PERSAMAAN DIFERENSIAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERSAMAAN DIFERENSIAL"

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Persamaa Diferesial Liier Tigkat Satu Betuk umum ersamaa diferesial liier tigkat satu adalah sebagai berikut: P( ) y Q( ) d atau y P( ) y Q( ) Rumus eyelesaia umum utuk ersamaa diferesial ii adalah sebagai berikut: dega C meruaka suatu kostata. Cotoh : Tetuka solusi dari y y e. Dalam soal ii, diketahui P ( ) da (i) P( ) d d (ii) (iii) (iv) P ( ) d e e e ( ) Q( ) e e e P d e Q( ) e d e P( ) d P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C Q( ) e. Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C Cotoh : Tetuka solusi dari y d. y e e C y e Ce Betuk ersamaa diferesial di atas bukalah betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat satu. Maka, dega megalika / ada kedua ruas, didaatlah y d sehigga P ( ) da Q( ). (i) P( ) d d l l P (ii) ( ) d l e e P( ) d (iii) e Q( ) (iv) e Q( ) d d P( ) d KALKULUS Srava Chrisdes

2 Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C y C y C B. Persamaa Diferesial Liier Homoge Tigkat ke- dega Koefisie Teta Betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- adalah: P P P... P P y Q d d d d dega P da P, P,..., P, P, Q adalah suatu fugsi dari variabel atau suatu kostata. Jika Q =, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial liier homoge. Jika P, P,..., P, P semuaya kostata, dega P, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial liier dega koefisie teta (kosta). d Utuk memermudah betuk umum dari ersamaa di atas, dimisalka saja D dega d Dy d ; Dy d ; Dy da seterusya d sehigga betuk umumya mejadi P D P D P D... P D P y Q dega P D P D P D... P D P F( D). Misalka FD ( ) daat difaktorka mejadi faktor liier dega F( D) ( D m)( D m)...( D m ) maka, betuk ersamaa diferesial di atas mejadi ( D m )( D m )...( D m ) y Q Saat FD ( ), ersamaa ( D m)( D m)...( D m ) disebut sebagai ersamaa karakteristik dega akar-akar karakteristikya m, m,..., m. Persamaa karakteristik ii meruaka ersamaa agkat ke- dari variabel D, sehigga akar-akar karakteristikya memuyai tiga kemugkia, yaitu: ) m, m,..., m, semuaya adalah bilaga riil da berlaia, ) m, m,..., m, semuaya adalah bilaga riil da terdaat akar m kembar sebayak r, ) m, m,..., m, terdaat beberaa (atau semua) akar yag adalah bilaga komleks a ib dega ab,. Teorema Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge ( D m)( D m)...( D m ) y. Jika m, m,..., m semuaya adalah bilaga riil da berlaia, maka eyelesaia umumya adalah: m m m y Ce C e... C e KALKULUS Srava Chrisdes

3 Cotoh : Tetuka solusi dari 6y. d d Persamaa karakteristikya adalah D D6 ( D )( D) Maka, akar-akar karakteristikya adalah m da m solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: m m y C e C e Teorema y C e C e Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge ( D m)( D m)...( D m ) y. Jika m, m,..., m semuaya adalah bilaga riil da terdaat akar m yag kembar sebayak r, maka eyelesaia umumya adalah: m m m r m m y C e C e C e... Cr e... Ce Cotoh 4: Selesaikalah ersamaa diferesial Persamaa karakteristikya adalah d d d d d y D D D ( D)( D)( D) Maka, akar-akar karakteristikya adalah m =. solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y C e C e C e Teorema m m m y C e C e C e Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge tigkat dua ( D m)( D m) y. Diketahui ula m da m meruaka seasag akar komleks kojugat (yaki, m a bi da m a bi dega ab, ). Jika b, maka eyelesaia umumya adalah: a y e Cos b C si b Cotoh 5: Selesaikalah ersamaa diferesial y. d d KALKULUS Srava Chrisdes

4 Persamaa karakteristikya adalah: Igat kembali rumus kuadrat D D m, a Dega megguaka rumus tersebut, didaatlah b b 4a b b a ( ) ( ) 4()() 4 6 m, a () Maka, akar-akar karakteristikya adalah 6 i 6 6i m i 6 i 6 6i m i solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: a y e Cos b C si b y e Cos C si Sekarag, aka dilihat otoh bagaimaa eyelesaia ersamaa diferesial liier homoge dega ilai m bervariasi. Cotoh 6: Tetuka solusi ersamaa diferesial Persamaa karakterisitikya adalah Dari Dari ( D 4) ( D 4) 4 6y 4 d. 4 D 6 ( D 4)( D 4), didaatlah akar-akar karakteristik m da m, dega megguaka rumus kuadrat, didaatlah akar-akar karakteristik m i da m4 i solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: m m a y C e C e e C os b C 4 si b y C e C e C os C si 4 C. Persamaa Diferesial Tak Homoge dega Koefisie Teta Lihat kembali betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- dega koefisie teta adalah: P P P... P P y Q d d d d dega P da P, P,..., P, P adalah kostata. KALKULUS Srava Chrisdes 4

5 Jika Q, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial tak homoge. Dega melakuka emisala seerti yag telah dijelaska sebelumya, maka betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- dega koefisie teta daat dituliska sebagai berikut dega atau F( D) y Q F( D) P D P D P D... P D P F( D) ( D m)( D m)...( D m ) da, Q. Maka, betuk eyelesaia umum dari ersamaa diferesial liier tak homoge tigkat- dega koefisie teta adalah y y y y : eyelesaia umum dari F( D) y (fugsi komlemeter) y : itegral khusus F( D) y Q Cara meari itegral khusus y : ) metode koefisie tak tetu (tergatug betuk dari Q), ) metode variasi dari arameter. Tekik A samai Tekik D berikut aka membahas earia itegral khusus dega metode koefisie tak tetu. Tekik A Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q suatu kostata takol, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah Q y P Cotoh 7: Selesaikalah ersamaa diferesial berikut: Utuk meari y 6. d d y, lagkah-lagkahya sama seerti ada Cotoh samai dega Cotoh F D y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah 6, yaitu dega memisalka ( ) D D ( D)( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e KALKULUS Srava Chrisdes 5

6 Selajutya, telah diketahui bahwa Q = 6 da P. Maka, Q 6 y P Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y y y C e C e Tekik B Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q berbetuk ersamaa oliomial derajat, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah y A B C dega d Cotoh 8: Tetuka solusi dari A da A B d. y. d d Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D D ( D )( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e Lalu, misalka y A B C dega A da A B d d. Dega mesubstitusi y,, da d d ( A) ( A B) ( A B C) ke ersamaa diferesial awal, dieroleh A (A B) (A B C) Kemudia, dega meyamaka masig-masig suku ada kedua ruas, didaatlah A AB A B C sehigga A B C 4 y. 4 Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y Ce Ce 4 KALKULUS Srava Chrisdes 6

7 Tekik C Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d k Jika Q berbetuk Ce dega C da k adalah suatu kostata, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah k y Ae dega Ak e k d Cotoh 9: Tetuka solusi dari da Ak e k d. 4y e d. Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D 4 Dega megguaka rumus kuadrat, dierolehlah akar-akar karakteristikya m i da m i Lalu, dega C = da k =, misalka Dega mesubstitusi y C os C si y Ae dega da d 9Ae 4 Ae e 9Ae d da y ke ersamaa diferesial awal, dieroleh Ae e sehigga didaatlah A = /. y e Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y Cos C si e Ae d. Tekik D Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q berbetuk C os k atau C si k dega C da k adalah suatu kostata, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah y Aos k Bsi k dega os si d Ak k Bk k da Ak si k Bk os k d. KALKULUS Srava Chrisdes 7

8 Cotoh : Selesaika ersamaa diferesial y si. d d Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D D ( D )( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e Lalu, dega C da k, misalka y Aos Bsi dega Aos Bsi da Asi B os d d. Dega mesubstitusi y,, da ke ersamaa diferesial awal, dieroleh d d ( Aos Bsi ) ( Asi Bos ) ( Aos Bsi ) si ( A B) os ( A B)si si Kemudia, dega meyamaka masig-masig suku ada kedua ruas, didaatlah A B AB sehigga A B y os si Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah y y y y Ce Ce os si Sekarag, aka diberika otoh bagaimaa meari itegral khusus dari ersamaa diferesial liier tak homoge dega Q meruaka hasil kali atau hasil jumlah fugsi-fugsi dari jeis yag telah dibahas ada Tekik A samai Tekik D. Sebagai otoh, misalka 4y os. Dalam hal ii, Q os ; d d meruaka erkalia atara (oliom berderajat ) da os. Berdasarka Tekik B diketahui utuk Q berbetuk ersamaa oliomial derajat itegral khususya y A B C. Maka, utuk Q berbetuk ersamaa oliomial derajat memberika itegral khusus y A B. Lalu berdasarka Tekik D, utuk os, itegral khususya y os si. itegral khusus utuk Q os adalah: y ( A B)(os si ) KALKULUS Srava Chrisdes 8

9 4 si Cotoh laiya, misalka y e. Dalam hal ii, d d meruaka ejumlaha atara e da si. Berdasarka Tekik C, utuk e, itegral khususya y Ae. Q e si Lalu berdasarka Tekik D, utuk si, itegral khususya y os si. itegral khusus utuk Q e si adalah: y Ae os si ; Selajutya, aka dibahas tetag earia itegral khusus dega metode variasi dari arameter. Metode ii bisa diguaka utuk semua betuk Q dalam meyelesaika ersamaa diferesial liier tak homoge. Itegral khusus dari ersamaa diferesial liier tak homoge F( D) y Q daat ditetuka dari betuk y C y ( ) C y ( )... C y ( ) dega meggati Teorema 4 i C mejadi fugsi L ( ) sehigga i y L ( ) y ( ) L ( ) y ( )... L ( ) y ( ) y C y ( ) C y ( ) adalah fugsi komlemeter dari ersamaa diferesial Jika ( D PD P) y Q, maka dega syarat: (i) L y L y L y L y Q (ii) y L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) Teorema 5 Jika diferesial y C y ( ) C y ( ) C y ( ) adalah fugsi komlemeter dari ersamaa ( D P D P D P ) y Q, maka dega syarat: (i) L y L y L y (ii) L y L y L y L y L y L y Q (iii) y L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) Utuk memermudah earia hasil dari sistem ersamaa liier ada Teorema 4 da 5, guakalah Atura Cramer. Setelah itu, itegralka hasil-hasil yag didaat utuk memeroleh L, L, da L. KALKULUS Srava Chrisdes 9

10 Cotoh : Tetukalah solusi dari y ta d. Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D Dega megguaka rumus kuadrat, dierolehlah akar-akar karakteristikya m i da m i y C os C si Karea itu, berdasarka Teorema 4, itegral khususya berbetuk y L ( ) os L ( ) si Selajutya, L y L y L os L si L y L y Q L ( si ) L os ta Matriks yag dierbesar dari sistem ersamaa tersebut adalah Berdasarka matriks di atas, misalka os A si os si si os ta si os b = ta Utuk megguaka Atura Cramer, ari terlebih dahulu matriks etri-etri ada kolom ke-j dari A dega etri-etri matriks b. si A ta os A os si ta Dega Atura Cramer, didaatlah det( A ) ta si L ta si det( A) det( A ) si L si det( A) Karea L ta si, maka si os ta si d d d (os se ) d os os si l se ta K sehigga L si l se ta. A j dega meggati Selajutya, karea L si, maka si d os K sehigga L os. KALKULUS Srava Chrisdes

11 y L ( ) os L ( ) si (si l se ta ) os os si si os os l se ta os si os l se ta Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah y y y y Cos Csi os l se ta D. Alikasi Persamaa Diferesial >> PEGAS BERGETAR Hukum Hooke megataka bahwa jika egas diregagka (atau dimamatka) satua dari ajag mula-mula, maka egas tersebut megeluarka gaya yag sebadig terhada : gaya emulih = k dega k adalah kostata egas (berilai ositif). Jika gaya hambata luar diabaika (yag disebabka oleh hambata udara atau geseka), maka dega Hukum Kedua Newto (gaya = massa ereata), didaat: d d k F k ma k m k m dt dt dega m meruaka massa beda yag diletakka ada ujug egas. Ii berua ersamaa diferesial liier tigkat dua. Persamaa karakteristikya adalah md k dega akar-akar karakteristikya r, i k / m. Lalu, dega memisalka k/ m, maka r, i. Berdasarka Teorema, solusi umum utuk ersamaa diferesial di atas adalah: ( t) Cos t Csi t yag daat ditulis juga sebagai berikut: ( t) A os( t ) dega: k/ m [frekuesi] A C C [amlitudo] C C os ; si [ adalah sudut fase] A A Jeis gerak ii disebut sebagai gerak harmoik sederhaa. Cotoh : Pegas dega massa kg memuyai ajag mula-mula,5 m. Gaya 5,6 N dierluka utuk memertahaka egas dalam keadaa teretag seajag,7 m. Jika egas diretag ke ajag,7 m da kemudia dileaska dega keeata awal, arilah osisi massa tersebut ada sebarag t. Dari Hukum Hooke, gaya yag dierluka utuk meretagka egas adalah 5,6 k(,7,5) KALKULUS Srava Chrisdes

12 sehigga k 5,6 /, 8 (karea k adalah kostata egas berilai ositif). Dega megguaka ilai kostata egas ii, da juga fakta bahwa massaya m =, maka d 8 dt Seerti ada embahasa sebelum otoh ii, solusi umumya adalah ( t) C os8t C si8t dega k/ m 8 / 8. Dalam soal diketahui, egas diretag ke ajag,7 m (yag mula-mulaya,5 m) da kemudia dileaska dega keeata awal. Ii berarti bahwa, saat t =, maka osisi massaya adalah,7,5 =,. Atau, (),. Tetai, dari solusi umum di atas, dieroleh () C os C si C Karea itu, C,. Lalu, dega mediferesialka t (), dieroleh ( t) 8C si 8t 8C os8t da, () t ii meruaka keeata, sehigga () karea keeata awalya. () 8C si 8C os 8C 8C C Dega demikia, osisi massa tersebut ada sebarag t adalah ( t), os8t >> GETARAN TEREDAM Berikutya aka ditijau geraka egas yag dikeai gaya geseka atau gaya eredama. Sebagai otoh, gaya eredama yag dikeluarka oleh eredam-kejut ada mobil atau seeda. Aggalah bahwa gaya eredama sebadig dega keeata massa da bekerja dalam arah yag berlawaa dega arah geraka. gaya eredama = d dt dega adalah kostata eredama (berilai ositif), sehigga dalam kasus ii, Hukum Kedua Newto memberika F = gaya emulih + gaya eredama d ma k dt d d m k dt dt d d m k dt dt Persamaa tersebut meruaka ersamaa diferesial liier tigkat dua dega ersamaa karakteristikya md D k da akar-akar karakteristikya r, m Utuk hal yag seerti ii, terbagi mejadi tiga kasus. 4mk KALKULUS Srava Chrisdes

13 K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-lebih (overdamed). Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga riil yag berbeda, sehigga rt rt berdasarka Teorema, solusi umumya adalah () t C e C e K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-kritis (ritially damed). Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga riil kembar, yaitu r, r m rt rt sehigga berdasarka Teorema, solusi umumya adalah () t Ce C e K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-kurag. Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga komleks, yaitu r, i m dega 4mk m. Maka, berdasarka Teorema, solusi umumya adalah ( / ) ( ) m t t e Cos t C si t Cotoh : Adaika egas dalam Cotoh dieluka dalam aira dega kostata eredama 4. Carilah osisi massa ada sebarag t, jika eristiwa ii dimulai dari osisi kesetimbaga da diberika doroga utuk memulaiya dega keeata awal,6 m/s. Pada Cotoh, diketahui massaya kg da telah didaat kostata egas k = 8, sehigga d d 4 8 dt dt d d 64 dt dt Persamaa karakteristikya adalah D D 64 ( D 4)( D 6), sehigga akar-akar karakteristikya 4 da 6. Ii berarti terjadi eredama-lebih (Kasus ). Maka, solusi umumya adalah 4t 6t () t Ce Ce Dalam soal diketahui, egas dimulai dari osisi kesetimbaga. Ii berarti bahwa, saat t =, maka osisi massaya adalah. Atau, (). Tetai, dari solusi umum di atas dieroleh () C e C e C C CC. Lalu, dega mediferesialka t (), didaat 4 6 ( ) 4 t t t Ce 6e da, () t ii meruaka keeata, sehigga (),6 karea keeata awalya,6. () 4C e 6 e 4C 6C 4C 6C,6 Karea CC atau C C, maka C,6 atau C,5. Da, C C,5. Dega demikia, osisi massa tersebut ada sebarag t adalah ( t),5e,5 e,5 e e 4t 6 t 4t 6 t KALKULUS Srava Chrisdes

14 L A T I H A N. Selesaikalah ersamaa diferesial liier tigkat satu berikut. a. y y e. y 6 d b. si y y e d. y d. Selesaikalah ersamaa diferesial liier homoge berikut. a. 6 y. y d d d b. y d. y d d d d d d. Selesaikalah ersamaa diferesial tak homoge berikut. a y 7 e. y e 4 d d d d d b. 9y e d f. e si d d. y g. y os d d d d d. si 4 h. y se d d d 4. Sebuah erusahaa membuat aalisis megeai jumlah roduksi terhada ekerjaya. Pada saat sekarag, erusahaaya daat memroduksi uit/hari. Dierkiraka taa ertambaha mesi-mesi, maka erubaha jumlah roduksi er hari terhada erubaha eambaha ekerjaya adalah 8 6 dega adalah ertambaha ekerjaya. Tetuka sekarag jumlah roduksi er hari, jika ekerjaya bertambah 5 orag (eambaha roduksiya dalam %). 5. Pegas dega massa kg diegag teretag,6 m di luar ajag mula-mulaya oleh gaya N. Jika egas mulai ada osisi kesetimbaga tetai doroga memberiya keeata awal, m/s, arilah osisi massa tersebut ada sebarag t. 6. Pegas dega massa kg memuyai kostata eredama da kostata egas. Carilah osisi massa tersebut ada waktu t jika egas mulai ada osisi kesetimbaga dega keeata m/s. 7. Pegas memuyai massa kg da kostata egasya. Pegas tersebut dileas di titik, m di atas osisi kesetimbagaya. Tetukalah jeis eredama yag terjadi jika diketahui kostata eredamaya: a.. 5 b. 5 d. KALKULUS Srava Chrisdes 4

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika

Lebih terperinci

BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n)

BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n) BAB IV ERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI 1- Stadar Kometesi Setelah memelajari okok bahasa ii diharaka mahasiswa daat memahami ara-ara meetuka selesaia umum ersamaa dieresial tigkat satu derajat tiggi.

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH BAB ENDAHULUAN. LATAR BELAKANG MASALAH Dalam kehidua yata, sejumlah feomea daat diikirka sebagai ercobaa yag mecaku sederata egamata yag berturut-turut da buka satu kali egamata. Umumya, tia egamata dalam

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

(The Method of Separation of Variables). Metode ini dapat digunakan pada PDP linier, khususnya PDP dengan koefisien konstan.

(The Method of Separation of Variables). Metode ini dapat digunakan pada PDP linier, khususnya PDP dengan koefisien konstan. METODE PEMISAHAN PEUBAH (The Method of Separatio of Variales) Metode ii dapat diguaka pada PDP liier, khususya PDP dega koefisie kosta Tujua Istruksioal : Setelah megikuti perkuliaha mahasiswa dapat: 1

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai : Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Buleti Ilmiah Math. Stat. da Terapaya (Bimaster) Volume 02, No. 1(2013), hal 1-6. PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN METODE D ALEMBERT Demag, Helmi, Evi Noviai INTISARI Permasalaha di bidag tekik

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

JFET (Junction Field Effect Transistor)

JFET (Junction Field Effect Transistor) JFET (Juctio Field Effect Trasistor) truktur JFET rai () rai () - ate () ate () V ource () V ource () JFET Kaal JFET Kaal Perhatika (uutk kaal ) bahwa terdaat struktur juctio atara ate () dega ource(),

Lebih terperinci

KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA

KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA Ibu Hadi Program Studi Matematika, Uiversitas Negeri Jakarta, Idoesia ibu_hadi@uj.ac.id, ibu_uj@yahoo.co.id

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

Ukuran Pemusatan. Pertemuan 3. Median. Quartil. 17-Mar-17. Modus

Ukuran Pemusatan. Pertemuan 3. Median. Quartil. 17-Mar-17. Modus -Mar- Ukura Pemusata Pertemua STATISTIKA DESKRIPTIF Statistik deskripti adalah pegolaha data utuk tujua medeskripsika atau memberika gambara terhadap obyek yag diteliti dega megguaka sampel atau populasi.

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi

Lebih terperinci

Kompleksitas Waktu untuk Algoritma Rekursif. ZK Abdurahman Baizal

Kompleksitas Waktu untuk Algoritma Rekursif. ZK Abdurahman Baizal Kompleksitas Waktu utuk Algoritma Rekursif ZK Abdurahma Baizal Algoritma Rekursif Betuk rekursif : suatu subruti/fugsi/ prosedur yag memaggil diriya sediri. Betuk dimaa pemaggila subruti terdapat dalam

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Getara (Vibratio) Dalam kehidupa sehari-hari terdapat bayak beda yag bergetar. Sear gitar yag serig ada maika, Soud system, Garpu tala, Demikia juga rumah ada yag bergetar dasyat higga rusak ketika terjadi

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder 3. Ragkaia Logika Kombiasioal da Sequesial Ragkaia Logika secara garis besar dibagi mejadi dua, yaitu ragkaia logika Kombiasioal da ragkaia logika Sequesial. Ragkaia logika Kombiasioal adalah ragkaia yag

Lebih terperinci

BAB III METODOLOGI START. Baca Input Data γ, c, φ, x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, x 4, y 4, D. Menghitung FK Manual. Tidak.

BAB III METODOLOGI START. Baca Input Data γ, c, φ, x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, x 4, y 4, D. Menghitung FK Manual. Tidak. BAB III METODOLOGI 3.. ALUR PROGRAM (FLOW CHART) Seerti telah dijelaska sebelumya, bahwa tujua dari eelitia ii adalah utuk megaalisis suatu kasus stabilitas lereg. Aalisis stabilitas lereg tergatug ada

Lebih terperinci

BAB 3 METODE PENELITIAN

BAB 3 METODE PENELITIAN Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN STATISTIKA. 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm.

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN STATISTIKA. 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm. SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN STATISTIKA Soal Diberika data egukura sebagai berikut: 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm. Tetukalah: a) Modus b) Media c) Kuartil bawah Urutka data

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

BAB III MENENTUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INTERVAL WAKTU PREVENTIVE MAINTENANCE OPTIMUM SISTEM AXIS PADA MESIN CINCINNATI MILACRON DOUBLE GANTRY TIPE-F

BAB III MENENTUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INTERVAL WAKTU PREVENTIVE MAINTENANCE OPTIMUM SISTEM AXIS PADA MESIN CINCINNATI MILACRON DOUBLE GANTRY TIPE-F BAB III MENENUKAN MODEL KERUSAKAN DAN INERVAL WAKU PREVENIVE MAINENANCE OPIMUM SISEM AXIS PADA MESIN CINCINNAI MILACRON DOUBLE GANRY IPE-F 3.1 Pedahulua Pada Bab II telah dijelaska beberapa teori yag diguaka

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa 19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Perilaku Distribusi Bernoulli. Definisi: Bernoulli. Contoh Binomial. Contoh Binomial

Perilaku Distribusi Bernoulli. Definisi: Bernoulli. Contoh Binomial. Contoh Binomial Defiisi: Beroulli ercobaa Beroulli: Haya terdaat satu kali ercobaa dega eluag sukses da eluag gagal - eluag Sukse: eluag Gagal: ( = ) = ( = 0 ( = 0) = ( 0 0 = erilaku Distribusi Beroulli E() = Var () =

Lebih terperinci

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada

Lebih terperinci

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL) Setiap peelitia selalu berkeaa dega sekelompok data. Yag dimaksud kelompok disii adalah: Satu orag mempuyai sekelompok data, atau sekelompok orag mempuyai satu

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAHAN AJAR KALKULUS 2. Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

BAHAN AJAR KALKULUS 2. Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc BAHAN AJAR KALKULUS Disusu Oleh: Drs Moch Chotim, MS Muhammad Kharis, SSi, MSc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 0 i DAFTAR ISI DAFTAR ISI ii

Lebih terperinci

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK 8 B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka d/d dalam iterval,

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

Praktikum Perancangan Percobaan 9

Praktikum Perancangan Percobaan 9 Praktikum Peracaga Percobaa 9 PRAKTIKUM RANCANGAN ACAK LENGKAP A. Tujua Istruksioal Khusus Mahasiswa diharaka mamu: a. Megguaka kalkulator utuk meyelesaika aalisis ragam RAL b. Megguaka kalkulator ada

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11 SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga

Lebih terperinci

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan

POSITRON, Vol. II, No. 2 (2012), Hal. 1-5 ISSN : Penentuan Energi Osilator Kuantum Anharmonik Menggunakan Teori Gangguan POSITRON, Vol. II, No. (0), Hal. -5 ISSN : 30-4970 Peetua Eergi Osilator Kuatum Aharmoik Megguaka Teori Gaggua Iklas Saubary ), Yudha Arma ), Azrul Azwar ) )Program Studi Fisika Fakultas Matematika da

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

Karakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran

Karakteristik Dinamik Elemen Sistem Pengukuran Karakteristik Diamik Eleme Sistem Pegukura Kompetesi, RP, Materi Kompetesi yag diharapka: Mahasiswa mampu merumuskaka karakteristik diamik eleme sistem pegukura Racaga Pembelajara: Miggu ke Kemampua Akhir

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

Pendugaan Parameter Model

Pendugaan Parameter Model Det. Statistika IPB, 05 Pedugaa Parameter Model Aabila ilai, d, da q sudah daat diidetifikasi, maka selajutya dilakuka edugaa terhada arameter model, yaitu,,..., utuk model AR() da,,..., q utuk model MA(q)

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali

Kestabilan Rangkaian Tertutup Waktu Kontinu Menggunakan Metode Transformasi Ke Bentuk Kanonik Terkendali Jural Tekika ISSN : 285-859 Fakultas Tekik Uiversitas Islam Lamoga Volume No.2 Tahu 29 Kestabila Ragkaia Tertutup Waktu Kotiu Megguaka Metode Trasformasi Ke Betuk Kaoik Terkedali Suhariyato ) Dose Fakultas

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN : Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci