Fungsi Analitik (Bagian Pertama)

Transkripsi

1 Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA (Pertemuan Minggu IV)

2 Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings 3 Limit Fungsi

3 Fungsi Variabel Kompleks Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertian fungsi. Misalkan A, dan B himpunan tak kosong. Relasi f dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x A terdapat dengan tunggal y B sehingga y = f (x). Diberikan himpunan A C. Fungsi f yang didefinisikan pada A adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z A dengan w C. Dalam hal ini, bilangan kompleks w disebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f (z). Jadi, w = f (z) Fungsi f dari A C ke C dinotasikan f : A C

4 Fungsi Variabel Kompleks Diberikan fungsi kompleks f : A C C Himpunan A disebut domain definisi (daerah definisi). Di dalam fungsi variabel kompleks, perlu dibedakan antara pengertian domain dan domain definisi. Domain definisi suatu fungsi belum tentu merupakan domain. Apabila domain definisi suatu fungsi f tidak disebutkan secara eksplisit, maka disepakati bahwa sebagai domain definisi adalah himpunan terbesar di dalam C sehingga fungsi f terdefinisikan pada himpunan tersebut. Sebagai contoh, apabila f (z) = 1 z 1, maka domain definisi f adalah {z C : z 1}. Selanjutnya, domain definisi fungsi f dinotasikan dengan D f.

5 Fungsi Variabel Kompleks Diberikan fungsi f dan z D f dengan z = x + iy. Misalkan nilai f di z adalah w, yaitu f (z) = w Apabila w = u + iv, maka dapat dituliskan f (x + iy) = u + iv Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa u dan v masing-masing ditentukan oleh pasangan variabel real (x, y). Atau dengan kata lain Jadi, u = u(x, y) dan v = v(x, y) f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (1)

6 Fungsi Variabel Kompleks Dari persamaan (1) dapat dilihat adanya keterkaitan antara fungsi variabel kompleks dan fungsi 2 variabel real (x, y). Secara sama, tentunya f (z) dapat pula dikaitkan dengan fungsi 2 perubah real (r, θ), yaitu f (z) = f (r(cos θ + i sin θ)) = u(r, θ) + iv(r, θ) (2) Example Jika f (z) = z + z + i z, maka f (z) = 2x + i x 2 + y 2. Jadi, u(x, y) = 2x dan v(x, y) = x 2 + y 2 Example Tentukan u(r, θ) dan v(r, θ) jika diketahui f (z) = z2 1 z.

7 Fungsi Variabel Kompleks Berbeda halnya dengan fungsi variabel real yang bernilai tunggal, maka fungsi variabel kompleks dapat bernilai tidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipahami, mengingat f (z) = z 1 4 bernilai empat untuk setiap 0 z C. Jika n N dan c 0, c 1, c 2,..., c n masing-masing konstanta kompleks dengan c 0 0, maka P n (z) = c 0 z n + c 1 z n c n 1 z + c n disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n. Hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecah rasional.

8 Pemetaan/Transformasi/Mappings Seringkali fungsi variabel real dan bernilai real disajikan dengan suatu grafik pada suatu bidang datar. Hal ini tidak dapat dilakukan untuk fungsi variabel kompleks dengan rumus w = f (z), mengingat w dan z keduanya berada di dalam bidang datar (bukan garis). Pada dasarnya, fungsi f dengan rumus w = f (z) dapat digambarkan dengan cara memasangkan setiap z = (x, y) di dalam domain definisinya dengan suatu titik f (z) = (u, v). Untuk lebih mempermudah penyajian, pada umumnya diperlukan 2 bidang kompleks, yang pertama disebut bidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipun untuk fungsi-fungsi yang cukup sederhana dapat digunakan satu bidang kompleks saja.

9 Beberapa Contoh Example Diketahui f (z) = z + z + iz z. Gambarkan f (L) jika (a) L = {z : z = 1}. (b) L = {z : z = 2}. Example Gambarkan bayangan bidang kompleks Z oleh pemataan f (z) = z 2 + i(z + z).

10 Limit Fungsi Diberikan fungsi f dengan domain definisi D f dan z 0 titik limit D f. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk z mendekati z 0, ditulis lim f (z) = L z z 0 jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z 0 tetapi z z 0 berakibat f (z) cukup dekat dengan L. Dalam bahasa matematika, lim z z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan real ɛ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z D f dengan 0 < z z 0 < δ berakibat f (z) L < ɛ

11 Limit Fungsi Apabila z 0 = x 0 + iy 0, maka dengan mengingat pengertian nilai mutlak, definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut: lim z z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan real ɛ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z = x + iy D f dengan 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ berakibat f (z) L < ɛ Sifat-sifat limit diberikan dalam beberapa teorema berikut. Theorem Jika lim z z0 f (z) ada, maka nilainya tunggal. Sebagai akibat langsung Teorema di atas, jika nilai lim z z0 f (z) tidak tunggal, maka lim z z0 f (z) tidak ada.

12 Limit Fungsi Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalam hitung limit fungsi real hanya ada satu limit kiri dan satu limit kanan. Hal ini mudah dimengerti, karena persekitaran titik x 0 hanyalah berupa suatu penggal garis (selang). Akibatnya, apabila lim x x0 f (x) tidak ada (dan bukan limit semu), maka untuk menunjukkannya cukup mudah dan sederhana, yaitu dengan cara menunjukkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan, yang artinya nilai lim x x0 f (x) tidak tunggal. Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatu titik z 0 tidak lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatu lingkaran. Akibatnya, konsep limit kiri dan limit kanan menjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalam kalkulus fungsi real.

13 Limit Fungsi Berangkat dari konsep limit satu arah, kontraposisi Teorema ketunggalan limit dapat diklarifikasi dengan menggunakan pengertian limit fungsi sepanjang suatu kurva. Diberikan fungsi f dengan domain definisi D f, z 0 titik limit D f, dan kurva K yang melalui z 0. Limit f (z) untuk z mendekati z 0 di sepanjang kurva K dikatakan sama dengan L, ditulis lim f (z) = L z z 0, z K jika untuk setiap bilangan real ɛ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z K dengan 0 < z z 0 < δ berakibat f (z) L < ɛ

14 Limit Fungsi Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi tersebut dan Teorema sebelumnya diperoleh pernyataan sebagai berikut. Theorem Jika lim z z0 f (z) ada, maka untuk setiap pasang kurva K 1, K 2 D f yang melalui z 0, lim z z0, z K 1 f (z) dan lim z z0, z K 2 f (z) keduanya ada dan lim f (z) = lim f (z) z z 0, z K 1 z z 0, z K 2

15 Limit Fungsi Sebagai akibat langsung, diperoleh: Corollary Jika ada kurva K 1, K 2 D f yang melalui z 0 sehingga maka lim z z0 f (z) tidak ada. lim f (z) lim f (z) z z 0, z K 1 z z 0, z K 2

16 Contoh Example Jika f (z) = 2xy + i (y 2 1)(x+1), maka tunjukkan bahwa x 2 +2y 2 (x 2 2)(y+2 lim z 0 f (z) tidak ada. Bukti: Jika K 1 dan K 2 masing-masing adalah kurva dengan persamaan y = 0 dan y = x, maka berturut-turut diperoleh: i. lim z 0, z K1 f (z) = lim x 0 (x+1) 2(x 2) = x ii. lim z 0, z K2 f (z) = lim x 0 ( 2 ) + ( (x 2 1)(x+1) x 2 +2x 2 (x 2)(x+2) = 1 4 ) = i 1 4. Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa lim z 0 f (z) tidak ada.

17 Limit Fungsi Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsi kompleks dengan limit fungsi real dua perubah. Theorem Jika diketahui f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z 0 = x 0 + iy 0, dan L = A + ib, maka jika dan hanya jika lim z z 0 f (z) = L (3). lim u(x, y) = A dan lim (x,y) (x 0,y 0 ) v(x, y) = B (4) (x,y) (x 0,y 0 )

18 Contoh Example Tentukan lim z 1+i (z z ). Penyelesaian: Terlebih dahulu dituliskan z z = (x 2 y 2 + Selanjutnya, karena maka x x 2 + y 2 ) + i(2xy y x 2 + y 2 ) lim y 2 x + (x,y) (1,1) x 2 + y 2 ) = 1 2, dan lim y (x,y) (1,1) x 2 + y 2 ) = 3 2 lim z 1+i (z2 + 1 z ) = i(3 2 ).

19 Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut Lemma Jika lim z z0 f (z) ada, maka terdapat r > 0 sehingga f (z) terbatas pada N(z 0, r) D f {z 0 }. Theorem Jika lim z z0 f (z) dan lim z z0 g(z) keduanya ada dan c C, maka i. lim z z0 {f (z) + g(z)} ada, dan lim {f (z) + g(z)} = lim f (z) + lim g(z) z z 0 z z0 z z0 ii. lim z z0 cf (z) ada, dan lim z z 0 cf (z) = c lim z z0 f (z)

20 Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut iii. lim z z0 f (z)g(z) ada, dan iv. lim z z0 lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z) z z 0 z z0 z z0 f (z) g(z) ada, dan lim z z 0 f (z) g(z) = lim z z 0 f (z) lim z z0 g(z), asal lim g(z) 0 z z 0 Theorem Jika P n (z) = c 0 z n + c 1 z n 1 + c 2 z n c n, maka lim P n (z) = P n (z 0 ) z z 0