MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

Transkripsi

1 MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan bulat berpangkat) beserta jenis dan operasi-operasinya. Perhatikan skema bilangan dibawah ini: Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Positif O Bilangan Bulat Negatif Bilangan Prima 1 ( satu ) Bilangan Komposit Gambar 1. Skema Bilangan 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

2 Dari gambar 1. Dapat kita perhatikan bahwa bilangan kompleks adalah bilangan yang menduduki tingkat tertinggi dari hierarki bilangan. Berdasar skema diatas itu pula dapat kita bedakan macam-macam dari bilangan BILANGAN RIIL Ada empat operasi dasar untuk bilangan riil yang sering dipergunakan, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk sebarang bilangan riil a dan b, jumlahan, selisih dan perkalian juga merupakan bilangan riil, akan tetapi untuk pembagiannya tidak harus bilangan riil. Sifat-sifat aljabar bilangan riil: a. Assosiati untuk penjumlahan dan perkalian (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) b. Komutatif untuk penjumlahan dan perkalian a + b = b + a a x b = b x a c. Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian a + 0 = 0 + a a x 1 = 1 x a = a d. Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF Definisi Untuk bilangan bulat positif dan sebarang bilangan real, bilangan mempunyai arti: (sebanyak faktor yang sama). Bilangan disebut basis dan bilangan disebut pangkat atau eksponen = 5 = 65. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = = 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = 3 BILANGAN BERPANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Definisi Jika bilangan tak nol, maka = 1. Sedangkan jika bilangan bulat dan tak nol, maka =. Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

3 = 1 3 = 3 = 3. 4 = = Bilangan berpangkat bulat baik positif maupun negatif memiliki sifat-sifat sebagai berikut: = 4 = 4. = 3 = 3 3. ( ) = = = = 4. (3 4) = = Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat adalah: Jika bilangan dan bilangan bulat dan sebarang bilangan real tak nol, maka: 1. =. =, dengan ( ) =. 4. ( ) =. 5. =, = 4 = 4. = 3 = 3 3. ( ) = = 4. (3 4) = ( ) = NOTASI ILMIAH Untuk bilangan yang sangat besar maupun pada bilangan yang sangat kecil dapat dibuat notasi ilmiahnya. Definisi Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam bentuk 10 dengan 1 10 dan : bilangan bulat. Catatan : perpindahan letak tanda koma (desimal), yaitu pergeseran satu angka kekiri berarti memunculkan satu faktor 10 1, sedangkan pergeseran kearah kanan berarti memunculkan satu faktor Notasi Ilmiah dari adalah =,5 10. Notasi Ilmiah dari 0, adalah 0, = 3, Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

4 Selain bilangan berpangkat bulat maupun nol ada juga bilangan berpangkat pecahan yang salah satunya akan dibahas pada subbab bentuk akar berikut ini. SOAL-SOAL LATIHAN Tuliskan dalam notasi eksponen: (a) = (b). = (c) = (d). ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = (e). ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) = (f). = (g). =. Hitunglah nilai dari: (a). (5) = (b). ( 7) = (c). ( 5 ) = (d). ( 3 ) = (e). ( ) = (f). = (g). = (h). = (i). = 3. Selesaikanlah: (a). ( + )( + ) = (b). ( + )( ) = (c). ( ) = (d). ( ) = (e). ( ) = (f). ( + )( ) = (g). (3 + ) = (h). ( ) ( + ) = (i). ( + ) ( ) = 4. Sederhanakanlah: (a). = (b). = (c). = (d). = (e) = (f). = 5. Nyatakan dalam bentuk bukan pecahan: a. b. ( ) c. ( ) d. e. f. ( ) g. h. ( ) i. ( ) 6. Tuliskan ke dalam bentuk ilmiah: a b. 0, c. 0, d. 0, f Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

5 1.3. BENTUK AKAR Definisi Akar (kuadrat) suatu bilangan menjadi bilangan semula yaitu bentuk : adalah bilangan positif yang kalau dipangkatkan dua,. Secara notasi matematika dapat dinyatakan dalam = jika = dan adalah bilangan positif. Tulisan dibaca akar kuadrat dari. Operasi pada bentuk akar kuadrat dari dapat di tuliskan dalam bentuk sifat-sifat berikut: Sifat Untuk bilangan real berlaku: 1. = 0. = < 0 ( h h ) Sebagaimana pada bilangan yang lain juga dikenal operasi aljabar perkalian dan penjumlahan bilangan bentuk akar. Sifat Untuk setiap, b dan c bilangan positif berlaku: 1. = ( ). = ( ) 3. + = ( + ) ( h ) 4. = ( ) ( ) 5. Perkalian Istimewa: a. ( + )( ) = b. ( ± ) = ± + 1. Hasil dari 64 = 8 karena 8 = 64. Hasil dari 15 = 5, karena 5 = Hasil dari 16 = 4 16 = 4, sedangkan 16 tidak ada = 4 3 = 3 = = 5 = = = = = = = Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

6 RASIONALISASI BENTUK AKAR Rasionalisasi bentuk akar adalah mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi penyebut yang tidak berbentuk akar. Ada macam cara untuk merasionalisasi bentuk akar yaitu: 1. Mengalikan bagian pembilang dan penyebut pada pecahan dengan penyebutnya.. Mengalikan masing -masing pembilang dan penyebut pada pecahan dengan sekawan dari penyebutnya. Contoh: 1. Rasionalkan bentuk. Jawab: = = = = 10. Rasionalkan bentuk akar dari Jawab:. = = ( ) = = + 5 AKAR PANGKAT RASIONAL Bagian ini akan dibahas bagaimana menyelesaikan perpangkatan dengan bilangan pecahan. Definisi Jika dan adalah bilangan asli positif maka: 1. arti dari adalah. arti dari = = 3. arti dari = ( ) = Contoh: a. 7 = 3 karena 3 = 7 b. 15 = 5 karena ( 5) = 15 c. (3) = (3 ) = 3 = ( 3) NILAI MUTLAK Definisi Nilai mutlak suatu bilangan real a dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan: 0 = < 0 6 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

7 Berikut ini diberikan teorema-teorema dari nilai mutlak. Teorema Untuk setiap bilangan real dan maka berlaku: 1. =. 0 nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negatif. 3. = suatu bilangan dengan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama = nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak. 5. = nilai mutlak dari pembagian adalah pembagian nilai mutlak. Dapatkan himpunan penyelesaian dari : a. 5 = 11 b. ( 1) = 5 Penyelesaian : a. Jika 5 = 11, maka i). 5 = 5, = 11 Þ = 3 ii). 5 = (5 ), 5 0 (5 ) = 11Þ = 8 Jadi himpunan penyelesaiannya: -3,8 Cara lain: 5 = 11 Þ (5 ) = 11, dikuadratkan menjadi (5 ) = 11 (5 + 11)(5 11) = 0 (16 )( 6 ) = 0 = 8, = 3 b. ( 1) = 5, dikuadratkan : ( 1) = 5 ( 1) 5 = 0 ( 1 + 5)( 1 5) = 0 ( + 4)( 6) = 0 = 4, = 6 Jadi Himpunan penyelesaiannya : -4,6 7 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

8 1. Dapatkan akar kuadrat dari: a. 64 b. 56 c. 65 d. 576 e f. 45 g h. 809 i j Sederhanakanlah: a = b = c = d = e = f = 3. Tentukanlah nilai dari: a. 3 6 = b. 4 5 = c = d. = e = f = g = h. = 4. Rasionalkan bentuk akar berikut ini: a. = b. d. g. = c. = = e. = f. = = h. = f. 5. Tentukan hasilnya: a. 64 = b. 7 = c. = d. e. (49 ) = f. ( ) = g. = h. ( ) = i. = 6. Tuliskan ke dalam bentuk yang lebih sederhana: a. 7 = b. = c. 15 = d. = e. = f. + = g. ( ) 7. Hitunglah nilai jika : a. = 5 b. = 56 c. = 7 d. = 6 e. = SOAL-SOAL LATIHAN 1.3 = h. = i. = = 8 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

9 1.4. KETERBAGIAN / PEMBAGIAN Suatu pembagian di notasikan dengan artinya a b. c (a sama dengan b kali c). a c (baca: a dibagi b sama dengan c), b Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan: 0 1. Jika b 0 maka 0 karena 0 b. 0 b a. Jika a 0 maka tak punya arti karena andaikan saja 0 dan tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi bentuk tak tentu karena andaikan saja n 0 0 maka yang memenuhi tidak tunggal. 4. a 0, dengan a adalah bilangan berhingga. Contoh: a 0 m maka a 0. m 0 0. n berarti nilai n Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Untuk mendapatkan FPB dari dua bilangan atau lebih adalah sbb: Dicari dulu faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu. Bilangan paling besar dari faktor-faktor persekutuan itu merupakan FPB dari bilangan tersebut. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Untuk mendapatkan KPK dari dua bilangan atau lebih adalah sbb: Dicari dulu kelipatan dari bilangan-bilangan itu. Kemudian tentukan kelipatan persekutuannya. Bilangan paling kecil dari kelipatan persekutuan itu merupakan KPK dari bilangan tersebut. 9 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

10 Contoh: Dapatkan FPB dan KPK dari 1 dan 18. Penyelesaian: Faktor dari 1: 1,, 3, 4, 6, 1 Faktor dari 18: 1,, 3, 6, 9, 18. Jadi FPB dari 1 dan 18 adalah 6. Kelipatan dari 1: 1, 4, 36, 48, 60, 7, 84,. Kelipatan dari 18: 18, 36, 54, 7, 90, Jadi KPK dari 1 dan 18 adalah 36. Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Misal:, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 3. Jadi bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai faktor adalah bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi dengan faktor bilangan prima, cara mendapatkan FPB dan KPK adalah sbb: 1. Setiap bilangan diuraikan menjadi pergandaan faktor-faktor primanya.. FPB adalah pergandaan faktor yang bersekutu dengan pangkat terkecil yang ada disetiap bilangan. 3. KPK adalah pergandaan semua faktor yang ada, dimana jika ada faktor yang sama harus diambil satu yang pangkatnya tertinggi. Contoh: Dapatkan FPB dan KPK dari 1 dan 18. Penyelesaian: 1 =.. 3 =. 3; 18 = =. 3. Sehingga: FPB =. 3 = 6 KPK =. 3 = 36 OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN Penyederhanaan Pecahan: Contoh = = = = = Penjumlahan dan pengurangan pecahan: Contoh = = = 9 36 = 10 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

11 Caranya: 1. menyamakan penyebut dengan mencari KPK dari penyebut. KPK dari 1 dan 18 adalah 36.. Jika penyebut sudah sama, maka pembilangnya dijumlahkan, tetapi penyebut tetap. Contoh = = = Contoh = = SOAL-SOAL LATIHAN Sederhanakan pecahan berikut : a. b. c. d. e. f.. Selesaikan : a. + = b. + = c. + = d. + = e. + = f. + = g. + = h. + = 11 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

12 MODUL Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Hal ini didasari akan seringnya sebuah pertanyaan/ permasalahaan dari sebuah pertanyaan pangkat berapa sama dengan ini. Dengan logaritma, perhitungan bilangan yang sangat besar dapat disederhanakan..1. PENGERTIAN LOGARITMA Logaritma adalah invers bilangan berpangkat, seperti pada definisi berikut ini: Untuk bilangan positif dan 1 maka arti dari log = adalah =. Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan : 1. adalah basis/bilangan pokok logaritma dan adalah hasil logaritma.. positif maka > 0 sehingga juga positif. 3. tidak boleh sama dengan = 1 maka log 1 = 0 1. log 100 =. log 16 = 4 3. log 0,00001 = 5 4. log = 5. log 8 =.. SIFAT-SIFAT LOGARITMA Untuk sebarang bilangan positif > 1, > 0 dan > 0 maka berlaku: 1. log(. ) = log + log. log = log log 3. log = log 4. log = 5. jika diketahui 0 < < maka log < log 6. jika diketahui 0 < < maka log > log 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

13 SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikan soal-soal berikut ini: 1. Dapatkan nilai dari logaritma berikut: a. log 64 d. g. = b. 7 1 log log15 log = e. 81 log 3 7 log 64 = h. 9 j. 10, = k. 10 = 1 5 = c. log15 log = f. 18 = = 1 = i. 10 =. Jika log = 0,31 dan log 3 = 0,48, dapatkan nilai dari logaritma berikut:. log 18 =. log =. log 36 =. log 1 =. log 144 =. log 10 =. log 7,5 = h. log 15 = i. log 3600 = 3. Hitunglah: a. log 5 log log 6 = b. log 6 log 5 log 6 = c. log 5 log 5 log = d. log 5 log log 6 = 4. Nyatakan kedalam bentuk dan jika log 3 = dan log 5 = untuk logaritma berikut ini:. log 30 =. log 50 =. log 150 =. log 15 =. log =. log =. log 0,15 = h. log 300 =,. log 0,3, =. log 600 = 13 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

14 MODUL 3 Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan atau =,. Sedangkan pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda,,,,. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya Persamaan Persamaan Linier Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu. 1. 6x + 1 = 0 ( persamaan linier satu variabel ). 8x + 4y = 6 ( persamaan linier dua variabel ) 3. x + 3y 5z =0 ( persamaan linier tiga variabel ) Bentuk umum persamaan linier : ax + b = 0 dengan a 0 dimana a adalah koefisien x dan b adalah konstanta. Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linier satu variable: 1. Kelompokkan variable pada satu sisi dan sisi lainnya untuk konstanta. Jumlahkan / kurangkan variable maupun konstantanya 3. Bagi konstanta dengan koefisien variable. Tentukan nilai x dari persamaan linier 8x 3 = x + 9 Penyelesaian : 8x 3 = x + 9 8x - x = x = 1 x = = Persamaan Kuadrat Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan variable tak diketahui adalah + + = Dengan a,b,c bilangan diketahui dan 0. Bilangan disebut koefisien dari bagian kuadrat, b disebut koefisien dari bagian linier dan c merupakan konstanta atau tetapan. 14 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

15 Akar-akar Persamaan Kuadrat Ada beberapa cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat. Diantaranya adalah : a. Memfaktorkan. Dari persamaan kuadrat + + = 0 dapat difaktorkan menjadi bentuk ( + )( + )=0 Sehingga didapatkan dua kemungkinan yaitu ( + )=0 atau ( + )=0 Dengan demikian akan didapatkan akar-akar persamaan = dan =. Dapatkan akar persamaan dari = 0 Penyelesaian : Pertama dapatkan dulu faktor dari 3, yaitu 1 dan 3. Selanjutnya jumlah keduanya harus sama dengan 4 dan hasil perkaliannya sama dengan 3. Jadi 1+ 3 = 4 dan 1 x 3 = 3. persamaan dapat diubah dulu dalam bentuk ( + 1)( + 3)= 0 ( + 1) = 0 ( + 3) = 0 Sehingga diperoleh =-1 dan =-3. b. Rumus Kuadrat /Rumus ABC Akar persamaan kuadrat + + = 0, 0, dapat dicari dengan rumus, = ± Dapatkan persamaan kuadrat dari 4 6 = 0 Penyelesaian: Persamaan diatas mempunyai a=, b=-4 dan c=-6. Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh, = ( )± ( )... = ± = ± = ± =1± Sehingga diperoleh =3 dan = Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

16 SOAL-SOAL LATIHAN Dapatkan akar-akar persamaan kuadrat dibawah ini dengan menggunakan faktorisasi dan rumus ABC : a. x 5x + 6 = 0 b. x 7x + 1 = 0 c. 1x 7x + 1 = 0. Dengan bantuan rumus ABC selesaikan persamaan : a. 5 6 = 0 b = Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu. Bentuk umum pertidaksamaan linier dengan satu variable : + < 0. ( >,,, ) Dimana a adalah koefisien dan b adalah konstanta. Sifat-sifat Pertidaksamaan. 1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu bilangan tertentu a. Jika a > b a + c > b + c ; a c > b c b. Jika a < b a + c < b + c ; a c < b c. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dengan suatu bilangan positif a. Jika > dan > 0 > dan > b. Jika < dan > 0 < dan < 3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dengan suatu bilangan negatif a. Jika > dan < 0 < dan < b. Jika < dan < 0 > dan > 4. Pemangkatan pertidaksamaan a. Jika > > 0 > > 0, > > 0, > > 0 dan seterusnya. Secara umum > ; bilangan asli b. Jika < < 0 > > 0, < < 0, > > 0, dan seterusnya. c. Secara umum : > ; bilangan genap dan < ; bilangan ganjil 16 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

17 5. Sifat sifat lain : a. Jika > dan < maka > b. Jika > dan > maka + > + c. Jika > > 0 atau < < 0 maka < d. Jika > 0 maka > 0 Dengan sifat-sifat pertidaksamaan diatas, kita bisa menyelesaikan atau mendapatkan himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan. Dapatkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x < x + 6. Penyelesaian : 3x < x + 6 3x - x < x + 6 x x < 6 x + < 6 + x < 8 x < x< 4 Pertidaksamaan Pecahan Linier Bentuk umum : ( ) ( ) > 0, ( <,,, ) dengan syarat : ( ) 0 Langkah-langkah penyelesaian: 1. Ruas kanan dinolkan. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut pada ruas kiri 3. Gambar pada garis bilangan 4. Tentukan himpunan penyelesaiannya. x 5 Dapatkan 1 0 5x Penyelesaian: x 5 5x 0 5x 7x 3 0 5x, berdasar langkah ke 3 didapatkan 3 x x 7, 5 17 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

18 + - + Jad Himpunan penyelesaian : 3 x 7 x 5 Pertidaksamaan Kuadrat Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah : a. Ubah Pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat. b. Dapatkan akar-akar persamaan kuadra tersebut. c. Buatlah gambar pada garis bilangan. d. Tentukan himpunan penyelesaiannya. Selesaikan pertidaksamaan x 5x 6 < 0 Penyelesaian : Ubah menjadi persamaan kuadrat 5 6 = 0 Dengan faktorisasi didapat akar-akar persamaan ( )( 3) = 0 = = Jadi Himpunan penyelesaiannya : < < 3 Pertidaksamaan Bentuk Akar Pertidaksamaan bentuk akar a. Jika f ( x) a untuk > 0 ( ),dengan syarat ( ) 0. b. Jika f ( x) a untuk < 0 = c. Jika f (x) g (x) ( ) < ( ), dengan syarat ( ) 0, ( ) 0 Tentukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan berikut : 1. 4x < 3. x 1 3x 4 Penyelesaian: 1. 4 < 9 4 < 11 < Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

19 SOAL-SOAL LATIHAN 3. Selesaikan soal-soal berikut: 1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x x 8 0 untuk x R adalah x 5 x 6 x 11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah Himpunan penyelesaian dari 3 3 x 3x 5 x 3 4. Himpunan penyelesaian dari x log 9 x log x ialah adalah 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log x x 3 6. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan x 3x 4 x 1 7. Nilai yang memenuhi 3 9 adalah 5 1 x x 9 1 adalah x x 3 7 3x 7x Nilai-nilai yang memenuhi adalah x 3x berlaku untuk x 3x x 4x Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 9 adalah x x 4 19 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

20 MODUL 4 TRIGONOMETRI 4.1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI C DEFINISI Perbandingan Trigonometri a. Sin = = A α B b. Cos = c. Tan = Tan = = = atau d. Cot = (dibaca cotangen) e. Sec = (dibaca secan) f. Csc = (dibaca cosecan) Hubungan antara ukuran Sudut dan Radian Satu radian ekivalen dengan Dan 1 ekivalen dengan p = p p rad. Nilai p berkaitan dengan3,14 SIFAT-SIFAT Perbandingan Trigonometri a. Sudut di kuadran II Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = -Cos Tan (180 - ) = -Tan Cot (180 - ) = -Cot Sec (180 - ) = -Sec Csc (180 - ) = Csc 0 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

21 b. Sudut di kuadran III Sin (180 + ) = -Sin Cos (180 + ) = -Cos Tan (180 + ) = Tan c. Sudut di kuadran IV Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = -Cos Tan (360 - ) = -Tan d. Sudut dengan kelipatan n Sin ( + n. 360 ) = Sin Cos ( + n. 360 ) = Cos Tan ( + n. 360 ) = Tan Cot (180 + ) = Cot Sec (180 + ) = -Sec Csc (180 + ) = -Csc Cot (360 - ) = -Cot Sec (360 - ) = Sec Csc (360 - ) = -Csc Cot ( + n. 360 ) = Cot Sec ( + n. 360 ) = Sec Csc ( + n. 360 ) = Csc 1. Sin 137 = Sin (180-43) = Sin 43. Cos 17 = Sin ( ) = -Cos Cos 30 = Sin (360-40) = Cos 40 Rumus-rumus Trigonometri a. Rumus jumlah dan selisih dua sudut Sin ( + ) = Sin cos + cos sin Sin ( ) = Sin cos - cos sin Cos ( + ) =Cos cos - Sin sin Cos ( ) =Cos cos + Sin sin b. Rumus sudut ganda Sin = Sin Cos Cos = Cos -Sin Tan = 1 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo

22 c. Rumus jumlah sinus dan cosinus Sin +Sin = sin cos Sin - Sin = cos sin Cos +Cos = cos cos Cos - Cos = -sin sin Cos 75 +Cos 15 = cos cos = cos45 cos30 = ( ) ( 3) = 6 SOAL-SOAL LATIHAN Diberikan sudut x lancip dengan sin =. Dapatkan cos, tg, sec, cosec, sec. Diberikan sudut lancip dengan sin =. Dapatkan sin, cos, tg. 3. Sebuah kapal pesiar berlayar kea rah timur sejauh 30 mil, kemudian melanjutkan perjalanan ke arah 30 sejauh 60 mil. Jarak kapal pesiar terhadap posisi saat mulai berangkat adalah. 4. Sederhanakanlah: p p p p cos cos sin sin 6 6 Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo