BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan dan Sasaran. C. Ruang Lingkup
|
|
- Ari Salim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Kombiatoria mempuyai beberapa aspe, yaitu eumerasi, teori graf, da ofigurasi atau peyusua. Eumerasi membahas peghituga susua berbagai tipe. Sebagai cotoh: (i) meghitug bayaya cara memilih artu jatug (heart) dalam satu set artu bridge dalam satu pegambila, (ii) meghitug bayaya cara meyusu 6 siswa elas II salah satu SMA di Yogyaarta e dalam 4 grup atas 4 aggota, (iii) meyusu buu berbeda dega uruta tertetu. Cara palig mudah melaua eumerasi adalah medaftar semua emugia yag terjadi. Utu permasalaha dega cacah bilaga yag ecil tida mejadi masalah, tetapi utu permasalaha yag melibata cacah bilaga yag cuup besar mejadi tida efetif da efisie. Kombiatoria memberia metode utu mempermudah meyelesaia permasalaha tersebut. B. Tujua da Sasara Tulisa ii bertujua memberi gambara bagi para pembaca yag tertari dega masalah ombiatoria, hususya para siswa seolah meegah atas. C. Ruag Ligup Materi yag diberia meliputi: Atura Pejumlaha, Atura Peralia, Prisip Ilusi-Eslusi, Permutasi da Kombiasi, Koefisie Biomial da
2 Multiomial, Pemiliha dega da tapa pegembalia, Prisip Sarag Merpati, da Relasi Reuresi. D. Pedoma Pegguaa Paet Paet ii dimulai dega pemapara pegertia dasar da sifat-sifatya. Cotoh diberia pada setiap pembahasa pegertia yag disampaia dega pembahasa yag legap. Pembaca diharapa megembaga pemahama materi melalui soal-soal di dalam latiha, sehigga jawaba latiha haya merupaa uci saja. Di sampig itu cotoh da latiha diusahaa memberia gambara pemaaiaya pada beberapa masalah sehari-hari. Dari cotoh da latiha yag dipapara diharapa pembaca dapat megerjaa masalah-masalah sejeis atau yag dapat diselesaia dega materi tersebut.
3 BAB II PENGERTIAN DASAR Masalah di dalam ombiatoria dapat beraea-ragam. Utu dapat megiuti tulisa ii, diperlua pegertia-pegertia dasar, seperti: himpua, barisa aritmetia da barisa geometri, pembagi perseutua terbesar (great commo divisor / GCD), idusi matematia, da fugsi. Pada bagia ii haya disampaia pegertia fugsi ijetif, fugsi surjetif, da fugsi bijetif. Pegertia bilaga modulo diberia di dalam pembahasa Prisip Sarag Merpati. A. Atura Pejumlaha da Peralia Atura Pejumlaha Prisip ii megambil dasar bahwa jia A,, A, A adalah himpua yag salig asig dega ardial higga da A A i i, maa A A i i.. Atura Peralia Jia suatu peerjaa melibata buah lagah dega sifat utu setiap lagah e-i, i,,3,,, dapat dierjaa dalam i cara maa eseluruha peerjaa dapat dilasaaa dalam cara. Cotoh.:. Seelompo siswa terdiri dari 4 siswa lai-lai da 3 siswa perempua. Berapa bayaya cara memilih satu siswa wail pria da satu siswa wail perempua? 3
4 Jawab: Ada 4 emugia memilih satu wail siswa lai-lai, da 3 emugia memilih satu wail siswa permpua. Jia dua siswa dipilih, masigmasig siswa lai-lai da siswa perempua, maa bayaya cara pemiliha adalah Perpustaaa "Raji Membaca" mempuyai 6 buah buu berbahasa Iggris, 8 buah buu berbahasa Peracis, da 0 buah buu berbahasa Jerma. Dietahui masigmasig buu mempuyai judul yag berbeda. Berapa bayaya cara memilih a. 3 buah buu yag meliputi tiap bahasa yag berbeda? Jawab: bayaya cara memilih 3 buah buu, masig-masig dari bahasa berbeda, adalah cara. b. buah buu? Jawab: bayaya cara memilih buah buu adalah = 4 cara. 3. Seelompo siswa terdiri dari 4 siswa lai-lai da 3 siswa perempua. Berapa bayaya cara memilih satu siswa dari elompo tersebut? Jawab: Ada 4 emugia memilih satu wail siswa lai-lai, da 3 emugia memilih satu wail siswa permpua. Jia satu siswa dipilih, maa bayaya cara pemiliha adalah = 7. Latiha.. Jia tiga dadu seimbag yag berbeda dilempara, berapa bayaya emugia aga yag mucul?. Dua dadu berwara merah da putih. Berapa cara utu medapata jumlah aga 9 atau 5? 8 cara 3. Suatu pabri maaa aleg memberi ode pada produya dega ode yag terdiri 3 huruf diiuti 4 aga (misala ABD53). a. Jia huruf maupu aga boleh berulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? 4
5 b. Jia haya huruf yag dapat diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? c. Jia haya aga yag dapat diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? d. Jia aga da huruf tida boleh diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? Jawaba Latiha.: cara 3. a. (6) b. (6) c d B. Prisip Ilusi-Eslusi Dasar prisip ilusi-eslusi adalah A Selajutya, prisip () diperluas mejadi B A B A B. () i A i Ai Ai Aj Ai Aj A ( ) Ai. () i i j i j i Dega idusi matematia, tujua peryataa di dalam ()! Cotoh.:. Tetua bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 7! Jawab: Kataa A adalah himpua bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 da B adalah himpua bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 7. Diperoleh A = {3, 6, 9,, 5, 8,..., 99}, B = { 7, 4,, 8,..., 98}, da 5
6 A B = {, 4, 63, 84}. Berarti, A = 33, B =4, da A B = 4, sehigga A B = A + B A B = = 44. Jadi bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 7 adalah 44 bilaga.. Tetua bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 4 atau 7! Jawab: Guaa prisip A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. C. Relasi da Fugsi Pembahasa bagia ii haya sebatas yag diperlua utu memahami tulisa di dalam pembahasa beriutya. Diberia himpua ta osog A da B. Relasi R dari A e B adalah atura yag megawaa aggota-aggota A e aggota B. Cotoh.3: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} da B = {a, i, u, e, o}. Atura yag megawaa aggota A e aggota B diberia dega setiap ama aggota A diawaa dega huruf hidup yag termuat di dalam ama yag bersesuaia. Dega megguaa diagram paah, relasi tersebut dapat digambara dalam Gambar.. Tii Too Tata Teteh a i u e o A Gambar. B 6
7 Relasi f dari A e B dega sifat bahwa setiap aggota A mempuyai awa tuggal di B disebut fugsi. Selajutya, A disebut domai fugsi f (ditulisa D f ) da B disebut odomai f. Daerah hasil (rage) fugsi f, ditulisa R f, didefiisia dega R f { y / y f ( x), x A, y B}. Peulisa R f diyataa juga seperti beriut R f { y B: y f ( x), x A}. Perhatia bahwa R f B. Jia fugsi f mempuyai daerah hasil sama dega odomai (R f = B), fugsi f diataa surjetif atau oto. Lebih lajut, jia fugsi f mempuyai sifat bahwa setiap aggota R f mejadi awa tuggal aggota A, fugsi f diataa ijetif. Fugsi yag sealigus surjetif da ijetif disebut fugsi bijetif. Pada Cotoh.3, relasi yag diberia pada Gambar. merupaa fugsi, sebab setiap aggota A mempuyai awa tuggal di B. Kataa fugsi tersebut diyataa dega f. Perhatia bahwa R f = {a, i, e, o}. Fugsi tersebut merupaa fugsi ijetif sebab setiap aggota R f mejadi awa tuggal aggota A. Karea R f B, maa fugsi tersebut bua fugsi surjetif. Aibatya, fugsi tersebut bua fugsi bijetif. Cotoh.4: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} e C = {Lai-lai, Perempua}. Fugsi g dari A e C diberia di dalam diagram paah pada Gambar.! Tii Too Tata Teteh Lai-lai Perempua o A C Gambar. Pada Cotoh.4 ii, fugsi g mempuyai R g = {Lai-lai, Perempua} = C. Berarti g merupaa fugsi surjetif. Namu, perhatia bahwa aggota dari C, yaitu Lai-lai, tida mejadi awa tuggal dari aggota A. Dega demiia, g bua fugsi ijetif. Aibatya, g bua fugsi bijetif. 7
8 Cotoh.5: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} e D = {Ta, Te, Ti, To}. Fugsi h dari A e D diberia di dalam diagram paah pada Gambar.3! Tii Too Tata Teteh Ta Te Ti To A Gambar.3 D Fugsi h mempuyai R h = { Ta, Te, Ti, To } = D. Berarti g merupaa fugsi surjetif. Perhatia bahwa setiap aggota aggota R h = D mejadi awa tuggal dari aggota A. Dega demiia, h fugsi ijetif. Aibatya, h fugsi bijetif. Latiha.: Dietahui S = {x : x bilaga bulat di atara -3 da 7}, T = { x : x huruf hidup}, da U = { x : x bilaga bulat positif yag uadratya urag dari 36}.. Buatlah fugsi a. dari S e T! b. dari T e S! c. dari S e U! d. dari T e U!. Dapatah Ada membuat fugsi surjetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? 8
9 3. Dapatah Ada membuat fugsi ijetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? 4. Dapatah Ada membuat fugsi bijetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? Jawaba Latiha.: a. Bisa 3 a. Tida bisa 4 a. Tida bisa b. Tida bisa b. Bisa b. Tida bisa c. Bisa c. Tida bisa c. Tida bisa d. Bisa d. Bisa d. Bisa 9
10 BAB III PERMUTASI DAN KOMBINASI SERTA PEMAKAIANNYA A. Permutasi da Kombiasi Pembahasa permutasi da ombiasi medasara pada pegertia fatorial. Utu bilaga asli, didefiisia! 3. Selajutya, didefiisia 0!. Permasalaha permutasi adalah meetua bayaya peyusua yag berbeda dalam pegatura obye-obye. Permutasi merupaa betu husus dari pegguaa atura peralia. Jia bayaya obye yag disusu adalah, maa uruta pertama dipilih dari obye, uruta e- dipilih dari (-) obye, uruta e-3 dipilih dari (-) obye, da seterusya higga uruta e- dipilih dari obye. Dega megguaa atura peralia, bayaya permutasi obye adalah (-)(-) ()() =!. Permutasi r dari eleme, P(, r), adalah bayaya emugia uruta r buah eleme yag dipilih dari buah eleme, dega r, yag dalam pemiliha ii uruta diperhatia. Dalam permutasi susua ab berbeda dega susua ba. Perhatia bahwa pada permutasi r dari eleme,uruta pertama ditempati oleh satu eleme dari eleme, uruta e- ditempati oleh satu eleme dari (-) eleme, uruta e- 3 ditempati oleh satu eleme dari (-) eleme, da seterusya higga uruta e-r ditempati oleh satu eleme dari (-r+) eleme. Dega demiia, bayaya permutasi r dari eleme adalah 0
11 Jadi! (-)(-) (-r+) =. ( r)!! P(, r). ( r)! Persoala ombiasi C(, r) = adalah meghitug bayaya himpua r bagia dega r eleme yag dapat dibetu dari himpua dega eleme. Dega demiia beberapa himpua dega eleme-eleme sama (mesipu uruta berbeda) merupaa himpua yag sama, sehigga dihitug seali. Perhatia bahwa himpua {a,b} dapat juga ditulisa dega {b, a}. Perhatia bahwa ada sebaya r! buah himpua atas r eleme yag sama. Dega demiia, C(, r) r! = P(, r), sehigga C(, r) = Jadi P(, r)!. r! r!( r)!! C(, r). r r!( r)! Kombiasi C(, r) = dapat juga dipadag sebagai bayaya cara pemiliha r r buah eleme dari buah eleme. Pada ombiasi uruta tida diperhatia, ab dipadag sama dega ba. Hal petig yag perlu diperhatia adalah peyusua dilaua dalam suatu deret atau dalam ligara. Dalam peyusua dalam ligara, dua pegatura atau lebih
12 diataa sama jia uruta di sebelah iri da aa tida berubah. Jadi etiga pegatura di Gambar 3. adalah sama. A B C A B C C B A Gambar 3. Perluasa permutasi da ombiasi diberia sebagai beriut. Dietahui obye terdiri dari item dega cacah masig-masig item berturut-turut adalah item pertama, item e-dua,, item e-. Bayaya cara pegatura! obye tersebut adalah.!!! Perhatia bahwa!!! P( ;,!,, ) C( ;,,, ). Cotoh 3.:. Seorag pelatih volley aa memilih pemai-pemai di dalam tim utama, tapa memperhatia omposisi pemai, yag aa diturua dalam suatu pertadiga. Ada orag yag dapat dipilih. Berapa cara tim yag dapat dibetuya? Jawab: Dalam pemiliha ii tida diperhatia omposisi pemai, sehigga bayaya cara adalah = 94 cara. 6. Dalam suatu acara pariwisata e pulau Bali, 0 orag bermiat ai bus I. Bus I haya diijia utu 40 peumpag da teryata sudah ada 3 orag di bus I. Berapa baya cara memilih 8 orag yag dapat ai di bus I?
13 Jawab: Dari 0 orag dipilih 8 orag. Jadi bayaya cara memilih adalah 3. Dalam suatu perlombaa meggambar hadir 5 peserta. Paitia haya igi 0. 8 megambil 3 pemeag saja. Berapa baya cara memilih 3 pemeag dari peserta tersebut utu diberi gelar juara I, II, da III? Jawab: Perhatia bahwa dalam masalah ii uruta diperhatia, area seseorag mejadi juara I da juara II tidalah sama. Jadi bayaya cara melaua pemiliha adalah P(5, 3) = 730 cara. 4. Suatu elompo terdiri dari 7 pria da 3 waita. Ada berapa cara berbaris yag mugi jia etiga waita tersebut harus berdiri bersebelaha satu sama lai? Jawab: Cara megatur waita utu selalu berbaris bersebelaha adalah 3! = 6 cara. Dega demiia, bayaya cara berbaris dega syarat etiga waita selalu bersebelaha adalah 6(8!) = 490 cara. Latiha 3.. Tujua bahwa utu bilaga bulat r, 0 r, berlau. r r. Tujua bahwa utu bilaga bulat positif r, r, berlau. r r r 3. Suatu omite dibetu utu megawasi pelasaaa pemiliha preside. Komite tersebut beraggotaa 8 orag. Jia tersedia orag waita da 5 orag pria, berapa baya cara peyusua omite jia a. omite terdiri dari 4 pria da 4 waita? b. palig sediit pria di dalam omite tersebut? c. omite mempuyai aggota pria lebih baya daripada aggota waita? 4. Sepuluh Perdaa Meteri egara peghasil miya di duia dudu dalam rapat meja budar di Kuwait. Sebuah ursi tertetu sudah ditadai utu Perdaa Meteri 3
14 Kuwait. Berapa baya cara peyusua tempat dudu utu esepuluh perdaa meteri tersebut? 5. Ada pelamar sedag atri wawacara tahap I utu suatu peerjaa tertetu. Pada tahap ii haya selesi admiistratif sehigga wawacara dilaua r pelamar dapat masu sealigus utu didudua dalam ursi berbetu ligara dega r ursi. Berapa bayaya cara pemiliha r pelamar tersebut utu wawacara yag dilaua dalam sususa ligara? 6. Perhatia papa catur 5 5 dega atura tambaha yag meyataa: "Suatu bida haya boleh bergera e aa da e atas saja". Jia bida tersebut ditempata di diagoal iri bawah, berapa bayaya cara yag dapat dilaua utu membawa bida e diagoal atas aa? 7. Berapa baya cara meyusu ata berdasara huruf-huruf di dalam ata "COMMITTEE"? 8. Diberia ertas aa diwarai sehigga 3 berwara hijau, berwara merah, 5 berwara uig, da sisaya biru. Berapa bayaya cara pewaraa? 9. Dietahui A = {,, 3,, m} da B = {p, q}. Berapa bayaya a. fugsi yag dapat dibuat dari A e B? b. fugsi surjetif yag dapat dibuat dari A e B? c. fugsi tida surjetif yag dapat dibuat dari A e B? d. fugsi ijetif yag dapat dibuat dari A e B? e. fugsi bijetif yag dapat dibuat dari A e B? 0. Berapa bayaya bilaga bulat positif yag merupaa fator 30030? (Jawab: 6 ). Sepuluh siswa, termasu Too da Tia, megumpula tugas membuat lipig ebersiha ota. Berapa cara yag dapat dilaua agar supaya lipig mili Too da Tia tertetu tida beruruta?. Butia bahwa 0. 4
15 5 Jawaba Latiha 3.: Haya diberia utu omor geap! 4. Bayaya cara peyusua tempat dudu adalah 9! = Ada 5 0 = 5 cara. 8. Ada!!!!!!! = 386 cara pewaraa. 0. Ada 6 = 64. B. Koefisie Biomial da Multiomial Pada ombiatoria, oefisie Biomial dapat diturua megguaa ombiasi. Perhatia rumus Biomium Newto. 0 0 o o b b a b a b a a b a b a b a b a b a b a. Permasalaha yag dapat diturua dega megguaa oefisie biomial disebut masalah biomial da proses peuruaya disebut proses biomial. Terait dega oefisie biomial adalah Segitiga Pascal. Selajutya, oefisie biomial diperluas mejadi oefisie multiomial berdasara prisip multiomial. q q q q q q x x x q q q x x x!!!!. Cotoh 3.:. Berapa oefisie. y 3 x dalam pejabara 5 y x? Jawab:. 0 0!3! 5!
16 3. Berapa oefisie x y 3 dalam 4y 5 3 5! Jawab: ( 4) ( 64)0 640.!3! 4. Berapa oefisie x y z 3 x? dalam 6 6! Jawab: () 3 ( ) ( 8)(60) 480.!3!! x y z? C. Pemiliha dega atau tapa pegembalia Pemiliha beberapa obye dari eseluruha obye yag tersedia dapat dilaua dega memberia syarat:. pegembalia (sesudah megambil diembalia lagi). Pemiliha dega cara ii memugia obye yag sudah terpilih dapat terpilih lagi.. tapa pegembalia (sesudah megambil tida boleh diembalia lagi). Jadi yag sudah terambil tida aa terpilih lagi. Beriut diberia cotoh permasalaha yag megguaa prisip ii. Suatu ota berisi 5 buah bola berwara merah, 3 buah bola berwara biru, da 4 buah bola berwara hijau. Diambil 3 buah bola dari ota tersebut. Tetua bayaya cara utu medapata bola dega etiga wara tersebut jia pemiliha dilaua a. satu-persatu dega pegembalia. b. sealigus. Teorema 3.: Bayaya pemiliha ta beruruta sebaya r dari yag memperboleha pegulaga adalah r. r 6
17 Buti: Pada pembutia, yag dimasud xi 0s adalah 000 dega bayaya ompoe 0 adalah x i. Sebarag pemiliha aa terdiri dari x pemiliha obye pertama, x pemiliha obye edua, da seterusya dega x x x r. Dega demiia, bayaya pemiliha adalah bayaya peyelesaia bilaga bulat o-egatif persamaa x x x r. Peyelesaia x,, x, x dapat diyataa dalam barisa bier: x 0 s, x 0 s,, x 0 s. Aga meujua suatu perpidaha dari satu obye e obye beriutya. Sebagai cotoh, peyelesaia x, x 0, x, x dari x x x x berorespodesi dega barisa bier Pada 3 4 x x x r, terdapat (- )s da r0s, sehigga setiap barisa mempuyai pajag +r- yag memuat tepat r buah digit 0. Perhatia bahwa, r buah digit 0 dapat berada di +r- tempat, sehigga bayaya pemiliha ta beruruta dega pegembalia diperboleha adalah r, yaitu bayaya cara memilih r tempat dari +r-. r Aibat 3.: Bayaya peyelesaia bilaga bulat ta egatif persamaa x x x r r adalah. r Cotoh 3.3:. Bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0 adalah Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0, dega x 0? 3 7
18 * Jawab: Karea x 0, berarti x 0. Dega megambil x x, maa * masalah mejadi x x x 9. Dega demiia, bayaya bilaga bulat yag dicari adalah Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0, dega 0 x 9? 3 Jawab: Jawaba adalah ilai di jawaba soal o diuragi ilai dari cacah peyelesaia bulat ta egatif dega syarat x 9. Latiha 3.. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x x 5? 3 4. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 5 dega syarat x da x 0? Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x y z 0 dega syarat x, y, da z 3? 4. Berapa bayaya cara meyusu 8 tada + da 3 tada dalam suatu baris sehigga tida ada tada yag berdampiga? Jawaba Latiha 3.:. Ada 3.76 buah peyelesaia.. Ada 36 buah peyelesaia. 3. Ada 0 buah peyelesaia. 4. Ada 84 cara. 8
19 BAB IV PRINSIP SARANG MERPATI ( PIGEONHOLE PRINCIPLE) Prisip ii haya diguaa utu meujua adaya item (obye) dega sifat tertetu, bua utu meemua obyeya atau bayaya obye dega sifat yag telah ditetua. Prisip ii mempuyai 3 versi, yaitu: Betu I: sebaya r merpati masu e dalam sagar, dega r >, maa terdapat palig sediit satu sagar yag terisi dua eor atau lebih merpati. Betu II: Jia f adalah fugsi dari himpua berhigga X e himpua berhigga Y da X > Y, maa terdapat x x, x, dega f x ) f ( )., x ( x Pada betu II, X meyataa himpua merpati da Y meyataa himpua sagar. Pada betu III beriut, yag dimasud dega yag lebih ecil dari m. m adalah bilaga bulat terbesar Betu III: Jia f adalah fugsi dari himpua berhigga X e himpua berhigga Y dega X =, Y = m, da =, maa terdapat x x x x x X m,,,, dega f x ) f ( x ) f ( x ). ( Permasalaha megguaa prisip ii memerlua pealara yag cuup disampig pegertia fugsi. Pegertia lai terait dega permasalaha ii adalah pegertia modulo. Dua bilaga bulat x da y diataa ogrue modulo, ditulisa x y (mod ), jia x y habis dibagi. 9
20 Catata: x y (mod ) dibaca x ogrue dega y modulo. Sifat 4.: Utu setiap bilaga bulat x, y, da z berlau (i) x x(mod ). (ii) jia x y (mod ) maa y x (mod ). (iii) jia { x y (mod ) da y z (mod )}, maa x z (mod ). Cotoh 4.: Tujua bahwa peryataa beriut bear: Dari 5 buah bilaga bulat, maa terdapat buah bilaga yag jumlah atau selisihya habis dibagi 00. Jawab: Kataa a, a,, a 5 adalah 5 buah bilaga bulat yag dimasud. Dicari bilaga bulat i da j dega i j 5 dega sifat habis dibagi 00. a i + a j atau a i a j Kataa r i a i (mod 00). Dega ata lai, r i adalah sisa pembagia a i oleh 00. Berarti a i = q i 00 + r i utu suatu q i Z, utu i =,,, 5. Didefiisia s i ri 00 ri, r, r i i Ada 50 + = 5 emugia ilai s i, yaitu 0,,,, 50. Karea ada 5 buah bilaga bulat, maa ada i da j dega i j da i s j ri rj atau si ri da Perhatia bahwa terdapat q i,q j Z, s 00 r s j i 00 r 00 r. j j a i = q i 00 + r i a j = q j 00 + r j 0
21 Jia s i = r i = r j = s j, berarti a i = q i 00 + r i a j = q j 00 + r j = q j 00 + r i sehigga a i - a j habis dibagi 00. Jia s i = s j, dega 00 r i = 00 r j, maa r i r j = 0. Aibatya, a i - a j = (q i q j ) 00. Jadi a i - a j habis dibagi 00. Jia s i = r i, dega s j = 00 r j. Karea s i = s j, maa r i = 00 r j r i + r j = 00. Aibatya, a i + a j = q i 00 + r i + q j 00 + r j = (q i + q j + ) 00. Jadi a i + a j habis dibagi 00. Latiha 4.. Butia Sifat 4.!. Dietahui buah bilaga bulat. Tujua bahwa ada salah satu atau jumlah beberapa bilaga tersebut habis dibagi! 3. Diambil (+) aggota dari himpua A = {,, 3,, }. Tujua bahwa a. terdapat x, y A dega x, y relatif prima! b. Terdapat x, y A dega x y atau y x! 4. Dua puluh lima team bola baset memasui turame yag aa berlagsug 0 hari. Tujua bahwa pada ahir hari e-4, palig sediit satu dari dua puluh lima team memaia sebaya geap pertadiga! 5. Jia ada 3 orag yag meghadiri ulag tahu Pa Adi yag e-40, maa tujua bahwa palig sediit terdapat orag yag mempuyai bula elahira yag sama! 6. Dalam satu elompo yag terdiri dari 0 orag, maa tujua terdapat dua umur yag jumlah atau selisihya habis dibagi 6.
22 7. Tujuh buah bilaga diambil dari bilaga sampai dega, maa tujua terdapat dua bilaga yag jumlahya Dipilih 8 buah bilaga bulat positif, tujua terdapat bilaga yag mempuyai sisa pembagia yag sama saat dibagi 7! 9. Diberia sebelas buah bilaga bulat berbeda. Butia bahwa dua di atara bilaga-bilaga tersebut memilii selisih yag merupaa elipata 0!
23 BAB V RELASI REKURENSI Peulisa barisa bilaga {a } dapat diberia dalam 3 (tiga) cara, yaitu: (i) cara medaftar Beberapa aggota didaftar dega memperhatia bahwa tida boleh terjadiya eragua utu peetua suu-suu beriutya. Cotoh 5.:{ a } = {3, 5, 7, } belum memberia gambara yag jelas utu peetua suu e-4. Hal ii disebaba perbedaa persepsi yag mugi terjadi megeai barisa tersebut. Barisa tersebut dapat ditafsira sebagai barisa bilaga prima dimulai dega 3 atau dapat juga ditafsira sebagai barisa bilaga bulat positif gajil mulai 3. Jia yag dimasud adalah barisa bilaga gajil atas bilaga bulat positif mulai 3, maa barisa tersebut aa ditulisa { a } = {3, 5, 7, 9, }. (ii) cara esplisit Pada cara ii, suu e-, a, diberia secara esplisit. Barisa { a } pada Cotoh, dapat diyataa secara esplisit, yaitu barisa dega a. (iii) cara reuresi Suu e-, a, tida lagi diberia secara esplisit tetapi diberia dalam perumusa yag memafaata satu atau beberapa suu sebelumya. Peulisa barisa pada Cotoh, secara reuresi dapat ditulisa sebagai beriut a 3, a a,. Pada umumya, perumusa reuresi lebih mudah da lebih sederhaa. Selajutya, dari perumusa reuresi dega peurua suu-suuya 3
24 diperoleh perumusa esplisitya. Permasalaha terait dega perumusa reuresi yag serigali mucul adalah masalah meara Haoi da barisa Fiboaci. Perhatia barisa,,, 3, 5, 8, 3,,. Barisa tersebut dieal sebagai barisa Fiboacci yag mempuyai perumusa reuresi f f f, f f. Permasalaha yag mucul di dalam relasi reuresi adalah meetua perumusa esplisit suu e- dari barisa yag bersesuaia. Peetua rumus esplisit dapat dilaua dega cara melaua peurua e suu yag lebih redah, sehigga dapat diguaa suu-suu yag dietahui. Cara ii dieal dega cara bacward. Utu eperlua cara bacward ii, pada umumya, diperlua jumlaha -buah suu pertama barisa/deret aritmetia atau geometri. Beberapa deret yag serig diguaa, di ataraya adalah: ( ) ( )( 6 a ar ar a ar ar ar ar 3 3 ). a( r ) ar, utu r <. r a( r ) ar, utu r >. r Cotoh 5.: Salah satu cotoh tereal persamaa reuresi adalah Permasalaha Meara Haoi. Meurut legeda, ada sebuah uil Budha yag di dalamya terdapat 3 buah tiag berdiameter ecil terbuat dari permata, ataa tiag A, B, da C. Ada 64 buah caram dega uura diameter berbeda-beda di tiag A, tersusu dari bawah e atas dari diameter terbesar e terecil. Permasalahaya adalah memidaha caram-caram tersebut e tiag C dega batua tiag B dega syarat sebagai beriut: pemidaha haya boleh dilaua satu-persatu (tida boleh 4
25 memidaha beberapa caram sealigus), da pada setiap eadaa, caram yag berdiameter lebih ecil harus berada di atas caram berdiameter lebih besar. Berapa bayaya lagah yag ditempuh utu memidaha caramcaram dari tiag A e tiag C tersebut? Jawab: Jia dietahui cara memidaha (-) caram dari satu tiag e tiag lai (dega tetap memeuhi syarat yag ada), maa cara palig efisie utu memidaha buah caram dari tiag A e tiag C adalah sebagai beriut. Lagah I: pidaha (-) buah caram dari tiag A e tiag B. Jia >, perlu dilaua sejumlah proses utu memidaha caram satu-persatu. Karea megguaa metode reursif, proses-proses tersebut tida perlu dirisaua. Lagah II: pidaha caram yag terleta palig bawah dari tiag A e tiag C. Lagah III: pidaha (-) buah caram dari tiag B e tiag C. Laua seperti lagah I. Kataa m meyataa bayaya lagah miimal utu memidaha buah caram dari satu tiag e tiag lai. Perhatia bahwa m tida tergatug oleh asal da tujua tiag ataupu bayaya caram yag terleta di bawah buah caram yag dipidaha tersebut. Lagah I memerlua m ali perpidaha. Lagah II memerlua ali perpidaha. Lagah III memerlua m ali perpidaha. Jadi eseluruha perpidaha miimal adalah m m m m. 5
26 Syarat (odisi) awal terjadi jia = (jumlah lagah miimal utu memidaha buah caram dari tiag A e tiag C). Jadi haya diperlua diperlua ali perpidaha, atau m =. Dega demiia diperoleh persamaa reursif Utu memidaha m m m. buah caram, diperlua sebaya m m () 3 lagah. 3 buah caram, diperlua sebaya m m (3) 7 lagah. 3 4 buah caram, diperlua sebaya m m (7) 5 lagah, da 4 3 seterusya. Ahirya utu memidaha 64 buah caram, dihitug m 64. Persamaa esplisit permasalaha Meara Haoi adalah sebagai beriut: m dega m =. m = (m ) m 3 = (m ) m = m = = m ( ) 3 = m 3 = ( ) =,. Searag dega idusi matematia ditujua bahwa utu bilaga Asli, m Perhatia bahwa utu =, m =. 6
27 Jia rumus bear utu, yaitu m bear, maa m ( ). m Berarti rumus bear utu +. Jadi terbuti bahwa m utu. Dega demiia, m ( 64 ). 64 Latiha 5.. Diberia suatu barisa {a } dega a a. Tetua a 998! a. Pada barisa Fiboacci tujua bahwa f f f! 3. Pada peyimpaa uag di ba, biasaya ba memberia buga yag dihitug per tahu, ataa i. Jia buga diberia per periode tertetu da dalam satu tahu ada m ali periode, maa besarya buga per periode adalah i m. Utu, P meyataa jumlah tabuga pada ahir periode e-. Jia P o meyataa besar tabuga mula-mula, Nyataa P a. megguaa rumus reuresi! b. Megguaa rumus esplisitya! 4. Seorag pejahit, yag sagat gemar memotog ai, mempuyai sepuluh potog bagia. Dia memutusa utu memotog beberapa dari potogapotoga ii mejadi masig-masig sepuluh potog. Lalu dia memotog beberapa dari potoga-hasil mejadi masig-masig sepuluh potoga. Lalu dia memotog beberapa dari potoga-hasil masig-masig mejadi sepuluh potoga. Dia melajuta cara ii sampai dia ahirya lelah da berheti. Dia mulai meghitug jumlah total potoga ai yag searag dimiliiya; setelah beerja beberapa meit dia meetapa jumlah 984. Butia bahwa hitugaya salah! 7
28 5. Dari satu buah bujursagar dapatah ada medapata 993 bujursagar? Jawaba Latiha 5.. a a 998. a i 3. a. P P utu. m i b. P Po utu. m 5. Tida bisa. (Petuju: 993 tida merupaa jumlaha deret geometri dega suu awal da rasio 4). 8
29 BAB IV PENUTUP Permasalaha ombiatoria di dalam olimpiade matematia di satu egara dega egara yag lai sagatlah beragam. Pada umumya, permasalaha berada di seitar permutasi, ombiasi da gabuga eduaya. Di Idoesia, masalah di seitar permutasi da ombiasi medomiasi permasalaha ombiatoria, bai di tigat propisi maupu di tigat asioal. Di Colorado persoala ombiatoria medomiasi permasalaha olimpiade matematia di egara tersebut. Permasalaha di egara ii lebih baya terait dega Prisip Sarag Merpati. Di Kaada prosetase masalah ombiatoria sagat ecil. Di Sigapura prosetase masalah ombiatoria sedag dega materi yag megaita bilaga Bell da Stirlig disampig pegertia di seitar permutasi da ombiasi. Pada umumya prisip ombiasi da permutasi dega cepat dapat diuasai. Sebaiya disadari bahwa baya permasalaha yag merupaa gabuga dari permasalaha ombiasi da permutasi, tida berdiri sediri-sediri. Selai itu, perlu diperhatia permasalaha yag merupaa permasalaha multiomial. Pada permasalaha multiomial perlu diperhatia apaah diperboleha adaya pegulaga atau tida. Baya masalah tida dapat lagsug diselesaia dega rumus-rumus yag tersedia, tetapi merupaa gabuga dari beberapa rumus. Dega demiia, pemahama soal mejadi bagia petig yag tida boleh ditiggala. Selai pealara mejadi dasar yag petig, etelitia da etagguha (daya juag) merupaa usur yag tida boleh dilepasa. Baya masalah yag diberia dalam soal cerita yag aga pajag, demiia juga dega peyelesaiaya. Dega demiia, diperlua pemahama, etelitia, da etahaa berpiir. Ketagguha yag bai aa membuat tida segera meyerah dega soal yag diberia. Usur etelitia sagat membatu meyelesaia soalsoal dega peurua yag cuup pajag. 9
30 DAFTAR PUSTAKA Pustaa peduug yag membahas materi ombiatoria baya diberia dalam buu matematia disrit. Beriut diberia tiga buah buu yag dapat diguaa sebagai acua pemahama materi-materi di atas. Aderso, I., 00, A First Course i Discrete Mathematics, Lodo: Spriger- Verlag Lodo Limited. Cohe, D.I.A, 978, Basic Techiques of Combiatorial Theory, New Yor: Joh Wiley ad Sos. Johsobaugh, R., 997, Discrete Mathematics, Iteratioal Editio, Fourth Editio, New Jersey: Pretice Hall Iteratioal. 30
31 Lampira Cotoh Soal Selesi Bidag Kombiatoria Pejelasa: Notasi meyataa bayaya cara memilih usur dari suatu himpua dega usur. BAGIAN PERTAMA. Suatu delegasi yag terdiri dari 5 orag aa dibetu dari 0 siswa lai-lai da 8 siswa perempua. Bayaya piliha tim yag dapat dibetu yag memuat palig sediit siswa perempua adalah.... Sebuah elas terdiri dari 30 siswa. Di elas tersebut siswa meyuai matematia, 4 meyuai biologi, 3 meyuai imia, 5 siswa meyuai matematia da biologi, 7 siswa meyuai biologi da imia, da 4 siswa meyuai matematia da imia. Kemudia 4 siswa tida meyuai satu pu dari etiga matapelajara itu. Bayaya siswa yag meyuai matematia, biologi, da imia adalah Bayaya peyelesaia bilaga asli bagi pertidasamaa a b c d adalah =... 3
32 5. Baya titi miimal yag harus diambil dari sebuah persegi dega pajag sisi, agar dapat dijami seatiasa terambil dua titi yag jara atara eduaya tida lebih dari adalah Diberia hubuga reursi a a, ( 0), a. 3 o Betu esplisit utu a adalah Seeor semut berjala dari titi asal oordiat O(0, 0) e titi P(4, 5). Semut tersebut haya berjala pada arah horisotal e aa da vertial e atas saja. Berapa baya cara yag dapat ditempuh semut tersebut dari titi O e titi P? BAGIAN KE-DUA. Diberia sebelas buah bilaga berbeda. Butia bahwa dua di atara bilagabilaga tersebut memilii selisih yag merupaa elipata 0.. Butia bahwa o. 3
MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG
0 MACAM-MACAM TEKNIK MEMBILANG ATURAN PERKALIAN Beriut ii diberia sebuah dalil tetag peetua baya susua yag palig sederhaa dalam suatu permasalaha yag beraita dega peluag. Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 5
Mata Kuliah : Matematia Disrit Program Studi : Tei Iformatia Miggu e : 5 KOMBINATORIAL PENDAHULUAN Persoala ombiatori bua merupaa persoala baru dalam ehidupa yata. Baya persoala ombiatori sederhaa telah
Lebih terperinciMASALAH DAN ALTERNATIF JAWABAN DALAM MATEMATIKA KOMBINATORIK. Masalah 1 Terdapat berapa carakah kita dapat memilih 2 baju dari 20 baju yang tersedia?
Kartia Yuliati, SPd, MSi MASALAH DAN ALTERNATIF JAWABAN DALAM MATEMATIKA KOMBINATORIK Masalah Terdapat berapa caraah ita dapat memilih baju dari 0 baju yag tersedia? Cara Misala baju diberi omor dari sampai
Lebih terperinciMAKALAH TEOREMA BINOMIAL
MAKALAH TEOREMA BINOMIAL Disusu utu memeuhi tugas mata uliah Matematia Disrit Dose Pegampu : Dr. Isaii Rosyida, S.Si, M.Si Rombel B Kelompo 2 1. Wihdati Martalya (0401516006) 2. Betha Kuria S. (0401516012)
Lebih terperinciMODUL BARISAN DAN DERET
MODUL BARISAN DAN DERET SEMESTER 2 Muhammad Zaial Abidi Persoal Blog http://meetabied.wordpress.com BAB I. PENDAHULUAN A. Desripsi Dalam modul ii, ada aa mempelajari pola bilaga, barisa, da deret diidetifiasi
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. U n = suku ke-n Contoh: Barisan bilangan asli, bilangan genap, bilangan ganjil, dan lain-lain.
BARIAN DAN DERET A. Barisa Barisa adalah uruta bilaga yag memilii atura tertetu. etiap bilaga pada barisa disebut suu barisa yag dipisaha dega lambag, (oma). Betu umum barisa:,, 3, 4,, dega: = suu pertama
Lebih terperinciBAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET
BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 1. Jia x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar
Lebih terperinciGambar 3.1Single Channel Multiple Phase
BAB III MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C. Sigle Chael Multiple Phase Sistem atria sigle chael multiple phase merupaa sistem atria dimaa pelagga yag tiba, dapat memasui sistem dega megatri di tempat yag
Lebih terperinciMASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
Vol. 11, No. 1, 45-55, Juli 2014 MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI Fauziah Baharuddi 1, Loey Haryato 2, Nurdi 3 Abstra Peulisa ii bertujua utu medapata perumusa
Lebih terperinciDeret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka
oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu
Lebih terperinciDeret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka
oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu
Lebih terperinciTEOREMA CAYLEY-HAMILTON SEBAGAI SALAH SATU METODE DALAM PENGHITUNGAN FUNGSI MATRIKS
Jural Matematia Vol.6 No. November 6 [ 5 : ] TEOREMA CAYLEY-HAMILTON SEBAGAI SALAH SATU METODE DALAM PENGHITUNGAN FUNGSI MATRIKS Ooy Rohaei Jurusa Matematia, UNISBA, Jala Tamasari No, Badug,6, Idoesia
Lebih terperinciBAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA
BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005 DAFTAR ISI Kata Pegatar.. i Daftar Isi...
Lebih terperinciPeluang Suatu Kejadian, Kaidah Penjumlahan, Peluang Bersyarat, Kaidah Perkalian dan Kaidah Baiyes
eluag uatu Kejadia, Kaidah ejumlaha, eluag ersyarat, Kaidah eralia da Kaidah aiyes.eluag uatu Kejadia Defiisi : eluag suatu ejadia adalah jumlah peluag semua titi otoh dalam. Dega demiia : 0 (), ( ) =
Lebih terperinciPenulis: Penilai: Editor: Ilustrator: Dra. Puji Iryanti, M.Sc. Ed. Al. Krismanto, M.Sc. Sri Purnama Surya, S.Pd, M.Si. Fadjar N. Hidayat, S.Si.,M.Ed.
PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajara Barisa, Deret Bilaga da Notasi Sigma di SMA Peulis: Dra. Puji Iryati, M.Sc. Ed. Peilai: Al. Krismato, M.Sc. Editor: Sri Purama Surya, S.Pd,
Lebih terperinciRepresentasi sinyal dalam impuls
Represetasi siyal dalam impuls Represetasi siyal dalam impuls adalah siyal yag diyataa sebagai fugsi dari impuls atau sebagai umpula dari impuls-impuls. Sembarag siyal disret dapat diyataa sebagai pejumlaha
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. gamma, fungsi likelihood, dan uji rasio likelihood. Misalkan dilakukan percobaan acak dengan ruang sampel C.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aa dibahas teori teori yag meduug metode upper level set sca statistics, atara lai peubah aca, distribusi gamma, fugsi gamma, fugsi lielihood, da uji rasio lielihood.
Lebih terperinciSifat-sifat Fungsi Karakteristik dari Sebaran Geometrik
Sifat-sifat Fugsi Karateristi dari Sebara Geometri Dodi Deviato Jurusa Matematia, Faultas MIPA, Uiversitas Adalas Kamus Limau Mais, Padag 563, Sumatera Barat, Idoesia Abstra Fugsi arateristi dari suatu
Lebih terperinciARITMATIKA MODUL PEMBINAAN OLEH TIM PEMBINA OLIMPIADE KOMPUTER ILMU KOMPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEMBINAAN BIDANG KOMPUTER OSN 2009)
ARITATIKA ODUL PEBINAAN OLEH TI PEBINA OLIPIADE KOPUTER ILU KOPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEBINAAN BIDANG KOPUTER OSN 009) PEERINTAH DAERAH PROPINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEUDA DAN OLAHRAGA
Lebih terperinciPEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)
JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this
Lebih terperinciBab 16 Integral di Ruang-n
Catata Kuliah MA3 Kalulus Elemeter II Oi Neswa,Ph.D., Departeme Matematia-ITB Bab 6 Itegral di uag- Itegral Gada atas persegi pajag Itegral Berulag Itegral Gada atas Daerah sebarag Itegral Gada Koordiat
Lebih terperinciBAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE)
BAB V RANDOM VARIATE GENERATOR (PEMBANGKIT RANDOM VARIATE) 5.1. Pembagit Radom Variate Disrit Suatu Radom Variate diartia sebagai ilai suatu radom variate yag mempuyai distribusi tertetu. Utu megambil
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi
BAB III TAKSIRA PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI ORESPO Dalam bab ii aa dibaas peasira proporsi populasi jia terjadi orespo da dilaua allba sebaya t ali. Selai itu, juga aa dibaas peetua uura sampel yag
Lebih terperinciAplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier
Apliasi Sistem Orthoormal Di Ruag Hilbert Pada Deret Fourier A 7 Fitriaa Yuli S. FMIPA UNY Abstra Ruag hilbert aa dibahas pada papper ii. Apliasi system orthoormal aa diaji da aa diapliasia pada ruahg
Lebih terperinciMODUL BARISAN DAN DERET
MODUL BARISAN DAN DERET KELAS XII. IPS SEMESTER I Oleh : Drs. Pudjul Prijoo ( http://vidyagata.wordpress.co ) SMA NEGERI 6 Jala Mayje Sugoo 58 Malag Telp./Fax : (034) 75036 E-Mail : sa6_alag@yahoo.co.id
Lebih terperinciMODUL 1.03 DINAMIKA PROSES. Oleh : Ir. Tatang Kusmara, M.Eng
MODUL 1.03 DINMIK PROSES Ole : Ir. Tatag Kusmara, M.Eg LBORTORIUM OPERSI TEKNIK KIMI JURUSN TEKNIK KIMI UNIVERSITS SULTN GENG TIRTYS CILEGON BNTEN 2008 2 Modul 1.03 DINMIK PROSES I. Pedaulua Dalam bidag
Lebih terperinciGRAFIKA
6 5 7 3 6 3 3 GRAFIKA 3 6 57 08 0 9 5 9 385 946 5 3 30 0 8 9 5 9 3 85 946 5 ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara
Lebih terperinciKonvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak
Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017, Hal 453-457 p-issn: 2580-4596; e-issn: 2580-460X Halama 453 Kovolusi pada Distribusi dega Support Kompa Cythia
Lebih terperinciMatematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs
Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa
Lebih terperinciATURAN PENCACAHAN. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Pencacahan Permutasi Kombinasi Kejadian Ruang Sampel Titik Sampel Peluang
Bab 8 ATURAN PENCACAHAN A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetesi Dasar Setelah megiuti pembelajara ii siswa mampu: 1. Memilii motivasi iteral, emampua beerjasama, osiste, siap disipli, rasa
Lebih terperinciSoal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa
Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat
Lebih terperinciPerluasan Uji Kruskal Wallis untuk Data Multivariat
Statistia, Vol. No., Mei Perluasa Uji Krusal Wallis utu Data Multivariat TETI SOFIA YANTI Program Studi Statistia, Uiversitas Islam Badug, Jl. Purawarma No. Badug. E-mail: buitet@yahoo.com ABSTAK Adaia
Lebih terperinciPELUANG KEJADIAN. 3. Permutasi siklis adalah permutasi yang susunannya melingkar.
PELUANG KEJADIAN A. Atura Perkalia/Pegisia Tempat Jika kejadia pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadia kedua dapat terjadi dalam b cara berbeda, kejadia ketiga dapat terjadi dalam c cara berbeda,
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia
Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciPELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT
DIKLAT INSTRUKTUR PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG LANJUT PELUANG JENJANG LANJUT Drs Marsudi Raharjo, MScEd DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciSOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n
Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada
Lebih terperinciSinyal dan Sistem Waktu Diskrit ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit
Siyal da Sistem Watu Disrit ET 35 Pegolaha Siyal Watu Disrit EL 5155 Pegolaha Siyal Watu Disrit Effria Yati Hamid 1 2 Siyal da Sistem Watu Disrit 2.1 Siyal Watu Disrit 2.1.1 Pegertia Siyal Watu Disrit
Lebih terperinciOleh: Yunissa Rara Fahreza Akuntansi Teknologi Sistem Informasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT
Oleh: Yuissa Rara Fahreza Akutasi Tekologi Sistem Iformasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT ILUSTRASI 1 Misal ada 3 buah kelereg yag berbeda wara : merah (m), kuig (k) da
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciBab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit. Oleh: Tri Budi Santoso Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS
Bab 5 Siyal da Sistem Watu Disrit Oleh: Tri Budi Satoso Laboratorium Siyal, EEPIS-ITS Materi: Represetasi matemati pada siyal watu disrit, domai watu da freuesi pada suatu siyal watu disrit, trasformasi
Lebih terperinciKombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com
Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat?
Lebih terperinciKeywords: Convergen Series, Banach Space, Sequence space cs, Dual-α, Dual-
Jural MIPA FST UNDANA, Volume 2, Nomor, April 26 DUAL-, DUAL- DAN DUAL- DARI RUANG BARISAN CS Albert Kumaereg, Ariyato 2, Rapmaida 3,2,3 Jurusa Matematia, Faultas Sais da Tei Uiversitas Nusa Cedaa ABSTRACT
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. persamaan yang mengandung diferensial. Persamaan diferensial
5 BAB II LANDASAN TEORI A. Persamaa Diferesial Dari ata persamaa da diferesial, dapat diliat bawa Persamaa Diferesial beraita dega peelesaia suatu betu persamaa ag megadug diferesial. Persamaa diferesial
Lebih terperinciSIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA
SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga Yogyaarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRAK Himpua
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah
Modul Himpua Dra Sri Haryati Kartiko, MS PENDHULUN impua sudah da keal di sekolah meegah, bahka sejak sekolah H dasar Himpua merupaka usur yag petig dalam probabilitas, sehigga dipelajari kembali dalam
Lebih terperinciEKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Materi ke 1
BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH
Lebih terperinciAproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks
Aprosimasi Terbai dalam Ruag etri Koves Oleh : Suharsoo S Jurusa atematia FIPA Uiversitas Lampug Abstra asalah esistesi da etuggala aprosimasi terbai suatu titi dalam ruag berorm telah dipelajari oleh
Lebih terperinci3. Integral (3) (Integral Tentu)
Darublic www.darublic.com. Itegral () (Itegral Tetu).. Luas Sebagai Suatu Itegral. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar dari itegral tertetu adalah luas bidag
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11
SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.
BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciSOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL
SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciPEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk
Lebih terperinciPenggunaan Transformasi z
Pegguaa Trasformasi pada Aalisa Respo Freuesi Sistem FIR Oleh: Tri Budi Satoso E-mail:tribudi@eepis-its.eduits.edu Lab Siyal,, EEPIS-ITS ITS /3/6 osep pemiira domais of represetatio Domai- discrete time:
Lebih terperinciModul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
Lebih terperinciTEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK- KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLIDE
Teorema Keovergea Fugsi Teritegral Hestoc(Aiswita) TORMA KKONVRGNAN FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK- KURZWIL SRNTAK DAN FUNGSI BRSIFAT LOCALLY SMALL RIMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN Aiswita,
Lebih terperinciBAB II KAIDAH PENCACAHAN DAN PELUANG
1 BAB II KAIDAH PENCACAHAN DAN PELUANG Dalam kehidupa sehari hari kita serig dihadapka pada persoala yag berkaita dega peluag. Baik mecari kemugkia, kesempata, bayak cara, harapa da sebagaiya. Dalam Materi
Lebih terperinciFUNCTIONALLY SMALL RIEMANN SUMS (FSRS) DAN ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS (ESRS) FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCKn. p )
βeta -ISSN: 85-5893 e-issn: 54-458 Vol. 3 No. (Noember), Hal. 79-89 βeta DOI: htt://dx.doi.org/.44/betajtm.v9i.7 FUNCTIONALLY SMALL RIMANN SUMS (FSRS) DAN SSNTIALLY SMALL RIMANN SUMS (SRS) FUNGSI TRINTGRAL
Lebih terperinciMENGUJI KEMAKNAAN SAMPEL TUNGGAL
MENGUJI KEMAKNAAN SAMPEL TUNGGAL 1.1 Uji Biomial 1. Uji esesuaia Chi Kuadrat 1.3 Uji Kesesuaia K-S 1.4 Uji Ideedesi Chi Kuadrat 1.5 Uji Pasti Fisher UJI BINOMIAL Meruaa uji roorsi dalam suatu oulasi Poulasi
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG LKS 1 8. C hanya angka 3 yang memenuhi syarat kurang dari 400 Banyak bilangan yang kurang dari 400 : = = 12 9.
A. Evaluasi egertia atau Igata. B (A x B) (A). (B). 0. B huruf vokal Bayak susua huruf yag dapat dibuat :..... 0. B ( agka dapat berulag ) Bayak bilaga puluha yag dapat disusu dari agka tersebut :. 9.
Lebih terperinciBARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
Lebih terperinciMetode Perhitungan Grafik Dalam Geolistrik Tahanan Jenis Bumi Dengan Derajat Pendekatan Satu
Metode Perhituga Grafi.. P. Maurug Metode Perhituga Grafi Dalam Geolistri Tahaa Jeis Bumi Dega Derajat Pedeata Satu Posma Maurug Jurusa Fisia, FMIPA Uiversitas Lampug Jl. S. Brojoegoro No. Badar Lampug
Lebih terperinciSOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
Lebih terperinciInfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.2, September 2012
IfiityJual Ilmiah Pogam Studi Matematia STKIP Siliwagi Badug, Vol, No., Septembe HIMPUNAN KOMPAK PADA RUANG METRIK Oleh : Cee Kustiawa Juusa Pedidia Matematia FPMIPA Uivesitas Pedidia Idoesia eeustiawa@yahoo.om
Lebih terperinciE-learning matematika, GRATIS 1
E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah
Lebih terperinciPEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu
Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR
Jural Tei da Ilmu Komputer PERBANDINGAN PENDEKATAN SEPARABLE PROGRAMMING DENGAN THE KUHN-TUCKER CONDITIONS DALAM PEMECAHAN MASALAH NONLINEAR Budi Marpaug Faultas Tei da Ilmu Komputer Jurusa Tei Idustri
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah
Lebih terperinciSIMULASI MODEL RLC BERBANTUAN MS EXCEL ASSISTED RLC MODEL SIMULATION MS EXCEL
SIMULASI MODEL RLC BERBANTUAN MS EXCEL ASSISTED RLC MODEL SIMULATION MS EXCEL Edag Habiuddi (Staf Pegajar UP MKU Politei Negeri Badug (Email : ed_.hab@yahoo.co.id ABSTRAK Sistem ragaia listri RLC seri
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE-EMDEN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LANE-EMDEN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Ahma Sya roi, M Natsir, Eag Lily E-mail: Arolativa@yahoocom Mahasiswa Program S Matematia Dose Jurusa Matematia
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Dijkstra dalam Pemilihan Trayek Bus Transjakarta
Peerapa Algoritma Dijstra dalam Pemiliha Traye Bus Trasjaarta Muhammad Yafi 504 Program Studi Tei Iformatia Seolah Tei Eletro da Iformatia Istitut Teologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 40, Idoesia 504@std.stei.itb.ac.id
Lebih terperinciModel Antrian Multi Layanan
Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Model Atria Multi Layaa Sisa Yosmar Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu egetahua Alam, Uiversitas Begulu, Idoesia Diterima 9 April; Disetujui 8 Jui Abstra - Salah
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciIV. METODE PENELITIAN
IV. METODE PENELITIAN 4.1. Tempat da Watu Peelitia Peelitia megeai Kepuasa Kosume Restora Gampoeg Aceh, dilasaaa pada bula Mei 2011 higga Jui 2011. Restora Gampoeg Aceh, bertempat di Jl Pajajara, Batarjati,
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciKompetisi Statistika Tingkat SMA
. Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka
Lebih terperinci1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A.
. Seorag pedagag membeli barag utuk dijual seharga Rp. 0.000,00. Bila pedagag tersebut meghedaki utug 0 %, maka barag tersebut harus dijual dega harga A. Rp. 00.000,00 D. Rp. 600.000,00 B. Rp. 00.000,00
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperinciBab 6: Analisa Spektrum
BAB Aalisa Spetrum Bab : Aalisa Spetrum Aalisa Spetrum Dega DFT Tujua Belajar Peserta dapat meghubuga DFT dega spetrum dari sial hasil samplig sial watu otiue. -poit DFT dari sial x adalah Xω ag diealuasi
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinci1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi
Statisti Desriptif Keruciga atau Kurtosis Pegertia Kurtosis Peguura urtosis (peruciga) sebuah distribusi teoritis adaalaya diamaam peguura eses (excess) dari sebuah distribusi Sebearya urtosis bisa diaggap
Lebih terperinci