Sistem Bilangan Kompleks

Transkripsi

1 Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham betul tentang sistem bilangan real serta sifat-sifat yang terkandung di dalamnya. Apabila kita ingin mencari x yang memenuhi persamaan x 0 ; x 4x 5 0 maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi masing-masing persamaan tersebut. Untuk dapat menyelesaikan atau memperoleh jawaban perlu diperkenalkan bilangan kompleks. Dalam bentuk formal, bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dua bilangan real. Namun demikian ada beberapa penulisan lain yang mempunyai maksud atau arti yang sama dengan pendefinisian tersebut. Arti geometri dari bilangan kompleks dalam beberapa hal dapat dipahami sebagai vektor di bidang. Meskipun demikian hal tersebut hanya untuk memudahkan Anda memahami bilangan kompleks pada tahap awal saja. Setelah mempelajari modul ini secara umum Anda diharapkan dapat:. memahami operasi aljabar pada sistem bilangan kompleks,. memahami sifat dan arti geometri dari bilangan kompleks. Dan secara lebih khusus lagi Anda diharapkan dapat:. menjumlahkan, mengalikan, mengurangkan dan mencari invers suatu bilangan kompleks,

2 . Fungsi Kompleks. menyajikan bilangan kompleks dalam sistem koordinat Cartesius, polar dan bentuk eksponen, 3. menyatakan persamaan dan pertaksamaan dari daerah lingkaran atau daerah lainnya dalam bentuk bilangan kompleks, 4. menyelesaikan pertaksamaan dalam nilai mutlak (modulus) bilangan kompleks, 5. mencari akar dan memangkatkan suatu bilangan kompleks.

3 MATA43/MODUL.3 Kegiatan Belajar Aljabar Bilangan Kompleks Definisi : Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y, yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan di atas merupakan definisi formal dari bilangan kompleks. Selanjutnya, perhatikan beberapa lambang dan ketentuan berikut. Bilangan kompleks dilambangkan oleh huruf = (x,y). Bilangan real x disebut bagian real dari, ditulis Re( ). Bilangan real y disebut bagian imaginer dari, ditulis Im (). Beberapa pasangan terurut diidentifikasikan secara khusus, yaitu (x,0) = x, merupakan bilangan real x (0,) = i, dinamakan satuan imaginer Kesamaan dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Dua bilangan kompleks ( x, y ) dan ( x, y ) dikatakan sama, ditulis, jika x x dan y y. Khususnya ( x, y ) (0,0) jika dan hanya jika, x 0 dan y 0. Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut.

4 .4 Fungsi Kompleks Definisi 3: Jika ( x, y ) dan ( x, y ) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dan, masing-masing adalah bilangan kompleks dan yang diberikan oleh aturan berikut, ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x, y )( x, y ) ( x x y y, x y x y ) Himpunan semua bilangan kompleks C, bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (field). Teorema : Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yaitu: C dan C,, C. dan,, C. ( ) ( ) dan ( ) ( ),,, C ( ),,, C Ada 0 (0,0) C, sehingga 0 0 ; C 6. Ada (,0) 0, C, sehingga.. ; C 7. Untuk setiap ( x, y) C ada ( x, y) C sehingga ( ) ( ) 0 8. Untuk setiap ( x, y) C, 0 ada sehingga. x y, x y x y C Bukti dari Teorema dapat Anda lakukan dengan berpegang pada Definisi dan 3. Pada bagian berikut Anda akan diperkenalkan pada suatu penulisan lain dari bilangan kompleks ( x, y ). Dengan identifikasi x( x, 0) dan i (0,), gunakan Definisi 3, maka diperoleh:

5 MATA43/MODUL.5 (0, y) (0,).( y,0) iy, disebut bilangan imajiner sejati, ( x, y) ( x,0) (0, y) x iy x yi Demikian pula i i. i (0,).(0,) (,0) Karena itu setiap bilangan kompleks ( x, y ) dapat ditulis dalam bentuk xyi dengan, x dan y bilangan real, i x disebut bagian real dari, ditulis xre( ) y disebut bagian imajiner dari, ditulis yim( ). Dengan menggunakan penulisan xyi, Anda akan lebih mudah melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dilakukan seperti operasi pada bilangan real dengan memandang i. Hal tersebut akan terlihat pada definisi beserta contoh-contohnya sebagai berikut. Definisi 4: x y i dan x y i adalah bilangan kompleks, maka: Jika ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i. ( x y i)( x y i) ( x x y y ) ( x y x y ) i Pada definisi penjumlahan terlihat jelas seperti operasi pada bilangan real dan demikian pula untuk perkalian. x y i x y i x x x y i x y i y y i, dengan mengganti i oleh didapat: x x y y x y x y i

6 .6 Fungsi Kompleks Contoh : Jika ( x, y ) dan (,0), maka. ( x, y)(,0) ( x yi)( 0 i ) x yi (Bukti Teorema Nomor 6). Jika x y ( x, y) dan,, maka x y x y x y ( x yi) i x y x y x y yx xy 0. i i x y x y (Bukti Teorema nomor 8). Contoh : Jika ( x, y) dan a( a,0) maka, a ( a,0)( x, y) ( a0 i)( x yi) ax ayi Khususnya jika a (,0), maka. x yi ( x yi). Contoh 3: x y i dan x y i, maka Jika ( x y i) ( x y i) ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i Selanjutnya jika 0, maka x y i x y i. x y i x y i x y i x y i x x x y i x y i y y i x y i

7 MATA43/MODUL.7 x x y y x y x y i x y x y Khususnya jika, 0 dan, 0 x y, maka x yi x yi x yi x yi x y i x y x y Cara-cara pengerjaan pada Contoh 3 ini dapat menolong Anda apabila tidak dapat mengingat langsung, dan. Dengan menggunakan kedua hal terakhir di atas dapat diperlihatkan, 0 dan, 0, 0. Contoh 4: Diberikan 3i dan 5i. Tentukan atau tuliskan bilangan kompleks,, dan dalam bentuk a bi ; a dan b real. Jawab: (3 i) ( 5 i) (5) ( 3) i3i (3 i) ( 5 i) (5) ( 3) i 74i (3 i)( 5 i) 0 i 5i 3i 77i 3i 3i 5i 0 i 5i 3i. 5i 5i 5i 5i 33i i. 6

8 .8 Fungsi Kompleks Definisi 5: Jika = (x,y) = x + yi, maka bilangan kompleks sekawan dari ; ditulis dan didefinisikan sebagai ( x, y) x yi Sebagai contoh untuk Definisi 5 di atas adalah: 34i, kompleks sekawannya adalah 34i 5i, kompleks sekawannya adalah 5i Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut: Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka.. Re( ) 3. i Im( ) 4. Re( ) Im( ) B. Jika, bilangan kompleks, maka , 0 Contoh 5: Bukti Teorema, A. Misalkan x yi, maka x yi x yi x yi

9 MATA43/MODUL.9 ( x yi) ( x yi) xre( ) ( x yi) ( x yi) yi i Im( ) ( x yi)( x yi) x y Re( ) Im( ) B. Misalkan x yi, x yi x y i x y i x x y y i x x y y i x y i x y i x yi x x y y x y x yi x yi x y x y x x y y x y x y ; i 0 x y x y x yi x yi x yi x yi x yi x yi x yi x yi x x y y x y x y i x y x y Dari dua hal di atas diperoleh. Bagian lain dari Teorema yang belum dibuktikan, Anda coba sendiri sebagai latihan. Contoh 6: Jika i, buktikan 0. Bukti ( i) ( i )

10 .0 Fungsi Kompleks i i i i i 0 Contoh 7: Re Re. Buktikan Bukti Misalkan x yi ; x yi, maka diperoleh x y i ; x y i. x y i x y i x y i x y i x x y y x yi x yi xx y y x yi x yi x x y y Re Re. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x yi. a. (5 i) (3 i ) d. b. ( i) (63 i ) e. 6i 6 5i c. (3 i) ( 3 i ) f. i i i, i, i, i,..., i i i g. i i ) Cari bilangan kompleks xyi yang memenuhi a. b.

11 MATA43/MODUL. Petunjuk Jawaban Latihan ) a. 7 + i e., i,, i,, b. 4 + i f. i c. 5 i g. 3 i d i 6 6 ) a. = b. = yi RANGKUMAN Lambang bilangan kompleks : ( x,y) x yi; x,y real; i. ( x,0) x; (0, y) yi ; (0,)i. Operasi: ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i ( x y i) ( x y i) ( x x ) ( y y ) i x y i x y i x x y y x y x y i x y i x x y y x y x y i x y i x y x y Himpunan bilangan kompleks C bersama operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu lapangan (Coba ingat kembali sifat-sifat lapangan). Invers bilangan kompleks xyi terhadap a. operasi penjumlahan adalah x yi b. operasi perkalian adalah x y x y x y i

12 . Fungsi Kompleks, 0 ; 0, 0 Kompleks sekawan: Bilangan kompleks sekawan dari x yi adalah x yi Sifat:.. 3. Re( ) atau Re( ) ( ) = i Im( ) atau Im( )= ( ) i 4. Re( ) Im( ) , 0 TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Jika 3i dan i, maka sama dengan... A. 8i B. 4i C. 8i D. 4 i

13 MATA43/MODUL.3 ) Jika A. B. 3i dan 4 i, maka 0 i i 7 7 C. 3 i D. i 7 7 sama dengan... 3) Jika xyi, maka Re sama dengan... A. B. C. D. x y x y x y x y x xy y x y x xy y x y 3i 4) Bilangan kompleks sama dengan... i i A. 3 5 i B. 5 3 i C. 5 3 i D. 3 5 i

14 .4 Fungsi Kompleks 5) Jika i, maka sama dengan... A. 3i B. 3 i C. 34i D. 3 4i 6) Jika i, maka sama dengan... A. i B. i C. i D. 44i 7) Pernyataan berikut yang benar adalah... A. i i B. Re( i) Im( ) C. Im( i) Re( ) D. 3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

15 MATA43/MODUL.5 M Kegiatan Belajar Arti Geometri dari Bilangan Kompleks enurut definisi formal, bilangan kompleks merupakan pasangan terurut dua bilangan real. Suatu bilangan kompleks ( x, y) x yi, secara geometri dinyatakan sebagai titik ( xy, ) pada bidang Cartesian. Dengan demikian semua bilangan kompleks dapat terwakili oleh semua titik pada bidang Cartesian. Dalam keadaan ini ada penamaan baru untuk sumbu x sebagai sumbu real dengan sistem satuan dan sumbu y dinamakan sumbu imajiner dengan sistem satuan i. Titik asal O menyatakan bilangan kompleks 0 dan titik yang koordinatnya x y menyatakan bilangan kompleks x, y, x y i. Bidang Cartesian dinamakan bidang kompleks atau bidang. Penyajian bilangan kompleks dalam bidang ini disebut diagram Argand. Gambar.. Bidang Kompleks

16 .6 Fungsi Kompleks Anda telah mengetahui bahwa setiap vektor di bidang Cartesian dapat dinyatakan sebagai vektor yang berpangkal di titik O = (0,0) dan ujungnya di suatu titik (x,y). Kemudian pasangan terurut (x,y) tersebut menyatakan vektor yang dimaksud. Dalam pengertian yang terbatas bilangan kompleks ( x, y ) x yi dapat dipandang sebagai vektor ( xy, ) dan operasi penjumlahan dan pengurangan dua bilangan kompleks secara geometri serupa dengan operasi tersebut pada vektor. Gambar berikut memperlihatkan arti geometri dari bilangan kompleks,,,. - Gambar. Contoh 8: Diketahui bilangan kompleks 3 i, 3i. Gambarkan bilangan kompleks, dan, dengan cara seperti penjumlahan dan pengurangan vektor. Jawab: Diletakkan pada satu bidang kompleks.

17 MATA43/MODUL.7 Apabila dihitung, hasil gambar tersebut harus cocok dengan ( 3 i) (3 i) 4i ( 3 i) (3 i) 5i Gambar.3 Contoh 9: Gambarkan kompleks sekawan dari 3i dan 3i 3i 3i Gambar.4 Setelah ditentukan dan, ternyata secara geometri, kompleks sekawan dari merupakan pencerminan terhadap sumbu real. Arti geometri dari perkalian kompleks dijelaskan pada Kegiatan Belajar 3.

18 .8 Fungsi Kompleks Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 6: Jika xyi bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis dan didefinisikan sebagai x yi x y Definisi ini menunjukkan bahwa merupakan bilangan real positif atau nol. Arti geometri, menyatakan panjang vektor ( xyyaitu, ) jarak dari titik asal O = (0,0) terhadap titik ( x, y ). Akibat dari definisi tersebut, jika x, y dan, x y, maka x x y y, menyatakan jarak antara titik dan titik pada bidang. Gambar.5 Selanjutnya apabila x yi dan r bilangan real positif, maka r menyatakan lingkaran berpusat di titik, x y berjari-jari r, sedangkan r menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di x, y berjari-jari r. Penting sekali diingat bahwa tidak ada urutan antara dua bilangan kompleks dan. Tetapi untuk modulusnya dikenal urutan karena modulus suatu bilangan kompleks merupakan bilangan real.

19 MATA43/MODUL.9 Contoh 0: Gambarkan i 3 dan i pada bidang. Jawab: i 3 dapat ditulis ( i ) 3 merupakan lingkaran berpusat di i (, ) berjari-jari 3 (Lihat Gambar.6.a). i atau ( i ) menyatakan daerah lingkaran yang berpusat di i (0, ) berjari-jari (lihat Gambar.6.b). Gambar.6 Apabila Definisi 6 digunakan langsung, persamaan dan pertaksamaan di atas dapat diturunkan sebagai berikut: Misalkan xyi. Dari i 3 diperoleh atau, x yi i 3 atau ( x ) ( y ) i 3 ( x) ( y ) 3 atau ( x) ( y ) 9 merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (,) berjari-jari 3. Dengan cara yang sama i, berarti x yi i atau x ( y ) i

20 .0 Fungsi Kompleks atau, x ( y ) atau x ( y ) 4, menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di titik (0,) berjarijari. Berikut ini kita perhatikan satu teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks. Teorema 3: A. Jika bilangan kompleks, maka. Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) 5. Im( ) Im( ) B. Jika, bilangan kompleks, maka.., Bukti: A. Misalkan xyi, maka:. x y x y Re( ) Im( )

21 MATA43/MODUL.. x yi, sehingga x ( y) x y x y ( x yi)( x yi) x y x x Re( ) Re( ) x y y y Im( ) Im( ) B. Misalkan, bilangan kompleks, maka. Jadi,.. Lanjutkan seperti bukti B. 3. Tetapi Re Akibatnya Jadi 4. Tulis., dengan menggunakan B.3,. Dari kedua ruas paling luar didapat.

22 . Fungsi Kompleks dengan cara seperti di B.4, didapat 5. Tulis. Gabungkan dengan hasil di B.4, maka diperoleh. Ini berarti. Rumus B.3 dapat diperluas menjadi n n Rumus B.3, B.4 dan B.5 dikenal dengan nama ketaksamaan segitiga. Coba Anda gambarkan dua segitiga masing-masing dengan sisi : a.,, dan b.,,. Bentuk Polar (Kutub) dan Eksponen Dalam koordinat polar bilangan kompleks ( x, y) dinyatakan dalam r dan yaitu ( r, ). Dari Gambar.7 di bawah ini didapat hubungan sebagai berikut: x r cos ; y r sin r x y sudut antara sumbu x positif dengan O. Gambar.7

23 MATA43/MODUL.3 Untuk 0, sudut dihitung dari tan y x dan jika 0 maka r 0 dan dapat dipilih sembarang. Dengan demikian bilangan kompleks ( x, y) x yi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu r(cos i sin ). Definisi 7: Pada bilangan kompleks r(cos i sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 atau disebut argument utama dari, ditulis Arg. Pembahasan untuk tersebut dipilih salah satu saja. Definisi 8: Dua bilangan kompleks cos sin cosθ sin θ r i dan r i dikatakan sama, yaitu r r dan, jika Dengan menggunakan rumus Euler, e i cos i sin bentuk polar bilangan kompleks dapat diubah menjadi i r(cos isin ) re. Penulisan i re merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks. Selanjutnya kompleks sekawan dari adalah: r (cos isin ) r(cos( ) isin( )) re i

24 .4 Fungsi Kompleks Catatan: Rumus Euler dapat Anda buktikan dengan menggunakan deret i Maclaurin untuk cos, sin dan e. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks 3 i dalam bentuk polar dan bentuk eksponen Jawab: Dari masalah di atas kita mempunyai 3 i, r 3 dan tan. Karena di kuadran pertama, maka dipilih, sehingga didapat bentuk polar cos i sin dan bentuk eksponen e i. 6 6 Contoh : Nyatakan bilangan kompleks eksponen: a) 3 i b) 6i c) 33i d) 5i berikut dalam bentuk polar dan bentuk Jawab: a) 3 i, r 4 4 dan tan Karena di kuadran pertama, maka diambil. Diperoleh 6 4 cos sin 4 i i e. / b) 6 i, r 6 dan tan 3. Karena di 5 kuadran empat, diambil atau, sehingga diperoleh cos sin i i e atau 5 /3 3 3

25 MATA43/MODUL i /3 i e cos i sin cos sin c) 33i, r 99 3 dan tan. Karena di kuadran 3 3 dua, maka dipilih, sehingga diperoleh d) Coba sendiri i / 4 3 cos i sin 3 e 4 4 Sebaliknya, dari contoh di atas mudah dilakukan, misalnya cos i sin merupakan bentuk polar. Jika dihitung 4 4 langsung, maka kita peroleh i i LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Hitung jarak antara i dan 3i. ) Dalam bidang kompleks, gambarkan dan sebutkan nama lengkungan yang memenuhi persamaan berikut. a) 5 6 b) Re( ) c) i i 3) Dalam bidang kompleks, gambarkan dan arsirlah daerah yang memenuhi a) Im( ) 0 b) Re( ) 0 c) 3 d) i 4) Tentukan bentuk polar dan bentuk eksponen bilangan kompleks. a) i b) c) 3 i d) 3 3 3i

26 .6 Fungsi Kompleks Petunjuk Jawaban Latihan ) 5 ) a. x yi 5 ( x5) yi 5 6 x 5 y 6 Jadi x5 y 36, lingkaran berpusat di (5,0), jari-jari 6. b. Garis lurus x c. i i x y x y x y y x y y 4y 0 y 0, garis lurus (sumbu x)

27 MATA43/MODUL.7 3) a. y 0 b. x 0 c. x y 9 d. x ( y ) 4 y x 7 7 4) a. cos i sin e 4 4 b. cos isin e i c. d. i / 3cos i sin 3 e 7 7 6cos i sin 6e i /6 7 i / 4

28 .8 Fungsi Kompleks Jika xyi maka modulus dari adalah x y merupakan bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol dan arti geometrinya adalah jarak dari ke titik pangkal O pada bidang kompleks. Bilangan kompleks dinyatakan oleh r (cos isin ) re i dengan tan y x. RANGKUMAN xyi, dalam bentuk polar dan eksponen r dan sudut antara sumbu x positif dengan garis O. disebut argument dari, ditulis arg. Argument utama dari ditulis = Arg dengan 0 atau. Sifat-sifat modulus bilangan kompleks. A.. Re( ) Im( ) Re( ) Re( ) 5. Im( ) Im( ) B...,

29 MATA43/MODUL.9 ) Jika 43i dan i, maka sama dengan... A B. 0 C. 4 D. 4 ) Bentuk polar dari bilangan kompleks 6 i adalah... A. B. C. D. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 5 5 cos i sin 3 3 cos i sin cos i sin 6 6 cos i sin 3 3 3) Himpunan bilangan kompleks pada daerah yang diarsir berikut memenuhi hubungan... A. Im( ) 0 B. Re( ) C. 0 Im( ) D. 0 4) Himpunan bilangan kompleks yang terletak pada daerah yang diarsir berikut memenuhi pertaksamaan... A. i B. i C. D.

30 .30 Fungsi Kompleks 5) Daerah bilangan kompleks yang memenuhi adalah daerah yang diarsir, yaitu... 6) Bentuk eksponen dari bilangan kompleks 3 i adalah... A. B. C. D. 5 4e 6 i 5 4e 6 i 7 4e 6 i 7 4e 6 i

31 MATA43/MODUL.3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

32 .3 Fungsi Kompleks P Kegiatan Belajar 3 Perkalian dan Perpangkatan ada Kegiatan Belajar telah didefinisikan tentang perkalian dua bilangan kompleks. Apabila hal tersebut dilakukan dalam bentuk polar, cos sin r cos i sin perkalian antara r i dan adalah isin r r cos cos sin sin i sin cos cos sin r r cos Bentuk terakhir ini merupakan rumus perkalian dua bilangan kompleks di dalam bentuk polar. Segera terlihat bahwa arg arg arg Perkalian dua bilangan kompleks dan dapat pula ditentukan secara geometris pada bidang kompleks, dengan alasan sebagai berikut. Pada Kegiatan Belajar telah didapat, dan selanjutnya dapat dituliskan sebagai, 0. Secara geometris, hal ini menyatakan adanya kesebangunan dua segitiga seperti terlihat pada Gambar.8. Gambar.8

33 MATA43/MODUL.33 Rumus De Moivre Apabila r cos i sin r cos isin r cos isin ; n bilangan asli, n n n n maka dari rumus perkalian dua bilangan kompleks dapat dilanjutkan secara induktif dan didapat sin r r r cos i n n n n Akibatnya, jika r(cos i sin ), maka r (cos ni sin n ) Khususnya, jika r = didapat Rumus De Moivre: n (cos isin ) cos n isin n, n bilangan asli n n Pembagian bilangan kompleks cos sin r (cos i sin ) 0, adalah, r i oleh. r cos isin r cos isin cos isin r cos isin r cos isin cos isin r cos cos sin sin i sin cos cos sin r cos sin r cos r isin Dari rumus pembagian ini diperoleh arg arg arg Akibat lainnya, jika r(cos i sin ), maka

34 .34 Fungsi Kompleks cos( ) i sin ( ) r cos i sin r Apabila bahwa n menyatakan, n bilangan asli, dapat ditunjukkan pula n n n cos( ) sin ( ) n n r n i n Jadi, rumus De Moivre berlaku untuk n bilangan bulat. Contoh 3: 7 Hitung ( i ). Jawab: Misalkan i, maka : r dan tan. 3 Karena di kuadran dua, dipilih sehingga diperoleh 4 i 3 3 cos i sin 4 4 dan 7 7 ( i) cos i sin cos i sin i 88i. Contoh 4: Hitung 6 3 i

35 MATA43/MODUL.35 Jawab: Misalkan 3 i, maka r 3 dan di kuadran empat, dipilih sehingga diperoleh 6 3 i cos i sin 6 6 dan untuk i cos i sin. 64 tan. Karena 3 Akar dari Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar ke-n dari bilangan kompleks w apabila n w dan ditulis n w. Jika (cos i sin ) akar ke-n dari bilangan kompleks wr(cos i sin ) yang diketahui, maka n n w atau (cos ni sin n) r(cos i sin ) n Dari persamaan terakhir diperoleh r dan nk, k bilangan bulat Akibatnya diperoleh r n k dan. n Dengan demikian didapat akar ke-n dari bilangan kompleks wr(cos i sin ) adalah cos k sin k r n i ; k bilangan bulat dan n n n bilangan asli. Dalam hal ini ada n buah akar berbeda yang memenuhi n w. Untuk memudahkan dipilih bilangan bulat k k 0,,,..., ( n) ; 0, sehingga didapat,,..., n n sebagai akar ke-n dari w.

36 .36 Fungsi Kompleks Contoh 5: / 4 Tentukan ( 6). Jawab: Misalkan 4 6. / 4 ( 6), berarti harus dicari penyelesaian persamaan Tulis (cos i sin ) dan 6 6(cos πi sin π), sehingga 4 (cos4 isin 4 ) 6(cos i sin ). Dari persamaan ini diperoleh 4 6 atau k 4 k atau, k bilangan bulat. 4 Jadi cos k sin k i 4 4 Keempat akar tersebut adalah: Untuk k 0; cos i sin 4 4 i k ; 3 3 cos i sin 4 4 i k ; cos i sin 4 4 i 7 7 k 3; 4 cos i sin i. 4 4 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Hitung ) Hitung 5 ( i ). ( 3 i ) 0.

37 MATA43/MODUL.37 3) Tentukan jawab persamaan 3 3i 0. 4) Tentukan semua nilai yang memenuhi /3 a. ( ) b. / 4 ( 8) Petunjuk Jawaban Latihan ) 7 8 ( i ) ) ( 3 i ) 3) 3 4 cos i sin cos i sin cos i sin 9 9 4) a. i 3, dan 3 i b. i, i, 3 i dan i RANGKUMAN Apabila cos sin dan cos sin r i r i, maka : r r cos i sin

38 .38 Fungsi Kompleks r cos i sin r arg arg arg arg arg arg Rumus: cos sin cos sin n n r i r n i n ; berlaku untuk n bilangan bulat. Rumus De Moivre : n (cos isin ) cos n isin n ; n bilangan bulat. n Apabila, cos sin w w r i ; n bilangan asli, maka akar ke-n dari w adalah, w n cos k sin k rn i ; n bilangan asli dan k bilangan n n bulat. Dalam hal ini ada n akar, yaitu,,..., n yang diperoleh dengan cara mengambil k0,,,...,( n ). TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) 6 ( i ) =. A. 88i B. 8i C. 8i D. 88i

39 MATA43/MODUL.39 ) i =. A. B. C. D. 7 8 ( i ) 5 8 ( i ) 7 8 ( i ) 5 8 ( i ) 3) Jika A. B. C. D. 4) Jika 3 i, maka... 6 k k cos isin ; 0,, 3 3 k 6 k k cos isin ; 0,, k 6 cos kisin k ; 0,, 4 4 k k k cos isin ; 0,, k 8, maka =... k k A. cos i sin 8 8 k k B. cos i sin C. cos kisin k k k D. cos i sin 4 4 masing-masing untuk k = 0,,,..., 7 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.

40 .40 Fungsi Kompleks Jumlah Jawaban yang Benar Tingkat penguasaan = 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.

41 MATA43/MODUL.4 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) C ) A 3) B 4) D 5) C 6) B 7) B Tes Formatif ) B ) C 3) B 4) A 5) C 6) D Tes Formatif 3 ) C ) A 3) B 4) D

42 .4 Fungsi Kompleks Daftar Pustaka Churchill, Ruel V. (960). Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill Publishing Company, Inc. Kreysig, Erwin. (979). Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley and Son. Paliouras, John D. (975). Complex Variables for Scientists and Engineers. New York: Macmillan Publishing Company, Inc. Spiegel, Murray R. (98). Complex Variables. Singapore: McGraw-Hill International Book Company.