1. Integral (1) Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan diferensial seperti contoh yang pertama.

Transkripsi

1 Darublic 1. Itegral (1) (Macam Itegral, Pedeata Numeri) Sudarato Sudirham Dalam bab sebeluma, ita memelajari salah satu bagia utama alulus, aitu alulus diferesial. Beriut ii ita aa membahas bagia utama edua, aitu alulus itegral. Dalam egertia sehari-hari, ata itegral megadug arti eseluruha. Istilah megitegrasi bisa berarti meujua eseluruha atau memberia total ; dalam matematia berarti meemua fugsi ag turuaa dietahui. Misala dari suatu fugsi f( ag dietahui ita dimita utu mecari suatu fugsi sedemiia rua sehigga dalam retag ilai tertetu, misala a< < b, dieuhi ersamaa d f ( (1.1) Persamaa seerti (1.1) ii, ag meataa turua fugsi sebagai fugsi (dalam beberaa hal ia mugi juga meruaa fugsi da ) disebut ersamaa diferesial. Sebagai cotoh: d d d + Pembahasa ag aa ita laua haa megeai betu ersamaa diferesial seerti cotoh ag ertama Itegral Ta Tetu Suatu fugsi F( diataa sebagai solusi dari ersamaa diferesial (1.1) jia dalam retag a< < b ia daat diturua da daat memeuhi Perhatia bahwa jia F( memeuhi (1.) maa sembarag, juga aa memeuhi (1.) sebab Jadi secara umum daat ita tulisa d [ F( + K ] ag ita baca: itegral f( adalah F( ditambah K. df( f ( (1.) F ( + K dega K adalah suatu ilai tetaa df( dk df( + + Persamaa (1.) daat ula ita tulisa dalam betu diferesial, aitu (1.) f ( F( + K (1.4) df ( f ( ag jia itegrasi dilaua ada ruas iri da aa aa memberia df ( f ( (1.5) Jia ita badiga (1.5) da (1.4), ita daat meimula bahwa df ( F( + K (1. 6) Sudarato Sudirham, Itegral (1) 1/1

2 Darublic Jadi itegral dari diferesial suatu fugsi adalah fugsi itu sediri ditambah suatu ilai tetaa. Itegral semacam ii disebut itegral ta tetu; masih ada ilai tetaa K ag harus dicari. Kita ambil dua cotoh utu iegrasi itegrasi ta tetu ii 1) Cari solusi ersamaa diferesial d 4 5 Kita tulisa ersamaa tersebut dalam betu diferesial Meurut relasi (9.4) da (9.5) di Bab-9, d d( ) 5 4 Oleh area itu d( ) + K ). Carilah solusi ersamaa d Kita tulisa dalam betu diferesial d da ita elomoa eubah dalam ersamaa ii sehigga ruas iri megadug haa eubah ta bebas da ruas aa haa megadug eubah bebas. Proses ii ita laua dega membagi edua ruas dega. 1 / d 1/ 1/ Ruas iri memberia diferesial d ( ) d 1 d, sehigga Jia edua ruas diitegrasi, dieroleh d da ruas aa memberia diferesial ( 1/ 1 ) d 1/ 1 K1 + K + atau 1 / K K1 + K Dua cotoh telah ita lihat. Dalam roses itegrasi seerti di atas terasa adaa eharusa utu memilii emamua meduga jawaba. Beberaa hal tersebut di bawah ii daat memeriga uaa edugaa tersebut. 1. Itegral dari suatu diferesial d adalah ditambah ostata sembarag K. d + K. Suatu ostata ag berada di dalam tada itegral daat dieluara ad a. Jia bilaga 1, maa itegral dari d dieroleh dega meambah agat dega 1 mejadi ( + 1) da membagia dega ( + 1). d Sudarato Sudirham, Itegral (1) /1

3 Darublic d + K, + 1 jia 1 Pegguaa Itegral Ta Tetu. Dalam itegral ta tetu, terdaat suatu ilai K ag meruaa bilaga ata sembarag. Ii berarti bahwa itegral ta tetu memberia hasil ag tida tuggal melaia baa hasil ag tergatug dari beraa ilai ag dimilii oleh K. Dalam emafaata itegral ta tetu, ilai K dieroleh dega meeraa aa ag disebut sebagai sarat awal atau odisi awal. Kita aa mecoba memahami melalui egamata urva. Jia ita gambara urva 1 ita aa medaata urva berilai tuggal seerti Gb.1.1.a. Aa tetai jia ita 1 melaua itegrasi tida haa satu urva ag daat memeuhi sarat aa tetai baa urva seerti ada Gb.1.1.b; ita aa medaata satu urva jia K daat ditetua. i 1 +K i K K K a) b) Gb.1.1. Itegral ta tetu memberia baa solusi. Sebagai cotoh ita aa meetua osisi beda ag bergera dega eceata sebagai fugsi watu ag dietahui. Keceata sebuah beda bergera diataa sebagai v at t, dega v adalah eceata, a adalah erceata ag dalam soal ii berilai, t watu. Kalau osisi awal beda adalah s ada watu t, tetualah osisi beda ada t 4. Kita igat egertia-egertia dalam meaia bahwa eceata adalah laju erubaha jara, ds dv v ; sedaga erceata adalah laju erubaha eceata, a. Karea eceata sebagai dt dt fugsi t dietahui, da ita aa mecari osisi (jara), maa ita guaa relasi ds v ag memberia ds vdt dt sehigga itegrasia memberia t s atdt + K 1,5t + K Kita teraa searag odisi awal, aitu s ada t. + K ag memberia K Dega demiia maa s sebagai fugsi t mejadi s 1,5t + sehigga ada t 4 osisi beda adalah s 4 7 Luas Sebagai Suatu Itegral. Kita aa mecari luas bidag ag dibatasi oleh suatu urva f (, sumbu-, garis vertial, da. Sebagai cotoh ertama ita ambil fugsi tetaa seerti terlihat ada Gb.1.. Sudarato Sudirham, Itegral (1) /1

4 Darublic f( A A + Gb.1.. Mecari luas bidag di bawah. Jia luas dari samai adalah A, da ita bisa mecari fugsi ertambaha luas A aitu ertambaha luas jia bertambah mejadi +, maa ita daat megguaa fugsi ertambaha tersebut mulai dari samai utu memeroleh A aitu luas dari samai. Pertambaha luas ag dimasud tetulah A A atau f ( Jia dierecil meuju ol maa ita daata limit Dari (1.8) ita eroleh lim A A da f ( (1.7) (1.8) da K (1.9) + Kodisi awal (odisi batas) adalah A utu. Jia odisi ii ita teraa ada (1.9) ita aa memeroleh ilai K aitu + K atau K (1.1) sehigga A (1.11) Kita medaata luas A (ag dihitug mulai dari ) meruaa fugsi. Jia erhituga diterusa samai ita eroleh A ( ) (1.1) Iilah hasil ag ita eroleh, ag sudah ita eal dalam laimetri ag meataa bahwa luas segi emat adalah ajag ali lebar ag dalam asus ita ii ajag adalah ( ) da lebar adalah. Bagaimaaah jia urva ag ita hadai bua urva dari fugsi tetaa? Kita lihat asus fugsi sembarag dega sarat bahwa ia otiu dalam retag seerti digambara ada Gb.1.. f( f(+ ) f( A A + Gb.1.. Fugsi sembarag otiu dalam a b Sudarato Sudirham, Itegral (1) 4/1

5 Darublic Dalam asus ii, A bisa memilii dua ilai tergatug dari aaah dalam meghituga ita memilih A f( atau A f(+). Namu ita aa memuai ilai f ( f ( ) f ( + ) (1.1) A dega adalah suatu ilai ag terleta atara da +. Jia ita buat medeati ol ita aa memuai f ( f ( ) f ( + ) (1.14) A Dega demiia ita aa medaata limit Dari sii ita eroleh A lim A da f ( (1.15) da f ( F( K (1.16) + Dega memasua odisi awal A utu da emudia memasua ilai ita aa memeroleh A F( ) F( ) F( (1.17) 1.. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar itegral tetu adalah luas bidag ag diadag sebagai suatu limit. Kita aa meghitug luas bidag ag dibatasi oleh suatu urva f(, sumbu-, garis, da, aitu luas bagia ag diarsir ada Gb.1.4.a. Sebutlah luas bidag ii A. Bidag ii ita bagi dalam segme da ita aa meghitug luas setia segme da emudia mejumlahaa utu memeroleh A. Jia ejumlaha luas segme ita laua dega meghitug luas segme seerti tergambar ada Gb.1.4.b, ita aa memeroleh luas ag lebih ecil dari dari luas ag ita haraa; sebutlah jumlah luas segme ii A b (jumlah luas segme bawah). Jia ejumlaha luas segme ita laua dega meghitug luas segme seerti tergambar ada Gb.1.4.c, ita aa memeroleh luas ag lebih besar dari dari luas ag ita haraa; sebutlah jumlah luas segme ii A a (jumlah luas segme atas). Kedua macam erhituga tersebut di atas aa megaibata terjadia error. Atara A b da A a ada selisih seerti terlihat ada Gb.1.4.d. Jia adalah suatu ilai di atara edua batas segme e, aitu atara da ( +), maa berlau f( ] f ( ) f ( ) f ( + ) (1.18) f( (a) +1 (b) f( +1 f( (c) (d) Gb.1.4. Meghitug luas bidag di bawah urva Sudarato Sudirham, Itegral (1) 5/1

6 Darublic Jia ertidasamaa (1.18) dialia dega ag ag cuu ecil da berilai ositif, maa f ( ) f ( ) f ( + ) (1.19) Jia luas segme di ruas iri, tegah, da aa dari (1.19) ita jumlaha dari 1 samai (aitu sebaa jumlah segme ag ita buat), ita aa memeroleh f ) f ( ) f ( + ) ( (1.) Ruas alig iri adalah jumlah luas segme bawah, A b ; ruas alig aa adalah jumlah luas segme atas, A a ; ruas ag di tegah adalah jumlah luas segme ertegaha, ita amaa A. Jelaslah bahwa A b A A 1.1) Nilai A daat diaai sebagai edeata ada luas bidag ag ita cari. Error ag terjadi sagat tergatug dari jumlah segme,. Jia ita erbesar meuju ta higga da semua meuju ol, maa luas bidag ag ita cari adalah A a lim A lim A lim A (1.) b Jadi aabila ita meghitug limita, ita aa memeroleh ilai limit ag sama, aaah ita megguaa ejumlaha segme bawah, atau atas, atau ertegahaa. Limit ag sama ii disebut itegral tertetu, ditulisa Itegral tertetu (1.) ii terait dega itegral ta tetu (9.1) A a A f ( (1.) f ( F( ] F( ) F( ) (1.4) Jadi utu memeroleh limit bersama dari ejumlaha segme bawah, ejumlaha segme atas, mauu ejumlaha segme ertegaha dari fugsi f( dalam retag, ita cuu melaua: a. itegrasi utu memeroleh F ( f ( ; b. masua batas atas utu medaat F(); c. masua batas bawah utu medaat F(); d. uraga eroleha batas bawah dari batas atas, F() F(). Walauu dalam embahasa di atas ita megambil cotoh fugsi ag berilai ositif dalam retag, amu embahasa itu berlau ula utu fugsi ag dalam retag semat berilai egatif. Kita haa erlu medefiisia embali aa ag disebut dega A dalam embahasa sebeluma. Pedefiisia ag baru ii aa berlau umum, aitu A adalah luas bidag ag dibatasi oleh f ( da sumbu- dari samai, ag meruaa jumlah luas bagia ag berada di atas sumbu- diuragi dega luas bagia ag di bawah sumbu-. Agar lebih jelas ita megambil cotoh ada Gb 1.. Kita aa meghitug luas atara da sumbu- dari samai +. Betu urva dierlihata ada Gb Sudarato Sudirham, Itegral (1) 6/1

7 Darublic 1 Di sii terlihat bahwa dari samai urva berada di atas sumbu- da atara samai + urva ada di bawah sumbu-. Utu bagia ag di atas sumbu- ita memuai luas A a ( Utu urva ag di bawah sumbu- ita daata A b 4 ( (,5 54),75,5 54 (),75 Luas ag ita cari adalah luas bagia ag berada di atas sumbu- diuragi dega luas bagia ag di bawah sumbu- A Aa Ab,75 (,755) 67,5 Cotoh ii meujua bahwa dega egertia ag baru megeai A, formulasi A f ( F( ) F teta berlau utu urva ag memilii bagia bai di atas mauu di bawah sumbu-. ( )) Dega demiia maa utu betu urva seerti ada Gb.1.6. ita daata A A + ag ita eroleh dari A f ( F( ) F( ) ) Gb.1.5. Kurva A A A4 f( A A 4 A 1 A Gb.1.6. Kurva memotog sumbu- di beberaa titi. Luas Bidag Di Atara Dua Kurva. Kita aa meghitug luas bidag di atara urva 1 f1 ( da f ( ada batas atara da. Kurva ag ita hadai sudah barag tetu harus otiu dalam retag. Kita tetaa bahwa urva 1 f1 ( berada di atas f ( mesiu mugi merea memilii bagia-bagia ag berada di bawah sumbu-. Perhatia Gb.1.7. Sudarato Sudirham, Itegral (1) 7/1

8 Darublic Retag Gb.1.7. Meghitug luas bidag atara dua urva. ita bagi dalam segme, ag salah satua dierlihata ada Gb.1.7. dega batas iri da batas aa (+), dimaa Luas segme daat dideati dega ( ) /. { f1 ( f( } (1.5) A segme ) ag jia ita jumlaha seluruh segme aa ita eroleh 1 { f1 ( f( } A ) segme Dega membuat meuju ta higga sehigga meuju ol ita samai ada suatu limit Kita lihat beberaa cotoh. { f ( f ( } A lim Asegme 1 ) 1 (1.5) (1.6) 1). Jia 1 4 da beraaah luas bidag atara 1 da dari 1 samai +. A + + { 4 ( ) } 6] 18 ( 1) ( Hasil ii dega mudah dijaia megguaa laimetri. Luas ag dicari adalah luas ersegi ajag dega lebar 6 da ajag 5. ). Jia da 4 beraah luas bidag ag dibatasi oleh 1 da. Terlebih dulu ita cari batas-batas itegrasi aitu ilai ada erotoga atara 1 da , Perhatia bahwa 1 adalah fugsi agat dua dega titi uca miimum ag berada ada osisi [,]. Oleh area itu bagia urva 1 ag membatasi bidag ag aa ita cari luasa, berada di di bawah (4 ) A Jia ita terbali dalam memadag osisi 1 terhada ita aa melaua esalaha: * ( 4) + A Sudarato Sudirham, Itegral (1) 8/1

9 Darublic ). Jia 1 + da beraaah luas bidag ag dibatasi oleh 1 da. Terlebih dulu ita erhatia arater fugsi-fugsi ii. Fugsi 1 adalah fugsi uadrat dega titi uca masimum ag memotog sumbu- di. Fugsi adalah garis lurus melalui titi asal [,] dega emiriga egatif 1, ag berarti ia meuru ada arah ositif. Dega demiia maa bagia urva 1 ag membatasi bidag ag aa ita cari luasa berada di atas. Batas itegrasi adalah ilai ada erotoga edua urva. 1 + atau ; ( ) A ,5 Peeraa Itegral Tetu. Pembahasa di atas terfous ada eghituga luas bidag di bawah suatu urva. Dalam rati ita tida selalu meghitug luas melaia meghitug berbagai besara fisis, ag berubah terhada watu misala. Perubaha besara fisis ii daat ula divisualisasi dega membuat absis dega satua watu da ordiat dega satua besara fisis ag dimasud. Dega demiia seolah-olah ita meghitug luas bidag di bawah urva. Beriut ii dua cotoh dalam elistria. 1). Sebuah irati meera daa 1 W ada tegaga osta V. Beraaah eergi ag disera oleh irati ii selama 8 jam? Daa adalah laju erubaha eergi. Jia daa diberi simbol da eergi diberi simbol w, maa dw ag memberia w dt dt Perhatia bahwa eubah bebas di sii adalah watu, t. Kalau batas bawah dari wtu ita buat, maa batas atasa adalah 8, dega satua jam. Dega demiia maa eergi ag disera selama 8 jam adalah 8 8 w dt 1 1 dt t 8 8 Watt.hour [Wh],8 ilo Watt hour [Wh] ). Arus ag melalui suatu irati berubah terhada watu sebagai i(t),5 t amere. Beraaah jumlah muata ag diidaha melalui irati ii atara t samai t 5 deti? Arus i adalah laju erubaha trasfer muata,. d i sehigga dt idt Jumlah muata ag diidaha dalam 5 deti adalah 5 5 5,5 1,5 idt,5,65 tdt t coulomb Sudarato Sudirham, Itegral (1) 9/1

10 Darublic Pedeata Numeri. Dalam embahasa megeai itegral tetu, ita fahami bahwa lagahlagah dalam meghitug suatu itegral adalah: 1. Membagi retag f( e dalam segme; agar roses erhituga mejadi sederhaa buat segme ag sama lebar,.. Itegral dalam retag dari f( dihitug sebagai f ( lim f ( ) 1 dega f( ) adalah ilai f( dalam iterval ag besara aa sama dega ilai teredah da tertiggi dalam segme jia meuju ol. Dalam aliasi ratis, ita tetu bisa meetaa suatu ilai sedemiia rua sehigga jia ita megambil f( ) sama dega ilai teredah atauu tertiggi dalam, hasil erhituga aa lebih redah atauu lebih tiggi dari ilai ag diharaa. Namu error ag terjadi masih berada dalam batas-batas tolerasi ag daat ita terima. Dega cara ii ita medeati secara umeri erhituga suatu itegral, da ita daat meghitug dega batua omuter. Sebagai ilustrasi ita aa meghitug embali luas bidag ag dibatasi oleh urva 1 dega sumbu- atara da +. Luas ii telah dihitug da meghasila A 67, 5. Kali ii erhituga A ( 1 aa ita laua dega edeata umeri dega batua omuter. Karea ag aa ita hitug adalah luas atara urva da sumbu-, maa bagia urva ag berada di bawah sumbu- harus dihitug sebagai ositif. Jia ita megambil ilai,15 maa retag aa terbagi dalam 4 segme. Perhituga meghasila Error ag terjadi adalah seitar,15%. 4 A ( 1 ) 67, ,4 1 Jia ita megambil,5 maa retag aa terbagi dalam 1 segme. Perhituga meghasila A Error ag terjadi adalah seitar,%. 1 ( 1 ) 67, ,5 1 Jia ita masih mau meerima hasil erhituga dega error,%, maa hasil edeata umeri sebesar 67,4 cuu memadai. Perhituga umeri di atas dilaua dega meghitug luas setia segme sebagai hasilali ilai miimum atauu ilai masimum masig-masig segme dega. Satu alteratif lai utu meghitug luas segme adalah dega melihata sebagai sebuah traesium. Luas setia segme mejadi ( f ( mi ) + f ( )) / Asegme mas (1.7) Perhituga edeata umeri ii ita laua dega batua omuter. Kita bisa memafaata rogram aliasi ag ada, atauu megguaa sread sheet jia fugsi ag ita hadai cuu sederhaa. Sudarato Sudirham, Itegral (1) 1/1

11 Darublic Volume Sebagai Suatu Itegral Di sub-bab sebeluma ita meghitug luas bidag sebagai suatu itegral. Beriut ii ita aa melihat egguaa itegral utu meghitug volume. Balo. Kita ambil cotoh sebuah balo seerti tergambar ada Gb.1.8. Balo ii dibatasi oleh dua bidag datar aralel di da. Balo ii diiris tiis-tiis dega tebal irisa sehigga volume balo, V, meruaa jumlah dari volume semua irisa. Gb.1.8. Balo Jia A( adalah luas irisa di sebelah iri da A(+) adalah luas irisa di sebelah aa maa volume irisa V adalah A( V A( + ) Volume balo V adalah V A( dega A ( adalah luas rata-rata irisa atara A( da A(+). Aabila cuu tiis da ita megambil A( sebagai eggati A ( maa ita memeroleh edeata dari ilai V, aitu V A( Jia meuju ol da A( otiu atara da maa A( V lim A( (1.8) o Rotasi Bidag Segitiga Pada Sumbu-. Satu erucut daat dibaaga sebagai segitiga ag berutar seitar salah satu sisia. Sigitiga ii aa meau satu volume erucut seerti terlihat ada Gb.1.9. Segitiga OPQ, dega OQ berimit dega sumbu-, berutar megeliligi sumbu-. P O Q Gb.1.9. Rotasi Segitiga OPQ megeliligi sumbu- Formula (1.8) daat ita teraa disii. Dalam hal ii A( adalah luas ligara dega jari-jari r(; sedaga r( memilii ersamaa garis OP. V h h [ r( ] h A( π πm (1.9) dega m adalah emiriga garis OP da h adalah jara O-Q. Formula (1.9) aa memberia volume erucut dega OQ h da r adalah ilai PQ ada h. πm h π(pq/oq) h h Verucut πr (1.) Sudarato Sudirham, Itegral (1) 11/1

12 Darublic Bagaimaaah jia OQ tida berimit dega sumbu-? Kita aa memilii erucut ag terotog di bagia uca. Volume erucut terorog demiia ii dieroleh dega meesuaia ersamaa garis OP. Jia semula ersamaa garis ii berbetu m berubah mejadi m + b dega b adalah erotoga garis OP dega sumbu-. Rotasi Bidag Sembarag. Jia f( otiu ada a b, rotasi bidag atara urva fugsi ii dega sumbu- atara a b seelilig sumbu- aa membagu suatu volume beda ag daat dihitug megguaa relasi (1.1). f( a b Gb.1.1. Rotasi bidag megeliligi sumbu- Dalam meghitug itegral (1.8) eesuaia harus dilaua ada A( da batas-batas itegrasi. b π a sehigga V ( f ) ( r( ) π( f ( )) A( π ( (1.1) Gabuga Fugsi Liier. Jia f( ada (1.1) meruaa gabuga fugsi liier, ita aa medaata situasi seerti ada Gb a b Gb Fugsi f( meruaa gabuga fugsi liier. Fugsi f( otiu bagia demi bagia. Pada Gb terdaat tiga retag dimaa fugsi liier otiu. Kita daat meghitug volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagia. Fugsi f( Memotog Sumbu-. Formula (1.9) meujua bahwa dalam meghitug volume, f( diuadrata. Oleh area itu jia ada bagia fugsi ag berilai egatif, dalam eghituga volume bagia ii aa mejadi ositif Pajag Kurva Pada Bidag Datar Jia urva f ( ita bagi dalam segme masig-masig selebar, maa l dalam segme tersebut adalah l PQ + Salah satu segme dierlihata ada Gb.1.1. Ada satu titi P ag terleta ada urva di segme ii ag terleta atara P da Q di maa turua fugsi (P ), ag meruaa garis siggug di P, sejajar dega PQ. Megguaa egertia (P ) ii, l daat diataa sebagai l + [( ( P )) ] 1+ ( (P )) Sudarato Sudirham, Itegral (1) 1/1

13 Darublic f( Gb.1.1. Salah satu segme ada urva f (. Setia segme memilii (P ) masig-masig aitu, da l masig-masig aitu l. Jia dibuat meuju, ajag urva dari a e b adalah lab lim l lim atau ( ) lim 1 + ( ) b d lab 1 + (1.) a Perlu ita igat bahwa ajag suatu urva tida tergatug dari osisi sumbu oordiat. Oleh area itu (1.) daat ditulis juga sebagai bebas. b lab d a d 1 + dega a da b adalah batas-batas eubah 1.5. Nilai Rata-Rata Suatu Fugsi Utu fugsi f ( ag otiu dalam retag ilai rata-rata fugsi ii didefiisia sebagai Defiisi (1.) daat ita tulisa 1 ( rr ) f ( ) (1.) (Peulisa ( rr ) utu meataa ilai rata-rata fugsi ( rr ) ( ) f ( (1.4) Ruas aa (1.4) adalah luas bidag atara urva fugsi f ( dega sumbu- mulai dari samai. Ruas iri (1.4) daat ditafsira sebagai luas segi emat dega ajag ( ) da lebar ( rr ). Namu ita erlu hati-hati sebab dalam meghitug ruas aa (1.4) sebagai luas bidag atara urva fugsi f ( dega sumbu- bagia urva ag berada di bawah sumbu- memberi otribusi ositif ada luas bidag ag dihitug; sedaga dalam meghitug ilai rata-rata (1.) otibusi tersebut adalah egatif. Sebagai cotoh, ita ambil fugsi a 1. Luas bidag atara 1 dega sumbu- dari samai + adalah ositif, A 67, 5 (telah erah ita hitug). Semetara itu jia ita P l meghitug ilai rata-rata fugsi ii dari samai + hasila adalah ( rr ) area bagia urva ag berada di atas da di bawah sumbu- aa salig meiadaa. Q b Sudarato Sudirham, Itegral (1) 1/1