ANALISIS KESALAHAN Deskripsi : Objektif : 6.1 Pendahuluan 6.2 Koefesien Kesalahan Statik

Transkripsi

1 96 VI ANALISIS ESALAHAN Desrisi : Bab ii memberia gambara tetag aalisis esalaha da eeaa ada sistem edali yag terdiri dari oefesie esalaha stati, oefesie esalaha diami da aalisis eeaa sistem Objetif : Memahami bab ii aa memermudah embaca utu memahami risirisi aalisis esalaha da eeaa ada sistem edali. 6. Pedahulua arateristi taggaa eraliha meruaa ciri erformasi etig dari sistem edali. Ciri etig laiya adalah esalaha sistem. esalaha dalam suatu sistem edali daat disebaba oleh beberaa fator. Perubaha masua acua aa meimbula esalaha yag tida daat dihidari selama erioda eraliha da daat juga meimbula esalaha dalam eadaa tua. etidasemuraa omoe sistem seerti gesea stati, bacslash da drift eguat mauu euaa atau emburua aa meimbula esalaha eadaa tua. esalaha eadaa tua meruaa uura etelitia suatu sistem edali. Performasi eadaa tua suatu sistem edali yag bersifat stabil biasaya diilai dari esalaha eadaa tua yag disebaba oleh masua uda, laju mauu erceata. Sudah mejadi sifatya bahwa setia sistem edali fisi memuyai esalaha eadaa tua dalam memberia reso terhada jeis-jeis masua tertetu. Suatu sistem mugi bebas dari esalaha eadaa tua terhada masua uda tetai sistem yag sama mugi meujua esalaha eadaa tua terhada masua laju. Ada atau tidaya esalaha eadaa tua suatu sistem utu suatu jeis masua tergatug ada jeis fugsi alih ligar terbua. 6. oefesie esalaha Stati oefesie esalaha stati didefiisia sebagai uura ebaia sistem edali. Semai tiggi oefesie ii maa esalaha eadaa tuaya semai ecil. Pada suatu sistem yag diberia, eluaraya daat berua osisi, eceata, teaa, temerature da sebagaiya. Aa tetai, betu fisi eluara tida etig dalam aalisis ii area itu eluara osisi, laju erubaha eluara eceata da sebagaiya. Ii berarti bahwa ada sistem egedalia temerature, osisi meyataa temerature eluara, eceata meyataa laju erubaha temerature da sebagaiya Selai itu besar esalaha eadaa tua yag disebaba oleh masig-masig masua meruaa idiasi ebaia sistem. Tijau fugsi alih ligar terbua beriut

2 97 etetua o (s)h(s) = (s) = + > m z, z, z,,z o 3 m (s+ z )(s+ z ) (s+ z ) m N s (s+ )(s+ ) (s+ ) s 0 adalah zero dari,,,, adalah ole dari o 3 s 0 (6.) Fugsi alih ada ersamaa (6.) melibata betu s ada eyebutya dimaa meyataa ole raga N di titi asal. Pola lasifiasi yag searag ii didasara ada bayaya itegrasi yag ditujua oleh fugsi alih ligar terbua. Sistem disebut tie 0, tie, tie.. masig-masig jia N = 0, N =, N = Jia aga tie dierbesar maa etelitia mejadi semai bai aa tetai membesarya aga tie aa memerburu ersoala estabila. omromi atara etelitia eadaa tua da estabila relatif selalu dierlua. Dalam rate jarag seali dijumai sistem tie 3 atau lebih tiggi area biasaya sulit utu medisai sistem stabil yag memuyai lebih dari dua itegrasi ada litasa uma maju. esalaha eadaa tua. Tijau sistem ligar tertutu beriut ii R(s)+ - E(s) (s) C(s) Fugsi alih ligar tertutu ambar 6. Diagram Blo Sistem Ligar Tertutu C s R s = (s) + (s)h(s) (6.) Fugsi alih atara siyal masua esalaha eggera e( t ) da siyal masua r( t ) adalah E( s) C(s)H(s) = - = (6.3) R( s) R(s) + (s)h(s) Dimaa siyal esalaha eggera e( t ) adalah selisih atara siyal masua da siyal uma bali. Dega megguaa teorema harga ahir daat ditetua erformasi eadaa tua sistem stabil area E( s ) adalah = (6.4) + (s)h(s) R( s) E s Maa siyal esalaha eggera eadaa tuaya adalah

3 98 sr s = = (6.5) e lim e t lim t + (s)h(s) oefesie esalaha osisi stati ( ). esalaha eggera eadaa tua sistem utu masua uda satua adalah s = = = (6.6) e lim e t lim t + (s)h(s) s + (0)H(0) oefesie esalaha osisi stati ( ) didefiisia sebagai = lim (s)h(s) = (0)H(0) (6.7) Jadi esalaha eggera eadaa tua dalam betu oefesie esalaha osisi stati ( ) diyataa Utu sistem tie 0 e = (6.8) + (s+ z )(s+ z ) (s+ z ) m = lim = (s+ )(s+ ) (s+ ) (6.9) Utu sistem tie atau lebih tiggi utu N. (s+ z )(s+ z ) (s+ z ) = = m lim s N (s + )(s + ) (s + ) (6.0) Jadi utu sistem tie 0, oefesie esalaha osisi stati ( ) adalah terhigga, sedaga utu tie atau lebih tiggi oefesie esalaha osisi stati ( ) ta terhigga. Utu masua uda satua, esalaha eggera eadaa tua ( e ) daat dirigas sebagai beriut e = (6.) + e = 0 (6.) Dari aalisis diatas terlihat bahwa taggaa sistem edali beruma bali satu terhada masua uda satua memuyai esalaha eadaa tua jia tida ada itegrasi ada litasa uma maju. Jia diigia esalaha eadaa tua ol utu masua uda satua maa tie sistem harus satu atau lebih tiggi.

4 99 oefesie esalaha eceata stati ( v). esalaha eggera eadaa tua sistem dega masua laju satua diyataa sebagai s e = lim = lim = lim (6.3) + (s)h(s) s + (s)h(s) s s(s)h(s) oefesie esalaha eceata stati ( v) didefiisia sebagai v = lim s(s)h(s) (6.4) Jadi esalaha eggera eadaa tua dalam betu oefesie esalaha eceata diyataa sebagai stati v e = (6.5) v Istilah esalaha eceata diguaa utu meyataa esalaha eadaa tua terhada masua laju satua. Dimesi esalaha eceata adalah sama dega esalaha sistem. Jadi esalaha eceata bua meruaa esalaha dalam eceata tetai meruaa esalaha osisi yag ditimbula oleh masua laju satua Utu sistem tie 0, s(s+ z )(s+ z ) (s+ z ) m v = lim = 0 (s+ )(s+ ) (s+ ) (6.6) Utu sistem tie, s(s+ z )(s+ z ) (s+ z ) m v = lim = s(s+ )(s+ ) (s+ ) (6.7) Utu sistem tie atau lebih tiggi, utu N s(s+ z )(s+ z ) (s+ z ) = = m v lim s N (s + )(s + ) (s + ) (6.8) Aalisis diatas meujua bahwa sistem tie 0 tida daat megiuti masua laju satua ada eadaa tua. Sistem tie dega uma bali satu daat megiuti masua laju satua dega esalaha terhigga. Pada oerasi eadaa tua, eceata eluara teat sama dega eceata masua, tetai ada esalaha osisi. esalaha ii sebadig dega eceata masua da berbadig terbali dega eguata oefesie esalaha erceata stati a. esalaha eggera eadaa tua sistem dega masua araboli satua diyataa sebagai

5 00 t r t = utu t 0 da r t = 0 utu t < 0 (6.9) Diyataa sebagai s e = lim = lim = lim (6.0) 3 s 0 s 0 + (s)h(s) s + (s)h(s) s s (s)h(s) oefesie esalaha erceata stati ( a) didefiisia sebagai a = (6.) lim s (s)h(s) Jadi esalaha eggera eadaa tua dalam betu oefesie esalaha erceata diyataa sebagai stati a e = (6.) a Perhatia bahwa esalaha erceata, esalaha eadaa tua yag ditimbula oleh masua araboli adalah esalaha osisi. Harga dieroleh beriut Utu sistem tie 0, a s (s+ z )(s+ z ) (s+ z m) a = lim = 0 (s+ )(s+ ) (s+ ) (6.3) Utu sistem tie, s (s+ z )(s+ z ) (s+ z m) a = lim = 0 s(s+ )(s+ ) (s+ ) (6.4) Utu sistem tie, s (s+ z )(s+ z ) (s+ z m) a s (s+ )(s+ ) (s+ ) = lim = (6.5) Utu sistem tie 3, utu N 3 s (s+ z )(s+ z ) (s+ z m) a lim s N (s + )(s + ) (s + ) = = (6.6) Jadi esalaha eggera eadaa tua utu masua araboli satua e = utu sistem tie 0 da tie

6 0 e = utu sistem tie e = 0 utu sistem tie 3 atau lebih tiggi Terlihat bahwa bai sistem tie 0 mauu tie tida mamu megiuti masua arabolic ada eadaa tua. Sistem tie dega uma bali satu daat megiuti masua araboli dega siyal esalaha eggera terhigga. Tabel 6. beriut meruaa rigasa esalaha eadaa tua sistem tie 0, tie da tie jia dieai beberaa macam masua. Harga terhigga esalaha eadaa tua tama ada garis diagoal. Di atas diagoal ii esalaha eadaa tuaya tida terhigga sedaga di bawah diagoal ii esalaha eadaa tuaya ol. Tabel 6. esalaha eadaa Tua Dalam Betu Peguata Masua uda Masua Laju Masua Perceata Sistem Tie 0 + Sistem Tie 0 Sistem Tie 0 0 oefesie esalaha, v da a meggambara emamua sistem utu memerecil atau meghilaga esalaha eadaa tua. Utu itu, oefesie-oefesie tersebut meruaa idiasi erformasi esalaha eadaa tua. Biasaya diigia utu memerbesar oefesie esalaha dega mejaga reso eraliha dalam daerah yag masih daat diterima. Selai itu utu memerbaii erformasi eadaa tua, daat dilaua dega meaia tie sistem dega meambah satu itegrator atau lebih ada litasa uma maju. Cotoh 6. : Dietahui : Tetua (s) = da s(s+ ) a. Tie sistem b. c( t ) bila masuaya uda satua c., V da a utu = 0 s+ H(s) = (6.7) s + 3 d. e( t ) bila masuaya uda satua, laju satua da araboli satua utu = 0 Jawab : (s) = s(s+ ) (6.8)

7 0 a. Sistem tie b. Utu c( t ) s+ H(s) = s + 3 (6.9) (s+ ) (s)h(s) = s(s+ )(s+ 3) (6.30) (s) (s) c(t) = lim sc(s) = lim s R(s) = lim s s 0 s 0 + (s)h(s) s 0 + (s)h(s) s (s+ 3) 3 c(t) = lim = = 3 s(s+ )(s+ 3) + (s+ ) (s+ ) d. = lim(s)h(s)= lim = = s(s + )(s + 3) 0 s(s+ ) 0 v = lims(s)h(s)= lim = = s(s + )(s + 3) 6 6 s (s+ ) a = lim s (s)h(s)= lim = 0 s(s+ )(s+ 3) e. Utu masua uda satua dieroleh e(t) = = = Utu masua laju satua dieroleh P (6.3) (6.3) (6.33) (6.34) (6.35) (6.36) 6 e(t) = = = 0.60 (6.37) 0 Utu masua araboli dieroleh e(t) = = = (6.38) 0 a Listig rogram Matlab clc clear all close all % Cotoh Soal 6- um = [ ]; de = [ 5 6 0]; % errortf(um,de) Hasil rogram System tye is Error Costats:

8 03 v a If Steady-state Errors: Ste Ram Parabolic If Dega cara lai daat dilaua sebagai beriut Listig rogram Matlab clc clear all close all % Cotoh Soal 6- z = -; = [ 0; -; -3]; = 0; % errorz(z,,) Hasil rogram System tye is Error Costats: v a If Steady-state Errors: Ste Ram Parabolic If 6.3 oefesie esalaha Diami Suatu arateristi dari defiisi oefesie esalaha stati adalah bahwa haya satu oefesie-oefesie suatu sistem yag memuyai harga terhigga. oefesie yag lai sama dega ol atau tida terhigga. esalaha eadaa tua yag dieroleh dega oefesie-oefesie esalaha stati adalah ol, harga tida ol terhigga atau tida terhigga. Jadi variasi esalaha terhada watu tida daat dieroleh dega megguaa oefesie-oefesie semacam itu. Utu meetua oefesie esalaha E s R s dega diami dilaua dega membagi oliomial embilag dari oliomial eyebutya. E( s) R( s ) daat diuraia mejadi deret agat ai dari s beriut E s R s + s = = + s+ s + (6.39) 3

9 04 oefesie-oefesie,, 3, dari deret agat didefiisia sebagai oefesie esalaha diami. Jadi 3 : oefesie esalaha osisi diami : oefesie esalaha eceata diami : oefesie esalaha erceata diami Cotoh 6. : Sistem otrol uma bali satu dega fugsi alih uma maju beriut Tetua s ω = (6.40) s +ςωs a. oefesie esalaha osisi diami ( ) b. oefesie esalaha eceata diami ( ) c. oefesie esalaha erceata diami ( 3) Jawab : Dari ersamaa (6.40) dieroleh E s R s s + ςωs = (6.4) s +ςω s + ω ς s + s E( s) ω ω R( s) ς s + s + ω ω Dega demiia dieroleh = (6.4) E s ς - 4ς R s ω ω = s + s + (6.43) = (6.44) ω ς = (6.45) ω = (6.46) - 4ς 3 Jia dilaua aalisis serua utu sistem orde tiggi daat ditujua bahwa utu suatu tie N, oefesie esalaha diami diberia oleh + = utu < N (6.47)

10 05 N + = lim s s utu = N (6.48) Dimaa = 0,,, harga-harga + utu > N ditetua dari hasil eguraga E( s) R( s ) diseitar titi asal. elebiha oefesie esalaha diami mejadi lebih jelas jia E( s ) ditulis dalam betu beriut E( s) = R( s ) + sr( s ) + s R( s) + (6.49) 3 Daerah overgesi deret ii adalah seitar s = 0. Ii beraita dega t = dalam wawasa watu. Dega asumsi semua syarat awal sama dega ol da megabaia imulsa ada t = 0 esalaha eadaa tua diberia dega betu beriut lim e( t) = lim r( t ) + r( t ) + r( t) t 0 ɺ + ɺɺ (6.50) 3 Jadi esalaha eadaa tua yag ditimbula oleh fugsi masua da turuaya tersebut daat diyataa dalam betu oefesie esalaha diamiya. Cotoh 6.3 : Sistem edali beruma bali satu yag memuyai fugsi alih uma maju sebagai beriut : Tetua s 0 = (6.5) s s + a. oefesie esalaha diami sistem b. esalaha eadaa tua terhada masua yag didefiisia sebagai : r t = a + a t + a t Jawab : o Utu sistem beriut Didaata = E s s + s = R s + s s + s s 3 R( s) E s = 0.sR s s R s Dalam awasa watu, dieroleh esalaha eadaa tua mejadi lim e t lim 0.r( t ) +0.09r( t) -0.09r( t) t 0 oefesie esalaha diami adalah (6.5) + (6.53) = ɺ ɺɺ ɺɺɺ + (6.54) = (6.55)

11 06 area r( t ) diberia sebagai = = 0 (6.56) 0. 3 = =.0 (6.57) 0.09 Dieroleh r( t ) = a o + at + a t (6.58) rɺ ( t ) = a + a t (6.59) ɺɺ r( t ) = a (6.60) ɺɺɺ r( t ) = 0 (6.6) Selajutya esalaha eadaa tuaya adalah lim e t lim 0.( a + a t ) +0.09( a) t 0 [ ] = (6.6) lim e t = lim 0.a + 0.8a + 0.a t (6.63) t 0 Dari aalisis diatas terlihat bahwa jia E( s) R( s ) diuraia diseitar titi asal mejadi suatu deret agat maa oefesie-oefesie deret tersebut meujua esalaha eadaa diami sistem jia diberia masua yag berubah secara erlaha-laha. oefesie esalaha diami memberia cara sederhaa dalam measir siyal esalaha terhada masua sembarag da esalaha eadaa tua taa meyelesaia ersamaa diferesial sistem. 6.4 Aalisis eeaa Sistem eeaa adalah etergatuga sistem eseluruha terhada erubaha subsistemya. Utu itu didefiisia suatu uura eeaa sistem. Sistem diwaili oleh fugsi alih sistem eseluruha T da subsistem oleh fugsi alih subsistem tersebut i. eeaa juga didefiisia sebagai erbadiga atara erubaha relatif dari T da erubaha relatif dari da ditulis S T i. i T T S T i = (6.64) i i atau bila diambil limitya, betu di atas mejadi betu diferesial S T i dt T i = = (6.65) di T di i dt

12 07 Utu memberia ilustrasi tetag eeaa ii, sebuah sistem edali yag diyataa oleh diagram blo beriut R(s) + C(s) (s) (s) - H(s) ambar 6. Diagram Blo Sistem Ligar Tertutu Model I C(s) (s)(s) T(s) = = (6.66) R(s) + (s)h(s) Aa dilihat eeaa sistem terhada erubaha a. Terhada erubaha (s) i,, da H. T dt S = = = = T d T + H + H + H Perubaha relatif dari T aa sama dega erubaha relatif dari. (6.67) b. Terhada erubaha H(s) T H dt SH = T dh (6.68) dt = dh (+ H) (6.69) S H T (+ H) T H = (6.70) T H H SH = = (6.7) (+ H) + H + H T Bila H maa SH atau erubaha relatif T sama dega erubaha relatif H (dalam arah berlawaa). c. Terhada erubaha (s) S T dt = (6.7) T d dt +H - H = = d +H +H ( +H) ( +H) (6.73) T S = = = (6.74) T +H +H

13 08 Bila H maa S T << atau erubaha relatif T sagat ecil dibadiga dega erubaha relatif. Hasil-hasil di atas cuu meari, yaitu dalam eracaga sistem edali, subsistem i da H harus cuu ritis, area erubaha relatif adaya aa megaibata erubaha relatif yag sama besar ada sistem eseluruha. Oleh area itu, i da H harus meruaa eralata-eralata yag bai, teliti, da stabil terhada erubaha-erubaha dari luar, seerti temeratur, watu, da sebagaiya. Utu eleme arah maju teryata tida erlu terlalu bai area etergatuga adaya cuu ecil. Tetu saja asal H cuu besar. Cotoh 6.4 : Utu sistem beriut ii (s) = (6.75) s(s+ ) s+ H(s) = (6.76) s + 3 Tetua eeaa fugsi alih terhada Jawab : (s) = (6.77) s(s+ ) s+ H(s) = (6.78) s + 3 (s+ ) (s)h(s) = (6.79) s(s+ )(s+ 3) (s) s(s+ ) (s+ 3) TF= = = = T(s) (6.80) + (s)h(s) s+ + s(s+ )(s + 3) + (s+ ) s(s + ) s + 3 eeaa TF terhada S T = dt dt d T d = T d d (6.8) T S = (6.8) (s) (+ (s)h(s)) s(s+ ) + (s)h(s) T S = (6.83) (s+ ) (+ s(s+ ) s(s+ ) s(s+ )(s+ 3)

14 09 S T = (s+ ) + s(s + )(s + 3) 3 T s +5s (6.84) S = s +5s + (6+)s + (6.85) 6.5 Raguma esalaha adalah selisih atara harga yag diigia terhada harga yag tercatat secara atual sedaga esalaha dalam eadaa tua adalah selisih atara eluara da masua bila semua efe eraliha telah meghilag. esalaha ii bergatug ada dua hal yaitu jeis masua da tigata sistem edali. Utu meetua esalaha erlu dietahui sifat-sifat siyal masua tetai dalam ebayaa eadaa ratis betu matematis siyal masua suar dietahui sebagai fugsi watu. Dalam eadaa seerti ii dimaa betu matematis sulit ditetua maa dalam eracaga yag dilaua adalah memelajari sifat-sifat sistem tersebut bila siyal masua diubah-ubah secara husus. Masua sediri daat diegaruhi oleh berbagai arameter seerti temeratur, arah, teaa da lai-lai bergatug ada sasara egedalia. Umumya utu megubah masua dalam hubugaya utu memelajari arateristi esalaha eadaa tua terdaat tiga cara yaitu memasua masua berua fugsi uda satua, fugsi laju satua da fugsi araboli. Dega memelajari reso terhada etiga jeis masua ii esalaha sistem daat diramala