Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i

2 Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg- edisi Juli Alamat pos: anayakan D-3, Bandung, 435. Fa: (6) () 5347 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3 BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi. 3.. Integral Fungsi Tetapan: a a a + karena da a Contoh: y Integral Fungsi Mononom: n n+ n n n arena dengan syarat n, maka + n+ 3 Contoh: y + 3 n m 3.3. Integral Fungsi Polinom ( + ) Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. n m n m arena d( + ) + maka ( n + m n+ m+ ) + +, n+ m+ Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. 5 ( + 4) 4 4 dengan syarat n, m (+ 5) 3 ( ) 3

4 3.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: n n+ n Jika adalah polinom, maka + n+ n+ d n+ n mencari n. karena dengan syarat n. Formulasi ini digunakan untuk Contoh: Hitunglah y ( + ) Misalkan y (+ ) ita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu y ( ) (4 4 ) 3 Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, Contoh: Hitunglah Misalkan + / 6. 3 y / / 3 y 3 / / Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. ( ) (3 ) + 4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

5 3.5. Integral Fungsi Berpangkat -: arena d (ln ), maka ln +. Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n pada integrasi n. Contoh: Carilah integral y + Misalkan + y ln + ln( + ) + + Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini Integral Fungsi Eksponensial: e arena de e maka e e + Soal-Soal: / 3 e e e + e e 3.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : a a arena da a ln a maka a + ln a Contoh: Carilah y 3 Misalkan 3 3 y 3 + ln 3 5

6 3.8. Integral Fungsi Trigonometri arena d sin cos maka cos sin + arena d cos sin maka sin cos+ Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-3.. Contoh: Carilah integral tak tentu 6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral y sin Misalkan sin cos cos y sin Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini. sin 4 cos(+ ) 4cos3. sin cos sin cos a sin cos. sin cos sin. cos 3.9. Integral Fungsi Hiperbolik arena d(sinh ) cosh maka cosh sinh + arena d(cosh ) sinh maka sinh cosh + Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-3.. Contoh: Carilah y cosh( + ) Misalkan + y cosh(+ ) cosh( ) sinh(+ ) + sinh +

7 Soal-Soal: Carilah integral berikut sinh sinh tanh cosh tanh 4 cosh 3.. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inersi Integral fungsi-fungsi yang berbentuk, + dan setrusnya mulai nomer sampai 3, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inersi. Contoh: Carilah y 4 Jika kita membuat pemisalan 4 maka 8 atau. alau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan 8 integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk / 8 yang tidak dapat diproses lebih lanjut persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah. Namun bentuk ini dapat kita transformasi menjadi bentuk 4 yang termuat dalam Tabel-3., yaitu nomer. ita misalkan yang akan memberikan atau. Persoalan integral kita menjadi y 4 yang menghasilkan y sin + sin () + Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini , 7

8 3.9. Relasi Diferensial dan Integral Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula sampai 9 dan 6, 7 yang sering kita temui. Tabel d ( k) k. k k 3. d + w) + dw 3. ( + dw) + dw n n 4. n n+ n 4. + C n n+ 5. d (ln ) 5. ln + 6. de e 6. e e + 7. da a ln a a 7. a + ln a 8. d(sin ) cos 8. cos sin + 9. d(cos) sin 9. sin cos+. d(tan ) sec. sec tan +. d(cot) csc. csc cot+. d(sec ) sec tan. sec tan sec+ 3. d(csc) csccot 3. csc cot csc+ 4. d(sinh ) cosh 4. cosh sinh + 5. d(cosh ) sinh 5. sinh cosh + 6. d(tanh ) sech 6. sec h tanh + 8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

9 7. d(coth) csch 7. csch coth+ 8. d( sech) sech tanh 9. d( csch) cschcoth 8. sec h tanh sech+ 9. csch coth cosh+. d(sin ). sin +. d(cos ). cos +. d tan. + tan d cot 3. + cot d sec 4. sec +, > 5. d csc 5. csc +, > 6. d(sinh ) 6. sinh d (cosh ) 7. cosh + 8. d(tanh ) 8. tanh + jika < 9. d(coth ) 9. coth + jika > 3. d(sech ) 3. sech + 3. d(csch ) + 3. csch + + 9

10 Catatan Tentang Isi Tabel-3.. Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-3. kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: Fungsi mononom dan polinom: Fungsi polinom berpangkat: Fungsi eponensial: e Fungsi trigonometri: cos sec tan csc cot. tetapi tidak: tan n a sin cot sec csc sec csc. Fungsi hiperbolik: cosh csc h sec h tanh csch coth. tetapi tidak: tanh coth sinh sec h sec h csc h. Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inersi dan fungsi hiperbolik inersi, seperti tetapi tidak mengintegrasi fungsi inersi seperti sin tan sinh. tanh Tabel-3. tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk a ± a dsb a + Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

11 BAB 4 Integral (3) (Integral Tentu) 4.. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. onsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. ita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kura y f(), sumbu-, garis ertikal p, dan q, yaitu luas bagian yang diarsir pada Gb.4..a. Sebutlah luas bidang ini A pq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya untuk memperoleh A pq. Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.4..b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luas segmen bawah). Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.4..c, kita akan memperoleh luas yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan sebutlah jumlah luas segmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas). edua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan pada Gb.4..d. Jika k adalah suatu nilai di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu antara k dan ( k + ), maka berlaku f ( ) f ( ) f ( + ) (4.) k k Jika pertidaksamaan (4.) dikalikan dengan k yang yang cukup kecil dan bernilai positif, maka f k ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k (4.)

12 y y f() (a) y p k k+ n q y f() (b) y p k k+ n q y f() (c) y p k k+ n q y f() (d) p k k+ n q Gb.4.. Menghitung luas bidang di bawah kura. Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

13 Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (4.) kita jumlahkan dari sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita buat), kita akan memperoleh n n n f ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k (4.3) k k k Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ruas paling kanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ruas yang di tengah adalah jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n. Jelaslah bahwa A pqb An Apqa (4.4) Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua k menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah A pq lim Apqb lim An lim Apqa (4.5) Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan A f ( ) (4.6) q pq p Integral tertentu (4.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.) A pq q f ( ) F( ) ] F( q) F( p) (4.7) p q p Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan dari fungsi f() dalam rentang p q, kita cukup melakukan: a. integrasi untuk memperoleh F ( ) f ( ) b. masukkan batas atas q untuk mendapat F(q) c. masukkan batas bawah p untuk mendapat F(p) d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) F(p). 3

14 Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang bernilai positif dalam rentang p q, namun pembahasan itu berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p q sempat bernilai negatif. ita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan A p dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan berlaku umum, yaitu A p adalah luas bidang yang dibatasi oleh y f () dan sumbu- dari p sampai, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-. Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 4.. y 3 Gb.4.. ura y ita akan menghitung luas antara y 3 dan sumbu- dari 3 sampai +3. Bentuk kura diperlihatkan pada Gb.4. Di sini terlihat bahwa dari 3 sampai kura berada di atas sumbu- dan antara sampai +3 kura ada di bawah sumbu-. Untuk bagian yang di atas sumbu- kita mempunyai luas 4 3 A a ( ) (,5 54) 33,75 4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral 3 Untuk kura yang di bawah sumbu- kita dapatkan A b y ( ) 6 4,5 54 () 33,75 3

15 Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu- A pq Aa Ab 33,75 ( 33,755) 67,5 Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai A p, formulasi A q p ( )) f ( ) F( q) F p tetap berlaku untuk kura yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-. Dengan demikian maka untuk bentuk kura seperti pada Gb.4.3. kita dapatkan yang kita peroleh dari A pq A pq A + y q p + A A3 A4 ( )) f ( ) F( q) F p y f() p A A 4 A A 3 q Gb.4.3. ura memotong sumbu- di beberapa titik. 5

16 4.. Luas Bidang Di Antara Dua ura ita akan menghitung luas bidang di antara kura y f ( ) dan y f ( ) pada batas antara p dan q. ura yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang p q. ita tetapkan bahwa kura y f ( ) berada di atas y f ( ) meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-. Perhatikan Gb.4.4. Rentang p q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya diperlihatkan pada Gb.4.4. dengan batas kiri dan batas kanan (+ ), dimana ( q p) / n. y y A p p + q y Gb.4.4. Menghitung luas bidang antara dua kura. Luas segmen dapat didekati dengan A segmen { f ( ) f( ) } (4.8) yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh n q A segmen { f ( ) f( ) } (4.9) p Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga menuju nol kita sampai pada suatu limit n q A pq lim Asegmen { f( ) f( ) } (4.) p ita akan melihat beberapa contoh Contoh : Jika y 4 dan y berapakah luas bidang antara y dan y dari p sampai q A pq ({ 4 ( ) } 6] 8 ( ) 3 6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

17 Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y y 6 dan panjang 5. Contoh : Jika y dan y 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y dan y. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai pada perpotongan antara y dan y. y y 4 p, q Perhatikan bahwa y adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak minimum yang berada pada posisi [,]. Oleh karena itu bagian kura y yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada di di bawah y 4. 3 (4 ) A pq Jika kita terbalik dalam memandang posisi y terhadap y kita akan melakukan kesalahan: 3 * ( 4) A 4 pq Contoh 3: Jika y + dan y berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y dan y. Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang memotong sumbu-y di y. Fungsi y adalah garis lurus melalui titik asal [,] dengan kemiringan negatif, yang berarti ia menurun pada arah positif. Dengan demikian maka bagian kura y yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y. 7

18 Batas integrasi adalah nilai pada perpotongan kedua kura. y y + atau p q 3 ( ) A pq , Penerapan Integral Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah suatu kura. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan untuk memudahkan isualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula diisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolaholah kita menghitung luas bidang di bawah kura. Berikut ini dua contoh dalam kelistrikan. Contoh : Sebuah piranti menyerap daya W pada tegangan konstan V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka dw p yang memberikan w dt pdt Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. alau batas bawah dari waktu kita buat, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah w pdt dt t 8 Watt.hour [Wh],8 kilo Watt hour [kwh] 8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

19 Contoh : Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t),5 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t sampai t 5 detik? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. dq i sehingga q dt idt Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 5 5 5,5,5 q idt,5,65 tdt t coulomb 4.4. Pendekatan umerik Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkahlangkah dalam menghitung suatu integral adalah:. Membagi rentang f() ke dalam n segmen agar proses perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,.. Integral dalam rentang p q dari f() dihitung sebagai q n f ( ) lim f ( k ) k p k dengan f( k ) adalah nilai f() dalam interal k yang besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen k jika menuju nol. Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f( k ) sama dengan nilai terendah ataupun tertinggi dalam k, hasil perhitungan akan lebih rendah ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan kita dapat menghitung dengan bantuan komputer. Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi oleh kura y 3 dengan sumbu- antara 3 dan +3. Lauas 9

20 ini telah dihitung dan menghasilkan A pq 67, 5. ali ini kita melakukan perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer. 3 3 A pq ( ) 3 arena yang akan kita hitung adalah luas antara kura dan sumbu-, maka bagian kura yang berada di bawah sumbu- harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai,5 maka rentang 3 3 akan terbagi dalam 4 segmen. Perhitungan menghasilkan A pq 4 ( k 3 k Error yang terjadi adalah sekitar,5%. k ) 67, ,4 Jika kita mengambil,5 maka rentang 3 3 akan terbagi dalam segmen. Perhitungan menghasilkan A pq ( k 3 k Error yang terjadi adalah sekitar,%. k ) 67, ,5 Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error,%, maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai. Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum masing-masing segmen dengan. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas setiap segmen menjadi ( f ( min ) + f ( )) / Asegmen k kmaks (4.3) Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan komputer. ita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana. Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

21 Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun , sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analytic Geometry, addison Wesley, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaryatno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,. 4. Sudaryatno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book,. 5. Sudaryatno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book,.