Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Transkripsi

1 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas Lambug Magkurat Jl. Jed. A. Yai km 35, 8 Bajarbaru Abstract I this aer, we costruct the Cauchy-covergece criterio i ituitioistic fuzzy metric sace. We start our aim by give the defiitio of cocets covergece sequece, Cauchy sequece, ad comlete o ituitioistic fuzzy metric sace. Keywords: ituitioistic fuzzy metric sace, I-covergece, I-Cauchy sequece, I-comlete, ad Cauchy-covergece criterio 1. PENDAHULUAN Kose himua kabur (fuzzy set) telah dierkealka oleh Zadeh ada tahu Kose tersebut mejadi isirasi muculya kose ruag metrik kabur (fuzzy metric sace) di bidag aalisis yag meruaka erluasa dari kose ruag metrik (metric sace). Selajutya, kose ii dierluas lagi mejadi ruag metrik kabur ituitioistic (ituitioistic fuzzy metric sace). Beberaa kose di dalam ruag metrik telah dierluas ada ruag metrik kabur, atara lai adalah barisa koverge, barisa Cauchy, da himua legka. Kose tersebut kemudia dierluas ada ruag metrik kabur ituitioistic. Berdasarka kose-kose tersebut, aka dikaji erluasa kriteria koverge-cauchy ada ruag metrik kabur ituitioistic. Tulisa ii dimulai dega memberika defiisi barisa koverge da barisa Cauchy ada ruag metrik kabur ituitioistic. Selajutya, dikostruksi teorema kriteria koverge- Cauchy ada ruag metrik kabur ituitioistic.. TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Metrik Kabur Sebelum dibahas egertia ruag metrik kabur, terlebih dahulu diberika egertia himua kabur da egertia orma-t. Defiisi.1 Diberika himua X, A X, da fugsi A : X 0,1. Himua asaga terurut x; ( x) : x X disebut himua kabur A di dalam semesta X. Sedagka fugsi A disebut fugsi keaggotaa dari himua A. Fugsi biasa juga disebut himua kabur di dalam X. A A 9

2 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 Sebagai cotoh, diberika himua semesta R da himua kabur A x R : x dekat dega ol : R 0,1 dega:. Didefiisika fugsi ( x) e x. Fugsi meruaka salah satu fugsi keaggotaa dari himua kabur A. Jadi, himua kabur A daat diyataka dega: x ; A( ) : da A( ). A x x x R x e Di dalam semesta 0,1, himua kabur A daat diyataka sebagai berikut: x ; A( ) : 0,1 da A( ) e 0 e 1 A x x x x e 0;, 1; (0;1),(1;0,7). Di dalam kose himua kabur, oerasi uer da oerasi bier daat diramatka sehigga mejadi kejadia khusus dari eramataya. Diataraya yag aka diguaka di dalam tulisa ii adalah orma-t (triagular orm) da koorma-t (triagular coorm). Berikut ii diberika defiisi-defiisiya. Defiisi. Diberika fugsi-fugsi, :[0,1] [0,1] [0,1]. (i) Fugsi disebut orma-t jika memeuhi sifat: a. Asosiatif da komutatif, b. usur idetitas 1: a1 a utuk setia a [0,1], c. mooto: a b c d dega a c da b d, utuk setia a, b, c, d [0,1]. Selajutya, fugsi disebut orma-t kotiu, jika kotiu. (ii) Fugsi disebut koorma-t jika memeuhi sifat: a. asosiatif da komutatif, b. usur idetitas 1: a0 a utuk setia a [0,1], c. mooto: a b c d dega a c da b d, utuk setia a, b, c, d [0,1]. Selajutya, fugsi disebut koorma-t kotiu, jika kotiu. Sebagai cotoh, fugsi :[0,1] [0,1] [0,1] dega: a b maks 0, a b 1 atau ab mi{ a, b}, utuk setia ab, [0,1], meruaka orma-t kotiu. Selajutya, Norma-t kotiu dega ab mi{ a, b} disebut orma-t kotiu stadar, dilambagka dega s. Cotoh lai dari orma-t kotiu adalah darab aljabar, yaitu: da :[0,1] [0,1] [0,1] dega a da b ab, utuk setia ab, [0,1]. Sedagka fugsi :[0,1] [0,1] [0,1] yag didefiisika: a b mi{1, a b} atau a b 1 (1 a) (1 b) utuk setia ab, [0,1], meruaka koorma-t kotiu. Yag kedua disebut koorma-t kotiu stadar. Selajutya, diberika egertia ruag metrik kabur. Berikut ii diberika defiisi metrik kabur da defiisi ruag metrik kabur. Defiisi.3 Diberika X himua tak kosog da orma-t kotiu. 10

3 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 (i) (ii) Himua kabur M : X (0, ) [0,1] dega sifat, utuk setia x, y, z X da t, s 0 berlaku: (F1) M x, y, t 0, (F) M x, y, t 1 jika da haya jika x (F3) M x, y, t M y, x, t, (F4) M x, y, t M y, z, s M x, z, t s (F5) M x, y, : (0, ) [0,1] kotiu,, y, disebut metrik kabur ada X. Himua X yag dilegkai dega metrik kabur M da t-orm kotiu X, M,, disebut ruag metrik kabur., dituliska dega tuel-3 Selajutya, jika metrik kaburya telah diketahui (tertetu), maka ruag metrik kabur X, M, biasa ditulis dega X saja. Sebagai cotoh, diberika ruag metrik X, d da didefiisika fugsi M : X 0, 0,1 dega: t M x, y, t t d x, y, t. Daat ditujukka bahwa utuk setia x, y X da 0 X, M, s masig-masig meruaka ruag metrik kabur. Dari sii daat dikataka bahwa setia ruag metrik daat dibetuk mejadi ruag metrik kabur. X, M, da da Selajutya, ruag metrik kabur X, M, s da ruag metrik kabur X, M, da ada cotoh di atas berturut-turut disebut ruag metrik kabur stadar-s da ruag metrik kabur stadar-da. RM,, s da RM,, da berturut-turut disebut ruag metrik kabur biasa-s da ruag metrik kabur biasa-da. Selajutya, diberika egertia barisa koverge da egertia barisa Cauchy di dalam ruag metrik kabur sebagai berikut. Defiisi.4 Diberika ruag metrik kabur X, M, da barisa x X. (i) Barisa x dikataka koverge ke x X di dalam ruag metrik kabur X, M,, disigkat, koverge-m, jika utuk setia t 0 berlaku lim M ( x, x, t) 1. (ii) Barisa x disebut barisa Cauchy di dalam ruag metrik kabur X, M,, disigkat, barisa Cauchy-M, jika utuk setia t 0 da N berlaku lim M ( x, x, t) 1, 11

4 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 Dalam hal x koverge-m, barisa { x } dikataka memuyai limit x utuk da dituliska dega: lim x x. Selajutya, x disebut limit barisa { x }. Barisa yag tak koverge-m dikataka diverge-m. Lemma.5 Diberika ruag metrik X, d sebarag da ruag metrik kabur stadar X, M,. Utuk setia barisa { x } X berlaku: (i) (ii) x koverge x barisa Cauchy x koverge-m. x barisa Cauchy-M. Teorema kriteria koverge-cauchy ada ruag metrik kabur diberika sebagai berikut ii. Teorema.6 Diberika X, M, ruag metrik kabur da barisa x X. Jika barisa x koverge-m, maka x meruaka barisa Cauchy-M. Bukti: Diketahui barisa x koverge-m. Artiya, utuk setia t 0 berlaku: lim M ( x, x, t ) 1. Hal ii berakibat, utuk setia N da t 0 berlaku lim M ( x,, t x ) 1. Selajutya dieroleh lim M ( x,, ) lim (,, t ) lim (,, t x t M x x M x ) x. Karea M( x, x, t) 1 (yag berakibat lim M ( x, x, t) 1), maka dieroleh lim M ( x, x, t) 1. Jadi, x meruaka barisa Cauchy-M. Kovers dari Teorema.6 belum tetu bear. Sebagai cotoh, diberika himua X (0,1] da didefiisika fugsi d dega: d( x, y) x y, utuk xy. Daat ditujukka bahwa setia, (0,1] (0,1],d meruaka ruag metrik. Dega demikia, daat dibetuk ruag metrik kabur stadar-s (0,1], M, s. Selajutya, diambil barisa { x} (0,1], dega x 1 ; 1,,3,.... Jelas bahwa barisa { x } tidak koverge di dalam (0,1],d. Oleh karea itu, meurut Lemma.5 (i), barisa { x } tidak koverge-m. Di lai ihak, barisa { x } meruaka barisa Cauchy. Meurut Lemma.5 (ii), barisa { x } meruaka barisa Cauchy-M. Jadi, barisa Cauchy-M belum tetu koverge-m. Misalka X, M, adalah ruag metrik kabur sebarag. Jika setia barisa Cauchy-M didalamya meruaka barisa koverge-m, maka ruag 1

5 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 metrik kabur X, M, dikataka legka-m. Salah satu cotoh ruag metrik kabur legka-m adalah ruag metrik kabur biasa RM,,. 3. METODE PENELITIAN Peelitia dilakuka dega cara studi literatur. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Ruag Metrik Kabur Ituitioistic Defiisi metrik kabur ituitioistic da ruag metrik kabur ituitioistic diberika berikut ii. Defiisi 4.1 Diberika X himua tak kosog, da berturut-turut orma-t kotiu da koorma-t kotiu, serta M da N masig-masig himua kabur ada X (0, ) [0,1] yag memeuhi: M x, y, t N x, y, t 1, utuk setia x, y X da t 0. (I-1) (I-) M x, y,0 0 utuk setia, x y X. (I-3) M x, y, t 1 jika da haya jika x (I-4) M x, y, t M y, x, t y, utuk setia,, utuk setia x, y X da t 0; (I-5) M x, y, t M y, z, s M x, z, t s ts, 0; x y X da t 0;, utuk setia x, y, z X da (I-6) M x, y, :[0, ) [0,1] kotiu, utuk setia, (I-7) lim M x, y, t 1, utuk setia x, y X ; t x y X ; (I-8) N x, y,0 1 utuk setia x, y X ; (I-9) N x, y, t 0 jika da haya jika x y, utuk setia, (I-10) N x, y, t N y, x, t, utuk setia x, y X da t 0; (I-11) N x, y, t N y, z, s N x, z, t s, utuk setia x, y, z (I-1) N x, y, :[0, ) [0,1] kotiu, utuk setia x, y X ; (I-13) lim N x, y, t 0, utuk setia x, y X. t x y X da t 0; X da ts, 0 Pasaga terurut M, N disebut metrik kabur ituitioistic ada X. Fugsifugsi,, M x y t da,, N x y t berturut-turut disebut derajat kedekata da derajat ketidakdekata atara x da y yag bergatug ada t. Tuel-5 X, M, N,, disebut ruag metrik kabur ituitioistic. 13

6 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: Sebagai cotoh, diberika himua X : N 0, orma-t kotiu, da koorma-t kotiu yag secara berturut-turut didefiisika: a b ab da a b mi{1, a b}, utuk setia ab, [0,1]. Utuk setia x, y X da (0, ) M, N sebagai berikut: t didefiisika t x y ; t 0 ; t 0 M ( x, y, t) t x y da N( x, y, t) t x y. 0 ; t 0 1 ; t 0 Daat ditujukka bahwa X, M, N,, meruaka ruag metrik kabur ituitioistic. Lemma 4. Jika X, M, ruag metrik kabur, dega N 1 M da, utuk setia x, y X, koorma-t yag didefiisika: x y 1 (1 x) (1 y) maka,,,, X M N meruaka ruag metrik kabur ituitioistic. Ruag metrik kabur ituitioistic ada Lemma 4. disebut ruag metrik kabur ituitioistic stadar. Jika X R X, M, N,, disebut ruag metrik kabur ituitioistic biasa., maka Defiisi 4.3 Diberika ruag metrik kabur ituitioistic X, M, N,, da barisa x X. (i) Barisa x dikataka koverge ke x X di dalam ruag metrik kabur ituitioistic X, M, N,,, disigkat koverge-i, jika utuk setia t 0 berlaku lim M ( x, x, t) 1 da lim N( x, x, t) 0 (ii) Barisa x disebut barisa Cauchy di dalam ruag metrik kabur ituitioistic X, M, N,,, disigkat barisa Cauchy-I, jika utuk setia t 0 da 0 berlaku lim M ( x, x, t) 1 da lim N( x, x, t) 0 Dalam hal x koverge-i, barisa { x } dikataka memuyai limit x utuk da dituliska dega: lim x x. Selajutya, x disebut limit barisa { x }. Karea Fugsi-fugsi da ada Defiisi 3.1 meruaka fugsifugsi yag kotiu, maka limitya tuggal. Barisa yag tak koverge-i dikataka diverge-i. 14

7 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 Lemma 4.4 Diberika ruag metrik kabur sebarag X, M, da ruag metrik kabur ituitioistic stadar X, M, N,,. Utuk setia barisa { x } X berlaku: (i) (ii) x koverge-m x barisa Cauchy-M x koverge-i. x barisa Cauchy-I. Teorema kriteria koverge-cauchy yag tergeeralisasi ada ruag metrik kabur ituitioistic diberika berikut ii. Teorema 4.5 Diberika ruag metrik kabur ituitioistic X, M, N,, da barisa x X. Jika barisa x koverge-i, maka x meruaka barisa Cauchy-I. Bukti: Diketahui barisa x koverge-i. Artiya, utuk setia t 0 berlaku: lim M ( x, x, t) 1 da lim N( x, x, t) 0. Hal ii berakibat, utuk setia N da t 0 berlaku lim M ( x,, t x ) 1da lim N x,, t x 0 Selajutya dieroleh lim M ( x,, ) lim (,, t ) lim (,, t x t M x x M x ) x da lim Nx,, lim,, t lim,, t x t N x x N x x. Karea M( x, x, t) 1, yag berakibat lim M ( x, x, t) 1, maka dieroleh Lebih lajut, karea N( x, x, t) 0 dieroleh lim M ( x, x, t) 1., yag berakibat lim Nx, x, t 0 lim N Dega demikia lim M ( x, x, t) 1 x, x, t 0 Jadi, x meruaka barisa Cauchy-I da lim Nx, x, t 0.., maka Kovers dari Teorema 4.5 belum tetu bear. Sebagai cotoh, dari ruag metrik (0,1],d dega d( x, y) x y, utuk setia xy, (0,1], dibetuk ruag metrik kabur stadar-s (0,1], M, s. Kemudia dibetuk ula ruag metrik kabur ituitioistic stadar (0,1],,,, 1 0,1 x M N. Diambil barisa ; 1,,3,.... Telah diketahui sebelumya bahwa barisa s 1 15

8 Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: tidak koverge-m sehigga meurut Lemma 3.4 (i), barisa tidak 1 koverge-i. Di ihak lai, telah diketahui ula bahwa meruaka barisa 1 Cauchy-M sehigga meurut Lemma 4.4 (ii), barisa meruaka barisa Cauchy-I. Jadi, barisa Cauchy-I belum tetu koverge-i. Misalka X, M, N,, ruag metrik kabur ituitioistic sebarag. Jika setia barisa Cauchy-I didalamya meruaka barisa koverge-i, maka ruag metrik kabur ituitioistic X, M, N,, dikataka legka-i. Salah satu cotoh ruag metrik kabur ituitioistic legka-i adalah ruag metrik kabur ituitioistic biasa R, M, N,,. 5. DAFTAR PUSTAKA Alaca, C., Altu, I., & Turkoglu, D., O Comatible Maigs of Tye (I) ad (II) i Ituitioistic Fuzzy Metric Saces, Commu. Korea Math. Soc., 3 (008), No. 3, Brucker, A. M, Brucker, J. B, & Thomso, B. S., Real Aalysis, Pretice-Hall, New Jersey, Efe, H., Roud Fuzzy Metric Saces, Iteratioal Mathematical Forum, Vol., No. 35, , 007. George, A. da Veeramai, P., O Some Result of Aalysis for Fuzzy Metric Saces, Fuzzy Sets ad Systems, Elsevier, 90 (1997), , Karim, M. A. & Yulida, Y., Teorema Titik Teta Baach ada Ruag Metrik Kabur, Jural Al-Jabar (Jural Matematika Muri da Teraa), Lamug, Vol. 1. No. 1, hal 10-18, 010. Muralisakar, S. & Kalaa, G., Commo Fixed Poit Theorem i Ituitioistic Fuzzy Metric Sace Usig Geeral Cotractive Coditio of Itegral Tye, It. J. Cotem. Math. Scieces, Vol. 4, 009, o. 11, Royde, H. L., Real Aalysis, Macmilla Publishig Comay, New York, Zadeh, L. A., Fuzzy Sets*, Iformatio ad Cotrol, Vol. 8, ,