Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud dega edekata yag lebih umum adalah eyelesaia masalah yag meutut bukti, yag tetu saja tidak daat diselesaika dega komutasi ruti. Namu, edekata komutasi tidak seeuhya kita tiggalka, melaika kita akai utuk megilustrasika da meeraka teori yag kita bahas. Pembaca dimita utuk megerjaka semua soal-soal latiha mauu tes formatif (termasuk meuliskaya dega rici), utuk daat megikuti semua modul secara utuh da berkesiambuga. Secara khusus utuk modul (okok bahasa) Ruag Vektor ii, skalar yag diguaka lebih umum, yaki himua yag memiliki struktur yag sama dega struktur yag dimiliki oleh himua bilaga real. Secara umum setelah memelajari modul ii, Ada diharaka memahami kose laaga, ruag F, ruag ektor mauu subruag da daat memeriksa aakah suatu himua ektor-ektor di suatu ruag ektor bersifat bebas liear atau bergatug liear. Secara lebih rici, setelah memelajari modul ii, Ada diharaka mamu:. memahami kose laaga da ruag F ; 2. meyelidiki aakah suatu ektor meruaka kombiasi liear dari ektor-ektor yag diberika; 3. meyelidiki aakah suatu himua meruaka suatu ruag ektor atas suatu laaga; 4. meyelidiki aakah suatu subhimua dari suatu ruag ektor meruaka subruag;

2 .2 Aljabar II 5. meetuka suatu himua bersifat bebas liear atau bergatug liear.

3 MATA4436/MODUL.3 P Kegiata Belajar Laaga, Ruag F, da Ruag Vektor ada mata kuliah Aljabar Liear Elemeter kita telah megguaka himua bilaga yata (real) sebagai skalar. Sebagaimaa diyataka sebelumya ada modul ii, skalar yag diguaka lebih umum, yaitu himua yag memiliki struktur yag sama dega struktur yag dimiliki himua bilaga real, yag kita kataka laaga (field) dega otasi F. Mari kita erhatika megeai ersyarata atau ketetua-ketetua dari suatu laaga F yag didefiisika sebagai berikut. Defiisi. Suatu laaga adalah suatu himua tak hama F dega dua oerasi, yaitu ejumlaha da erkalia serta terdaat usur 0 (ol) da (satu) di F sehigga dieuhi: (i) x, y, z F, berlaku. x + y F (sifat tertutu) 2. x + y = y + x (sifat komutatif) 3. (x + y) + z = x + (y + z) (sifat asosiatif) x = x (usur ol) (ii) x, y, z F, berlaku. xy F (sifat tertutu) 2. xy = yx (sifat komutatif) 3. ( xy) z = x( yz) (sifat asosiatif) 4. x = x (usur satu) (iii) x, y, z F, x( y + z) = xy + xz (Sifat distributif) (i) x F terdaat secara tuggal z F sehigga x + z = 0. (z disebut usur balika dari x terhada oerasi ejumlaha). () x F, dega x 0 terdaat secara tuggal y F sehigga xy = (y dikataka usur balika dari x terhada oerasi erkalia).

4 .4 Aljabar II Dari defiisi di atas terlihat bahwa, suatu laaga adalah suatu himua tak hama yag berkaita dega dua oerasi da memeuhi sifatsifat (i) s/d (). Sebagai ilustrasi dari Defiisi., erhatika cotoh berikut: Cotoh. Laaga yag kita keal adalah = {bilaga yag yata/real}, = {bilaga rasioal}, da = {bilaga komleks} terhada dua oerasi, yaitu ejumlaha da erkalia. Tetai, himua bilaga bulat buka meruaka laaga terhada dua oerasi ejumlaha da erkalia karea terdaat bilaga bulat a 0 da a, tetai tidak terdaat bilaga bulat b sehigga ab = [lihat sifat ()]. Padag laaga F seerti ruag R, yag kita bahas ada mata kuliah Aljabar Liear Elemeter, sekarag kita defiisika ruag F sebagai berikut. F = α α,, M L α F α Defiisi di atas meyataka bahwa ruag F adalah suatu himua ektor-ektor, dega komoe sebayak buah da setia komoeya meruaka usur dari laaga F. Selajutya, dua oerasi ejumlaha da erkalia skalar juga kita defiisika seerti di, sebagai berikut.. Oerasi Pejumlaha (+) + : F F F α β α + β M, M a M α β α + β

5 MATA4436/MODUL.5 2. Oerasi Perkalia Skalar ( o ) o : F F F α α αα α, M a α o M = M α α αα Dega megguaka dua oerasi di atas, kita simak suatu defiisi tetag kose kombiasi liear dari ektor-ektor di F. Defiisi.2 Misalka, L, adalah skalar-skalar di F. Vektor di adalah ektor-ektor di F da α, L F yag berbetuk, α w = α + L + α dikataka kombiasi liear dari, L,. Selajutya, himua semua kombiasi liear dari, L, sa dari, L da ditulis, dikataka {, L, } = { α + L + α α, L, α F } sa Ilustrasi utuk kose kombiasi liear da sa yag didefiisika di atas, aka dierlihatka ada cotoh di bawah ii. Cotoh.2 Padag ektor-ektor di 4 berikut. 2 = 3 2, 2 2 = 2, 3 0 = 0, 4 0 = 2 0, 5 0 =. 0

6 .6 Aljabar II Karea = ( α = 2, α2 = 2 da α3 = ) maka l meruaka kombiasi liear dari 3, 4 da 5. sa {,, }, tetai sa{,, }, karea Sistem Jadi, Persamaa Liear (SPL) berikut: α = 2 β + γ = 2β + γ = 2 α = tidak memiliki solusi, dega kata lai 2 tak daat ditulis sebagai kombiasi liear dari 3, 4 da 5. Padag himua F, yag telah dibahas di atas, beserta oerasi ejumlaha da erkalia skalar. Maka, daat ditujukka bahwa: (i) u,, w F berlaku sifat-sifat berikut:. u + F (sifat tertutu) 2. u + = + u (sifat komutatif) 3. ( u + ) + w = u + ( + w) (sifat asosiatif) 0 r 4. 0 r = M F 0+ u = u (ektor ol) 0 5. u F u + ( u) = 0 r ( u ektor balika dari u) (ii) u, F da α, β F berlaku. αu F 2.. = 3. α (u + ) = αu + α 4. (α +β) = α + β 5. (αβ) = α (β) Kita kataka bahwa F meruaka suatu ruag ektor atas laaga F.

7 MATA4436/MODUL.7 Berikut ii aka kita defiisika egertia ruag ektor atas laaga F secara umum. Defiisi.3 Suatu ruag ektor V atas laaga F adalah himua tak hama V, yag memuat ektor 0 r da dilegkai dega oerasi ejumlaha da erkalia skalar sehigga dieuhi: (i) u,, w, V, berlaku. u + V ( sifat tertutu) 2. u + = + u ( sifat komutatif ) 3. ( u + ) + w = u + ( + w) ( sifat asosiatif ) r u = u ( ektor ol) r 5. u V u + ( u) = 0 ( u ektor balika dari u) (ii) u,, V da α, β F berlaku. αu V 2.. = 3. α ( u + ) = αu + α ( sifat distributif ) 4. ( α + β ) = α + β ( sifat distributif ) 5. ( αβ ) = α( β) Utuk selajutya yag dimaksud dega ruag ektor adalah ruag ektor atas laaga F. Dega laaga F adalah atau, kecuali dega keteraga yag lebih sesifik. Setelah kita aham dega aa yag dimaksud dega ruag ektor, mari kita lihat salah satu sifat yag berlaku di ruag ektor ada teorema berikut. Teorema. Misalka V suatu ruag ektor. Maka utuk 0, F berlaku: r (i) 0 = 0, V (ii) ( ) =, V

8 .8 Aljabar II Bukti: Misalka V sebarag, maka (i) 0 = (0 + 0) = (sifat distributif) 0 + ( (0)) = (0 + 0) + ( (0)) r 0 = ( (0 ) ) r r 0 = r 0 = 0 (ii) ( ) ( ) r 0 = 0 = + ( ) =. + ( ) r 0 = + ( ) r + 0 = + + ( ) = ( + ) + ( ) r = 0 + ( ) (ektor balika dari 0) (ektor ol) = ( ) Sekarag timbul ertayaa, aakah subhimua dari suatu ruag ektor juga meruaka ruag ektor? Utuk itu, mari kita simak defiisi di bawah ii. Defiisi.4 Padag subhimua tak hama U dari suatu ruag ektor V. Kita kataka U sebagai subruag dari V, jika U juga meruaka ruag ektor dega oerasi yag sama seerti oerasi di V. Sekarag aka kita lihat suatu lemma yag lebih oerasioal utuk meyelidiki aakah suatu subhimua tak hama dari suatu ruag ektor meruaka subruag dari ruag ektor tersebut. Lemma. Suatu subhimua tak hama U dari suatu ruag ektor V meruaka suatu subruag, jika da haya jika, (i) jika u, u U maka u + u U 2 2 (ii) jika α F da u U, maka αu U.

9 MATA4436/MODUL.9 Bukti: Misalka V suatu ruag ektor da U adalah subruag dari V maka U juga meruaka ruag ektor (berdasarka Defiisi.4), sehigga (i) da (ii) jelas dieuhi. Sebalikya, misalya (i) da (ii) dieuhi utuk U V. Karea U tak hama maka terdaat u U. Dari Teorema. maka 0u = 0 r U (karea V suatu ruag ektor). Sifat-sifat ruag ektor da sifat-sifat yag lai jelas dieuhi. Jadi, U meruaka subruag dari ruag ektor V. Utuk emahama lebih lajut tetag kose ruag da subruag ektor mauu kose-kose yag berhubuga dega ruag da subruag ektor ii, baik kita erhatika beberaa ilustrasi ada Cotoh.3 di bawah ii. Cotoh.3 () Misalka A suatu matriks, dega usur ada laaga F, berukura m. Padag ruag baris A yaitu sa{ r l,, r m }, dega meruaka r r baris matriks A. l,, m Maka sa rl r m {,, } meruaka subruag dari F. Ruag kolom A yaitu Sa { k,, k }, dega k,, k meruaka kolom-kolom matriks A, meruaka subruag dari m F. (2) Padag himua P yag dieksresika sebagai 0 L α + α x + + α x + α x dega α0 α, L, α F da bilaga bulat ositif. Oerasi ejumlaha da erkalia skalar didefiisika sebagai berikut: 0 ( α + α x + L + α x + α x ) + ( β + β x + L + β x + β x ) s m i i i αi x βi x ( αi βi ) x i= 0 i= 0 i= 0 = + = + s 0 s, dega m = maks (,s) s s

10 .0 Aljabar II 0 L α ( α + α x + + α x + α x ) = α α x = αα x. i i i= 0 i= 0 i i Maka, dega oerasi seerti di atas, P meruaka ruag ektor da disebut ruag suku bayak berderajat higga. (3) Padag M m (F) = himua semua matriks berukura m dega usur di F. Dega oerasi ejumlaha da erkalia skalar biasa, M m (F) meruaka suatu ruag ektor. t m m Misalka K = { A M ( F) A = A } M ( F ). Aka kita selidiki aakah K meruaka subruag dari M m (F ). Jelas, K, karea matriks O berukura m meruaka usur K. Misalka A, B K da α F. Berarti A = A da B = B. t t t t t ( A + B) = A + B = A + B = ( A + B) = ( A + B) t t ( α A) = α A = α( A) = ( α A). Berarti A + B K da α A K. Jadi, K meruaka subruag dari M m (F ). (4) Misalka Padag 2 2F 2 2 L = { A M ( ) A ada} M ( F ). 0 A = A ada, berarti A L 0 0 B = B ada, berarti B L 0 Tetai 0 0 A + B = 0 0 tak memiliki iers, berarti A + B L. Jadi, L buka meruaka subruag dari M 2 2 ( F ).

11 MATA4436/MODUL. (5) Padag V = { f : R R f emetaa} Didefiisika oerasi ejumlaha da erkalia skalar sebagai berikut: Misalka f da g di V; α maka ) ( f + g)( x) = f ( x) + g ( x), x R 2) α α ( ) ( f )( x) = f ( x), x Padag O: R R O V dega: x a 0, x R Misalka f V sebarag maka ( O + f )( x) = O( x) + f ( x) = 0 + f ( x) = f ( x), x Jadi, kita memuyai O + f = f, f V. Padag f V dega: f + ( f ) ( x) = f ( x) + ( f )( x) Maka ( ) ( ) = f ( x) + ( f ( x) = 0 = O( x), x R Jadi, f + ( f ) = O. f : R R x a ( f ( x) ), x R Maka V dega oerasi ejumlaha da erkalia skalar di atas meruaka suatu ruag ektor atas. (6) Misalka V suatu ruag ektor atas F. Misalka ula, 2, L, ektor-ektor di V. Maka, sa {, 2, L, } aka membetuk subruag dari V.,, 2,, Padag x y sa{ } L, maka

12 .2 Aljabar II x = αii da y = βii i= i= x + y = ( αi + βi ) i i= demikia sehigga, { } x + y sa, 2, L,..... (.) Kemudia, misalka α F, maka α x = αα. Jadi, { } α x sa, 2, L,..... (.2) i= Dari (.) da ((.2) maka sa{ } dari V. 2 i i,, L, meruaka subruag Setelah membaca materi subokok bahasa di atas, cobalah kerjaka latiha berikut agar emahama Ada lebih mata. LATIHAN Utuk memerdalam emahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Tetuka subhimua dari yag meruaka subruag a) {( r, L, r ) r + 2r2 + 3r3 + L + r = 0} b) {( r 2 2 2, L, r ) r + r2 + L + r = } Jelaska jawaba Ada. 2) Tetuka subhimua dari ruag fugsi kotiu dari R ke R yag meruaka subruag f : R R f kotiu, f ( x) = f ( x), x R a) { } b) { f : R R f kotiu, f solusi dari PD y" + y' = 2 y}

13 MATA4436/MODUL.3 3) Misalka V suatu ruag ektor. Diketahui w,, L, di V da w meruaka kombiasi liear dari, L { L } = sa{ L } sa w,,,,,,. Tujukka 4) Misalka V suatu ruag ektor. Misalka ula K da L subruag dari V sehigga dieuhi V = K + L. Tujukka K L = {0}, jika da haya jika eulisa setia ektor di V sebagai hasil tambah dari ektor-ektor di K da L adalah tuggal. K + L = { k + l k K, l L} Agar latiha Ada terarah dega baik da daat memerkiraka hasil latiha Ada, bacalah rambu-rambu jawaba Latiha. Petujuk Jawaba Latiha ) a) Tulis S = {( r, L, r ) R r + 2r2 + L + r = 0} i) jelas S ii) (0, L, 0) S. Jadi S. iii) Misalka ( r, L, r ) S, berarti r + 2r 2 + L + r = 0 da ( s, L, s ) S berarti: s + 2s + L + s = 0 2 ( r + s ) + 2( r + s ) + L + ( r + s ) = 2 2 ( r + 2 r + L + r ) + ( s + 2 s + L + s ) = = Jadi, ( r, L, r ) + ( s, L, s ) = ( r + s, L, r + s ) S. i) Misalka ( r, L, r ) S berarti r + 2r2 + L + r = 0 da α R. αr + 2 αr + L + α r = α( r + 2 r + L + r ) = α.0 = Jadi α( r, L, r ) = ( αr, L, αr ) S Dari i samai dega i kita eroleh S subruag dari.

14 .4 Aljabar II b) Tulis K = {( r 2 2, L, r ) R r + L + r = } Padag (,0, L,0) da Jadi, (,0, L,0) K Padag ula (0,, 0, L, 0) R da L +0 = L +0 =. Jadi, (0,,0, L,0) K, (,0, L,0) + (0,,0, L,0) = (,,0, L,0) Tetai, L + 0 sehigga (,0, L,0) + (0,,0, L,0) K Jadi, K buka subruag dari. 2) a) Tulis K = {( f : R R f kotiu, f ( x) = f ( x) x R } i) Padag f ( x) = 0, x. Jelas f kotiu di. Maka f ( x) = 0 = 0. Jadi, f ( x) = f ( x), x. Berarti f K. K ii) Misalka f K, berarti f kotiu di da f ( x) = f ( x), x R. g K, berarti g kotiu di da g( x) = g( x), x R. Misalka ula α R. [ ] ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) = f ( x) + g( x) = ( f + g)( x), x da f + g kotiu di. Jadi, f + g K ( α f )( x) = α ( f ( x)) = α ( f ( x)) = ( α f ( x)) da α f kotiu di R. Jadi, α f K. K subruag dari ruag fugsi kotiu dari R ke R. b) Tulis K = { f : R R f kotiu, f solusi PD y" + y' = 2 y } i) Padag f : R R dega f ( x) = 0, x R. Jelas f kotiu di R. f" = f' = f = 0.

15 MATA4436/MODUL.5 f solusi PD y" + y' = 2 y. f L. L. ii) Misalka f L, berarti f kotiu di R da f" + f' = 2 f. Misalka ula g L, berarti g kotiu di R da g" + g' = 2 g. Misalka α R. ( f + g )" + ( f + g )' = f" + g" + f' + g' = 2 f + 2g = 2( f + g). f + g kotiu di R. f + g L. ( α f )" + ( α f )' = α f" + α f' = α( f" + f' ) = α(2 f ) = 2 α f. α f L. L subruag dari fugsi kotiu dari ke. 3) Misalka {,,,, } x sa w 2 L maka x = α w + α + L + α utuk suatu α, α, α2, L, α R. Tetai, w kombiasi liear dari, 2, L,. Berarti w = β + β22 + L + β utuk suatu β, β2, L, β R. Jadi, x = α( β + L + β ) + α + L + α = ( αβ + α ) + L + ( αβ + α ). x sa{, L, } sa{ w,, L, } sa{, L, }. Misalka y sa{, L, }. Berarti y = γ + L + γ utuk suatu γ, L, γ R. y = γ γ = γ γ + 0 w. y sa{ w,,..., }. sa{,..., } Sa{ w,,..., }. sa{,..., } = sa{ w,,..., }. 4) ( ) Misalka x V sebarag dega x = k + l = k2 + l2 utuk k, k2 K da l, l 2 L. Maka k k 2 = l 2 l.

16 .6 Aljabar II Tulis y = k k 2 = l 2 l. Karea K da L subruag, maka k k2 K da l 2 l L. y K L. Tetai K L = {0}. y = k k2 = l2 l = 0. Jadi, k = k2 da l = l 2. Jadi, eulisa setia ektor x di V sebagai hasil tambah dari ektor-ektor di K da L adalah tuggal. ( ) Misalka x K L sebarag. Berarti x K da x L. x K, maka x = x + 0 dega x K da 0 L. x L, maka x = 0 + x dega 0 K da x L. Tetai eulisa x V sebagai hasil tambah dari ektor-ektor di K da adalah tuggal. Jadi, x = 0. K L = {0}. RANGKUMAN Pada bagia ii Ada telah memelajari struktur himua yag meruaka dasar dari mata kuliah ii. Ruag ektor disebut juga sebagai struktur ruag liear, karea ada ruag tersebut kita megerjaka oerasi tambah. Objek atau eleme dari ruag ektor tersebut secara umum tidak harus berbetuk ektor, seerti yag kita keal. Seerti terlihat ada subokok bahasa ii, eleme dari ruag ektor daat berua matriks, fugsi da lai sebagaiya. TES FORMATIF Jawablah soal-soal berikut! a H = b R ax + bx + c dx = 0 meruaka ruag 0 c ) Aakah 3 ( 2 ) ektor? (Jelaska jawaba Ada)

17 MATA4436/MODUL.7 2) Tetuka subhimua dari F di bawah ii yag meruaka subruag dari F : (Jelaska jawab Ada!) u 3 a) F u + + w = 0 w b) c) d) e) u 3 F u + + w = w u 2 u = 0 F u u + = 0 R u u + = 0 3) Maa yag meruaka subruag dari ruag ektor M ( F) berikut, (Jelaska jawab Ada!). a) Subhimua dari M ( F) yag memiliki rag (satu). b) Subhimua yag memiliki rag 0 (ol). c) Matriks-matriks yag meruaka solusi dari ersamaa 2 M + M = I. d) Matriks-matriks M yag memeuhi M M t = O. 4) Misalka V suatu ruag ektor. Misalka ula a V da α F. Tujukka bahwa: a) ( α)( a) = ( α a) b) α( a) = ( α a) c) ( α )( a) = α a Petujuk: Sebelum Ada megerjaka soal 4 di atas, terlebih dahulu tujukka sifat berikut: Pada laaga F berlaku: ( ) α = α, α F.

18 .8 Aljabar II 5) Misalka V suatu ruag ektor. Misalka ula K da L masigmasig subruag dari V. a) Selidiki aakah K L membetuk subruag dari V. b) Selidiki ula aakah K L membetuk subruag dari V. c) Jika K L { k l k K, l K } + = + selidiki aakah K + L meruaka subruag dari V. Jelaska jawab Ada. (Jika "ya" tujukka da jika "buka" berika cotoh). 6) Misalka U, U 2 da W masig-masig subruag dari suatu ruag ektor V. a) Buktika ( U W ) + ( U2 W ) ( U + U2 ) W. 2 b) Buat suatu cotoh di F yag meujukka bahwa kesamaa ada (a) tidak berlaku. Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdaat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat eguasaa Ada terhada materi Kegiata Belajar. Tigkat eguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat eguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cuku < 70% = kurag Aabila mecaai tigkat eguasaa 80% atau lebih, Ada daat meeruska dega Kegiata Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.

19 MATA4436/MODUL.9 M ari kita adag subruag-subruag dari Kegiata Belajar 2 2 berikut: {,, 2, 6 5 }, 2 {, 3 6} da { 3, 3 } K= sa K' = sa K" = sa Maka, daat ditujukka K = K, tetai K K. Bebas Liear Megaa terjadi demikia? Megaa subruag yag dibagu oleh 4 (emat) ektor, sama dega subruag yag dibagu oleh 2 (dua) ektor? Utuk masalah di atas kita kataka K dibagu oleh 2,, da 6 5 Pertayaa-ertayaa di atas aka dijawab dalam subokok bahasa ii. Kuci jawaba ada ada kose bebas liear. Defiisi.5 Misalka V suatu ruag ektor. Himua ektor-ektor, 2, L, di V dikataka bebas liear di V, jika kombiasi liear α + L + α = 0 haya dieuhi oleh α = α2 = L = α = 0. Jika { },, L, tidak bebas liear, kita kataka bergatug liear. 2 Berikut ii mari kita erhatika suatu sifat yag cuku mearik dari himua ektor-ektor bergatug liear da bebas liear di V yag diberika oleh Lemma.2 da Lemma.3 di bawah ii..

20 .20 Aljabar II Lemma.2. Misalka V suatu ruag ektor. Misalka ula {, 2,..., } bergatug liear di V. Maka, terdaat j dega j sehigga j meruaka kombiasi liear dari, 2, L, j, j+, L,. Bukti:, 2, L, bergatug liear. Berarti terdaat α j 0; j sehigga j j+ + = 0 α α α α α = α α α α j j j j j+ j+ = α α α α j j+ j α j j j α + j α j α j = β + L + β + β + L + β j j j j+ j+ dega β i i= α α da i j atau dega eulisa lai, yaitu j i= i j j = β. i i Lemma.3 Misalka V = sa { w, w2,, w} { },,, r bebas liear di V. Maka r. 2 suatu ruag ektor. Misalka ula Bukti: Aka kita buktika dega megguaka kotradiksi. Adaika r >. Misalka = α w+ α 2w2 + + α w, i=,, r. i i i i Padag kombiasi liear β + L + β = 0, maka β= = βr= 0 karea {, 2,, r} bebas liear. r r

21 MATA4436/MODUL.2 Selajutya ( w w L w ) L r ( r w r w L rw ) = 0 β α α α β α α α atau ( α β α β L α β ) w L ( α β α β L α β ) atau r r r r w = 0 α β + α2 β2 + L + αrβr = 0 α2 β + α22 β2 + L + αr2βr = 0 M α β + α2 β2 + L + αrβr = 0 Tetai SPL homoge di atas terdiri dari ersamaa da r ariabel, dega r >. Maka, SPL di atas memiliki solusi tak higga bayak (lihat BMP Aljabar Liear Elemeter). Hal ii bertetaga karea {,, r } bebas liear. Jadi, haruslah r. Utuk emahama lebih baik tetag kose bebas da bergatug liear dari himua ektor-ektor di suatu ruag ektor, erhatika cotohcotoh berikut ii. Cotoh.4 () Padag ruag fugsi V = { f : f emetaa } Misalka x R R. f ( x) =, g ( x) = e da h( x) = e adalah fugsi-fugsi di V. 2x Aka ditujukka bahwa { f, g, h } bebas liear di V. Utuk meujukka kebebaslieara { f, g, h }, adag kombiasi liear: Jadi, α f + β g + γ h = O ( α f + β g + γ h)( x) = α f ( x) + β g( x) + γ h( x) = O ( x) = O, x R

22 .22 Aljabar II Selajutya, utuk x = 0, x = da x = 2, kita eroleh SPL berikut: α + β + γ = 0 2 α + βe + γ e = α + βe + γ e = 0 Daat ditujukka bahwa solusi SPL di atas adalah α = β = γ = 0. Jadi { f, g, h } bebas liear. (2) Padag ruag fugsi seerti ada Cotoh.4 omor () di atas. Misalka 2 2 f ( x) = cos x, f ( x) = si x da f ( x) = cos 2 x. Kita ketahui bahwa: cos 2 x = cos x si x (ii berarti cos 2x meruaka kombiasi liear dari cos 2 x da si 2 x), maka berdasarka Tes Formatif 2 omor 2 (kebalika Lemma.2) kita eroleh { f, f2, f 3} bergatug liear. Setelah membaca materi subokok bahasa di atas, cobalah kerjaka latiha berikut agar emahama Ada lebih mata. LATIHAN Utuk memerdalam emahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Diketahui V suatu ruag ektor atas laaga F. Tujukka kebalika Lemma.2 seatiasa berlaku. 2) Diketahui V suatu ruag ektor atas laaga F. Diketahui ula X = { x, x2, L, x} bebas liear di V. Selidiki aakah { x, x2, L, x} bebas liear di V. Jelaska jawaba Ada!

23 MATA4436/MODUL.23 3) Diketahui seerti soal omor 2. Misalka ula y V. Selidiki aakah { x, x,, x, y} 2 L bebas liear di V. Jelaska jawaba Ada. 4) Diketahui V suatu ruag ektor atas laaga F. Diketahui ula Y { y, y2,, ym} y2, y3, L, ym = L membagu V. Selidiki aakah { } membagu V. Jelaska jawaba Ada. 5) Diketahui seerti soal omor 4. Misalka ula z V. Selidiki aakah { y, y,, y, z} 2 L membagu V. Jelaska jawaba Ada. Petujuk Jawaba Latiha m ) j αii α L α j j j α j+ j+ L α i= i j = = 0 α + L + α + ( ) + α + L + α = 0 j j j j+ j+ Jadi terdaat α j = 0 di F sehigga Jadi, {,, j, j, j+,, } i= α = 0. i i bergatug liear. 2) Padag kombiasi liear α2x2 + L + αx = 0 (.3) Maka, 0 = α x + + α x = 0 x+ α x + + α x. (.4) Tetai, { x, L, x } bebas liear di V. Maka kombiasi liear (.4) haya daat dieuhi oleh α 0. 2 = = α = Jadi kombiasi liear (.3) haya dieuhi oleh α2 = L = α = 0. Jadi, { x2, L, x } bebas liear di V. 3) Kasus. Jika y sa{ x, L, x }, maka y = αx + L + αx utuk αl,, α di F. Meurut soal omor di atas, maka { x,, x, y} bergatug liear.

24 .24 Aljabar II Kasus 2. Jika y sa { x,, x }, adaika { x,, x, y} bergatug liear. Maka terdaat β,, βi, βi+,, β, γ di R, sehigga x = β x + γ y. Jelas γ 0, karea jika γ = 0, maka i j j j= j i x = β x da ii berarti { x,, x } bergatug liear. i j j j= j i Hal ii bertetaga dega { x,, x } bebas liear. γ 0. Jadi, i j j j= j i y = γ x γ β x. Ii berarti, y sa { x,, x }. Hal ii bertetaga dega y sa { x,, x }. Jadi haruslah { x,, x, y} bebas liear. 4) Kasus. y sa { y2,, y }. Maka y V tidak daat ditulis sebagai kombiasi liear dari { y2,, y }. Jadi { y2,, y } tidak membagu V. Kasus 2. y sa { y2,, y }, maka terdaat β,, di 2 β F sehigga y = β y + + β y Sekarag misalka x V sebarag, 2 2. y y {,, } membagu V berarti terdaat α,, di α F sehigga x= α y+ + α y = α ( β y + + β y ) + α y + + α y = ( α β + α ) y + + ( α β + α ) y Jadi setia ektor di V daat ditulis sebagai kombiasi liear dari { y2,, y }. Jadi { y2,, y } membagu V. 5) Misalka x V sebarag da { y,, y m } membagu V. Berarti terdaat α,, di α F sehigga m x= αy+ + αm ym= α y+ + α m ym+ 0 z ; z V.

25 MATA4436/MODUL.25 Jadi setia ektor di V daat ditulis sebagai kombiasi liear dari y,,,. ym z Jadi { y,, ym, z} membagu V. RANGKUMAN Pada bagia ii Ada telah memelajari sifat bebas liear da bergatug liear dari kumula ektor. Pada kumula ektor yag bebas liear, tidak aka berubah sifatya walauu aggota dari ektor tersebut dikalika dega skalar tidak ol. TES FORMATIF 2 Jawablah soal-soal berikut! ) Misalka V suatu ruag ektor atas laaga F. Misalka ula {u,, w} bebas liier di V. Tujukka { u +, + w, u + w} bebas liier di V da sa {u,, w} = sa { u +, + w, u + w}. 2) Misalka V suatu ruag ektor atas laaga F. Misalka ula {, 2, L, } ektor-ektor di V. Jika = α j j Tujukka bahwa {, 2, L, } bergatug liear. 3) Misalka V suatu ruag ektor atas laaga F. Misalka ula {, L, } bebas liier di V da sa{, 2, L, }. Tujukka bahwa { +, 2 +, L, + } bebas liier. 4) Misalka V = sa {, 2, L, } da w, w2, L, w V dega m >. Tujukka { w, w2,, wm } 5) Misalka { } 2 j= i L bergatug liier.,, L, bebas liier di R. Misalka ula A suatu matriks berukura da A memiliki iers. Tujukka { A, A2, L, A} bebas liear.

26 .26 Aljabar II Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 2 yag terdaat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat eguasaa Ada terhada materi Kegiata Belajar 2. Tigkat eguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat eguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cuku < 70% = kurag Aabila mecaai tigkat eguasaa 80% atau lebih, Ada daat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 2, terutama bagia yag belum dikuasai.

27 MATA4436/MODUL.27 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif 3 ) Karea H subhimua tak hama dari, maka utuk meyelidiki aakah H ruag ektor, cuku diselidiki aakah H Subruag dari 3 dega megguaka Lemma.. 2) a) subruag. b) buka subruag. c) buka subruag. d) buka subruag. e) buka subruag. 3) a) buka subruag. b) subruag. c) buka subruag. d) buka subruag. 4) Pertama-tama aka ditujukka bahwa ada laaga F berlaku 0. α = 0, α F 0. α = (0+ 0) α = 0α + 0. α (0. α) + 0. α = (0. α) + 0. α + 0. α 0 = α 0 = 0. α Berikutya aka ditujukka bahwa ada laaga F berlaku ( ) α = α, α F ( ) α + α = ( ) α +. α = ( + ) α = = ( ) α = α 0 α a) ( α) + α. a = ( α + α) a = 0. a 0 = 0 ( ) a = ( α a)

28 .28 Aljabar II b) α ( a) + α a = α ( a + a) = α. 0 c) = 0 α ( a) = ( α a) ( α )( a) + ( α) = ( α )( a + a) = ( α) 0 = 0 ( α)( a) = α a 5) a) ya. b) tidak selalu. c) ya. x U I W + U I W. 6) a) Ambil ( ) ( ) 2 Misalka x = y + z dega y U I W da z U2 I W. Karea y U da z U2, maka x = y + z U + U2. Karea y W da z W, maka x = y + z W. Jadi x = y + z ( U U ) Ι W. + b) Silaka dicoba sebagai latiha. Tes Formatif 2 ) a) Padag kombiasi liear α u + + β + w + γ u + w = ( ) ( ) ( ) 0 ( α + γ ) u + ( α + β ) + ( β + γ ) w = 0 Karea { u,, w } bebas liear, maka α + γ = α + β = β + γ = 0 α = β = γ = 0.. b) Misalka x sa { u,, w}. Jadi x = αu + β + γ w = α ( u + ) + β ( + w) + γ ( u + w) ( α γ ) ( α β ) ( β γ ) Karea { u,, w } bebas liear, maka = + u w α + γ = α ; α + β = β ; β + γ = γ 2

29 MATA4436/MODUL.29, L, V. 2) { } = α i j j j= j i α = 0 j= j i j j i 0 sedemikia higga kombiasi liear di atas sama dega ol. {, L, } bergatug liear. 3) Padag kombiasi liear α + + α + + L + α + = ( ) ( ) ( ) α L α ( α α L α ) = 2 0. Jika α + L + α 0, maka ( α + α2 + L + α ) ( α L α ) = sa{, L, }.. Hal ii bertetaga dega sa{ } α + α + + α = α + L + α = 2 L 0 0 Karea {,, } α = α = Λ = α L bebas liear, maka 2 = { +, + }, 4) Misalka Λ bebas liear. w i ij j j= Padag kombiasi liear m i= β w = 0 i i 0 = α, i =, L, m, L,. β ( α + L + α ) + L + βm ( αm + L + αm ) = 0 ( β α β α L β α ) L ( β α L β α ) m m m m = 0

30 .30 Aljabar II Jika { }, L, bebas liear, maka β α + L + β α = m m 0 Μ β α + + βmαm = 0 L. m au da ersamaa, dega m >. SPL homoge memiliki tak higga bayak jawab. { w, L, wm } bergatug liear. Jika { }, L, bergatug liear maka daat direduksi mejadi subhimua yag bebas liear. Proses selajutya sama dega di atas. 5) Padag kombiasi liear α A + L + α A = 0 ( α + L + α ) = 0 A A Karea ada, maka α + α + L + α = Karea { }, L, bebas liear, maka α = α2 = L = α = 0 { A, L, A} bebas liear.

31 MATA4436/MODUL.3 Daftar Pustaka Bill Jacob. (990). Liear Algebra. W.H. Freema ad Comay. Leo, SJ, (990). Liear Algebra with Alicatio. MacMila Publishig Comay. Strag, G. (988). Liear Algebra ad Its Alicatio. 3 rd editio Academic Press. Curti, CW. (984). Liear Algebra A Itroductio Aroach. Udergraduate Text i Mathematics Sriger erlag.