Sistem Bilangan Kompleks

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sistem Bilangan Kompleks"

Transkripsi

1 Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham betul tentang sistem bilangan real serta sifat-sifat yang terkandung di dalamnya. Apabila kita ingin mencari x yang memenuhi persamaan x 0 ; x 4x 5 0 maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi masing-masing persamaan tersebut. Untuk dapat menyelesaikan atau memperoleh jawaban perlu diperkenalkan bilangan kompleks. Dalam bentuk formal, bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dua bilangan real. Namun demikian ada beberapa penulisan lain yang mempunyai maksud atau arti yang sama dengan pendefinisian tersebut. Arti geometri dari bilangan kompleks dalam beberapa hal dapat dipahami sebagai vektor di bidang. Meskipun demikian hal tersebut hanya untuk memudahkan Anda memahami bilangan kompleks pada tahap awal saja. Setelah mempelajari modul ini secara umum Anda diharapkan dapat:. memahami operasi aljabar pada sistem bilangan kompleks,. memahami sifat dan arti geometri dari bilangan kompleks. Dan secara lebih khusus lagi Anda diharapkan dapat:. menjumlahkan, mengalikan, mengurangkan dan mencari invers suatu bilangan kompleks,

2 . Fungsi Kompleks. menyajikan bilangan kompleks dalam sistem koordinat Cartesius, polar dan bentuk eksponen, 3. menyatakan persamaan dan pertaksamaan dari daerah lingkaran atau daerah lainnya dalam bentuk bilangan kompleks, 4. menyelesaikan pertaksamaan dalam nilai mutlak (modulus) bilangan kompleks, 5. mencari akar dan memangkatkan suatu bilangan kompleks.

3 MATA43/MODUL.3 Kegiatan Belajar Aljabar Bilangan Kompleks Definisi : Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y, yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan di atas merupakan definisi formal dari bilangan kompleks. Selanjutnya, perhatikan beberapa lambang dan ketentuan berikut. Bilangan kompleks dilambangkan oleh huruf = (x,y). Bilangan real x disebut bagian real dari, ditulis Re( ). Bilangan real y disebut bagian imaginer dari, ditulis Im (). Beberapa pasangan terurut diidentifikasikan secara khusus, yaitu (x,0) = x, merupakan bilangan real x (0,) = i, dinamakan satuan imaginer Kesamaan dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Dua bilangan kompleks ( x, y ) dan ( x, y ) dikatakan sama, ditulis, jika x x dan y y. Khususnya ( x, y ) (0,0) jika dan hanya jika, x 0 dan y 0. Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut.

4 .4 Fungsi Kompleks Definisi 3: Jika ( x, y ) dan ( x, y ) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dan, masing-masing adalah bilangan kompleks dan yang diberikan oleh aturan berikut, ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x, y )( x, y ) ( x x y y, x y x y ) Himpunan semua bilangan kompleks C, bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (field). Teorema : Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yaitu: C dan C,, C. dan,, C. ( ) ( ) dan ( ) ( ),,, C ( ),,, C Ada 0 (0,0) C, sehingga 0 0 ; C 6. Ada (,0) 0, C, sehingga.. ; C 7. Untuk setiap ( x, y) C ada ( x, y) C sehingga ( ) ( ) 0 8. Untuk setiap ( x, y) C, 0 ada sehingga. x y, x y x y C Bukti dari Teorema dapat Anda lakukan dengan berpegang pada Definisi dan 3. Pada bagian berikut Anda akan diperkenalkan pada suatu penulisan lain dari bilangan kompleks ( x, y ). Dengan identifikasi x( x, 0) dan i (0,), gunakan Definisi 3, maka diperoleh:

5 MATA43/MODUL.5 (0, y) (0,).( y,0) iy, disebut bilangan imajiner sejati, ( x, y) ( x,0) (0, y) x iy x yi Demikian pula i i. i (0,).(0,) (,0) Karena itu setiap bilangan kompleks ( x, y ) dapat ditulis dalam bentuk xyi dengan, x dan y bilangan real, i x disebut bagian real dari, ditulis xre( ) y disebut bagian imajiner dari, ditulis yim( ). Dengan menggunakan penulisan xyi, Anda akan lebih mudah melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dilakukan seperti operasi pada bilangan real dengan memandang i. Hal tersebut akan terlihat pada definisi beserta contoh-contohnya sebagai berikut. Definisi 4: x y i dan x y i adalah bilangan kompleks, maka: Jika ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i. ( x y i)( x y i) ( x x y y ) ( x y x y ) i Pada definisi penjumlahan terlihat jelas seperti operasi pada bilangan real dan demikian pula untuk perkalian. x y i x y i x x x y i x y i y y i, dengan mengganti i oleh didapat: x x y y x y x y i

6 .6 Fungsi Kompleks Contoh : Jika ( x, y ) dan (,0), maka. ( x, y)(,0) ( x yi)( 0 i ) x yi (Bukti Teorema Nomor 6). Jika x y ( x, y) dan,, maka x y x y x y ( x yi) i x y x y x y yx xy 0. i i x y x y (Bukti Teorema nomor 8). Contoh : Jika ( x, y) dan a( a,0) maka, a ( a,0)( x, y) ( a0 i)( x yi) ax ayi Khususnya jika a (,0), maka. x yi ( x yi). Contoh 3: x y i dan x y i, maka Jika ( x y i) ( x y i) ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i Selanjutnya jika 0, maka x y i x y i. x y i x y i x y i x y i x x x y i x y i y y i x y i

7 MATA43/MODUL.7 x x y y x y x y i x y x y Khususnya jika, 0 dan, 0 x y, maka x yi x yi x yi x yi x y i x y x y Cara-cara pengerjaan pada Contoh 3 ini dapat menolong Anda apabila tidak dapat mengingat langsung, dan. Dengan menggunakan kedua hal terakhir di atas dapat diperlihatkan, 0 dan, 0, 0. Contoh 4: Diberikan 3i dan 5i. Tentukan atau tuliskan bilangan kompleks,, dan dalam bentuk a bi ; a dan b real. Jawab: (3 i) ( 5 i) (5) ( 3) i3i (3 i) ( 5 i) (5) ( 3) i 74i (3 i)( 5 i) 0 i 5i 3i 77i 3i 3i 5i 0 i 5i 3i. 5i 5i 5i 5i 33i i. 6

8 .8 Fungsi Kompleks Definisi 5: Jika = (x,y) = x + yi, maka bilangan kompleks sekawan dari ; ditulis dan didefinisikan sebagai ( x, y) x yi Sebagai contoh untuk Definisi 5 di atas adalah: 34i, kompleks sekawannya adalah 34i 5i, kompleks sekawannya adalah 5i Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka.. Re( ) 3. i Im( ) 4. Re( ) Im( ) B. Jika, bilangan kompleks, maka , 0 Contoh 5: Bukti Teorema, A. Misalkan x yi, maka x yi x yi x yi

9 MATA43/MODUL.9 ( x yi) ( x yi) xre( ) ( x yi) ( x yi) yi i Im( ) ( x yi)( x yi) x y Re( ) Im( ) B. Misalkan x yi, x yi x y i x y i x x y y i x x y y i x y i x y i x yi x x y y x y x yi x yi x y x y x x y y x y x y ; i 0 x y x y x yi x yi x yi x yi x yi x yi x yi x yi x x y y x y x y i x y x y Dari dua hal di atas diperoleh. Bagian lain dari Teorema yang belum dibuktikan, Anda coba sendiri sebagai latihan. Contoh 6: Jika i, buktikan 0. Bukti ( i) ( i )

10 .0 Fungsi Kompleks i i i i i 0 Contoh 7: Re Re. Buktikan Bukti Misalkan x yi ; x yi, maka diperoleh x y i ; x y i. x y i x y i x y i x y i x x y y x yi x yi xx y y x yi x yi x x y y Re Re. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x yi. a. (5 i) (3 i ) d. b. ( i) (63 i ) e. 6i 6 5i c. (3 i) ( 3 i ) f. i i i, i, i, i,..., i i i g. i i ) Cari bilangan kompleks xyi yang memenuhi a. b.

11 MATA43/MODUL. Petunjuk Jawaban Latihan ) a. 7 + i e., i,, i,, b. 4 + i f. i c. 5 i g. 3 i d i 6 6 ) a. = b. = yi RANGKUMAN Lambang bilangan kompleks : ( x,y) x yi; x,y real; i. ( x,0) x; (0, y) yi ; (0,)i. Operasi: ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i x y i x y i x x y y x y x y i x y i x x y y x y x y i x y i x y x y Himpunan bilangan kompleks C bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (Coba ingat kembali sifat-sifat lapangan). Invers bilangan kompleks xyi terhadap a. operasi penjumlahan adalah x yi b. operasi perkalian adalah x y x y x y i

12 . Fungsi Kompleks, 0 ; 0, 0 Kompleks sekawan: Bilangan kompleks sekawan dari x yi adalah x yi Sifat:.. 3. Re( ) atau Re( ) ( ) = i Im( ) atau Im( )= ( ) i 4. Re( ) Im( ) , 0 TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Jika 3i dan i, maka sama dengan... A. 8i B. 4i C. 8i D. 4 i

13 MATA43/MODUL.3 ) Jika A. B. 3i dan 4 i, maka 0 i i 7 7 C. 3 i D. i 7 7 sama dengan... 3) Jika xyi, maka Re sama dengan... A. B. C. D. x y x y x y x y x xy y x y x xy y x y 3i 4) Bilangan kompleks sama dengan... i i A. 3 5 i B. 5 3 i C. 5 3 i D. 3 5 i

14 .4 Fungsi Kompleks 5) Jika i, maka sama dengan... A. 3i B. 3 i C. 34i D. 3 4i 6) Jika i, maka sama dengan... A. i B. i C. i D. 44i 7) Pernyataan berikut yang benar adalah... A. i i B. Re( i) Im( ) C. Im( i) Re( ) D. 3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

15 MATA43/MODUL.5 M Kegiatan Belajar Arti Geometri dari Bilangan Kompleks enurut definisi formal, bilangan kompleks merupakan pasangan terurut dua bilangan real. Suatu bilangan kompleks ( x, y) x yi, secara geometri dinyatakan sebagai titik ( xy, ) pada bidang Cartesian. Dengan demikian semua bilangan kompleks dapat terwakili oleh semua titik pada bidang Cartesian. Dalam keadaan ini ada penamaan baru untuk sumbu x sebagai sumbu real dengan sistem satuan dan sumbu y dinamakan sumbu imajiner dengan sistem satuan i. Titik asal O menyatakan bilangan kompleks 0 dan titik yang koordinatnya x y menyatakan bilangan kompleks x, y, x y i. Bidang Cartesian dinamakan bidang kompleks atau bidang. Penyajian bilangan kompleks dalam bidang ini disebut diagram Argand. Gambar.. Bidang Kompleks

16 .6 Fungsi Kompleks Anda telah mengetahui bahwa setiap vektor di bidang Cartesian dapat dinyatakan sebagai vektor yang berpangkal di titik O = (0,0) dan ujungnya di suatu titik (x,y). Kemudian pasangan terurut (x,y) tersebut menyatakan vektor yang dimaksud. Dalam pengertian yang terbatas bilangan kompleks ( x, y ) x yi dapat dipandang sebagai vektor ( xy, ) dan operasi penjumlahan dan pengurangan dua bilangan kompleks secara geometri serupa dengan operasi tersebut pada vektor. Gambar berikut memperlihatkan arti geometri dari bilangan kompleks,,,. - Gambar. Contoh 8: Diketahui bilangan kompleks 3 i, 3i. Gambarkan bilangan kompleks, dan, dengan cara seperti penjumlahan dan pengurangan vektor. Jawab: Diletakkan pada satu bidang kompleks.

17 MATA43/MODUL.7 Apabila dihitung, hasil gambar tersebut harus cocok dengan ( 3 i) (3 i) 4i ( 3 i) (3 i) 5i Gambar.3 Contoh 9: Gambarkan kompleks sekawan dari 3i dan 3i 3i 3i Gambar.4 Setelah ditentukan dan, ternyata secara geometri, kompleks sekawan dari merupakan pencerminan terhadap sumbu real. Arti geometri dari perkalian kompleks dijelaskan pada Kegiatan Belajar 3.

18 .8 Fungsi Kompleks Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 6: Jika xyi bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis dan didefinisikan sebagai x yi x y Definisi ini menunjukkan bahwa merupakan bilangan real positif atau nol. Arti geometri, menyatakan panjang vektor ( xyyaitu, ) jarak dari titik asal O = (0,0) terhadap titik ( x, y ). Akibat dari definisi tersebut, jika x, y dan, x y, maka x x y y, menyatakan jarak antara titik dan titik pada bidang. Gambar.5 Selanjutnya apabila x yi dan r bilangan real positif, maka r menyatakan lingkaran berpusat di titik, x y berjari-jari r, sedangkan r menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di x, y berjari-jari r. Penting sekali diingat bahwa tidak ada urutan antara dua bilangan kompleks dan. Tetapi untuk modulusnya dikenal urutan karena modulus suatu bilangan kompleks merupakan bilangan real.

19 MATA43/MODUL.9 Contoh 0: Gambarkan i 3 dan i pada bidang. Jawab: i 3 dapat ditulis ( i ) 3 merupakan lingkaran berpusat di i (, ) berjari-jari 3 (Lihat Gambar.6.a). i atau ( i ) menyatakan daerah lingkaran yang berpusat di i (0, ) berjari-jari (lihat Gambar.6.b). Gambar.6 Apabila Definisi 6 digunakan langsung, persamaan dan pertaksamaan di atas dapat diturunkan sebagai berikut: Misalkan xyi. Dari i 3 diperoleh atau, x yi i 3 atau ( x ) ( y ) i 3 ( x) ( y ) 3 atau ( x) ( y ) 9 merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (,) berjari-jari 3. Dengan cara yang sama i, berarti x yi i atau x ( y ) i

20 .0 Fungsi Kompleks atau, x ( y ) atau x ( y ) 4, menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di titik (0,) berjarijari. Berikut ini kita perhatikan satu teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks. Teorema 3: A. Jika bilangan kompleks, maka. Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) 5. Im( ) Im( ) B. Jika, bilangan kompleks, maka.., Bukti: A. Misalkan xyi, maka:. x y x y Re( ) Im( )

21 MATA43/MODUL.. x yi, sehingga x ( y) x y x y ( x yi)( x yi) x y x x Re( ) Re( ) x y y y Im( ) Im( ) B. Misalkan, bilangan kompleks, maka. Jadi,.. Lanjutkan seperti bukti B. 3. Tetapi Re Akibatnya Jadi 4. Tulis., dengan menggunakan B.3,. Dari kedua ruas paling luar didapat.

22 . Fungsi Kompleks dengan cara seperti di B.4, didapat 5. Tulis. Gabungkan dengan hasil di B.4, maka diperoleh. Ini berarti. Rumus B.3 dapat diperluas menjadi n n Rumus B.3, B.4 dan B.5 dikenal dengan nama ketaksamaan segitiga. Coba Anda gambarkan dua segitiga masing-masing dengan sisi : a.,, dan b.,,. Bentuk Polar (Kutub) dan Eksponen Dalam koordinat polar bilangan kompleks ( x, y) dinyatakan dalam r dan yaitu ( r, ). Dari Gambar.7 di bawah ini didapat hubungan sebagai berikut: x r cos ; y r sin r x y sudut antara sumbu x positif dengan O. Gambar.7

23 MATA43/MODUL.3 Untuk 0, sudut dihitung dari tan y x dan jika 0 maka r 0 dan dapat dipilih sembarang. Dengan demikian bilangan kompleks ( x, y) x yi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu r(cos i sin ). Definisi 7: Pada bilangan kompleks r(cos i sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 atau disebut argument utama dari, ditulis Arg. Pembahasan untuk tersebut dipilih salah satu saja. Definisi 8: Dua bilangan kompleks cos sin cosθ sin θ r i dan r i dikatakan sama, yaitu r r dan, jika Dengan menggunakan rumus Euler, e i cos i sin bentuk polar bilangan kompleks dapat diubah menjadi i r(cos isin ) re. Penulisan i re merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks. Selanjutnya kompleks sekawan dari adalah: r (cos isin ) r(cos( ) isin( )) re i

24 .4 Fungsi Kompleks Catatan: Rumus Euler dapat Anda buktikan dengan menggunakan deret i Maclaurin untuk cos, sin dan e. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks 3 i dalam bentuk polar dan bentuk eksponen Jawab: Dari masalah di atas kita mempunyai 3 i, r 3 dan tan. Karena di kuadran pertama, maka dipilih, sehingga didapat bentuk polar cos i sin dan bentuk eksponen e i. 6 6 Contoh : Nyatakan bilangan kompleks eksponen: a) 3 i b) 6i c) 33i d) 5i berikut dalam bentuk polar dan bentuk Jawab: a) 3 i, r 4 4 dan tan Karena di kuadran pertama, maka diambil. Diperoleh 6 4 cos sin 4 i i e. / b) 6 i, r 6 dan tan 3. Karena di 5 kuadran empat, diambil atau, sehingga diperoleh cos sin i i e atau 5 /3 3 3

25 MATA43/MODUL i /3 i e cos i sin cos sin c) 33i, r 99 3 dan tan. Karena di kuadran 3 3 dua, maka dipilih, sehingga diperoleh d) Coba sendiri i / 4 3 cos i sin 3 e 4 4 Sebaliknya, dari contoh di atas mudah dilakukan, misalnya cos i sin merupakan bentuk polar. Jika dihitung 4 4 langsung, maka kita peroleh i i LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Hitung jarak antara i dan 3i. ) Dalam bidang kompleks, gambarkan dan sebutkan nama lengkungan yang memenuhi persamaan berikut. a) 5 6 b) Re( ) c) i i 3) Dalam bidang kompleks, gambarkan dan arsirlah daerah yang memenuhi a) Im( ) 0 b) Re( ) 0 c) 3 d) i 4) Tentukan bentuk polar dan bentuk eksponen bilangan kompleks. a) i b) c) 3 i d) 3 3 3i

26 .6 Fungsi Kompleks Petunjuk Jawaban Latihan ) 5 ) a. x yi 5 ( x5) yi 5 6 x 5 y 6 Jadi x5 y 36, lingkaran berpusat di (5,0), jari-jari 6. b. Garis lurus x c. i i x y x y x y y x y y 4y 0 y 0, garis lurus (sumbu x)

27 MATA43/MODUL.7 3) a. y 0 b. x 0 c. x y 9 d. x ( y ) 4 y x 7 7 4) a. cos i sin e 4 4 b. cos isin e i c. d. i / 3cos i sin 3 e 7 7 6cos i sin 6e i /6 7 i / 4

28 .8 Fungsi Kompleks Jika xyi maka modulus dari adalah x y merupakan bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol dan arti geometrinya adalah jarak dari ke titik pangkal O pada bidang kompleks. Bilangan kompleks dinyatakan oleh r (cos isin ) re i dengan tan y x. RANGKUMAN xyi, dalam bentuk polar dan eksponen r dan sudut antara sumbu x positif dengan garis O. disebut argument dari, ditulis arg. Argument utama dari ditulis = Arg dengan 0 atau. Sifat-sifat modulus bilangan kompleks. A.. Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) 5. Im( ) Im( ) B...,

29 MATA43/MODUL.9 ) Jika 43i dan i, maka sama dengan... A B. 0 C. 4 D. 4 ) Bentuk polar dari bilangan kompleks 6 i adalah... A. B. C. D. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 5 5 cos i sin 3 3 cos i sin cos i sin 6 6 cos i sin 3 3 3) Himpunan bilangan kompleks pada daerah yang diarsir berikut memenuhi hubungan... A. Im( ) 0 B. Re( ) C. 0 Im( ) D. 0 4) Himpunan bilangan kompleks yang terletak pada daerah yang diarsir berikut memenuhi pertaksamaan... A. i B. i C. D.

30 .30 Fungsi Kompleks 5) Daerah bilangan kompleks yang memenuhi adalah daerah yang diarsir, yaitu... 6) Bentuk eksponen dari bilangan kompleks 3 i adalah... A. B. C. D. 5 4e 6 i 5 4e 6 i 7 4e 6 i 7 4e 6 i

31 MATA43/MODUL.3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

32 .3 Fungsi Kompleks P Kegiatan Belajar 3 Perkalian dan Perpangkatan ada Kegiatan Belajar telah didefinisikan tentang perkalian dua bilangan kompleks. Apabila hal tersebut dilakukan dalam bentuk polar, cos sin r cos i sin perkalian antara r i dan adalah isin r r cos cos sin sin i sin cos cos sin r r cos Bentuk terakhir ini merupakan rumus perkalian dua bilangan kompleks di dalam bentuk polar. Segera terlihat bahwa arg arg arg Perkalian dua bilangan kompleks dan dapat pula ditentukan secara geometris pada bidang kompleks, dengan alasan sebagai berikut. Pada Kegiatan Belajar telah didapat, dan selanjutnya dapat dituliskan sebagai, 0. Secara geometris, hal ini menyatakan adanya kesebangunan dua segitiga seperti terlihat pada Gambar.8. Gambar.8

33 MATA43/MODUL.33 Rumus De Moivre Apabila r cos i sin r cos isin r cos isin ; n bilangan asli, n n n n maka dari rumus perkalian dua bilangan kompleks dapat dilanjutkan secara induktif dan didapat sin r r r cos i n n n n Akibatnya, jika r(cos i sin ), maka r (cos ni sin n ) Khususnya, jika r = didapat Rumus De Moivre: n (cos isin ) cos n isin n, n bilangan asli n n Pembagian bilangan kompleks cos sin r (cos i sin ) 0, adalah, r i oleh. r cos isin r cos isin cos isin r cos isin r cos isin cos isin r cos cos sin sin i sin cos cos sin r cos sin r cos r isin Dari rumus pembagian ini diperoleh arg arg arg Akibat lainnya, jika r(cos i sin ), maka

34 .34 Fungsi Kompleks cos( ) i sin ( ) r cos i sin r Apabila bahwa n menyatakan, n bilangan asli, dapat ditunjukkan pula n n n cos( ) sin ( ) n n r n i n Jadi, rumus De Moivre berlaku untuk n bilangan bulat. Contoh 3: 7 Hitung ( i ). Jawab: Misalkan i, maka : r dan tan. 3 Karena di kuadran dua, dipilih sehingga diperoleh 4 i 3 3 cos i sin 4 4 dan 7 7 ( i) cos i sin cos i sin i 88i. Contoh 4: Hitung 6 3 i

35 MATA43/MODUL.35 Jawab: Misalkan 3 i, maka r 3 dan di kuadran empat, dipilih sehingga diperoleh 6 3 i cos i sin 6 6 dan untuk i cos i sin. 64 tan. Karena 3 Akar dari Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar ke-n dari bilangan kompleks w apabila n w dan ditulis n w. Jika (cos i sin ) akar ke-n dari bilangan kompleks wr(cos i sin ) yang diketahui, maka n n w atau (cos ni sin n) r(cos i sin ) n Dari persamaan terakhir diperoleh r dan nk, k bilangan bulat Akibatnya diperoleh r n k dan. n Dengan demikian didapat akar ke-n dari bilangan kompleks wr(cos i sin ) adalah cos k sin k r n i ; k bilangan bulat dan n n n bilangan asli. Dalam hal ini ada n buah akar berbeda yang memenuhi n w. Untuk memudahkan dipilih bilangan bulat k k 0,,,..., ( n) ; 0, sehingga didapat,,..., n n sebagai akar ke-n dari w.

36 .36 Fungsi Kompleks Contoh 5: / 4 Tentukan ( 6). Jawab: Misalkan 4 6. / 4 ( 6), berarti harus dicari penyelesaian persamaan Tulis (cos i sin ) dan 6 6(cos πi sin π), sehingga 4 (cos4 isin 4 ) 6(cos i sin ). Dari persamaan ini diperoleh 4 6 atau k 4 k atau, k bilangan bulat. 4 Jadi cos k sin k i 4 4 Keempat akar tersebut adalah: Untuk k 0; cos i sin 4 4 i k ; 3 3 cos i sin 4 4 i k ; cos i sin 4 4 i 7 7 k 3; 4 cos i sin i. 4 4 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Hitung ) Hitung 5 ( i ). ( 3 i ) 0.

37 MATA43/MODUL.37 3) Tentukan jawab persamaan 3 3i 0. 4) Tentukan semua nilai yang memenuhi /3 a. ( ) b. / 4 ( 8) Petunjuk Jawaban Latihan ) 7 8 ( i ) ) ( 3 i ) 3) 3 4 cos i sin cos i sin cos i sin 9 9 4) a. i 3, dan 3 i b. i, i, 3 i dan i RANGKUMAN Apabila cos sin dan cos sin r i r i, maka : r r cos i sin

38 .38 Fungsi Kompleks r cos i sin r arg arg arg arg arg arg Rumus: cos sin cos sin n n r i r n i n ; berlaku untuk n bilangan bulat. Rumus De Moivre : n (cos isin ) cos n isin n ; n bilangan bulat. n Apabila, cos sin w w r i ; n bilangan asli, maka akar ke-n dari w adalah, w n cos k sin k rn i ; n bilangan asli dan k bilangan n n bulat. Dalam hal ini ada n akar, yaitu,,..., n yang diperoleh dengan cara mengambil k0,,,...,( n ). TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) 6 ( i ) =. A. 88i B. 8i C. 8i D. 88i

39 MATA43/MODUL.39 ) i =. A. B. C. D. 7 8 ( i ) 5 8 ( i ) 7 8 ( i ) 5 8 ( i ) 3) Jika A. B. C. D. 4) Jika 3 i, maka... 6 k k cos isin ; 0,, 3 3 k 6 k k cos isin ; 0,, k 6 cos kisin k ; 0,, 4 4 k k k cos isin ; 0,, k 8, maka =... k k A. cos i sin 8 8 k k B. cos i sin C. cos kisin k k k D. cos i sin 4 4 masing-masing untuk k = 0,,,..., 7 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.

40 .40 Fungsi Kompleks Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.

41 MATA43/MODUL.4 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) C ) A 3) B 4) D 5) C 6) B 7) B Tes Formatif ) B ) C 3) B 4) A 5) C 6) D Tes Formatif 3 ) C ) A 3) B 4) D

42 .4 Fungsi Kompleks Daftar Pustaka Churchill, Ruel V. (960). Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill Publishing Company, Inc. Kreysig, Erwin. (979). Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley and Son. Paliouras, John D. (975). Complex Variables for Scientists and Engineers. New York: Macmillan Publishing Company, Inc. Spiegel, Murray R. (98). Complex Variables. Singapore: McGraw-Hill International Book Company.

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris

Lebih terperinci

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad 4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian

Lebih terperinci

VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS

VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................

Lebih terperinci

MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS

MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,

Lebih terperinci

Bab I. Bilangan Kompleks

Bab I. Bilangan Kompleks Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2

Lebih terperinci

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA

Bilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4) BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)

BILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4) BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA 1 MINGGU KE- POKOK DAN SUB POKOK BAHASAN TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU) SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATAKULIAH : FUNGSI KOMPLEKS (3 SKS)

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ;

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ; 4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

MATEMATIKA KIMIA Sistem Koordinat

MATEMATIKA KIMIA Sistem Koordinat Jurusan Kimia - FMIPA Universitas Gadjah Mada (UGM) MATEMATIKA KIMIA Sistem Koordinat Drs. Iqmal Tahir, M.Si. Laboratorium Kimia i Fisika, ik Jurusan Kimia i Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

OUTLINE Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan. Kalkulus. Dani Suandi, M.Si.

OUTLINE Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan. Kalkulus. Dani Suandi, M.Si. Nilai Mutlak Kalkulus Dani Suandi, M.Si. Nilai Mutlak 1 Notasi Selang Menyelesaikan 2 Nilai Mutlak Definisi Nilai Mutlak Sifat Nilai Mutlak 3 Sistem Koordinat Cartesius Grafik Persamaan Notasi Selang Nilai

Lebih terperinci

VI. FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA

VI. FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA VI. FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMA 6. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi eksponen; 2. menggambar grafik fungsi eksponen;

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.

CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

Bab III. Integral Fungsi Kompleks

Bab III. Integral Fungsi Kompleks Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat

Lebih terperinci

Program Studi Teknik Mesin S1

Program Studi Teknik Mesin S1 SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam

Lebih terperinci

Fungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN

Fungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis

Lebih terperinci

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada

Lebih terperinci

Tinjauan Mata Kuliah

Tinjauan Mata Kuliah i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah

Lebih terperinci

Bola dan bidang Rata

Bola dan bidang Rata 1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Nama Siswa LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : Kelas : KOMPETENSI DASAR: 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta

Lebih terperinci

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS. 1. Bilangan-Bilangan Real. 2. Bilangan-Bilangan Imajiner. 3. Bilangan-Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS 1. Bilangan-Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan real yang dapat menempati seluruh titik pada garis lurus, hal ini dinamakan garis bilangan real seperti pada Gambar 1. Operasi penjumlahan,

Lebih terperinci

PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN

PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN.` Definisi Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi dengan dinamakan transformasi kebalikan. Secara geometric, transformasi akan memetakan titik-titik yang mendekati

Lebih terperinci

Dwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET

Dwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret   1. KONVERGENSI DERET 1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

Model Optimisasi dan Pemrograman Linear

Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA. Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO

MODUL MATEMATIKA. Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO MODUL MATEMATIKA Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2008 1 KATA PENGANTAR Modul pembelajaran ini di rancang untuk membimbing peserta didik

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

Konsep Dasar Perhitungan Numerik

Konsep Dasar Perhitungan Numerik Modul Konsep Dasar Perhitungan Numerik Drs. Mulyatno, M.Si. D PENDAHULUAN alam mata kuliah Kalkulus, Aljabar Linear, Persamaan Diferensial Biasa, dan mata kuliah lainnya, dapat Anda pelajari berbagai metode

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2. Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0

Lebih terperinci

Bab II Fungsi Kompleks

Bab II Fungsi Kompleks Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2B TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00. Diketahui premis- premis : () Jika Andi penurut maka ia disayang nenek. () Andi seorang anak penurut Ingkaran kesimpulan premis- premis tersebut adalah... Andi seorang

Lebih terperinci

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

Fungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma

Fungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT. Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks. yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H.

FUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT. Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks. yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H. FUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H Kelompok 6:. Amalia Ananingtyas (309324753) 2. Pratiwi Dwi Warih S (3093247506)

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

Program Studi Teknik Mesin S1

Program Studi Teknik Mesin S1 SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMAA TEKNIK 1 KODE / SKS : IT042220 / 2 SKS Pokok Bahasan Pertemuan dan 1 Vektor : pengertian vektor, operasi aljabar vektor ruang, vektor cross product serta

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI

MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)

Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA PEMBAHAS : 1. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 010 1. Perhatikan

Lebih terperinci

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1 Mata : MATEMATIKA TEKNIK 1 Jurusan : TEKNIK ELEKTRO SKS : 2 Sks Kode Mata : KD-041205 MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU 1 Vektor tentang pengertian

Lebih terperinci

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun

MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran

Lebih terperinci

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;

Lebih terperinci

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015 SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 0 Paket Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Diberikan premis-premis berikut!. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan

Lebih terperinci

PEMANFAAT FUNGSI SQR DAN SQRT UNTUK PERHITUNGAN BESARAN VEKTOR DAN HAMBATAN AC. Ulul Ilmi *)

PEMANFAAT FUNGSI SQR DAN SQRT UNTUK PERHITUNGAN BESARAN VEKTOR DAN HAMBATAN AC. Ulul Ilmi *) PEMANFAAT FUNGSI SQR DAN SQRT UNTUK PERHITUNGAN BESARAN VEKTOR DAN HAMBATAN AC Ulul Ilmi *) *) Dosen Fakultas Teknik Prodi Teknik Elektro Universitas Islam Lamongan Abstrak Fungsi SQR adalah fungsi yang

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Geometri di Bidang Euclid

Geometri di Bidang Euclid Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke

Lebih terperinci

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti 33 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian Penelitian dilaksanakan di SMAN 1 Kasihan untuk kelas XI IPA1 dan XI IPA2 pada bulan April- Mei 2014. Pada bulan April 2014 peneliti melakukan

Lebih terperinci

1. Diketahui persamaan x 2 + (2p 1)x + p 2 3p 4 = 0. Jika akar akar persamaan tersebut riil, maka batas batas nilai p yang memenuhi adalah

1. Diketahui persamaan x 2 + (2p 1)x + p 2 3p 4 = 0. Jika akar akar persamaan tersebut riil, maka batas batas nilai p yang memenuhi adalah . Diketahui persamaan x + (p )x + p p 4 = 0. Jika akar akar persamaan tersebut riil, maka batas batas nilai p yang memenuhi adalah. 7 7 A. p C. p E. 8 8 7 7 B. p D. p 8 8 sikat x + (p )x + p p 4 = 0 a

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Modul 6 berisi pengertian integral garis (kurva), sifat-sifat dan penerapannya. Pengintegralan sepanjang kurva, kita harus memperhatikan arah kurva,

Modul 6 berisi pengertian integral garis (kurva), sifat-sifat dan penerapannya. Pengintegralan sepanjang kurva, kita harus memperhatikan arah kurva, ix T Tinjauan Mata Kuliah ujuan mempelajari mata kuliah ini adalah agar Anda memiliki kemampuan dalam menjelaskan aljabar vektor, turunan dan integral fungsi vektor, serta mampu menerapkannya dalam geometri

Lebih terperinci

KONTRAK PERKULIAHAN. Mata Kuliah : Kalkulus I Kode / SKS : FTI2001 / 3 : Ir. Caecilia Pujiastuti, MT Ir. Nurul Widji Triana, MT

KONTRAK PERKULIAHAN. Mata Kuliah : Kalkulus I Kode / SKS : FTI2001 / 3 : Ir. Caecilia Pujiastuti, MT Ir. Nurul Widji Triana, MT KONTRAK PERKULIAHAN Mata Kuliah : Kalkulus I Kode / SKS : FTI2001 / 3 Dosen : Ir. Caecilia Pujiastuti, MT Ir. Nurul Widji Triana, MT Semester : I ( Satu ) Hari Pertemuan / pukul : Selasa, pukul 07.30-10.00

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci