BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut."

Yulia Susman
7 tahun lalu
Tontonan:

1 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln () dt, > 0 t Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif y /t Gambar. Jika >, ln () luas dari R

2 65 Turunan fungsi logaritma asli adalah D dt D ln( ), > 0 t selanjutnya du ln u + C, u 0 u, Contoh : Tentukanlah D ln( ) Jawab: Misalkan u / D ln( ) /. / Dengan Derive: Dif(ln( ), ) enter, lalu lkilk tanda sama dengan

3 66 Contoh : 5 Carilah + 7 d Jawab: Misalkan u + 7 maka du d d 5 du u 5 5 ln u + C ln C 5 Dengan Derive: Int(, ) enter, lalu klik tanda sama dengan. + 7

4 67 Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -4, Carilah turunan yang ditunjukkan.. D ln( π). D ln( 4) 3. dy/d jika y 3ln() 4. dz/d jika z ln( ) + (ln ()) 3 5. g () jika g() ln( + + ) Dalam soal-soal 6-0, Carilah integral yang ditunjukkan d 6v dv 3v + 9v ln(z) 8. dz z d 5 + π 0 t + 0. dt t + 4t Andaikan f() ln(,5 + sin()) a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3π] b. Carilah titik balik pada selang [0, 3π] c. Hitunglah ln(,5 + sin()) d. Gambarlah grafik f() ln(/) dan g() ln(/) pada [0, ] a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, ] b. Carilah nilai maksimum f ( ) g( ) pada selang (0, ]

5 Fungsi Balikan dan Turunannya 7... Fungsi Balikan Polinom Suatu fungsi f mengambil suatu nilai dari daerah asalnya D dan memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan pada D yang dinyatakan dengan f -. Misalkan y f() dibalik menjadi f - () y y f - f Gambar. Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y f() untuk nilai y tertentu terdapat dua nilai yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai invers bila D dibatasi [0, ] atau [-, 0].

6 69 y Gambar 3. Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan. Contoh 3: Perlihatkan bahwa f() memiliki balikan. Jawab: F () > 0, untuk semua. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f memiliki balikan. Jika f memiliki balikan f - maka f - memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan f - (f()) dan f(f - (y)) y Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi:. Selesaikan persamaan y f() untuk dalam bentuk y.. Gunakan f - (y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y. 3. Gantilah y dengan untuk mendapatkan rumus f - ()

7 70 Contoh 4: Carilah f - () jika f() dan tunjukkan bahwa f - (f()) dan f(f - (y)) y Jawab: Langkah : y y(- ) y - y y + y y ( + y) y + y Langkah : Langkah 3: f f y ( y) + y ( ) + f - (f()) f - ( ) + + dan f(f - (y)) f - y ( ) y + y y y y y y + y y Dengan Derive: Inverse(/(-)) enter, lalu klik tanda sama dengan

8 7 Tugas Kelompok: Misalkan f() Bagaimanakah domain f() agar mempunyai invers?. Carilah invers dari f(), apa domainnya?. 3. Gambarlah hasil dan dalam satu layar, apa yang anda simpulkan? 4. Carilah turunan f() dan inversnya. 5. Gambarlah fungsi turunan f() dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda simpulkan? 6. Isilah tabel berikut

9 7 Fungsi y (f - ) (y) f () f() ^3 + / apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f - ) (y) dan f ()? 7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh, carilah (f - )(4). Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -3, diperlihatkan grafik y f(), dalam setiap kasus apakah f mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f - ()...

10 73 3. Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan bahwa f monoton murni. 4. f() f ( θ ) cos( θ ), 0 θ π 6. f ( z) ( z ), z Dalam soal-soal 7-0, Carilah rumus untuk f - (), kemudian periksalah kebenarannya bahwa f - (f()) dan f(f - ()). 7. f() + 8. f ( ) 3 9. f() ( ) f ( ) 3 +

11 Fungsi Eksponen Asli dan balikannya Definisi: Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh ep. Jadi ep y y ln Turunan dari e adalah D e e Contoh 5: Tentukanlah D e Jawab: Misalkan u / D e e. / e Dengan Derive: Dif(e ), ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

12 75 u u Selanjutnya e du e + C Contoh 6: Tentukanlah e 4 d Jawab: Misalkan u -4 maka du -4 d atau -/4 du d Sehingga, e 4 d u 4 / 4 e du e + 4 C Dengan Derive: Int(e -4, ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

13 76 Tugas Kelompok: Gambarlah f() e / dan turunannya menggunakan derive Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah.

14 77 Soal-Soal Latihan Dalan soal-soal -5, carilah D. y e 3ln( ). y e + 3. y e 4. y e + e 5. e y + y ( gunakan diferensial implisit) Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f, f, dan f dalam satu jendela, berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah? 6. f() e 7. f ( ) e ( ) Dalam soal-soal 8-0, Carilah integral-integral berikut. 8. e 3 + d ( + 3) e d 0. / e d. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh y e, y 0, 0, dan ln(3) diputar mengelilingi sumbu-.. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y e - dan garis yang melalui titik-titik (0, ) dan (, /e).

15 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum Definisi: Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real. a e ln a D a a ln a, dan Contoh 7: Carilah D (3 ) Jawab: Misalkan u a d a ln( a) + C D (3 ) 3 ln 3. / 3 ln 3 Dengan Derive: Dif(3, ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

16 79 Contoh 8: Carilah 3 d Jawab: Misalkan u 3 maka du 3 d atau /3 du d Sehingga, 3 3 u d /3 du + C 3ln Dengan Derive: Int( 3, ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

17 80 Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal -5, Carilah turunan yang dibeikan. D (6 ) 3. (3 ) D y 0 + ( y ( + ) ) 0 ln( ) 5. f() sin() Dalam soal-soal 6-0, Carilah integral yang diberikan. 6.. d d d d 4π 0 sin( ) 0. d

18 Fungsi Balikan Trigonometri Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f - diperoleh dengan mencerminkan f terhadap garis y maka pada fungsi trigonometri diperoleh balikan sin(), cos(), tan(), dan sec() adalah sebagai berikut. π π y sin(); [, ] y sin - (); [-, ] Gambar 4. Sin() dan Inversnya y cos(); [ 0, π ] y cos - (); [-, ] Gambar 5. Cos() dan Inversnya

19 8 π π y tan(); [, ] y tan - (); [R] Gambar. 6. Tan() dan Inversnya y sec - (); [R] Gambar 7. Sec() dan Inversnya

20 83 Tugas Kelompok:. Buatlah definisi balikan dari sin(), cos(), tan(), dan sekan().. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya? 3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi inversnya? Turunan dari fungsi balikan trigonometri:. D sin - () ; < <. D cos - () ; < < 3. D tan - () + 4. D sec - () ; > Selanjutnya,. d sin ( ) + C. d cos ( ) + C 3. d tan ( ) + C + 4. d sec ( ) + C

21 84 Contoh 9: Carilah D sin - (3-) Jawab: D sin - (3-). D (3 ) (3 ) Dengan Derive: dif(asin(3-),) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya adalah sebagai berikut.

22 85 Contoh 0: / Hitunglah 0 d Jawab: / 0 d [ sin ( ) ] / 0 π 6 Dengan Derive: Int(/ (- ),, 0, / ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

23 86 Soal-Soal latihan Dalam soal-soal -5, Carilah dy/d. y ln(sec() + tan()). y sin - ( ) 3. y 3 tan - (e ) 4. y (tan - ()) 3 5. f() (+ sin - ()) 3 Dalam soal-soal 6-0, Carilah integral yang diberikan. 6. sin( )cos() d 7. e cos( e ) d 8. d d 0 0. d +

24 Fungsi Hiperbola dan Balikan Definisi: Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya didefinisikan oleh: e sinh( ) e, e cosh( ) + e sinh( ) cosh( ) tanh( ), coth( ) cosh( ) sinh( ) sec h ( ), csc h( ) cosh( ) sinh( ) Turunan fungsi-fungsi hiperbolik: D sinh( ) cosh( ), D cosh( ) sinh( ) D tanh( ) sec h ( ), D coth( ) csc h ( ) D sec h( ) sec h( ).tanh( ), D csc h( ) csc h( ).coth( ) Contoh : Tentukanlah D tanh(sin()) Jawab: D tanh(sin()) sec h (sin( )). D (sin( )) cos( ).sec h (sin( )) Atau Misal u sin() maka D sin() cos()

25 88 D tanh(u) sec h ( u). D (sin( )).cos( ) cosh ( u) 4.sin( ).cos( ) u u u u e + e e + e + [ ] u u 4. e 4. e.sin( ).cos( ), (dikalikan e u ) 4u u u e + +. e ( e + ) 4. e ( e.sin( ).cos( ) + ).sin( ) Dengan Derive: Dif(tanh(sin), ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

26 89 Contoh : Tentukanlah tanh( ) d Jawab: Misalkan u cosh() maka du sinh d sinh( ) tanh( ) d d. du cosh( ) u ln u + C ln cosh( ) + C ln(cosh( )) + C Definisi: Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh: sinh ( y) y sinh( ) cosh ( y) y cosh( ), dan 0 tanh ( y) y tanh( ) sec h ( y) y sec h( ), dan 0 Cara mencari fungsi balikan y cosh(), untuk 0 adalah: e y + e y e + e ye ( e ) +, (dikalikan dengan e ) ( e ) ye + 0,

27 90 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam e yang memenuhi untuk 0 adalah: e y + (y) 4 y + y ln( e ) ln( y + y ), (kedua ruas ditarik ln-nya) ln( y + y ) cosh ( ) ln( + ) Dengan Derive: Inverse(cosh()) enter, lalu klik tanda sama dengan.

28 9 Tugas Kelompok: Tunjukkan bahwa:. cosh ( ) ln( + ). sinh ( ) ln( + + ) + 3. tanh ( ) ln( ) + 4. sec h ( ) ln( ) 5. Carilah D dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut Soal-Soal Latihan: Dalam soal-soal -5, Carilah dy/d. y sinh (). y cosh(3 +) 3. y ln(sinh()) 4. y tanh()sinh() 5. y tanh(cot()) Dalam soal-soal 6-0, Carilah integral yang diberikan. 6. sinh( 3 + ) d 7. cosh( π + 5) d / 4 sinh(z 8. d 4 3 z 9. cosh( )sinh(sin( )) d 0. tan( )ln(sinh( )) d

dokumen-dokumen yang mirip

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,