BAB IV DIFFERENSIASI
|
|
- Widya Iskandar
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika terdapat a buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.. l A Gambar 4. A B l Gambar 4. Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(,f( )) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih 88
2 suatu titik B(,f()). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l yang mempunyai kemiringan : m = f() - f() - ( 4. ) y l A l B Kemiringan garis l = m Kemiringan garis l = m h Gambar 4. Jika f() kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara dan. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk : f( ) - f() lim m lim ( 4. ) Persaman (4.) adalah kemiringan garis l jika mendekati. Jika kita perhatikan Gambar 4. maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l jika mendekati adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis : f( ) - f() lim m lim m 89
3 Jadi : f( ) - f() m lim ( 4. ) f( h) - f() Karena = h, maka m lim ( 4.4 ) h h f( ) - f() Jika dimisalkan h =, maka m lim ( 4.5 ) Persamaan 4. s/d 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik (, f()) Contoh 4. Diketahui f() = + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a ) f( ) - f() m lim ( ) ( ) 5 5 lim lim lim 6 6 Jadi m = 6 (*) Persamaan garis singgung : y = m + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a ) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a = 6a + n. Sehingga n = -5a Persamaan garis singgung menjadi : y = 6a 5a 4. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f() menjadi turunan f() atau f (). f() Differensiasi f () Gambar 4.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f() di titik (,f()). Berdasarkan persamaan 4. dan Gambar 4. maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk : f( ) f() f'() lim, jika nilai limitnya ada ( 4.6 ) Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f() dapat didifferensiasikan (differensiable) pada. Maka dikatakan f() mempunyai turunan pada. 9
4 Contoh 4. Jika f() = + 5 7, tentukan f (), f (c) dan f () f() = f(+) = (+) + 5(+) 7 = + 4 +() f(+) f() = 4 + () + 5 f( ) f() 4 ( ) 5 f'() lim lim lim 4 Jadi : f'() 4 5 f'(c) f'() 4c 5 4() Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (646 76). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai /, /dz, dimana dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(), maka : / = f (). 4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada maka f dikatakan kontinu pada. Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu : f( ) f() f( ) f() Jika : lim ada, maka f'() lim f( ) f() f(+)-f()= f( ) f() lim (f( ) f()) lim. lim =f (). = Sehingga : lim f( ) lim f() lim f() f() (terbukti) Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada, maka tidak secara otomatis f differensiable pada. 4.5 Teorema-teorema 4.5. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai : 9
5 y = f() = c maka f'() ( 4.7 ) f() = c ; f(+) = c f( ) f() c c f'() lim = lim (terbukti) 4.5. Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai : y = f() = k n maka n f'() kn ( 4.8 ) f() = k n f(+) = k(+) n Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(+) n = k n kn n kn(n ) n ( ) k(n - )! n-!!! (n )! f( ) f() f'() lim n kn (terbukti) Contoh 4. Tentukan turunan pertama dari f() = f'() (5)(7) 5 kn! n n! 4.5. Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f() + g() maka f'() g'() ( 4. 9 ) h() = f() + g() h(+) = f(+) + g(+) h( ) h() f( ) g( ) f() g() h () = lim lim f( ) f() g( ) = lim lim f'() g'() (terbukti) Contoh 4.4 Diketahui y =
6 Tentukan f() = 5 6 g() = - f () = 5 g () = -6-4 f () + g () = Aturan perkalian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f().g() maka f'()g() f()g'() (4.) f( ).g( ) f().g() h () = lim f( ).g( ) f( ).g() f( ).g() f().g() = lim g( ) g() f( ) f() = lim f( ) + lim g() = f().g () + g().f () (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = ( )(7+) Tentukan f() = g() = 7+ f () = g () = 7 4 = f ().g() + g ().f() = (5-4 - )(7+) + ( )(7) = = Aturan pembagian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h() = f() g() maka f'()g() f()g'() (4.) g() 9
7 f() f( ) h() = ; h(+) = g() g( ) f( ) f() h( ) h() g( ) g() h () = lim lim g().f( ) g( ).f() = lim.g( ).g() g().f( ) f().g() g( ).f() f().g() = lim.g( ).g() f( ) f() g( ) g() = lim g() - lim f().g( ).g().g( ).g() f( ) f() g( ) g() = lim g() - lim f() g( ).g( ) g( ).g( ) g().f'() g'().f() = (terbukti) g() Contoh Tentukan h () jika h() = 4 f() = 4 f () = 8 6 g() = 4 g () = f'().g() f().g'() (8 6)(4 ) ( 4 )( ) h () = [g()] (4 ) = = Turunan fungsi komposisi Jika y = f(u) dan u = g() maka (4.) Jika y = f(u) dan u = g() maka y = f(g()). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(). u = g() u= g(+) g() g(+) = g() + u = u + u Jadi u maka y = f(g()) y = f(g(+)) f(g()) 94
8 y f(g( )) f(g()) f(g( )) f(g()) u u y f(u u) f(u) u u y lim f(u u) f(u) u lim u f(u u) f(u) u lim. lim u (terbukti) Persamaan 4. disebut aturan rantai Contoh 4.7 Tentukan jika y = ( ) Misal u = y = u u u ( ) ( )(4 5 4) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!. f(t) = at 5 4 bt f() = f() = g(t) = (at +bt+c) (at 7) 5. g() = 8. h(w) = 4 4. h() = 5 9. v(t) = 5. w() = g(t) = b aw w c (at bt) (ct d) (t ) t t Turunan fungsi-fungsi trigonometri Jika y = f() = sin maka f'() cos (4.) f( ) f() sin( ) sin f'() lim lim 95
9 sin cos cos sin sin lim sin (cos ) cos sin lim (cos ) sin sin cos lim cos sin sin lim cos lim = (sin)() + (cos)() = cos (terbukti) Jika y = sin u dan u = f() maka cos u (4.4) y = sin u cosu u = f() f'() cosu (terbukti) Jika y = f() = cos maka f'() f( ) f() cos( ) cos lim lim coscos sinsin cos lim cos (cos ) sinsin lim (cos ) sin cos sin lim cos cos sin sin lim lim = (cos)() - (sin)() = -sin (terbukti) f'() sin (4.5) Jika y = cos u dan u = f() maka y = cos u sinu sin u (4.6) u = f() f'() 96
10 sinu (terbukti) Contoh 4.8 Jika y = sin(-), tentukan Misal u = - y = sin u cos u (cos u)( ) cos( ) Contoh 4.9 Jika y = cos tentukan Misal u = y = cos u / sin u ( sin u)( ) - sin Contoh 4. Jika y = sin cos, tentukan Misal u = sin v = cos dv cos sin dv.v u (cos)(cos) (sin)( sin) cos.cos sin.sin Contoh 4. sin Jika y = cos 4.v v, tentukan Misal u = sin v = cos 4 dv cos 4sin 4 dv u. (cos)(cos 4) (sin)( 4sin4) (cos 4) cos.cos 4 4 sin.sin 4 cos 4 97
11 Jika y = f() = tan maka f'() sec (4.6) sin y = tan = cos u = sin v = cos dv cos sin dv.v u. = v (cos )(cos ) = sec (terbukti) cos (sin )( sin ) cos sin = cos (cos ) Jika y = tan u maka (sec u) (4.7) y = tan u sec u u = f() f'() (sec u) (terbukti) Contoh 4. Jika y = 5 tan, tentukan Misal u = y = 5 tan u 5 sec u (5 sec u)() 5 sec u 5 sec Jika y = f() = cot maka cos y = cot = sin u = cos v = sin dv sin cos f'() csc (4.8) 98
12 dv.v u. = v = csc (terbukti) sin ( sin )(sin ) (cos )(cos ) (sin ) (sin cos ) = sin Jika y = cot u maka ( csc u) (4.9) y = cot u csc u u = f() f'() ( csc u) (terbukti) Contoh 4. Jika y = cot, tentukan Misal u = y = cotu csc u ( csc u)( ) csc u csc 6 6 Jika y = f() = sec maka y = sec = cos u = v = cos dv sin dv.v u. ( )(cos ) ()( sin ) = v (cos ) sin = sec tan (terbukti) cos f'() sec tan (4.) 99
13 Jika y = sec u maka (sec u tanu) (4.) y = sec u secu tanu u = f() f'() (sec u tan u) (terbukti) Jika y = f() = csc maka f'() csc cot (4.) y = csc = sin u = v = sin dv cos dv.v u. ( )(sin) ()(cos ) cos = = csc cot (terbukti) v (sin ) sin Jika y = csc u maka y = csc u cscu cotu u = f() f'() ( csc u cot u) (terbukti) Contoh 4.5 Jika y = csc( ), tentukan Misal u = - y = cscu cscu cotu ( cscu cotu)( ) ( csc u cotu) (4.) cscu cotu csc( ) cot( - ) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! PR :, 5, 6 & 9. f() = sin( ) 6. f() = csc 4 ( )
14 . f() = cos ( ) 7. g(t) = sint cos t. g() = tan sin(aw ) 8. h(w) = cos( bw) 4. h() = cot 9. v(t) = 5. w() = sec 5 ( ). g(t) = at sint cos(b t) cost sin t sint 4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers Jika y = f() = arcsin maka f'() (4.4) y = arcsin sin y = cos y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cosy sin y = cos y = (terbukti) y Jika y = arcsin u dan u = f() maka y = arcsin u u. (terbukti) u Contoh 4.6 Jika y = arcsin( ), tentukan 8 Misal u = y = arcsinu 8 (4.5) u
15 8 8 u u 8 9 Jika y = f() = arccos maka f'() (4.6) y = arccos cos y = siny Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! siny cos y = sin y = (terbukti) y Jika y = arccos u dan u = f() maka y = arccos u Contoh 4.7 Jika y = arccos u. (terbukti) u, tentukan Misal u = y = arccosu u () u 6 4 (4.7) u
16 Jika y = f() = arctan maka f'() (4.8) y = arctan tan y = sec y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sec y tan y = sec y = (terbukti) y Jika y = arctan u dan u = f() maka y = arctan u u. u (terbukti) u (4.9) Contoh 4.8 Jika y = arctan 5 Misal u =, tentukan y = arctan u 5 5 u 5 u 5( ) 9 Jika y = f() = arccot maka f'() (4.) y = arccot cot y = -csc y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y cot y = csc y =
17 (terbukti) y Jika y = arccot u dan u = f() maka y = arccot u u. u (terbukti) (4.) u Contoh 4.9 Jika y = arccot, tentukan Misal u = y = arccot u u 6 () u 9 Jika y = f() = arcsec maka f'() (4.) y = arcsec sec y = secy tany Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! secy tan y sec y = sec y tan y = (terbukti) y Jika y = arcsec u dan u = f() maka y = arcsec u u u. (terbukti) u u (4.) u u 4
18 Contoh 4. Jika y = arcsec ( ), tentukan Misal u = y = arcsec u u u u ( ) u ( ) ( ) Jika y = f() = arccsc maka f'() (4.4) y = arccsc csc y = -csc y cot y cscy cot y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y = csc y cot y = (terbukti) y Jika y = arcsec u dan u = f() maka y = arccsc u u u. (terbukti) u u Contoh 4. Jika y = arccsc ( ), tentukan Misal u = y = arccsc u u u (4.5) u u 5
19 u () u ( ) ( ) Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut! cos. y = arcsin(-). y arccos. y = - arccos 4 4. y = arctan sin 4.8 Turunan fungsi Eksponen Jika y = f() = e maka f'() e (4.6) e n didefinisikan sebagai n lim n Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n n n. n n n n(n ). n(n )(n ). n =! n! n! n! n n ( /n) n = ( /n)( /n)!! n n lim ( /n) ( /n)( /n) n = n lim!! e = (4.7)! Sehingga : e =!! Jika y = f() = e Maka! f( ) f() e e f'() lim lim e (e ) lim Karena e =, maka e =!! Sehingga e (e ) lim = lim e e (terbukti)! (4.8) Jika y = e u dan u = f() maka y = e u u e f'( u = f() ) u e (4.9) 6
20 7 e u (terbukti) Contoh 4. Jika y = b a e, tentukan Misal : u = a b = -b b a b a be b) )( (e 4.9 Turunan fungsi logaritma Jika y = f() = ln maka ) f'( (4.4) y = f() = ln ln lim ln ) ln( lim f() ) f( lim f'() ln lim ln lim ln lim Berdasarkan teorema binomial maka :!!! Jadi :!!! ln lim ln lim!! ln lim ln lim ln e!! ln (terbukti)
21 Jika y = ln u dan u = f() maka y = ln u u u = f() f'() (terbukti) u (4.4) u Contoh 4. Jika y = e ln tentukan Misal : u = e v = ln dv e Jika y = f() = a log maka.v u. y = a log a y = y ln a = ln y = ln lna (terbukti) (ln a) dv f'() e ln e (ln a) e ln (4.4) Jika y = a log u dan u = f() maka y = a log u (ln a)u.. (terbukti) (ln a)u (4.4) (ln a)u Contoh 4.4 Jika y = 7 log(-5) tentukan Misal : u = (lna) u (ln7)( 5) 8
22 Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!. y = e ln e 4. y = 7. y = 4 e ln4. y = e 5. y =. y = ln 6. y = (ln 4 e ) e ln y = 9. y = 5 log( ) e ab e log4. y = ln5 e e ln 4. Turunan fungsi hiperbolik Jika y = f() = sinh maka f'() cosh (4.44) y = f() = sinh = (e e ) f'() = (e e ) = cosh (terbukti) Jika y = sinh u dan u = f() maka y = sinh u coshu. coshu (terbukti) cosh u (4.45) Contoh 4.5 Jika y = sinh, tentukan 5 Misal : u = 5 y = sinh u cosh u 5 9
23 (cosh u)( ) cosh 5 5 Jika y = f() = cosh maka f'() y = f() = cosh = (e e ) f'() = (e e ) = sinh (terbukti) sinh (4.46) Jika y = cosh u dan u = f() maka y = cosh u sinh u. sinh u (terbukti) sinh u (4.47) Contoh 4.6 Jika y = cosh (-), tentukan Misal : u = - y = cosh u sinh u (sinh u)(-) sinh( ) Jika y = f() = tanh maka y = f() = tanh = sinh cosh f'() sech (4.48) f'() = (cosh )(cosh ) (sinh )(sinh ) cosh sinh (cosh ) cosh = sech (terbukti) cosh Jika y = tanh u dan u = f() maka sech u (4.49)
24 y = tanh u sech u. sech u (terbukti) Contoh 4.7 Jika y = tanh (a+b), tentukan Misal : u = a+b y = tanh u b sech u (sech u)(b) b sec h (a b) Jika y = f() = coth maka y = f() = coth = cosh sinh f'() -csch (4.5) f'() = (sinh )(sinh ) (cosh )(cosh ) sinh cosh (sinh ) sinh = csch (terbukti) sinh Jika y = coth u dan u = f() maka y = tanh u csch u. csch u (terbukti) - csch u (4.5) Contoh 4.8 Jika y = coth (a+bt), tentukan dt Misal : u = a+bt y = coth u b csch u dt ( csch u)(b) b csch (a bt) dt dt Jika y = f() = sech maka y = f() = sech = cosh f'() -csch (4.5)
25 Misal u = V = cosh dv sinh dv.v u. ( )(cosh) ()(sinh ) = = v (cosh ) = - tanh sech (terbukti) sinh cosh Jika y = sech u dan u = f() maka y = sech u tanh u sech u. tanhu sechu (terbukti) - tanhu sechu (4.5) Contoh 4.9 Jika y = sech ( ) 5, tentukan dt Misal : u = y = sech u 5 tanhu sechu 5 ( tanhu sechu)(- ) tanh( dt dt 5 5 y = f() = csch maka y = f() = sech = f'() sinh Misal u = ) 5 sech( ) 5 -csch coth (4.54) dv V = sinh cosh dv.v u. ( )(sinh ) ()(cosh) = = v (sinh ) = - coth csch (terbukti) cosh sinh Jika y = csch u dan u = f() maka y = csch u coth u csch u - cothu cschu (4.55)
26 . cothu cschu (terbukti) Contoh 4. Jika y = -csch ) 5 dt Misal : u = 5 y = - csch u cothu cschu ( cothu cschu)( ) coth( ) dt dt 5 sech( 5 ) Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! a. y = sinh(-) 6. y = b c coth( ). y = cosh(a b) 7. y =. y = sinh5 8. y = e a sech sec h ln(4 5) 4. y = e m cosh 9. y = csch( -) 5 5. y = ln(-) tanh. y = e csch(a-b) 4. Turunan fungsi hiperbolik invers Jika y = f() = sinh - maka f'() (4.56) y = f() = sinh - = ln( ). (terbukti) Jika y = sinh - u dan u = f() maka y = sinh - u u. (terbukti) u (4.57) u
27 Contoh 4. Jika y = -sinh -, tentukan dt Misal : u = y = - sinh - u u dt dt ( )( ) u 4 Jika y = f() = cosh - maka f'(), > (4.58) y = f() = cosh - = ln( )., > (terbukti) Jika y = cosh - u dan u = f() maka y = cosh - u u., u > (terbukti) u Contoh 4. Jika y = cosh -, tentukan 4 Misal : u = y = cosh - u 4 4 u ( )( ) dt dt 4 u 9 4 6, u > (4.59) u Jika y = f() = tanh - maka f'() y = f() = tanh - = ln,, (4.6) 4
28 ., (terbukti) ( ) Jika y = tanh - u dan u = f() maka u (4.6) y = tanh - u u., u (terbukti) u, u Contoh 4. Jika y = tanh - (-), tentukan Misal : u = - y = tanh - u u ( )() u ( ) Jika y = f() = coth - maka f'(), (4.6) y = f() = tanh - = ln,., (terbukti) ( ) Jika y = coth - u dan u = f() maka u y = tanh - u u., u (terbukti) u, u (4.6) Contoh 4.4 Jika y = coth - (-), tentukan Misal : u = - ( u y = tanh - u u 9 )( ) ( ) 5
29 Jika y = f() = sech - maka f'() y = f() = sech - = ln,, (terbukti), (4.64) Jika y = sech - u dan u = f() maka y = sech - u u u., u (terbukti) u, u (4.65) u u Contoh 4.5 Jika y = - sech - (-), tentukan Misal : u = - ( u Jika y = f() = csch - maka y = sech - u u u )( ) u ( ) f'() ( ) (4.66) y = f() = csch - = ln (terbukti) Jika y = csch - u dan u = f() maka y = csch - u u u. (terbukti) u u (4.67) u u Contoh 4.6 6
30 Jika y = csch - (sin), tentukan Misal : u = sin y = csch - u cos u u ( )(cos ) u u sin cos sin Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi :. y = sinh - (cos) 4. y = coth -. y = cosh - (sin) 5. y = sech - ( sin). y = tanh - (+) 6. y = e - csch - (-) 4. Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f() yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f (). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kea dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kea dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kea dan ketiga ditulis dengan lambang : d y d y, dan atau f (), f () dan f (). Sedangkan untuk turunan ke n, dimana n ³4, maka kita gunakan lambang : n d y n atau f (n) (). Contoh 4.7 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f() = ( -4) f'() ( 4) () 6( 4) d y f''() 6( 4) 6(4)( 4) 6( 4) 4 ( 4) d y f'''() 4( 4) 48( 4) d y (4) f () Soal-soal Tentukan turunan kea dari fungsi-fungsi :. f() = e -. f() = ln(a-b). f() = 7
31 4. f() = 4 5. f() = sin (a-b) 6. f() = cos (m+n) 4. Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang / sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dan secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(). Dari Gambar 4.5 y f( + ) f() y l l f() = + Gambar 4.5 y didapat : y (4.68) Jika harga sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi : f () (4.69) Pada persamaan 4.69 diatas dan disebut differensial dari dan y. Differensial y atau adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah atau. Contoh 4.8 Jika y = -, tentukan differensial y f() = - f () = Sehingga : = (-) = (-) Contoh 4.9 8
32 Volume sebuah silinder adalah V = r h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar % dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. f(r) = r h f (r) = rh dv = f (r) dr = rh (,r) =, r h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar, r h Soal-soal. Sebuah bola mempunyai jari-jari 5 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 5, cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut?. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.ukuran kolam renang tsb adalah sebagai berikut : panjang = 5 m, lebar = meter dan kedalaman = meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi,98 m. Berapakah volume air yang menguap? Penjelasan : Kerjakan kea soal tersebut diatas dengan metode differensial! 4.4 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(,y) =. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut :. Jika pada F(,y) = menganng suku g(), maka : d g() g'() (4.7). Jika pada F(,y) = menganng suku h(y), maka : d h(y) h'(y) (4.7). Jika pada F(,y) = menganng suku u() dan v(y), maka : d u().v(y) u'().v(y) u().v'(y) (4.7) = Contoh 4.4 Tentukan dari : y +y = 4 y +y = 4 y +y 4 = 9
33 y + y - = ( y ) = y - y y Contoh 4.4 Tentukan dari : y + y = 6 pada titik (,) y + y = r y + y - r = y + + y + y = ( + y) = -(y + y (y y ) ) ( y) y 8 5 Soal-soal. Tentukan dari : i) + y = siny ii) y = cos (+y) iii) y = e y iv) y = ln(y). Tentukan nilai pada titik (,) dari : i) y + e +y = e ii) + y + y = 4.5 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk : = f(t) dan y = g(t), dengan t adalah parameter (4.7) Untuk menentukan turunan pertama atau / dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan /dt dan /dt. Serlanjutnya / dicari dengan rumus: / dt (4.74) / dt Soal-soal Tentukan dari fungsi parameter berikut :
34 . ïî ï í ì 4) (t y ) (t. î í ì cost y ) sin(t. ïî ï í ì 7) ln(5t y e t 4. ï ï î ï ï í ì t t y t t
(a) (b) Gambar 1. garis singgung
BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis
Lebih terperincim= f x -f x (1) l 1 A Kemiringan garis l 1 =m 1 Kemiringan garis l = m x x x 1 h Gambar 11.3
TURUNAN 11.1 GARIS SINGGUNG Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 11.1 Akan tetapi jika terdapat
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
Lebih terperinciBAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciFUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
Lebih terperinciBagian 3 Differensiasi
Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciMateri UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciBab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;
Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang
Lebih terperinciAturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperincibila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciDIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis
DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3, maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau Turunan kea y 11 atau d( ) B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = n maka d (3) atau ditulis
Lebih terperinciTransformasi Laplace BDA, RYN MATERI KULIAH KALKULUS TEP FTP UB
Transformasi Laplace BDA, RYN Referensi Desjardins S J, Vaillancourt R, 11, Ordinary Differential Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for Engineers, University of Ottawa, anada. Poularikas
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinci4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciKALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciSeri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR
Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciA. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan
A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga
Lebih terperinciINTEGRASI Matematika Industri I
INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris
Lebih terperinciMatematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Lebih terperinciTurunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15
Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15 Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinciTEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.
Lebih terperinciMatematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciBAB II FUNGSI D K D K. ( a ) ( b ) Gambar 2.1. Gambar 2.2
BAB II FUNGSI. Definisi Jika nilai dari suatu esaran, misal, ergantung pada nilai esaran lainna, misal, maka kita dapat mengatakan ahwa adalah fungsi dari. Cara lain untuk menatakan ketergantungan terhadap
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri
Lebih terperinciBAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi
BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinciDIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa
Lebih terperincimatematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Malang, 20 Januari 2015 Penulis. DR Suhartono M.Kom
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahirabbil Alamin penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan ridha-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1980
Matematika Proyek Perintis I Tahun 980 MA-80-0 Di antara lima hubungan di bawah ini, yang benar adalah Jika B C dan B C, maka A C Jika A B dan C B, maka A C Jika B A dan C B, maka A C Jika A C dan C B,
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN n n n k k 0 k u nu u n n ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( n n n c RUMUS JUMLAH
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Fungsi Invrs Misalkan : D R a y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciKalkulus II Intgral Fungsi Transndn Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. www.kopujiyanto.wordprss.com kop003@yahoo.com 08 78 399 Matri Intgral Fungsi Logaritma dan Eksponn Intgra Invrs Fungsi Trigonomtri Intgra
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN KOMPLEKS
BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
Lebih terperinciFungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciMAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinci( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75
Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinci