MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS"

Transkripsi

1 MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan bulat berpangkat) beserta jenis dan operasi-operasinya. Perhatikan skema bilangan dibawah ini: Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Positif O Bilangan Bulat Negatif Bilangan Prima 1 ( satu ) Bilangan Komposit Gambar 1. Skema Bilangan 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

2 Dari gambar 1. Dapat kita perhatikan bahwa bilangan kompleks adalah bilangan yang menduduki tingkat tertinggi dari hierarki bilangan. Berdasar skema diatas itu pula dapat kita bedakan macam-macam dari bilangan BILANGAN RIIL Ada empat operasi dasar untuk bilangan riil yang sering dipergunakan, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk sebarang bilangan riil a dan b, jumlahan, selisih dan perkalian juga merupakan bilangan riil, akan tetapi untuk pembagiannya tidak harus bilangan riil. Sifat-sifat aljabar bilangan riil: a. Assosiati untuk penjumlahan dan perkalian (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) b. Komutatif untuk penjumlahan dan perkalian a + b = b + a a x b = b x a c. Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian a + 0 = 0 + a a x 1 = 1 x a = a d. Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF Definisi Untuk bilangan bulat positif dan sebarang bilangan real, bilangan mempunyai arti: (sebanyak faktor yang sama). Bilangan disebut basis dan bilangan disebut pangkat atau eksponen = 5 = 65. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = = 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = 3 BILANGAN BERPANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Definisi Jika bilangan tak nol, maka = 1. Sedangkan jika bilangan bulat dan tak nol, maka =. Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

3 = 1 3 = 3 = 3. 4 = = Bilangan berpangkat bulat baik positif maupun negatif memiliki sifat-sifat sebagai berikut: = 4 = 4. = 3 = 3 3. ( ) = = = = 4. (3 4) = = Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat adalah: Jika bilangan dan bilangan bulat dan sebarang bilangan real tak nol, maka: 1. =. =, dengan ( ) =. 4. ( ) =. 5. =, = 4 = 4. = 3 = 3 3. ( ) = = 4. (3 4) = ( ) = NOTASI ILMIAH Untuk bilangan yang sangat besar maupun pada bilangan yang sangat kecil dapat dibuat notasi ilmiahnya. Definisi Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam bentuk 10 dengan 1 10 dan : bilangan bulat. Catatan : perpindahan letak tanda koma (desimal), yaitu pergeseran satu angka kekiri berarti memunculkan satu faktor 10 1, sedangkan pergeseran kearah kanan berarti memunculkan satu faktor Notasi Ilmiah dari adalah =,5 10. Notasi Ilmiah dari 0, adalah 0, = 3, Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

4 Selain bilangan berpangkat bulat maupun nol ada juga bilangan berpangkat pecahan yang salah satunya akan dibahas pada subbab bentuk akar berikut ini. SOAL-SOAL LATIHAN Tuliskan dalam notasi eksponen: (a) = (b). = (c) = (d). ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = (e). ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) = (f). = (g). =. Hitunglah nilai dari: (a). (5) = (b). ( 7) = (c). ( 5 ) = (d). ( 3 ) = (e). ( ) = (f). = (g). = (h). = (i). = 3. Selesaikanlah: (a). ( + )( + ) = (b). ( + )( ) = (c). ( ) = (d). ( ) = (e). ( ) = (f). ( + )( ) = (g). (3 + ) = (h). ( ) ( + ) = (i). ( + ) ( ) = 4. Sederhanakanlah: (a). = (b). = (c). = (d). = (e) = (f). = 5. Nyatakan dalam bentuk bukan pecahan: a. b. ( ) c. ( ) d. e. f. ( ) g. h. ( ) i. ( ) 6. Tuliskan ke dalam bentuk ilmiah: a b. 0, c. 0, d. 0, f Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

5 1.3. BENTUK AKAR Definisi Akar (kuadrat) suatu bilangan menjadi bilangan semula yaitu bentuk : adalah bilangan positif yang kalau dipangkatkan dua,. Secara notasi matematika dapat dinyatakan dalam = jika = dan adalah bilangan positif. Tulisan dibaca akar kuadrat dari. Operasi pada bentuk akar kuadrat dari dapat di tuliskan dalam bentuk sifat-sifat berikut: Sifat Untuk bilangan real berlaku: 1. = 0. = < 0 ( h h ) Sebagaimana pada bilangan yang lain juga dikenal operasi aljabar perkalian dan penjumlahan bilangan bentuk akar. Sifat Untuk setiap, b dan c bilangan positif berlaku: 1. = ( ). = ( ) 3. + = ( + ) ( h ) 4. = ( ) ( ) 5. Perkalian Istimewa: a. ( + )( ) = b. ( ± ) = ± + 1. Hasil dari 64 = 8 karena 8 = 64. Hasil dari 15 = 5, karena 5 = Hasil dari 16 = 4 16 = 4, sedangkan 16 tidak ada = 4 3 = 3 = = 5 = = = = = = = Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

6 RASIONALISASI BENTUK AKAR Rasionalisasi bentuk akar adalah mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi penyebut yang tidak berbentuk akar. Ada macam cara untuk merasionalisasi bentuk akar yaitu: 1. Mengalikan bagian pembilang dan penyebut pada pecahan dengan penyebutnya.. Mengalikan masing -masing pembilang dan penyebut pada pecahan dengan sekawan dari penyebutnya. Contoh: 1. Rasionalkan bentuk. Jawab: = = = = 10. Rasionalkan bentuk akar dari Jawab:. = = ( ) = = + 5 AKAR PANGKAT RASIONAL Bagian ini akan dibahas bagaimana menyelesaikan perpangkatan dengan bilangan pecahan. Definisi Jika dan adalah bilangan asli positif maka: 1. arti dari adalah. arti dari = = 3. arti dari = ( ) = Contoh: a. 7 = 3 karena 3 = 7 b. 15 = 5 karena ( 5) = 15 c. (3) = (3 ) = 3 = ( 3) NILAI MUTLAK Definisi Nilai mutlak suatu bilangan real a dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan: 0 = < 0 6 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

7 Berikut ini diberikan teorema-teorema dari nilai mutlak. Teorema Untuk setiap bilangan real dan maka berlaku: 1. =. 0 nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negatif. 3. = suatu bilangan dengan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama = nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak. 5. = nilai mutlak dari pembagian adalah pembagian nilai mutlak. Dapatkan himpunan penyelesaian dari : a. 5 = 11 b. ( 1) = 5 Penyelesaian : a. Jika 5 = 11, maka i). 5 = 5, = 11 Þ = 3 ii). 5 = (5 ), 5 0 (5 ) = 11Þ = 8 Jadi himpunan penyelesaiannya: -3,8 Cara lain: 5 = 11 Þ (5 ) = 11, dikuadratkan menjadi (5 ) = 11 (5 + 11)(5 11) = 0 (16 )( 6 ) = 0 = 8, = 3 b. ( 1) = 5, dikuadratkan : ( 1) = 5 ( 1) 5 = 0 ( 1 + 5)( 1 5) = 0 ( + 4)( 6) = 0 = 4, = 6 Jadi Himpunan penyelesaiannya : -4,6 7 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

8 1. Dapatkan akar kuadrat dari: a. 64 b. 56 c. 65 d. 576 e f. 45 g h. 809 i j Sederhanakanlah: a = b = c = d = e = f = 3. Tentukanlah nilai dari: a. 3 6 = b. 4 5 = c = d. = e = f = g = h. = 4. Rasionalkan bentuk akar berikut ini: a. = b. d. g. = c. = = e. = f. = = h. = f. 5. Tentukan hasilnya: a. 64 = b. 7 = c. = d. e. (49 ) = f. ( ) = g. = h. ( ) = i. = 6. Tuliskan ke dalam bentuk yang lebih sederhana: a. 7 = b. = c. 15 = d. = e. = f. + = g. ( ) 7. Hitunglah nilai jika : a. = 5 b. = 56 c. = 7 d. = 6 e. = SOAL-SOAL LATIHAN 1.3 = h. = i. = = 8 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

9 1.4. KETERBAGIAN / PEMBAGIAN Suatu pembagian di notasikan dengan artinya a b. c (a sama dengan b kali c). a c (baca: a dibagi b sama dengan c), b Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan: 0 1. Jika b 0 maka 0 karena 0 b. 0 b a. Jika a 0 maka tak punya arti karena andaikan saja 0 dan tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi bentuk tak tentu karena andaikan saja n 0 0 maka yang memenuhi tidak tunggal. 4. a 0, dengan a adalah bilangan berhingga. Contoh: a 0 m maka a 0. m 0 0. n berarti nilai n Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Untuk mendapatkan FPB dari dua bilangan atau lebih adalah sbb: Dicari dulu faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu. Bilangan paling besar dari faktor-faktor persekutuan itu merupakan FPB dari bilangan tersebut. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Untuk mendapatkan KPK dari dua bilangan atau lebih adalah sbb: Dicari dulu kelipatan dari bilangan-bilangan itu. Kemudian tentukan kelipatan persekutuannya. Bilangan paling kecil dari kelipatan persekutuan itu merupakan KPK dari bilangan tersebut. 9 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

10 Contoh: Dapatkan FPB dan KPK dari 1 dan 18. Penyelesaian: Faktor dari 1: 1,, 3, 4, 6, 1 Faktor dari 18: 1,, 3, 6, 9, 18. Jadi FPB dari 1 dan 18 adalah 6. Kelipatan dari 1: 1, 4, 36, 48, 60, 7, 84,. Kelipatan dari 18: 18, 36, 54, 7, 90, Jadi KPK dari 1 dan 18 adalah 36. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Misal:, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 3. Jadi bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai faktor adalah bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi dengan faktor bilangan prima, cara mendapatkan FPB dan KPK adalah sbb: 1. Setiap bilangan diuraikan menjadi pergandaan faktor-faktor primanya.. FPB adalah pergandaan faktor yang bersekutu dengan pangkat terkecil yang ada disetiap bilangan. 3. KPK adalah pergandaan semua faktor yang ada, dimana jika ada faktor yang sama harus diambil satu yang pangkatnya tertinggi. Contoh: Dapatkan FPB dan KPK dari 1 dan 18. Penyelesaian: 1 =.. 3 =. 3; 18 = =. 3. Sehingga: FPB =. 3 = 6 KPK =. 3 = 36 OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN Penyederhanaan Pecahan: Contoh = = = = = Penjumlahan dan pengurangan pecahan: Contoh = = = 9 36 = 10 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

11 Caranya: 1. menyamakan penyebut dengan mencari KPK dari penyebut. KPK dari 1 dan 18 adalah 36.. Jika penyebut sudah sama, maka pembilangnya dijumlahkan, tetapi penyebut tetap. Contoh = = = Contoh = = SOAL-SOAL LATIHAN Sederhanakan pecahan berikut : a. b. c. d. e. f.. Selesaikan : a. + = b. + = c. + = d. + = e. + = f. + = g. + = h. + = 11 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

12 MODUL Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Hal ini didasari akan seringnya sebuah pertanyaan/ permasalahaan dari sebuah pertanyaan pangkat berapa sama dengan ini. Dengan logaritma, perhitungan bilangan yang sangat besar dapat disederhanakan..1. PENGERTIAN LOGARITMA Logaritma adalah invers bilangan berpangkat, seperti pada definisi berikut ini: Untuk bilangan positif dan 1 maka arti dari log = adalah =. Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan : 1. adalah basis/bilangan pokok logaritma dan adalah hasil logaritma.. positif maka > 0 sehingga juga positif. 3. tidak boleh sama dengan = 1 maka log 1 = 0 1. log 100 =. log 16 = 4 3. log 0,00001 = 5 4. log = 5. log 8 =.. SIFAT-SIFAT LOGARITMA Untuk sebarang bilangan positif > 1, > 0 dan > 0 maka berlaku: 1. log(. ) = log + log. log = log log 3. log = log 4. log = 5. jika diketahui 0 < < maka log < log 6. jika diketahui 0 < < maka log > log 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

13 SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikan soal-soal berikut ini: 1. Dapatkan nilai dari logaritma berikut: a. log 64 d. g. = b. 7 1 log log15 log = e. 81 log 3 7 log 64 = h. 9 j. 10, = k. 10 = 1 5 = c. log15 log = f. 18 = = 1 = i. 10 =. Jika log = 0,31 dan log 3 = 0,48, dapatkan nilai dari logaritma berikut:. log 18 =. log =. log 36 =. log 1 =. log 144 =. log 10 =. log 7,5 = h. log 15 = i. log 3600 = 3. Hitunglah: a. log 5 log log 6 = b. log 6 log 5 log 6 = c. log 5 log 5 log = d. log 5 log log 6 = 4. Nyatakan kedalam bentuk dan jika log 3 = dan log 5 = untuk logaritma berikut ini:. log 30 =. log 50 =. log 150 =. log 15 =. log =. log =. log 0,15 = h. log 300 =,. log 0,3, =. log 600 = 13 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

14 MODUL 3 Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan atau =,. Sedangkan pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda,,,,. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya Persamaan Persamaan Linier Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu. 1. 6x + 1 = 0 ( persamaan linier satu variabel ). 8x + 4y = 6 ( persamaan linier dua variabel ) 3. x + 3y 5z =0 ( persamaan linier tiga variabel ) Bentuk umum persamaan linier : ax + b = 0 dengan a 0 dimana a adalah koefisien x dan b adalah konstanta. Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linier satu variable: 1. Kelompokkan variable pada satu sisi dan sisi lainnya untuk konstanta. Jumlahkan / kurangkan variable maupun konstantanya 3. Bagi konstanta dengan koefisien variable. Tentukan nilai x dari persamaan linier 8x 3 = x + 9 Penyelesaian : 8x 3 = x + 9 8x - x = x = 1 x = = Persamaan Kuadrat Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan variable tak diketahui adalah + + = Dengan a,b,c bilangan diketahui dan 0. Bilangan disebut koefisien dari bagian kuadrat, b disebut koefisien dari bagian linier dan c merupakan konstanta atau tetapan. 14 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

15 Akar-akar Persamaan Kuadrat Ada beberapa cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat. Diantaranya adalah : a. Memfaktorkan. Dari persamaan kuadrat + + = 0 dapat difaktorkan menjadi bentuk ( + )( + )=0 Sehingga didapatkan dua kemungkinan yaitu ( + )=0 atau ( + )=0 Dengan demikian akan didapatkan akar-akar persamaan = dan =. Dapatkan akar persamaan dari = 0 Penyelesaian : Pertama dapatkan dulu faktor dari 3, yaitu 1 dan 3. Selanjutnya jumlah keduanya harus sama dengan 4 dan hasil perkaliannya sama dengan 3. Jadi 1+ 3 = 4 dan 1 x 3 = 3. persamaan dapat diubah dulu dalam bentuk ( + 1)( + 3)= 0 ( + 1) = 0 ( + 3) = 0 Sehingga diperoleh =-1 dan =-3. b. Rumus Kuadrat /Rumus ABC Akar persamaan kuadrat + + = 0, 0, dapat dicari dengan rumus, = ± Dapatkan persamaan kuadrat dari 4 6 = 0 Penyelesaian: Persamaan diatas mempunyai a=, b=-4 dan c=-6. Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh, = ( )± ( )... = ± = ± = ± =1± Sehingga diperoleh =3 dan = Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

16 SOAL-SOAL LATIHAN Dapatkan akar-akar persamaan kuadrat dibawah ini dengan menggunakan faktorisasi dan rumus ABC : a. x 5x + 6 = 0 b. x 7x + 1 = 0 c. 1x 7x + 1 = 0. Dengan bantuan rumus ABC selesaikan persamaan : a. 5 6 = 0 b = Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu. Bentuk umum pertidaksamaan linier dengan satu variable : + < 0. ( >,,, ) Dimana a adalah koefisien dan b adalah konstanta. Sifat-sifat Pertidaksamaan. 1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu bilangan tertentu a. Jika a > b a + c > b + c ; a c > b c b. Jika a < b a + c < b + c ; a c < b c. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dengan suatu bilangan positif a. Jika > dan > 0 > dan > b. Jika < dan > 0 < dan < 3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dengan suatu bilangan negatif a. Jika > dan < 0 < dan < b. Jika < dan < 0 > dan > 4. Pemangkatan pertidaksamaan a. Jika > > 0 > > 0, > > 0, > > 0 dan seterusnya. Secara umum > ; bilangan asli b. Jika < < 0 > > 0, < < 0, > > 0, dan seterusnya. c. Secara umum : > ; bilangan genap dan < ; bilangan ganjil 16 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

17 5. Sifat sifat lain : a. Jika > dan < maka > b. Jika > dan > maka + > + c. Jika > > 0 atau < < 0 maka < d. Jika > 0 maka > 0 Dengan sifat-sifat pertidaksamaan diatas, kita bisa menyelesaikan atau mendapatkan himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan. Dapatkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x < x + 6. Penyelesaian : 3x < x + 6 3x - x < x + 6 x x < 6 x + < 6 + x < 8 x < x< 4 Pertidaksamaan Pecahan Linier Bentuk umum : ( ) ( ) > 0, ( <,,, ) dengan syarat : ( ) 0 Langkah-langkah penyelesaian: 1. Ruas kanan dinolkan. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut pada ruas kiri 3. Gambar pada garis bilangan 4. Tentukan himpunan penyelesaiannya. x 5 Dapatkan 1 0 5x Penyelesaian: x 5 5x 0 5x 7x 3 0 5x, berdasar langkah ke 3 didapatkan 3 x x 7, 5 17 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

18 + - + Jad Himpunan penyelesaian : 3 x 7 x 5 Pertidaksamaan Kuadrat Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah : a. Ubah Pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat. b. Dapatkan akar-akar persamaan kuadra tersebut. c. Buatlah gambar pada garis bilangan. d. Tentukan himpunan penyelesaiannya. Selesaikan pertidaksamaan x 5x 6 < 0 Penyelesaian : Ubah menjadi persamaan kuadrat 5 6 = 0 Dengan faktorisasi didapat akar-akar persamaan ( )( 3) = 0 = = Jadi Himpunan penyelesaiannya : < < 3 Pertidaksamaan Bentuk Akar Pertidaksamaan bentuk akar a. Jika f ( x) a untuk > 0 ( ),dengan syarat ( ) 0. b. Jika f ( x) a untuk < 0 = c. Jika f (x) g (x) ( ) < ( ), dengan syarat ( ) 0, ( ) 0 Tentukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan berikut : 1. 4x < 3. x 1 3x 4 Penyelesaian: 1. 4 < 9 4 < 11 < Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

19 SOAL-SOAL LATIHAN 3. Selesaikan soal-soal berikut: 1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x x 8 0 untuk x R adalah x 5 x 6 x 11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah Himpunan penyelesaian dari 3 3 x 3x 5 x 3 4. Himpunan penyelesaian dari x log 9 x log x ialah adalah 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log x x 3 6. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan x 3x 4 x 1 7. Nilai yang memenuhi 3 9 adalah 5 1 x x 9 1 adalah x x 3 7 3x 7x Nilai-nilai yang memenuhi adalah x 3x berlaku untuk x 3x x 4x Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 9 adalah x x 4 19 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

20 MODUL 4 TRIGONOMETRI 4.1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI C DEFINISI Perbandingan Trigonometri a. Sin = = A α B b. Cos = c. Tan = Tan = = = atau d. Cot = (dibaca cotangen) e. Sec = (dibaca secan) f. Csc = (dibaca cosecan) Hubungan antara ukuran Sudut dan Radian Satu radian ekivalen dengan Dan 1 ekivalen dengan p = p p rad. Nilai p berkaitan dengan3,14 SIFAT-SIFAT Perbandingan Trigonometri a. Sudut di kuadran II Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = -Cos Tan (180 - ) = -Tan Cot (180 - ) = -Cot Sec (180 - ) = -Sec Csc (180 - ) = Csc 0 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

21 b. Sudut di kuadran III Sin (180 + ) = -Sin Cos (180 + ) = -Cos Tan (180 + ) = Tan c. Sudut di kuadran IV Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = -Cos Tan (360 - ) = -Tan d. Sudut dengan kelipatan n Sin ( + n. 360 ) = Sin Cos ( + n. 360 ) = Cos Tan ( + n. 360 ) = Tan Cot (180 + ) = Cot Sec (180 + ) = -Sec Csc (180 + ) = -Csc Cot (360 - ) = -Cot Sec (360 - ) = Sec Csc (360 - ) = -Csc Cot ( + n. 360 ) = Cot Sec ( + n. 360 ) = Sec Csc ( + n. 360 ) = Csc 1. Sin 137 = Sin (180-43) = Sin 43. Cos 17 = Sin ( ) = -Cos Cos 30 = Sin (360-40) = Cos 40 Rumus-rumus Trigonometri a. Rumus jumlah dan selisih dua sudut Sin ( + ) = Sin cos + cos sin Sin ( ) = Sin cos - cos sin Cos ( + ) =Cos cos - Sin sin Cos ( ) =Cos cos + Sin sin b. Rumus sudut ganda Sin = Sin Cos Cos = Cos -Sin Tan = 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

22 c. Rumus jumlah sinus dan cosinus Sin +Sin = sin cos Sin - Sin = cos sin Cos +Cos = cos cos Cos - Cos = -sin sin Cos 75 +Cos 15 = cos cos = cos45 cos30 = ( ) ( 3) = 6 SOAL-SOAL LATIHAN Diberikan sudut x lancip dengan sin =. Dapatkan cos, tg, sec, cosec, sec. Diberikan sudut lancip dengan sin =. Dapatkan sin, cos, tg. 3. Sebuah kapal pesiar berlayar kea rah timur sejauh 30 mil, kemudian melanjutkan perjalanan ke arah 30 sejauh 60 mil. Jarak kapal pesiar terhadap posisi saat mulai berangkat adalah. 4. Sederhanakanlah: p p p p cos cos sin sin 6 6 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi

Lebih terperinci

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Lebih terperinci

SILABUS. Kegiatan Pembelajaran Teknik. Tugas individu.

SILABUS. Kegiatan Pembelajaran Teknik. Tugas individu. SILABUS NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : X STANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real. KODE KOMPETENSI : ALOKASI WAKTU : 57 x 45 Kompetensi

Lebih terperinci

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktorfaktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd. Disusun Oleh:. Mukhammad Rif an Alwi (070600).

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR PENGERTIAN ALJABAR Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurufhuruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER SISTEM BILANGAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 03 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember SISTEM BILANGAN 1 Sistem Bilangan

Lebih terperinci

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2 Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.

Lebih terperinci

Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian. Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : X (Sepuluh) / Akuntansi dan Penjualan Semester : Ganjil Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

Pemfaktoran prima (2)

Pemfaktoran prima (2) FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

BILANGAN MODUL PERKULIAHAN

BILANGAN MODUL PERKULIAHAN MODUL PERKULIAHAN BILANGAN Sistem bilangan real Operasi pada bilangan bulat Operasi pada bilangan pecahan Sifat-sifat bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

2. Pengurangan pada Bilangan Bulat

2. Pengurangan pada Bilangan Bulat b. Penjumlahan tanpa alat bantu Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan.

Lebih terperinci

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b 2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X (Sepuluh) / Ganjil Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan BB TRIGONOMETRI RINGKSN MTERI. Perbandingan C a B c b a proyektor b proyektum c proyeksi b a + c sin b a cos b c tan sin a cos c. Sifat-sifat Kwadran csc sec cot b sin a b cos c c tan a sin + cos tan +

Lebih terperinci

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA

FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA A. KELIPATAN A. KELIPATAN Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh: 1. penjumlahan berulang, dan 2. penjumlahan bilangan dengan bilangan asli Contoh: Tentukanlah

Lebih terperinci

A. 3 B. 1 C. 1 D. 2 E. 5 B. 320 C. 240 D. 200 E x Fungsi invers dari f x ( 1. adalah.

A. 3 B. 1 C. 1 D. 2 E. 5 B. 320 C. 240 D. 200 E x Fungsi invers dari f x ( 1. adalah. . Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

Modul 10. Fungsi Trigonometri

Modul 10. Fungsi Trigonometri Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51 Perbandingan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul.

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul. DOKUMENTASI Guru mengucapkan salam kepada siswa. Guru memberikan apersepsi dan motivasi melalui pendahuluan yang terdapat pada awal Modul III dimana berisi hal-hal yang akan dipelajari pada Modul III.

Lebih terperinci

BILANGAN PECAHAN. A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

BILANGAN PECAHAN. A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai BILANGAN PECAHAN A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Bilangan a disebut pembilang dan

Lebih terperinci

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri :

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri : SMA - TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cous dan Tangen Sin r y r y Cos r x x Tan x y Hubungan Fungsi Trigonometri :. + cos. tan 3. sec cos cos 4. cosec 5. cotan cos 6. tan + sec + cos + cos cos cos cos tan

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

KALKULUS UNTUK STATISTIKA

KALKULUS UNTUK STATISTIKA Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 2012/2013

PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 2012/2013 PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 01/013 NAMA SEKOLAH : SMK DIPONEGORO LEBAKSIU MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR KOMPETENSI : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian

Lebih terperinci