8 0 x x 4 0 x - 6x + 40 = 0 f. x + (m - )x + 9 = 0 memiliki akar-akar nyata berarti D 0 b - 4ac 0 (m - ) m - 4m m - 4m - 0 (m + 4)(m - 8) 0 m - 4 atau m 8 Latihan. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -!. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya - dan -!. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -7! 4. Akar-akar persamaan kuadrat x - 5x - = 0 adalah x dan x. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x - dan x -! 4

25 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 5. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar persamaan kuadrat x + x +5 = 0! 6. Salah satu persamaan kuadrat (a - )x + (a - )x - a = 0 adalah. Tentukanlah akar yang lainnya! 7. Tentukan nilai k agar persamaan :(k + 5)x + 6x + (k 5) = 0 memiliki akar real! 8. Tentukan nilai k agar persamaan : (k + )x + (k + b)x 5 = 0 tidak memiliki akar real. memiliki akar real! 9. Akar-akar persamaan ( k + )x - ( k - ) x + k = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Tentukanlah jumlah kedua akarnya! 0. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x - x + = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan! Pertidaksamaan Kuadrat Jika pada persamaan kuadrat tanda sama dengan = diubah dengan tanda ketaksamaan, maka akan terbentuk pertidaksamaan kuadrat Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan x - 7x + 0 > 0 x - 7x + 0 > 0 (x - ) (x - 5) > 0 Pertidaksamaan ini menunjukkan bawah ruas kiri bernilai positif. Selanjutnya gunakan garis bilangan, dengan pembuat nol: x = dan x = 5 I II III 5 Dari garis bilangan diatas, ada tiga daerah yaitu Daerah I: x <, Daerah II: < x < 5 dan Daerah III: x > 5 Gunakan uji beberapa titik: Daerah I misal x = 0 (x - )(x - 5) = 0 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +) Daerah II misal x = (x - )(x - 5) = -4 < 0 tidak memenuhi syarat (ruas kiri bernilai -) Daerah III misal x = 6 (x - )(x - 5) = 4 > 0 memenuhi syarat (ruas kiri bernilai +) 5

26 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Jadi daerah I dan daerah III yang memenuhi syarat. himpunan penyelesaian = { x x < atau x > 5 } Cara cepat: (x - a) (x - b) < 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: a < x < b (x - a) (x - b) > 0 dan a < b maka nilai x yang memenuhi: x < a atau x > b Pertidaksamaan Rasional Bentuk umum : A( x) C( x) B( x) D( x) Untuk menyelesaikan bentuk-bentuk diatas, seerhanakanlah menjadi bentuk p( x) 0 g( x) 0 g( x) Jika simbol sama dengan = diubah dengan simbol ketaksamaan (<, >,, ) maka terbentuk pertidaksamaan rasional. Contoh. 8 x. x x Untuk menyelesaikan persamaan rasional, ubahlah pertidaksamaannya kedalam bentuk setaranya seperti sifat pertidaksamaan no.6: a/b > 0 a b > 0 contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian berikut ini. 8 x. x x. 8 x, x x 6

27 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 8 x 0 x x( 8 x) 0 Pembuat nol: x = 0 dan x = 8/ / Himpunan penyelesaian = { x x < 0 x 8/ } x. 0, x x x x 0 x x 0 x ( x )(x ) 0 Himpunan penyelesaian = { x x < / x } Pada penyelesaian soal no. diatas, sengaja tidak diberikan garis bilangan contoh Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini x 4x a. 0 x 5x 5 7 b. x 7 x 5 x 4x a. 0 x 5x ( x )( x 6) 0 ( x )(x ) ( x 6) 0 (x ) (x )( x 6) 0 6 x himpunan penyelesaian = { x b. 0 x 7 x 5 x 7 x 5 6 x } 7

28 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 5( x 5) 7( x 7) 0 ( x 7)( x 5) x 74 0 ( x 7)( x 5) Himpunan penyelesaian = { x x < 5 atau 7 < x < 7 } Latihan. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 4x + 4 > 0 b. x - x - < 0 c. x + x d.x - 9x e.x - 7x f.x - 7x Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x 9 0 x x x 6 c. 0 x x x e. x x x b. 0 x 9x 4 d. x 7 x x x f. x x Persamaan Pangkat Bentuk umum : Jika a x = a y, maka x = y Jika a x = b x, maka a = b Contoh : Selesaikan persamaan pangkat berikut ini: x x6 a. b. y y 6 c. 4x x 9 8 8

29 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan a. b. x x6 x + = x 6 x + x = -6-4x = -8 x = - 6 y 4 y y y (ingat : 6 = 4 ) 4x x c. 9 8 y 4 y - = - 4y y + 4y = + 5y = 5 y = y 4x x 9 9 4x - = x - 6 4x-x = -6 + x = -4 x = - Contoh : Selesaikan persamaan eksponensial a. x x x x x x misal x = p, maka: 7 p 84 p p 8 p 0 p p 9 0 p atau p = 9 x x 9 x x himpunan penyelesaian = {-, } x = -, x =, 9

30 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini. x 0.5x7 ( x) x x x x x x x x7 7 9 x x 8 0 x x x x x x Pertidaksamaan Pangkat Bentuk umum: untuk a > untuk 0 < a < Jika a c > a d, maka c > d Jika a c > a d, maka c > < d Jika a c < a d, maka c < d Jika a c < a d, maka c < > d Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan eksponen berikut ini: a. x x b. x7 x5 7 c. x x x0 5 8 a. x x x x x + 5 x 4 -x -x x -9 b. 7 x7 x5 x - 5 x 7 x x -7 x + 5 -x -x x x -4 0

31 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan c. x x x 5 8 x x x 5 5 Latihan x x 5x5 x + x + 5x - 5 -x + x- 5x x -x x + x 8 0 (x - ) (x + 4) 0-4 x Selesaikan pertidaksamaan berikut ini:.. 5 x 4. 5 x x x x 5 6. x5 x x x x x5 8 5x 4x 4 6 x x5. 4 x x. x 4 8 x. x 9 8 x x 5 5 x Persamaan Logaritma Dalam bagian ini akan dibahas bagaimana mencari himpunan penyelesaian persamaan yang melibatkan fungsi logaritma. a log b c log d, apabila a = c maka b = d Untuk membantu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan logaritma, ingatlah sifat logaritma: b a b a log b dan log b dimana b > 0, sehingga bilangan,, 4, 5 bisa dituliskan sebagai berikut: 4 log log log 4 4 log log log 4

32 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan log log log log log log 4 Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian dari a. log x b. x x log log 6 c. log x 5x 0 log x 5 a. log x x log x log log x + = 8 x = 6 x = jadi himpunan penyelesaian = { } b. x x log log 6, solusinya harus memenuhi x - >0 dan x + 6 >0 x x log log 6 log x x log 6 log (x - )(x + 6) = 9 x + 4x 9 = 0 x + 4x = 0 (x + 7) (x - ) = 0 x = -7 atau x = untuk x = 7 x = 7 = -9 < 0 x = 7 bukan solusi untuk x = x = = > 0 x +6 = + 6 = 9 > 0 x = adalah solusi Jadi himpunan penyelesaian = { } c. log x 5x 0 log x 5, solusinya harus memenuhi x + 5x - 0 >0 dan x + 5 >0

33 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan x + 5x - 0 = x + 5 x + 5x x 0-5 = 0 x + x 5 = 0 (x +5)(x - ) = 0 x = -5 atau x = untuk x = 5 x +5 = ( 5) + 5 = -0 < 0 x = 5 bukan solusi untuk x = x + 5x - 0 = = > 0 x + 5 = + 5 = 4 > 0 Jadi himpunan penyelesaian = { } Latihan Tentukan himpunan penyelesaian berikut ini:. logx 6 5. log x 4. log x log x x x log : log 5. log x 7 log x 6. x x log log 7. log x 4x 0 log x 6 8. log x 6x 5 log x 5 x x x8 x8 9. log x 8x 4 log 6 x 0. log x x 5 log 4 x Pertidaksamaan Logaritma a a. log b log c Jika a > maka b c Jika 0 < a < maka b c karena log a akan bernilai negatif a a. log b log c Jika a > maka b c Jika 0 < a < maka b c karena log a akan bernilai negatif

34 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Contoh: Selesaikanlah pertidaksamaan logaritma berikut ini: a. x x log 5 6 b. x x log 5 4 a. x x log 5 6 solusinya harus memenuhi syarat x x log 5 6 log x 5x 6 0 x 5x 6 x 5x 4 0 (x + 4)(x + ) > 0 x < -4 atau x > - syarat x 5x 6 0 (x + )(x + ) > 0 x < - atau x > - irisan: (x < -4 atau x > -) (x < - atau x > -) = x < -4 atau x > - himpunan penyelesaian = { x x < -4 atau x > -} a. x x log 5 4 solusinya harus memenuhi syarat x - 5x + 4 > 0 log 5 4 log x x x - 5x + 4 < 4 x - 5x < 0 x(x -5) < 0 0 < x < 5 syarat x - 5x + 4 > 0 (x -)(x - 4) > 0 x < atau x > 4 irisan: (0 < x < 5) (x < atau x > 4) = 0 < x < atau 4 < x < 5 himpunan penyelesaian = {x 0 < x < atau 4 < x < 5} 4

35 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan. x x log 5 6. x x log 5 4. log x 6x 8 4. x x log log x 9 x 8 6. x x log log( x 4) log( x 8) log(x 6) 8. log x log(x 5) log log x x log(0 x) x log log( x ) Persamaan Harga Mutlak. x, untuk x 0 Definisi harga mutlak: x = x, untuk x < 0 Dari definisi diatas, maka setiap harga mutlak suatu bilangan bernilai positif (kecuali 0). Contoh =, -5 = - (-5) = 5 Karena harga mutlak selalu bernilai positif (kecuali 0), harga mutlak dapat juga dinyatakan: x = x Contoh: Tentukanlah himpunan penyelesaian a. 4x = b. 5x + = c. 5x - = x + 5 d. +(x -) = x - 7 a. 4x = untuk 4x 0 4x = x = ½ untuk 4x < 0-4x = x = -½ himpunan penyelesaian = { -½, ½ } b. 5x + = untuk 5x + > 0 5x + = 5x = - x 5 5

36 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan untuk 5x + < 0 -(5x + ) = -5x = + himpunan penyelesaian = 4 x 5 4, 5 5 c. 5x - = x + 5 5x x 5 5x x 5 5x x 5 5x - 0x + 9 = 9x + 0x + 5 5x - 9x - 0x - 0x = 0 6x - 60x -6 = 0 4(4x - 5x - 4) = 0 4x -5x - 4 = 0 (4x + )(x - 4) = 0 x = 4 atau x = 4 himpunan penyelesaian ={ 4, 4 } d. +(x -) = x - 7 +(x -) = x - 7 ( x -) = (x 7) 4x - 4x + = 9x - 4x x - 9x - 4x - 4x +-49 = 0-5x - 46x - 48 = 0 (kedua ruas di kali -) 5x + 46x + 48 = 0 himpunan penyelesaian ={- 6 5, -8 } (5x + 6) (x + 8) = 0 x = atau x = -8 6

37 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tentukan himpunan persamaan berikut ini: a. x = b. x + 5 = 6 c. x 6 = 9 d. 4 x = 5 e. x = 7 f. x - = x + g. x - = x + h. x -6 = x + 4 i. x - = x + 4 j. x - = x + Pertidaksamaan yang melibatkan bilangan mutlak Sifat-sifat pertidaksamaan harga mutlak. x a -a x a, a 0. x a x -a dan x a, a 0. x < a x < a 4. x 0 x dipenuhi semua harga 5. x > 0 x dipenuhi semua harga kecuali x = 0 6. x < 0 x { }, tidak ada nilai x yang memenuhi 7. x a dan a < 0, x dipenuhi semua harga 8. x + y x + y 9. x y x y 0. x - y x - z + y- z. x - y x + y Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini: a. x + > 5 b. x + < x c. x < 4 x + a. x + > 5 x + < -5 x + > 5 x < -7 x > x < -7/ x > himpunan penyelesaian ={ x x < -7/ x > } b. x + < x (x +) < (x ) 7

38 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 4x + 4x + < 4x - x + 9 4x + x < 9-6x < 8 x < ½ himpunan penyelesaian ={ x x < ½ } c. x < 4 x + (x ) < 4 x + x -4x + 4 < 4 x + x - 4x - 8 < 4 x Untuk x 0 x x - 4x - 8 < 4(x ) x - 4x - 8 < 4x 8 x - 8x < 0 x(x - 8) < 0 0 < x < 8 Irisan x 0 < x < 8 = x < 8 Untuk x < 0 x < x - 4x - 8 < 4(-x+ ) x - 4x - 8 < -4x + 8 x - 6 < 0 (x - 4)(x + 4) < 0-4 < x < 4 Irisan x < -4 < x < 4 = -4 < x < digabungkan: x < 8-4 < x < = -4 < x < 8 himpunan penyelesaian = { x -4 < x < 8} Latihan Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini: a. x - < 5 b. x - 7 < - c. 4 x - < 6 d. x + < x - e. x + < x - f. x x > g. 9 - x > 4x h. x x < 0 x i. 4 j. x 7 x x 8

39 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Latihan Tambahan.Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan berikut ini a. x + 8 = 0 b. 5 y = 7 c. 4z - 6 = 8- z d. 5a+ 0 = a 6 e. 8m + 6 = 0(m - ) f. (n - ) + n = 5(n + ) - (n + ) g. 5(s - ) + 4s - = s + (s - ) h. 5t t i. 5 p p j. q q Tentukanlah himpunan penyelesaian pada perstidaksamaan berikut ini a. x - 8 < 5 f. x 4x + < -x + 6 b. 4y + > g. (x + )6 < /(4x + ) c. (x - ) < 4x +8 h. x x 4 d. (4x - 6) 6(x + ) i. x x x 4 5 e. -x < 5x - < x + j. 4 x x. Apabila x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x + x 0. Tentukanlah nilai dari: a. x + x b. x x c. x x e. x x x d. x x x f. 4 4 g. x x x h. x x x 4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x + 8x + 0 = 0 adalah. 5. Tentukanlah akar-akar persamaan (x + ) + = x(x )! 6. Tentukanlah nilai k, agar persamaan k + x + (k + 4)x + = 0 memiliki dua akar real yang berlainan. 7. Jika salah satu satu persamaan kuadrat7x + (a - 6)x + (a - 5) = 0 adalah, tentukanlah nilai a! 9

40 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan 8. Persamaan x px + (p ) = 0 memiliki dua akar real yang sama, tentukalah nilai p! 9. Jika x dan x adalah akar-akar dari persamaan 5x x = 0, nilai dari + adalah.. 0. Jika x dan x adalah akar-akar dari persamaan 5x + 4x + 4 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x dan x adalah.... Akar-akar persamaan x + x + = 0 adalah x dan x. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x dan x adalah.... Akar-akar persamaan x 4x + 6 = 0 adalah x dan x. Berapakah nila x x?. Sebuah taman yang berbentuk persegipanjang memiliki keliling sama dengan 04 m dan luas 640 m. Lebar taman tersebut adalah.m. 4. Selama terjadi wabah flu di sebuah desa, dinas kesehatan menemukan bahwa total jumlah penderita flu (P) setelah t hari sangat mendekati rumus P = t + 6t + 06 dimana t hari. Berdasarkan rumus tersebut, maka 50 orang terjangkit flu ketika wabah telah berlangsung selama. hari. 5. Sebuah benda dijatuhkan pada ketinggian 0 m dari balon udara yang sedang naik dengan kecepatan 5 m/detik. Dengan menggunakan persamaan ketinggian benda yang bergerak vertikal, yaitu h = 5t + v t + h, maka waktu yang diperlukan oleh benda untuk mencapai tanah adalah. detik. 6. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 6x + 8 > 0 b. 4 x 5 0 x c. 6x x x 5-5x - 8 < 0 d. 0 x 9x 5 e. 56-9x - x 4x 4x 0 f. 0 x 5x g. x - x - 0 h. 4 x 5 x i. 4x x x + x - 0 j. x x 7. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini 40

41 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan x6 x4 x a. x 6x 8 x 6x 8 b. x x 4 x x 4 5 x7 6x7 x x c. x x x x d. x x x x 4 8 x x x e. x 4x 8 x 4x 8 e. x x 8 0 f. h. x x g. x x i x x 6 x x 0 8. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan berikut ini a. c. e. g. i. 9 x 8 b. 6 x 7 d. ( x) 5 5 f. ( x) x4 9 h. x x 5 5 j. ( x) x x x7 8 5x 4x 6 4 x x k. 4x x l. x 4 8 x m. x x 9 8 n. x x Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini a. log x b. x log c. log x log x d. x x log log e. logx 5 log x f. x x log 5 4 log g. log x 6x 7 log 0x 5 h. log x 5x 4 log 4x x x x5 x5 i. log x 0x 6 log 8 4x j. log x 8x 0 log 9 x 0. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini a. log x 4x b. x x log 5 4 4

42 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan c. log x 6x 8 d. x x log e. log x 6 x 8 f. x x log 6 68 g. log( x 4) log( x ) log(x 5) h. log( x ) log(x 5) log log x 0x 7 log(x 5) i. j. log x log(x 6). Tentukanlah himpunan penyelesaian pada persamaan-persamaan berikut ini: a. x = 4 b. c - 5 = 6 c. x = 7 d. 4 + d = 8 e. 5 x = 9 f. m - 5 = 4m - g. a + = a - h. n - 4 = n - 5 i. b + = b - 4 j. s - 6 = s + 5. Tentukanlah himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini: a. x - 4 < 5 b. y - 8 < 6 c. x + 7 d. 4y + 7 > 9 e. 7x + 8 f. z > 4 g. p + p - 5 < 5 h. z 7z - 5 < i. q 5q + > j. a - > 4 k. r + 5 < r - l. b - 6 b - 8 m. s + 7 < s - 4 n. c - 5 c + 6 o. t + > t - p. d - 8 < d - 5 4

43 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Bab. Trigonometri. Sudut Dalam bab ini kita akan mempelajari sudut-sudut yang dibatasi dua buah garis yang berada dalam bidang. Besarnya sudut dapat dinyatakan oleh satuan derajat atau satuan radian. Alat ukur sudut yang sering digunakan adalah busur derajat. Sudut yang diukur :. Derajat Satuan derajat sering juga digabungkan dengan menit ( ) dan detik( ), misalnya 0 o = 60 atau = 60 atau sehingga Beberapa ukuran sudut seperti 0 0, 90 0, 80 0 dan 60 0 ditunjukkan pada gambar dibawah ini. y y x x y y x x 4

44 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Isilah titik-titik berikut ini. 0 =.. =.. 0 = x 60 = 0 =0 x 60 = 700 Jadi 0 = 0 = = = 0x 60 Jadi 0 =. 5 0 = = = = = = ,5 0 = = = ½ 0 = = =.. 0. Radian Satu radian dinyatakan besarnya sudut yang disapu oleh jari-jari r sepanjang tali busur yang panjangnya r. Dalam penulisan, satuan sudut radian sering di singkat menjadi rad. y r rad r x rad 0 60 r rad 0 r rad (sudut satu putaran) 0 rad 80 (sudut setengah putaran) rad 90 0 (sudut seperempat putaran) 44

45 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh. Nyatakanlah sudut kedalam satuan derajat! = , Nyatakanlah sudut 70,6 0 kedalam satuan derajat menit detik! 70,6 0 = ,6 0 +0,0 0 = (0,6x60) +(0,0x600) = Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam radian a.0 0 b.45 0 a. b radian 0 0 0x radian x radian Nyatakanlah sudut-sudut berikut kedalam derajat a. 0 rad b. 5 4 rad a. 80 rad rad x 7, 97.4 b rad x 4 4 =

46 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan. Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a b c d Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat menit detik a. 60,5 0 b. 45,6 0 c. 65,8 0 d.0, 0.Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan radian a. 0 0 b c.5 0 d Nyatakanlah sudut-sudut dibawah ini kedalam satuan derajat a. 5 rad b. 8 rad c. rad d. 8 rad.4 Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-Siku Perhatikanlah segitiga siku-siku berikut ini. r y x Pada segi tiga siku-siku diatas: r adalah panjang sisi miring, y adalah panjang sisi tegak, x adalah panjang sisi mendatar. Berlaku hukum phytagoras: r = x + y, Jika kita buat sudut dibuat tetap maka berapapun ukuran segitiga siku-siku akan memiliki perbandingan yang tetap. Setiap perbandingan panjang antar sisi diatas memiliki nama khusus. Berikut adalah namanama khusus perbandingan tersebut. Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi miring disebut sin Perbandingan panjang sisi mendatar terhadap sisi miring disebut cos 46

47 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Perbandingan panjang sisi tegak terhadap sisi mendatar disebut tan Kebalikan dari sin disebut csc Kebalikan dari cos disebut Kebalikan dari sin sin disebut csc Semua nama-nama khusus perbandingan diatas dinamakan fungsi trigonometri. = tetap y r = tetap x r = tetap y x = tetap y x = tetap y x = tetap y x = tetap Selanjutnya kita dapat tuliskan: Sin α = y r csc α = y x Cos α = x r sec α = y x tan α = y x cot α = y x Contoh Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. 4 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 47

48 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a. panjang sisi miring: r 4 = 5 b. sin, 5 4 cos, 5 tan, 5 5 csc, 5 sec, 4 cot c. 4 sin, 5 cos, 5 4 tan, 5 5 csc, 4 5 sec, 4 cot 4 Latihan. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. c a b b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. n m o b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. p q r 48

49 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 4. Perhatikanlah sebuah segitiga siku-siku dibawah ini. 5 a. Hitunglah panjang sisi miring b. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot c. Hitunglah Sin, Cos, tan, csc, sec, cot 49

50 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri.5 Sudut-sudut Istimewa Sin 0 ½ / / Cos / / ½ 0 Tan 0 /.6 Mengenal Kuadran Sumbu koordinat kartesius dapat dibagi 4 daerah atau kuadran berdasarkan sudut polarnya. Sudut polar Posisi 0 0 < < 90 0 Kuadran I 90 0 < < 80 0 Kuadran II 80 0 < < 70 0 Kuadran III 70 0 < < 60 0 Kuadran IV 90 0 Kuadran II Kuadran I y r A 80 0 O x 0 0 = 60 0 Kuadran III 70 0 Kuadran IV Titik A (x, y) berada di kuadran I. Karena nilai x dan y positif, sehingga, nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut sebagai berikut sinα = y r bernilai + cosα = x r bernilai + sinα = y x bernilai + 50

51 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Dengan cara yang sama maka dapat ditentukan nilai positif atau negatif fungsi trigonometri untuk kuadran yang lain seperti ditunjukkan dalam table berikut ini (silahkan buktikan!). Kedududukan Nilai x Nilai y Sin Cos Tan Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV Mengubah ke sudut lancip Sudut yang bernilai diantara 0 0 sampai 90 0 dinamakan sudut lancip Kuadran II Sin ( ) = Sin Cos ( ) = -Cos Tan ( ) = -tan Kuadran II Sin Cos tan Kuadran III Sin ( ) = -Sin Cos ( ) = -Cos Tan ( ) = tan Kuadran IV Sin ( ) = -Sin Cos ( ) = Cos Tan ( ) = -tan Catatan: Fungsi-fungsi trigonometri bersifat periodik. Sin(60k+) = Sin Cos(60k+) = Cos tan(80k+) = tan Contoh:. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 0 0 b.cos 45 0 c.tan50 0 a. Sin 0 0 = Sin( ) = Sin 50 0 b.cos 45 0 = Cos( ) = -Cos 5 0 5

52 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri c.tan 50 0 = tan(80-0) = -tan 0 0. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 0 0 b.cos 5 0 c.tan 50 0 a. Sin 0 0 = Sin( ) = -Sin 0 0 b.cos 5 0 = Cos( ) = -Cos 45 0 c.tan 50 0 = tan( ) = tan Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut ke sudut lancip a. Sin 85 0 b.cos 90 0 c.tan 0 0 a. Sin 85 0 = Sin( ) = -Sin 75 0 b.cos 00 0 = Cos( ) = Cos 60 0 c.tan 0 0 = tan( ) = -tan Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini: a.sin(-75 0 ) b.sin(-60 0 ) c.cos(-40 0 ) d.cos(-0 0 ) e.tan(-80 0 ) f.tan(-00 0 ) a. Sin(-75 0 ) = Sin( )= - Sin75 0 b. Sin(-60 0 ) = Sin( ) = Sin(00 0 ) = Sin( ) = -Sin0 0 c. Cos(-40 0 ) = Cos( ) = Cos 40 0 d.cos(-0 0 ) = Cos( ) = Cos 0 0 = Cos( ) = -Cos50 0 e.tan(-80 0 ) = tan( ) = -tan80 0 f.tan(-00 0 ) = tan( ) = -tan

53 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan. Ubahlah sudut-sudut dari fungsi trigonometri berikut menjadi sudut lancip a. Sin 0 b. tan 95 c. Cos 75 d. Sin 800 e. tan60 f. Cos 00 g. Sin0 h. tan 900 i. Cos50 j. tan 400. Ubahlah menjadi sudut-sudut bernilai positif dan lancip fungsi trigonometri dibawah ini: a. Sin -0 0 b. tan c. Cos d. Sin e. tan f. Cos g. Sin -0 0 h. tan i. Cos j. tan Aturan Cosinus Untuk mendapatkan aturan Cosinus pada segi tiga sembarang, perhatikanlah segitiga dibawah ini: C b a A D c B Dari gambar diatas: AB = c, BC = a, AC = b. CD adalah garis tinggi segitiga yang tegak lurus sisi AB. a = CD + BD dengan menssubtitusikan CD = b - AD dan BD= c AD ke persamaan diatas, diperoleh a = b - AD + (c-ad) a = b - AD + c -cad+ad a = b + c - cad karena AD = b Cos A, diperoleh 5

54 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri a = b + c - bccos A...() dengan cara sama seperti diatas akan diperoleh: b = a + c ac Cos B...() c = a + b ab Cos C...() persamaan (), () dan () dinamakan aturan Cosinus. Aturan Cosinus a = b + c - bccos A b = a + c accos B c = a + b abcos C Contoh Diberikan segitiga ABC dengan panjang a = 4 cm dan b = 6 cm dan C=70 0.Tentukanlah panjang sisi c menggunakan aturan Cosinus! c = a + b abcos C a b abcos C Cos ,99, 6 Latihan.Tentukan panjang sisi-sisi lainnya pada segitiga ABC dengan aturan Cosinus, jika diketahui a. b = 5, c = 4 dan A = 00 0 b. a = 0, c = 4 dan B = 80 0 c. a = 6, c = dan C = 50 0 d. a = 8, c = 0 dan B =

55 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri e. b = 8, c = 0 dan A = Dalam segitiga ABC diketahui b = a + c ac, tentukanlah B!. Dalam segitiga ABC diketahui b a c ac tentukanlah A + C!.9 Aturan Sinus Untuk memahami bagaimana aturan Sinus diturunkan, perhatikanlah gambar segitiga dibawah ini: C b a A Karena CD = b Sin A dan CD = a Sin B maka b Sin A = a Sin B atau a b. Hasil Sin A Sin B lebih lengkap akan diperoleh apabila ditarik garis tingg dari B tegak lurus garis AC sehingga a b c akan didapat, Sin A Sin B SinC Aturan Sinus D c a b c R Sin A Sin b Sin C B.0 Luas segitiga sembarang L b c Sin A L ab SinC L ac Sin B Contoh.Diberikan segitiga ABC, A = 45 dan B = 80 dan a = 6, berapakah panjang b dan c? C = = 55 0, 55

56 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri panjang b: a Sin A b Sinb 6 b 0 0 Sin 45 Sin80 b 0 Sin Sin 45 0,9856 b 8,59 0,707 panjang c: c Sin C a Sin A c 6 Sin55 0 Sin Sin55 c 0 6 6,95 Sin 45. Hitunglah luas segitiga pada gambar dibawa ini C Q M 45 0 O A (a) B P (b) 5 0 R N (c) a. Luas segitiga ABC : b. Luas segitiga PQR: Sin 0,6 L Sin,7 L 0 c. Luas segitiga MNO : L 0 8 Sin 45 0 Latihan. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah panjang b dan c jika diketahui a. A = 0 0, B = 50 0 dan a = 6 b. A = 5 0, B = 0 0 dan a = 7 c. A = 0 0, B = 0 0 dan a = 8 d. A = 40 0, B = 00 0 dan a = 5 56

57 Modul Pra kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Diberikan segitiga ABC,tentukanlah B, C dan panjang sisi c, jika diketahui a. a =, b = 6 dan A = 40 0 b. a = 8, b = 8 dan A = 60 0 c. a = 6, b = 5 dan A = 0 0 d. a = 9, b = 4 dan A = Tentukan panjang sisi lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a. b = 6, c = 0 dan C = 50 0 b. a = 8, b = 5 dan B = 00 0 c. b = 0, c = 0 dan B = 80 0 d. a =, c = 9 dan A = Tentukanlah luas segitiga berikut ini: I K (a) J X 7 (b) Z Y R 4 S (c) 0 0 T 5. Tentukanlah luas segitiga berikut ini: I K 0 0 (a) 8 J X 0 (b) Z Y R 50 T S (c) 57

58 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perhatikan gambar lingakaran yang berpusat di titik (0,0) berikut ini: y P (rcos, rsin) (0, r Q (rcos, rsin) x Jarak antar dua titik dalam koordinat kartesius dapat dicari menggunakan rumus phytagoras, dan dinyatakan sebagai berikut: d ( x x ) ( y y ) Dengan demikian jarak PQ dapat dicari menggunakan rumus diatas, sehingga: cos cos sin sin PQ r r r r Cara lainnya dalam menentukan jarak PQ yaitu dengan menggunakan aturan Cosinus : PQ r r rrcos melalui subtitusi diperoleh: r r rrcos rcos rcos rsin rsin Dikuadratkan kedua ruas: r r rrcos rcos rcos rsin rsin cos coscos sinsin cos cos cos sin sin 58

59 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Berapakah cos ( + )? Cos ( + ) = cos ( - (-)) cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin cos cos cos sin sin Berapakah sin ( + )? sin( ) cos 90 cos 90 cos 90 cos 90 cos sin 90 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin Berapakah sin ( - )? sin ( - ) = sin ( +( - )) sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin Untuk latihan buktikan bahwa: tan tan. tan tan tan tan tan. tan tan tan 59

60 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh. Dengan menggunakan rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, tentukan: a. cos (A+B) b. cos (5A-7B). Tentukanlah nilai a. cos5 0 b. cos75 0. Sederhanakanlah: cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ).cos(a + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(a - B) = cos A cosb + sin A sin B a. cos(a + B) = cos A cosb - sin A sin B b. cos(5a-7b) = cos 5A cos7b + sin 5A sin 7B. a. coss5 0 = cos ( ) = cos 45 0 cos sin 45 0 sin b. cos 75 0 = cos( ) = cos 45 0 cos sin 45 0 sin cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ) Ingat : cos(a + B) = cos A cos B - sin A sin B Pada soal no.: A = ( a 0 ), B = (0 0 + a 0 ) sehingga cos ( a 0 ) cos (0 0 + a 0 ) sin ( a 0 ) sin (0 0 + a 0 ) = cos

61 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri. Perkalian Dua Fungsi Sekarang panggil kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus cos (A + B) = cosa cosb sina sinb cos (A - B) = cosa cosb + sina sinb cos (A + B) + cos(a - B) = cosa cosb + cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B - cos (A + B) cos (A - B) = - sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B + sin (A + B) + sin (A - B) = sin A cos B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B - sin (A + B) - sin (A - B) = cos A sin B Hasil dari penurunan diatas, diperoleh sebagai berikut cos A cos B = Cos(A + B) + Cos(A - B) - sin A sin B = Cos(A + B) - Cos(A - B) sin A cos B = Sin (A + B) + Sin (A - B) cosa sin B = Sin (A + B) - Sin (A - B) 6

62 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Contoh Ubahlah pernyataan berikut kedalam bentuk penjumlahan dan pengurangan a. 4cos (x) cos( x) b. 6cos40 0 cos 0 0 c. sin(4a) sin(a) d. 8 sin 50 0 sin 0 0 a.4cos x cos x = (cos x cos x) = (cos (x+x) + cos (x-x)) = (cos 5x + cos x) = cos 5x + cos x b.6cos 40 0 cos 0 0 = (cos ( ) cos ( )) = (cos(50 0 ) + cos (0 0 )) = cos cos 0 0 c. sin 4ASin A sin 4ASin A cos(4 A A ) cos(4 A A ) cos(7 A ) cos( A ) cos(7 A) cos( A) d. 8Sin 50 0 Sin 0 0 = -(-4 Sin 50 0 Sin 0 0 ) = -(Cos( )- Cos( ) = -Cos Cos 0 0 6

63 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Latihan.Sederhanakanlah pernyataan dibawah ini menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan a.4sin 5a sin a c.sin 5x sin x b.0 cos a cos a d. ½ cos 6y cos y e. sin m sin m f. cin m cos 5m. Tentukan nilai dari a. 0 0 sin 45 sin5 b. 6cos 5 cos 7 c sin sin 7 e. cos 5 cos 7 7.Tunjukkan bahwa: a. cos ( x 0 ) cos (5 0 + x 0 ) = -cosx b. sin ( x 0 ) sin (5 0 + x 0 ) = cosx d sin 5 sin 7 e. cos cos 7 7. Jumlah Dua Fungsi Misal A+ B = X dan A B =Y A + B = X A+ B = X A - B = Y + A B = Y - A = X + Y B = X - Y A= ½ (X+Y) B = ½ (X - Y) Dengan mensubtitusikan A+ B = X, A - B = Y, A= ½ (X+Y) dan B = ½ (X - Y) kedalam persamaan-persamaan ini Cos(A + B) + Cos(A - B) = cosa cosb Cos(A + B) - Cos(A - B) = -sina sinb Sin (A + B) + Sin (A - B) = sina cosb Sin (A + B) - Sin (A - B) = cosa sinb akan diperoleh 6

64 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri Cos X + Cos Y = cos ½ (X + Y) cos ½ (X - Y) CosX - CosY = -sin ½ (X + Y) sin½ (X - Y) Sin X + Sin Y = sin½ (X + Y) cos½ (X - Y) Sin X - Sin Y = cos½ (X + Y) sin½ (X - Y) Contoh Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari peryataan-pernyataan berikut ini: a.sin Sin 0 0 b.sin Sin40 0 c.cos Cos 0 0 d.cos Cos 5 0 Jawab a. Sin 0 Sin 0 Sin (0 0 ) C os (0 0 ) 0 0 Sin5 C os 5 Sin 60 Sin 40 Cos Sin b Cos 50 Sin0 0 0 c. Cos 50 0 Cos 0 0 Cos Cos Cos 40 Cos0 0 0 d. Cos 65 0 Cos 5 0 Sin Sin Sin50 Sin5 0 0 Latihan.Ubahlah kedalam bentuk perkalian dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. Sin Sin 0 0 b. Sin 0 0 Sin60 0 c. Cos Cos 40 0 d. Cos Cos

65 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri.4 Persamaan Identitas. sin a + cos a =. tan a + = sec a. cot a + = csc a 4. sin( a) = sin a 5. cos( a) = cos a 6. tan( a) = tan a 7. sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb 8. cos(a + b) = cosa cosb sina sinb 9. tan(a + b) = tana + tanb tana tanb 0. sin(a) = sina cosa. cos(a) = cos a sin a. tan(a) = tana tan a. sin a = 4. cos a = Contoh cos (a) + cos (a) Buktikan persamaan identitas berikut ini : a. Sin x= Sin x Cos x b. Cos x = Cos x - Sin x Tan c. + Cosx = (Cos x + ) (Cos x - ) d. Sin Tan a. Pembuktian Sin x = Sin x Cos x Sin x = Sin (x + x) = Sin x Cos x + Sin x Cos x = Sin x Cos x, terbukti 65

66 Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Trigonometri b. Pembuktian Cos x = Cos x - Sin x Cos x = Cos x - Cos x = Cos(x + x) Cos x = - Sin x = Cos x Cos x Sinx Sin x = Cos x - Sin x, terbukti = Cos x- ( - Cos x) = Cos x + Cos x = Cos x -, terbukti = ( - Sin x) - = - Sin x = - Sin x, terbukti c. Pembuktian + Cosx = (Cos x + ) (Cos x - ) + Cosx = + Cosx - = ( + Cos x) = Cos x- = 4Cos x- = (Cos x + ) (Cos x - ), terbukti tan d. Pembuktian sin tan Sin Tan Cos Tan Sin Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin 66