ANALISA KOMPLEKS. 1. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut. z = a + ib (1)
|
|
|
- Verawati Halim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISA KOMPLEKS. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan () berikut = a + ib () dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular - a : bilangan nyata - b : bilangan khayal Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut o Penjumlahan ( ) ( ) ( ) ( ) + = a + ib + a + ib = a + a + i b + b () o Pengurangan ( ) ( ) ( ) ( ) - = a + ib a + ib = a - a + i b - b () o Perkalian ( )( ) ( ) ( ) = a + ib a + ib = a a - b b + i a b + a b (4) o Pembagian ( ) ( ) ( ) ( ) a + ib a a + b b a b - a b = = + i a + ib a b a b + + Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut = a - ib (6) (5). Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada persamaan (7) berikut = r θ = r cos θ + i r sin θ (7) dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar - r : nilai mutlak atau modulus dari
2 - θ : argument dari ( radian atau derjat) Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut r = = a + b (8) Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut θ = arg = tan a b Dengan nilai utama pada persamaan () berikut π < θ π () Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan () s/d (4) berikut o o o o Perkalian ( ) ( ) = r r cos θ + θ + i sin θ + θ Pembagian r ( ) ( ) = cos θ- θ + i sin θ- θ r Pangkat Bulat ( ) (9) () () n n = r cos nθ + i sin nθ () Akar n n θ + kπ θ + kπ = r cos + isin n n Nilai n yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k =. (4). Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (5) berikut w = f( ) = u( x,y ) + iv( x,y ) (5) Suatu fungsi f( ) dikatakan mempuyai limit l untuk mendekati titik dituliskan dalam bentuk persamaan (6) berikut ( ) lim f = l (6) Turunan suatu fungsi kompleks f( ) di titik didefinisikan pada persamaan (7) berikut
3 ( ) ( ) ( ) f + - f = (7) ' f lim = l Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi kompleks adalah limit(expr, x, a) limit(expr, a) limit(expr) limit(expr, x, a, 'left') limit(expr, x, a, 'right') 4. Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (8) berikut ( ) x e = e cosy + i sin y (8) 5. Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada persamaan (9) s/d (4) berikut cos = sin = i ( i -i e + e ) ( i -i e - e ) (9) () Selain itu didefinisikan juga bentuk bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada persamaan () s/d (4) berikut sin tan = cos () cos cot = sin sec = cos cos = sin () () (4) Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (5) s/d (6) berikut cosh = sinh = ( e + e - ) ( e - e - ) (5) (6)
4 Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (7) s/d () berikut sinh tanh = cosh (7) cosh coth = sinh sech = cosh cosh = sinh (8) (9) () Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan () s/d (4) berikut cosh i = cos () sinh i = isin () cos i = cosh () sin i = isinh (4) 6. Logaritma dan Pangkat Umum Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (5) berikut ln = ln r + iθ (5) Nilai utama dari dari ln pada persamaan (6) berikut ln = ln + i arg (6) Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan (7) s/d (9) berikut ln ( ) = ln + ln (7) ln = ln - ln (8) ( ln ( )) ' = (9) Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (4) berikut ln a a = e (4) 4
5 7. Integral Kompleks Bentuk umum integral kompleks adalah f( ) d = F( ) F( ) (4) 8 Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks diantaranya Tabel. Fungsi Fungsi Analisa Kompleks Fungsi Keterangan abs(x) Harga mutlak bilangan kompleks angle(z) Sudut fase bilangan kompleks complex(a,b) Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal conj(z) Konjugate bilangan kompleks real(z) Bagian nyata bilangan kompleks imag(z) Bagian khayal bilangan kompleks 9. Contoh Soal dan Jawab Contoh : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (4) s/d (45) berikut Jawab : a. = + i4 (4) b. = - i4 (4) c. = - + i4 (44) d. 4 = - - i4 (45) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d (45) adalah Z = complex(,4) Z = complex(,-4) Z = complex(-,4) Z4 = complex(-,-4) Bentuk Polar disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) 5
6 disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(z4) Z4_Sud = angle(z4) Hasil program Z =. + 4.i Z =. - 4.i Z = i Z4 = i Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika = + j4 dan = 8 + j6 hitung operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut a. a = + (46) b. b = - (47) c. c = (48) d. d = Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (46) s/d (49) adalah Z = complex(,4) Z = complex(8,6) Operasi Aritmetik disp('penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z + Z disp('pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z - Z disp('perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z*Z disp('pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z/Z 6 (49)
7 Hasil program Z =. + 4.i Z = i Penjumlahan Bilangan Kompleks Za =. +.i Pengurangan Bilangan Kompleks Zb = i Perkalian Bilangan Kompleks Zc = +5.i Pembagian Bilangan Kompleks Zd = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (5) s/d (5) berikut a. a = + =. + i. (5) b. b = - = 5. i. (5) c. c = = i5. (5) d. d =.48 i.4 = + (5) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika = + i4, = 8 + i6 dan = + i tentukan a. (54) b. (55) c. (56) d. a = re( + ) (57) e. b = im( - ) (58) f. c = re( ) (59) g. d = im (6) 7
8 Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (54) s/d (6) adalah Z = complex(,4) Z = complex(8,6) Z = complex(,) _a = conj(z) _a = conj(z) _a = conj(z) Za = real(z + Z) b = imag(z - Z) c = real(z*z) d = imag(z/z) Hasil program Z =. + 4.i Z = i Z =. +.i _a =. - 4.i _a = i _a =. -.i Za = b = - c = d =.88 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (6) s/d (67) berikut a. =. - i4. (6) b. = 8. - i6. (6) c. =. i. (6) 8
9 d. a = re( + ) =. (64) e. b = im( - ) =. (65) f. c = re( ) =. (66) g. d = im =.88 Z = complex(,4) Z = complex(,-4) Z = complex(-,4) Z4 = complex(-,-4) Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z4 disp('bilangan Kompleks Z4 (Kutub)') 4_r = abs(z4) 4_sud_rad = angle(z4) Radian 4_sud_deg = (angle(z4)/pi)*8 Derjat 9 (67) Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (68) s/d (7) bentuk dalam bentuk kutub a. = + i4 (68) b. = - i4 (69) c. = - + i4 (7) d. 4 = - - i4 (7) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (68) s/d (7) adalah
10 Hasil program Z =. + 4.i Z =. - 4.i Z = i Z4 = i Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad =.58 _sud_deg = Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad = -.58 _sud_deg = Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad =.858 _sud_deg = 4.6 Bilangan Kompleks Z4 (Kutub) 4_r = 4. 4_sud_rad = _sud_deg = -4.6 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d (75) berikut a. b. c. d. = + i4 = = (7) = - i4 = = (7) = - + i4 = = (74) = - - i4 = = (75)
11 Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut a. = 4 9 (76) b. c. = 5 5 = π 45 (77) (78) d. = 5 4 (79) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (76) s/d (79) adalah disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 4 * cos((9/8)*pi); Z_b = 4 * sin((9/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 5 * cos((5/8)*pi); Z_b = 4 * sin((5/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = pi * cos((45/8)*pi); Z_b = pi * sin((45/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((/8)*pi); Z4_b = 5 * sin((/8)*pi); Z4 = complex(z4_a,z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z Z =. + 4.i Bilangan Kompleks Z Z = i Bilangan Kompleks Z Z =.4 +.4i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = i
12 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (8) s/d (8) berikut a. b. c. d. = 4 9 =. + i4. (8) = i.884 = (8) = π 45.4 i.4 = + (8) 4 = 5.5 i4. = + (8) Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut a. = (84) b. c. = (85) = π (86) d. = (87) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (84) s/d (87) adalah disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 4 * cos((75/8)*pi); Z_b = 4 * sin((75/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c = 5 * cos((5/8)*pi); Z_d = 5 * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ + Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 5 * cos((5/8)*pi); Z_b = 5 * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c = * cos((5/8)*pi); Z_d = * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ + Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian
13 Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = pi * cos((45/8)*pi); Z_b = pi * sin((45/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c =.5 * cos((75/8)*pi); Z_d =.5 * sin((75/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ - Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((/8)*pi); Z4_b = 5 * sin((/8)*pi); Z4_ = complex(z4_a,z4_b); Z4_c = 5 * cos((6/8)*pi); Z4_d = 5 * sin((6/8)*pi); Z4_ = complex(z4_c,z4_d); Z4 = Z4_ - Z4_; Z4_abs = abs(z4) Z4_sud_rad = angle(z4) Radian Z4_sud_deg = (angle(z4)/pi)*8 Derjat Hasil program Bilangan Kompleks Z Z_abs = Z_sud_rad =.55 Z_sud_deg =.485 Bilangan Kompleks Z Z_abs = 4.88 Z_sud_rad =.479 Z_sud_deg =.675 Bilangan Kompleks Z Z_abs =.7 Z_sud_rad =.694 Z_sud_deg = Bilangan Kompleks Z4
14 Z4_abs = 4. Z4_sud_rad =.68 Z4_sud_deg = 5 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (88) s/d (9) berikut a. b. c. d. = ' = (88) = ' + = (89) = π ' = (9) = = (9) Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (9) s/d (95) berikut a. ( )( a = 7 4 ) (9) b. ( )( b = π 7.5 ) c. d. = (9) ( π 67 ) ( 5 ) c = ( 7 ) ( 4 ) d Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (9) s/d (95) adalah disp('bilangan Kompleks Za') Z_abs =.; Z_sud = (7/8)*pi; Z_abs = 4.; Z_sud = (/8)*pi; Za_abs = Z_abs*Z_abs Za_sud = ((Z_sud + Z_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zb') Z_abs = pi; Z_sud = (7/8)*pi; Z4_abs =.5; 4 (94) (95)
15 Z4_sud = (/8)*pi; Zb_abs = Z_abs*Z4_abs Zb_sud = ((Z_sud + Z4_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (*pi); Z5_sud = (67/8)*pi; Z6_abs = 5.; Z6_sud = (/8)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zd') Z7_abs =.; Z7_sud = (7/8)*pi; Z8_abs = 4.; Z8_sud = (/8)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*8 derjat Hasil program Bilangan Kompleks Za Za_abs = 4 Za_sud = 59 Bilangan Kompleks Zb Zb_abs =.578 Zb_sud = 59. Bilangan Kompleks Zc Zc_abs =.885 Zc_sud = 47 Bilangan Kompleks Zd Zd_abs =.5 Zd_sud = -85 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (96) s/d (99) berikut a. a ( )( ) = = (96) b. b ( )( ) = π 7.5 = (97) 5
16 c. d. ( π 67 ) ( 5 ) = = c ( 7 ) ( 4 ) = =.5 85 d (98) (99) Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan () s/d () berikut a. -( 5 + i) + ( 8 + i ) = () b. - + ( + i ) = () c. + i4 () d. 8 i () Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan () s/d () adalah Soal a p = [ -(5 + i) (8+i)] roots(p) Soal b p = [ - ( + i)] roots(p) Soal c p = ( + i*4)^.5 Soal d p = (i*)^(/8) Hasil program p = i 8. +.i ans =. +.i. -.i p = i 6
17 ans =. -.i. +.i p =. +.i P4 = i Hasil program menunjukkan bahwa i i = (4) a. ( ) ( ) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (4) berikut =. + i. (5) =. - i (6) b. - + ( + i ) = (7) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (8) berikut =. + i. (9) =. - i () c. + i4=.+ i () d. 8 i =.696+ i.7 () Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui =. + i. dan =. - i5.. Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan () s/d (6) berikut a. ( ) i () b. ( ) i = (4) c. + (5) d. (6) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan () s/d (6) adalah 7
18 = complex(,); = complex(,-5); Soal a f_ = ^ - * + (8 + i) Soal b f_ = *^ - * + ( + i) Soal c f_ = ( + )^.5 Soal d f_4 = (*)^(/) Hasil program f_ = f_ = f_ = f_4 = 9. +.i i i i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d () berikut a. ( ) i = 9.+ i. (7) b. ( ) i = 7. + i4. (8) c. + =.7 i.6446 (9) d. =.688 j.56 () Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui =. + i5. () = i.. () = -4 + i. () Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (4) s/d () berikut a. f( ) = + (4) b. f( ) = + (5) 8
19 c. f( ) = + (6) d. f( ) = (7) e. f( ) = (8) f. f( ) = (9) g. ( ) f = h. ( ) f = i. ( ) f = ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d () adalah = complex(,5) = complex(,) = complex(-4,) soal a f_a = *^ + soal b f_b = *^ + soal c f_c = *^ + soal d f_d = /*^ soal e f_e = /*^ soal f f_f = /*^ soal g f_g = ( + )/( - ) soal h f_h = ( + )/( - ) soal i f_i = ( + )/( - ) () () () 9
20 Hasil program =. + 5.i = +.i = i f_a = i f_b = i f_c =. -46.i f_d = i f_e = -4.5 f_f = i f_g = i f_h =.8 -.6i f_i = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan () s/d (4) berikut a. f( ) = + = 6.+ i65. () b. f( ) = + = 7.+ i. (4) c. f( ) = + =. i46. (5) f = =.5+ i. (6) d. ( ) e. ( ) f = = 4.5 (7) f. ( ) g. ( ) h. ( ) f = 6. i8. = (8) ( + ) ( ) f =.769 i = (9) ( + ) ( ) f =.8 i.6 - = (4)
21 i. ( ) ( + ) ( ) f =.655 i.79 - = (4) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan (4) s/d (45) berikut a. f( ) = + di = i (4) b. f( ) = di = + i (4) 4 c. f( ) = ( - i ) di d. ( ) f = ( - i) i = (44) di = i (45) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d (45) adalah syms soal a f_a = *^ + * f_a_ = diff(f_a) f_a_ = subs(f_a_,-i) soal b f_b = /(*^4) f_b_ = diff(f_b) f_b_ = subs(f_b_,(i+)) soal c f_c = (^ - i)^ f_c_ = diff(f_c) f_c_ = subs(f_c_,(i/)) soal d f_d = ( - i)/(*) f_d_ = diff(f_d) f_d_ = subs(f_d_,*i) Hasil program f_a = *^ + * f_a_ = 9*^ + f_a_ = -7 f_b =
22 /(*^4) f_b_ = -/^5 f_b_ =.5 -.5i f_c = (^ - i)^ f_c_ = 4**(^ - i) f_c_ =. -.5i f_d = ( - i)/(*) f_d_ = /(*) - ( - i)/(*^) f_d_ = -.5i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (46) s/d (49) berikut a. f( i ) = + = -7 (46) b. f( + i ) =.5 j.5 4 = (47) i f = - i =. i.5 c. ( ) d. ( ) ( - i) (48) f i = =. i.5 (49) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari persamaanpersamaan (5) s/d (5) berikut a. ( ) lim f = lim + i i (5) lim f = lim b. ( ) 4 + i + i (5) c. ( ) ( ) lim f = lim - i d. ( ) lim f = lim --4i --4i ( - i) (5) di = i (5) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (5) s/d (5) adalah
23 syms soal a f_a = *^ + * o_a = complex(,) f_a_ = limit(f_a,o_a) soal b f_b = /(*^4) o_b = complex(,) f_b_ = limit(f_b,o_b) soal c f_c = (^ - i)^ o_c = complex(,) f_c_ = limit(f_c,o_c) soal d f_d = ( - i)/(*) o_d = complex(-,-4) f_d_ = limit(f_d,o_d) Hasil program f_a = *^ + * o_a = +.i f_a_ = (-)*i f_b = /(*^4) o_b =. +.i f_b_ = (*i)/65-7/5 f_c = (^ - i)^ o_c = f_c_ = (-)*i f_d = ( - i)/(*)
24 o_d = i f_d_ = i/4 + /4 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (54) s/d (57) berikut a. ( ) lim f = lim + = -i i i (54) b. lim f( ) = lim 4 + i + i c. ( ) ( ) 7 = + i (55) 5 65 lim f = lim - i = -i (56) d. ( ) lim f = lim --4i --4i ( ) - i = + i (57) 4 4 Contoh 7.: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (58) s/d (6) berikut + πi a. f( ) = e (58) -i b. f( ) = e (59) 4i c. f( ) = e (6) 4i d. f( ) = e + (6) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (58) s/d (6) adalah soal a _ = complex(,*pi) f_a = exp(_) soal b _ = complex(,-) f_b = exp(_) soal c _ = complex(-,-4) f_c = exp(_) soal d _4 = complex(-,4) f_d = exp(_4) 4
25 Hasil program _ = i f_a = i _ = -.i f_b = i _ = i f_c = i _4 = i f_d = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (6) s/d (65) berikut + πi a. f( ) = e = i. (6) -i b. f( ) = e =.54 - i.845 (6) 4i c. ( ) f = e =.5+ i.77 (64) + 4i d. ( ) f = e =.5 i.77 (65) Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (66) s/d (69) berikut + πi a. f( ) = re ( e ) (66) -i b. f( ) = re( e ) (67) 4i c. f( ) = im( e ) (68) 4i d. f( ) = im ( e + ) (69) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (66) s/d (69) adalah soal a _ = complex(,*pi); f_a_ = real(exp(_)) soal b 5
26 _ = complex(,-); f_b_ = real(exp(_)) soal c _ = complex(-,-4); f_b_ = imag(exp(_)) soal d _4 = complex(-,4); f_b_4 = imag(exp(_4)) Hasil program f_a_ =.855 f_b_ =.54 f_b_ =.77 f_b_4 = -.77 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d (7) berikut + πi a. f( ) = re( e ) =.855 (7) -i b. f( ) = re( e ) =.54 (7) 4i c. ( ) ( ) f = im e =.77 (7) + 4i d. ( ) ( ) f = im e =.77 (7) Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (74) s/d (77) berikut a. cos( + i4 ) (74) b. cos( 6 - i8 ) (75) c. sin( i ) (76) d. sin( i) (77) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (74) s/d (77) adalah soal a _ = complex(,4); f_ = cos(_) 6
27 Soal b _ = complex(6,-8); f_ = cos(_) Soal c _ = complex(,); f_ = cos(_) Soal d _4 = complex(-,-); f_4 = cos(_4) Hasil program f_ = i f_ =.4e e+i f_ =.76 f_4 = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (78) s/d (8) berikut a. cos( + i4) = i.85 (78) b. cos( 6 - i8) = 4. i46.46 (79) c. sin( i) =.76 (8) d. sin( i) = i9.9 (8) Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada persamaan (8) s/d (85) berikut a. cosh( + i4 ) (8) b. cosh( 6 - i8 ) (8) c. sinh( i ) (84) d. sinh( i) (85) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (8) s/d (85) adalah soal a _ = complex(,4); 7
28 f_ = cosh(_) Soal b _ = complex(6,-8); f_ = cosh(_) Soal c _ = complex(,); f_ = cosh(_) Soal d _4 = complex(-,-); f_4 = cosh(_4) Hasil program f_ = i f_ = -.95e e+i f_ = -.46 f_4 = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (86) s/d (89) berikut a. cosh( + i4) = i7.586 (86) b. cosh( 6 - i8) = 9.5 i99.57 (87) c. sinh( i) =.46 (88) d. sinh( i) =.745+ i.58 (89) Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (9) s/d (9) berikut a. ln( + i4 ) (9) b. ( ln ) ' (9) c. ln( + i4)( + i ) (9) d. ( 6 + i) ( ) ln + i4 (9) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (9) s/d (9) adalah 8
29 syms soal a _ = complex(,4); f_ = log(_) Soal b _ = log(^); f_ = diff(_) Soal c a = complex(,4); b = complex(,); f_ = log( a) + log( b) Soal d _4_a = complex(6,); _4_b = complex(,4); f_4 = log(_4_a) - log(_4_b) Hasil program f_ = i f_ = / f_ = i f_4 = i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (94) s/d (97) berikut a. ln( + i4) =.694+ i.97 (94) b. ( ) ' ln = (95) c. ln( + i4)( + i) =.44 + i.44 (96) d. ( 6 + i) ( ) ln.466 i i4 = (97) 9
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran
BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Bab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
FUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Teknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
Fungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Bab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z
MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan
A B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2
INTEGRASI Matematika Industri I
INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris
FUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Sistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
DASAR-DASAR MATLAB. Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya.
DASAR-DASAR MATLAB Seperti bahasa pemrograman lainnnya, MATLAB JUGA memiliki metode dan symbol tersendiri dalam penulisan syntax-nya. Dalam pemrograman MATLAB dikenal hanya dua tipe data, yaitu Numeric
BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
BAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
Bab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
FT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
PRAKTIKUM 1. Dasar-Dasar Matlab. (-), perkalian (*), pembagian (/) dan pangkat (^). Simbol ^ digunakan untuk
PRAKTIKUM 1 Dasar-Dasar Matlab 1 Operator Dasar Aritmatika Operator dasar aritmatika antara lain adalah penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (*), pembagian (/) dan pangkat (^). Simbol ^ digunakan
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
PRAKTIKUM 2 PENGENALAN PROGRAM APLIKASI MATEMATIKA MAPLE 7
PRAKTIKUM PENGENALAN PROGRAM APLIKASI MATEMATIKA MAPLE 7. MINGGU KE :. PERALATAN : LCD, E-LEARNING. SOFTWARE : MAPLE. TUJUAN Mahasiswa dapat: Menggunakan konstanta, bilangan kompleks, bilangan dasar (basis),
BAB I BILANGAN KOMPLEKS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada
Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
Bilangan dan Fungsi Kompleks
Bab 5 cakul fi5080 by khbasar; sem 00-0 Bilangan dan Fungsi Kompleks Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kompleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.
FUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Kalkulus II Intgral Fungsi Transndn Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. www.kopujiyanto.wordprss.com kop003@yahoo.com 08 78 399 Matri Intgral Fungsi Logaritma dan Eksponn Intgra Invrs Fungsi Trigonomtri Intgra
Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.
Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya
Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013
Tinjauan Ulang 23 Juni 2013 Daftar Isi 1 Logika Matematika, Himpunan, Relasi, dan Pemetaan 3 1.1 Logika Matematika................................ 3 1.2 Formalisme Himpunan..............................
(a) (b) Gambar 1. garis singgung
BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis
Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
BAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK
BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q
PRAKTIKUM 1. Dasar-Dasar Matlab. (-), perkalian (*), pembagian (/) dan pangkat (^). Simbol ^ digunakan untuk
PRAKTIKUM 1 Dasar-Dasar Matlab 1 Operator Dasar Aritmatika Operator dasar aritmatika antara lain adalah penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (*), pembagian (/) dan pangkat (^). Simbol ^ digunakan
LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari
LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah
BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB
BAGIAN 1 SINTAK DASAR MATLAB Pada bagian 1 ini, akan diuraikan tentang bagaimana mendefinisikan data, operasi data dan teknik mengakses data pada Matlab. Untuk lebih memahami, pembaca sebaiknya mecobanya
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Bab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
FUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto
Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,
Bab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;
Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang
Hendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Fungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma
Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Fungsi Invrs Misalkan : D R a y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar
8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)
KATA PENGANTAR. Penulis. Raizal Dzil Wafa M.
i KATA PENGANTAR Buku ini dibuat untuk memudahkan siapa saja yang ingin belajar MATLAB terutama bagi yang baru mengenal MATLAB. Buku ini sangat cocok untuk pemula terutama untuk pelajar yang sedang menempuh
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
a b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40.
Soal Babak Penyisihan OMITS 0 Soal Pilihan Ganda. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif O, M, I, T, S yang memenuhi : O + M + I + T + S = Dimana O, M 4, I 5, T 6, dan S 7, adalah... a. 80 b. 80
1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1
PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)
TRIGONOMETRI. 5. tan (A + B) = tan A.tan. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. 6. tan (A - B) = Sin α = r. Rumus-rumus Sudut Rangkap :
TRIGONOMETRI 5. tan (A + B) tan A + tan B tan A.tan B Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen r Hubungan Fungsi Trigonometri :. sin +. tan. sec 4. cosec 5. cotan 6. 7. cos sin cos cos sin cos sin tan + cot
Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
KATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi